MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0grsubgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0grsubgr 28224
Description: The null graph (represented by an empty set) is a subgraph of all graphs. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
0grsubgr (𝐺𝑊 → ∅ SubGraph 𝐺)

Proof of Theorem 0grsubgr
StepHypRef Expression
1 0ss 4356 . . 3 ∅ ⊆ (Vtx‘𝐺)
2 dm0 5876 . . . . 5 dom ∅ = ∅
32reseq2i 5934 . . . 4 ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) = ((iEdg‘𝐺) ↾ ∅)
4 res0 5941 . . . 4 ((iEdg‘𝐺) ↾ ∅) = ∅
53, 4eqtr2i 2765 . . 3 ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅)
6 0ss 4356 . . 3 ∅ ⊆ 𝒫 ∅
71, 5, 63pm3.2i 1339 . 2 (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)
8 0ex 5264 . . 3 ∅ ∈ V
9 vtxval0 27988 . . . . 5 (Vtx‘∅) = ∅
109eqcomi 2745 . . . 4 ∅ = (Vtx‘∅)
11 eqid 2736 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12 iedgval0 27989 . . . . 5 (iEdg‘∅) = ∅
1312eqcomi 2745 . . . 4 ∅ = (iEdg‘∅)
14 eqid 2736 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
15 edgval 27998 . . . . 5 (Edg‘∅) = ran (iEdg‘∅)
1612rneqi 5892 . . . . 5 ran (iEdg‘∅) = ran ∅
17 rn0 5881 . . . . 5 ran ∅ = ∅
1815, 16, 173eqtrri 2769 . . . 4 ∅ = (Edg‘∅)
1910, 11, 13, 14, 18issubgr 28217 . . 3 ((𝐺𝑊 ∧ ∅ ∈ V) → (∅ SubGraph 𝐺 ↔ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)))
208, 19mpan2 689 . 2 (𝐺𝑊 → (∅ SubGraph 𝐺 ↔ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)))
217, 20mpbiri 257 1 (𝐺𝑊 → ∅ SubGraph 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cfv 6496  Vtxcvtx 27945  iEdgciedg 27946  Edgcedg 27996   SubGraph csubgr 28213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-ltxr 11193  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-dec 12618  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-edgf 27936  df-vtx 27947  df-iedg 27948  df-edg 27997  df-subgr 28214
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator