Theorem tocycf 31286

Description: The permutation cycle builder as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycf.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycf.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
tocycf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
tocycf	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)

Distinct variable group:   𝑤,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐶(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem tocycf

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2	1	tocycval 31277	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢))))
3		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → 𝑢 = ∅)
4	3	rneqd 5836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ran ∅)
5		rn0 5824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ∅)
7	6	difeq2d 4053	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = (𝐷 ∖ ∅))
8		dif0 4303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
9	7, 8	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = 𝐷)
10	9	reseq2d 5880	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
11	3	cnveqd 5773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ◡𝑢 = ◡∅)
12		cnv0 6033	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡∅ = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ◡𝑢 = ∅)
14	13	coeq2d 5760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) = ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅))
15		co02 6153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) = ∅)
17	10, 16	uneq12d 4094	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
18		un0 4321	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
19	17, 18	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
20		tocycf.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
21	20	idresperm 18908	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ (Base‘𝑆))
22		tocycf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	21, 22	eleqtrrdi 2850	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
25	19, 24	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
26		difexg 5246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝐷 ∖ ran 𝑢) ∈ V)
27	26	resiexd 7074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V)
28		ovex 7288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 cyclShift 1) ∈ V
29		vex 3426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑢 ∈ V
30	29	cnvex 7746	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡𝑢 ∈ V
31	28, 30	coex 7751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) ∈ V
32		unexg 7577	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V ∧ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
33	27, 31, 32	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
35	2, 34	fvmpt2d 6870	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (𝐶‘𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)))
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)))
37		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝐷 ∈ 𝑉)
38		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
39		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝑤 = 𝑢)
40		dmeq 5801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
41		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝐷 = 𝐷)
42	39, 40, 41	f1eq123d 6692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
43	42	elrab 3617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
44	38, 43	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
45	44	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
46	44	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
47	1, 37, 45, 46, 20	cycpmcl 31285	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
48	47, 22	eleqtrrdi 2850	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) ∈ 𝐵)
49	36, 48	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
50	25, 49	pm2.61dane 3031	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
51	2, 50	fmpt3d 6972	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881  ∅c0 4253   I cid 5479  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580  ran crn 5581   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  –1-1→wf1 6415  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  Word cword 14145   cyclShift ccsh 14429  Basecbs 16840  SymGrpcsymg 18889  toCycctocyc 31275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-csh 14430  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-efmnd 18423  df-symg 18890  df-tocyc 31276

This theorem is referenced by:  tocyc01  31287  cycpmco2f1  31293  cycpmco2rn  31294  cycpmco2lem1  31295  cycpmco2lem2  31296  cycpmco2lem3  31297  cycpmco2lem4  31298  cycpmco2lem5  31299  cycpmco2lem6  31300  cycpmco2lem7  31301  cycpmco2  31302  cycpm3cl2  31305  cycpmconjv  31311  tocyccntz  31313  cyc3evpm  31319  cycpmgcl  31322  cycpmconjslem2  31324  cyc3conja  31326