Theorem 0grsubgr 29598

Description: The null graph (represented by an empty set) is a subgraph of all graphs. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0grsubgr	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ∅ SubGraph 𝐺)

Proof of Theorem 0grsubgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4364	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (Vtx‘𝐺)
2		dm0 5914	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	reseq2i 5979	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) = ((iEdg‘𝐺) ↾ ∅)
4		res0 5986	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ↾ ∅) = ∅
5	3, 4	eqtr2i 2794	. . 3 ⊢ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅)
6		0ss 4364	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 ∅
7	1, 5, 6	3pm3.2i 1356	. 2 ⊢ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)
8		0ex 5275	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
9		vtxval0 29359	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
10	9	eqcomi 2779	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
11		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12		iedgval0 29360	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2779	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
15		edgval 29369	. . . . 5 ⊢ (Edg‘∅) = ran (iEdg‘∅)
16	12	rneqi 5931	. . . . 5 ⊢ ran (iEdg‘∅) = ran ∅
17		rn0 5920	. . . . 5 ⊢ ran ∅ = ∅
18	15, 16, 17	3eqtrri 2798	. . . 4 ⊢ ∅ = (Edg‘∅)
19	10, 11, 13, 14, 18	issubgr 29591	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ ∅ ∈ V) → (∅ SubGraph 𝐺 ↔ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)))
20	8, 19	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅ SubGraph 𝐺 ↔ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)))
21	7, 20	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ∅ SubGraph 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  Vcvv 3462   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5114  dom cdm 5665  ran crn 5666   ↾ cres 5667  ‘cfv 6540  Vtxcvtx 29316  iEdgciedg 29317  Edgcedg 29367   SubGraph csubgr 29587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7417  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-ltxr 11251  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-dec 12715  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-edgf 29309  df-vtx 29318  df-iedg 29319  df-edg 29368  df-subgr 29588

This theorem is referenced by: (None)