Theorem tocycf 33211

Description: The permutation cycle builder as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycf.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycf.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
tocycf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
tocycf	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)

Distinct variable group:   𝑤,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐶(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem tocycf

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2	1	tocycval 33202	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢))))
3		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → 𝑢 = ∅)
4	3	rneqd 5895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ran ∅)
5		rn0 5883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ∅)
7	6	difeq2d 4080	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = (𝐷 ∖ ∅))
8		dif0 4332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
9	7, 8	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = 𝐷)
10	9	reseq2d 5946	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
11	3	cnveqd 5832	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ◡𝑢 = ◡∅)
12		cnv0 6105	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡∅ = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ◡𝑢 = ∅)
14	13	coeq2d 5819	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) = ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅))
15		co02 6227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) = ∅)
17	10, 16	uneq12d 4123	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
18		un0 4348	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
19	17, 18	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
20		tocycf.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
21	20	idresperm 19327	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ (Base‘𝑆))
22		tocycf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	21, 22	eleqtrrdi 2848	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
25	19, 24	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
26		difexg 5276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝐷 ∖ ran 𝑢) ∈ V)
27	26	resiexd 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V)
28		ovex 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 cyclShift 1) ∈ V
29		vex 3446	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑢 ∈ V
30	29	cnvex 7877	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡𝑢 ∈ V
31	28, 30	coex 7882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) ∈ V
32		unexg 7698	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V ∧ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
33	27, 31, 32	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
35	2, 34	fvmpt2d 6963	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (𝐶‘𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)))
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)))
37		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝐷 ∈ 𝑉)
38		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
39		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝑤 = 𝑢)
40		dmeq 5860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
41		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝐷 = 𝐷)
42	39, 40, 41	f1eq123d 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
43	42	elrab 3648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
44	38, 43	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
45	44	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
46	44	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
47	1, 37, 45, 46, 20	cycpmcl 33210	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
48	47, 22	eleqtrrdi 2848	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) ∈ 𝐵)
49	36, 48	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
50	25, 49	pm2.61dane 3020	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
51	2, 50	fmpt3d 7070	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901  ∅c0 4287   I cid 5526  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632  ran crn 5633   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039  Word cword 14448   cyclShift ccsh 14723  Basecbs 17148  SymGrpcsymg 19310  toCycctocyc 33200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-csh 14724  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-tset 17208  df-efmnd 18806  df-symg 19311  df-tocyc 33201

This theorem is referenced by:  tocyc01  33212  cycpmco2f1  33218  cycpmco2rn  33219  cycpmco2lem1  33220  cycpmco2lem2  33221  cycpmco2lem3  33222  cycpmco2lem4  33223  cycpmco2lem5  33224  cycpmco2lem6  33225  cycpmco2lem7  33226  cycpmco2  33227  cycpm3cl2  33230  cycpmconjv  33236  tocyccntz  33238  cyc3evpm  33244  cycpmgcl  33247  cycpmconjslem2  33249  cyc3conja  33251