Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocycf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tocycf 30819
 Description: The permutation cycle builder as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycf.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycf.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
tocycf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
tocycf (𝐷𝑉𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶𝐵)
Distinct variable group:   𝑤,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐶(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem tocycf
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocycf.c . . 3 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
21tocycval 30810 . 2 (𝐷𝑉𝐶 = (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢))))
3 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → 𝑢 = ∅)
43rneqd 5773 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ran ∅)
5 rn0 5761 . . . . . . . . . 10 ran ∅ = ∅
64, 5eqtrdi 2849 . . . . . . . . 9 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ∅)
76difeq2d 4050 . . . . . . . 8 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = (𝐷 ∖ ∅))
8 dif0 4286 . . . . . . . 8 (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
97, 8eqtrdi 2849 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = 𝐷)
109reseq2d 5819 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
113cnveqd 5711 . . . . . . . . 9 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → 𝑢 = ∅)
12 cnv0 5967 . . . . . . . . 9 ∅ = ∅
1311, 12eqtrdi 2849 . . . . . . . 8 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → 𝑢 = ∅)
1413coeq2d 5698 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢) = ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅))
15 co02 6081 . . . . . . 7 ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
1614, 15eqtrdi 2849 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢) = ∅)
1710, 16uneq12d 4091 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
18 un0 4298 . . . . 5 (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
1917, 18eqtrdi 2849 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
20 tocycf.s . . . . . . 7 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2120idresperm 18510 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ (Base‘𝑆))
22 tocycf.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
2321, 22eleqtrrdi 2901 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
2423ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
2519, 24eqeltrd 2890 . . 3 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) ∈ 𝐵)
26 difexg 5196 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉 → (𝐷 ∖ ran 𝑢) ∈ V)
2726resiexd 6957 . . . . . . . 8 (𝐷𝑉 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V)
28 ovex 7169 . . . . . . . . 9 (𝑢 cyclShift 1) ∈ V
29 vex 3444 . . . . . . . . . 10 𝑢 ∈ V
3029cnvex 7615 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
3128, 30coex 7620 . . . . . . . 8 ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢) ∈ V
32 unexg 7455 . . . . . . . 8 ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V ∧ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) ∈ V)
3327, 31, 32sylancl 589 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) ∈ V)
3433adantr 484 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) ∈ V)
352, 34fvmpt2d 6759 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) → (𝐶𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)))
3635adantr 484 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)))
37 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝐷𝑉)
38 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
39 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢𝑤 = 𝑢)
40 dmeq 5737 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
41 eqidd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢𝐷 = 𝐷)
4239, 40, 41f1eq123d 6584 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
4342elrab 3628 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
4438, 43sylib 221 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
4544simpld 498 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
4644simprd 499 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷)
471, 37, 45, 46, 20cycpmcl 30818 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
4847, 22eleqtrrdi 2901 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶𝑢) ∈ 𝐵)
4936, 48eqeltrrd 2891 . . 3 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) ∈ 𝐵)
5025, 49pm2.61dane 3074 . 2 ((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) ∈ 𝐵)
512, 50fmpt3d 6858 1 (𝐷𝑉𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879  ∅c0 4243   I cid 5425  ◡ccnv 5519  dom cdm 5520  ran crn 5521   ↾ cres 5522   ∘ ccom 5524  ⟶wf 6321  –1-1→wf1 6322  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  1c1 10530  Word cword 13860   cyclShift ccsh 14144  Basecbs 16478  SymGrpcsymg 18491  toCycctocyc 30808 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-inf 8894  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-mod 13236  df-hash 13690  df-word 13861  df-concat 13917  df-substr 13997  df-pfx 14027  df-csh 14145  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-tset 16579  df-efmnd 18029  df-symg 18492  df-tocyc 30809 This theorem is referenced by:  tocyc01  30820  cycpmco2f1  30826  cycpmco2rn  30827  cycpmco2lem1  30828  cycpmco2lem2  30829  cycpmco2lem3  30830  cycpmco2lem4  30831  cycpmco2lem5  30832  cycpmco2lem6  30833  cycpmco2lem7  30834  cycpmco2  30835  cycpm3cl2  30838  cycpmconjv  30844  tocyccntz  30846  cyc3evpm  30852  cycpmgcl  30855  cycpmconjslem2  30857  cyc3conja  30859
 Copyright terms: Public domain W3C validator