Theorem 0grsubgr 29361

Description: The null graph (represented by an empty set) is a subgraph of all graphs. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0grsubgr	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ∅ SubGraph 𝐺)

Proof of Theorem 0grsubgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4341	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (Vtx‘𝐺)
2		dm0 5869	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	reseq2i 5935	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) = ((iEdg‘𝐺) ↾ ∅)
4		res0 5942	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ↾ ∅) = ∅
5	3, 4	eqtr2i 2761	. . 3 ⊢ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅)
6		0ss 4341	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 ∅
7	1, 5, 6	3pm3.2i 1341	. 2 ⊢ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)
8		0ex 5242	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
9		vtxval0 29122	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
10	9	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12		iedgval0 29123	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
15		edgval 29132	. . . . 5 ⊢ (Edg‘∅) = ran (iEdg‘∅)
16	12	rneqi 5886	. . . . 5 ⊢ ran (iEdg‘∅) = ran ∅
17		rn0 5875	. . . . 5 ⊢ ran ∅ = ∅
18	15, 16, 17	3eqtrri 2765	. . . 4 ⊢ ∅ = (Edg‘∅)
19	10, 11, 13, 14, 18	issubgr 29354	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ ∅ ∈ V) → (∅ SubGraph 𝐺 ↔ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)))
20	8, 19	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅ SubGraph 𝐺 ↔ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)))
21	7, 20	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ∅ SubGraph 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  Vtxcvtx 29079  iEdgciedg 29080  Edgcedg 29130   SubGraph csubgr 29350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-dec 12636  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-edgf 29072  df-vtx 29081  df-iedg 29082  df-edg 29131  df-subgr 29351

This theorem is referenced by: (None)