Theorem tocycf 33671

Description: The permutation cycle builder as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycf.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycf.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
tocycf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
tocycf	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)

Distinct variable group:   𝑤,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐶(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem tocycf

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2	1	tocycval 33662	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢))))
3		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → 𝑢 = ∅)
4	3	rneqd 5920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ran ∅)
5		rn0 5908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ∅)
7	6	difeq2d 4074	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = (𝐷 ∖ ∅))
8		dif0 4327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
9	7, 8	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = 𝐷)
10	9	reseq2d 5970	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
11	3	cnveqd 5853	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ◡𝑢 = ◡∅)
12		cnv0 5861	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡∅ = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ◡𝑢 = ∅)
14	13	coeq2d 5840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) = ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅))
15		co02 6261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) = ∅)
17	10, 16	uneq12d 4116	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
18		un0 4344	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
19	17, 18	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
20		tocycf.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
21	20	idresperm 19593	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ (Base‘𝑆))
22		tocycf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	21, 22	eleqtrrdi 2872	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
25	19, 24	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
26		difexg 5291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝐷 ∖ ran 𝑢) ∈ V)
27	26	resiexd 7220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V)
28		ovex 7451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 cyclShift 1) ∈ V
29		vex 3455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑢 ∈ V
30	29	cnvex 7935	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡𝑢 ∈ V
31	28, 30	coex 7940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) ∈ V
32		unexg 7758	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V ∧ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
33	27, 31, 32	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
35	2, 34	fvmpt2d 7005	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (𝐶‘𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)))
36	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)))
37		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝐷 ∈ 𝑉)
38		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
39		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝑤 = 𝑢)
40		dmeq 5885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
41		eqidd 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝐷 = 𝐷)
42	39, 40, 41	f1eq123d 6814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
43	42	elrab 3645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
44	38, 43	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
45	44	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
46	44	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
47	1, 37, 45, 46, 20	cycpmcl 33670	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
48	47, 22	eleqtrrdi 2872	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) ∈ 𝐵)
49	36, 48	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
50	25, 49	pm2.61dane 3043	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
51	2, 50	fmpt3d 7114	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  ∅c0 4279   I cid 5545  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  1c1 11194  Word cword 14651   cyclShift ccsh 14932  Basecbs 17380  SymGrpcsymg 19576  toCycctocyc 33660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-hash 14468  df-word 14652  df-concat 14709  df-substr 14782  df-pfx 14814  df-csh 14933  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-tset 17440  df-efmnd 19058  df-symg 19577  df-tocyc 33661

This theorem is used by:  tocyc01  33672  cycpmco2f1  33678  cycpmco2rn  33679  cycpmco2lem1  33680  cycpmco2lem2  33681  cycpmco2lem3  33682  cycpmco2lem4  33683  cycpmco2lem5  33684  cycpmco2lem6  33685  cycpmco2lem7  33686  cycpmco2  33687  cycpm3cl2  33690  cycpmconjv  33696  tocyccntz  33698  cyc3evpm  33704  cycpmgcl  33707  cycpmconjslem2  33709  cyc3conja  33711