Theorem 0grsubgr 29257

Description: The null graph (represented by an empty set) is a subgraph of all graphs. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0grsubgr	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ∅ SubGraph 𝐺)

Proof of Theorem 0grsubgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4350	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (Vtx‘𝐺)
2		dm0 5860	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	reseq2i 5925	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) = ((iEdg‘𝐺) ↾ ∅)
4		res0 5932	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ↾ ∅) = ∅
5	3, 4	eqtr2i 2755	. . 3 ⊢ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅)
6		0ss 4350	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 ∅
7	1, 5, 6	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)
8		0ex 5245	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
9		vtxval0 29018	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
10	9	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12		iedgval0 29019	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
15		edgval 29028	. . . . 5 ⊢ (Edg‘∅) = ran (iEdg‘∅)
16	12	rneqi 5877	. . . . 5 ⊢ ran (iEdg‘∅) = ran ∅
17		rn0 5866	. . . . 5 ⊢ ran ∅ = ∅
18	15, 16, 17	3eqtrri 2759	. . . 4 ⊢ ∅ = (Edg‘∅)
19	10, 11, 13, 14, 18	issubgr 29250	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ ∅ ∈ V) → (∅ SubGraph 𝐺 ↔ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)))
20	8, 19	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅ SubGraph 𝐺 ↔ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)))
21	7, 20	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ∅ SubGraph 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4550   class class class wbr 5091  dom cdm 5616  ran crn 5617   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  Vtxcvtx 28975  iEdgciedg 28976  Edgcedg 29026   SubGraph csubgr 29246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-dec 12589  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-edgf 28968  df-vtx 28977  df-iedg 28978  df-edg 29027  df-subgr 29247

This theorem is referenced by: (None)