Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocycf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tocycf 32015
Description: The permutation cycle builder as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycf.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycf.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
tocycf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
tocycf (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢𝐡)
Distinct variable group:   𝑀,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑀)   𝐢(𝑀)   𝑆(𝑀)   𝑉(𝑀)

Proof of Theorem tocycf
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocycf.c . . 3 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
21tocycval 32006 . 2 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒))))
3 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ 𝑒 = βˆ…)
43rneqd 5894 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ran 𝑒 = ran βˆ…)
5 rn0 5882 . . . . . . . . . 10 ran βˆ… = βˆ…
64, 5eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ran 𝑒 = βˆ…)
76difeq2d 4083 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ (𝐷 βˆ– ran 𝑒) = (𝐷 βˆ– βˆ…))
8 dif0 4333 . . . . . . . 8 (𝐷 βˆ– βˆ…) = 𝐷
97, 8eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ (𝐷 βˆ– ran 𝑒) = 𝐷)
109reseq2d 5938 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) = ( I β†Ύ 𝐷))
113cnveqd 5832 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ◑𝑒 = β—‘βˆ…)
12 cnv0 6094 . . . . . . . . 9 β—‘βˆ… = βˆ…
1311, 12eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ◑𝑒 = βˆ…)
1413coeq2d 5819 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒) = ((𝑒 cyclShift 1) ∘ βˆ…))
15 co02 6213 . . . . . . 7 ((𝑒 cyclShift 1) ∘ βˆ…) = βˆ…
1614, 15eqtrdi 2789 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒) = βˆ…)
1710, 16uneq12d 4125 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) = (( I β†Ύ 𝐷) βˆͺ βˆ…))
18 un0 4351 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐷) βˆͺ βˆ…) = ( I β†Ύ 𝐷)
1917, 18eqtrdi 2789 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) = ( I β†Ύ 𝐷))
20 tocycf.s . . . . . . 7 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
2120idresperm 19172 . . . . . 6 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐷) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
22 tocycf.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
2321, 22eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐷) ∈ 𝐡)
2423ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ( I β†Ύ 𝐷) ∈ 𝐡)
2519, 24eqeltrd 2834 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) ∈ 𝐡)
26 difexg 5285 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (𝐷 βˆ– ran 𝑒) ∈ V)
2726resiexd 7167 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) ∈ V)
28 ovex 7391 . . . . . . . . 9 (𝑒 cyclShift 1) ∈ V
29 vex 3448 . . . . . . . . . 10 𝑒 ∈ V
3029cnvex 7863 . . . . . . . . 9 ◑𝑒 ∈ V
3128, 30coex 7868 . . . . . . . 8 ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒) ∈ V
32 unexg 7684 . . . . . . . 8 ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) ∈ V ∧ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒) ∈ V) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) ∈ V)
3327, 31, 32sylancl 587 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) ∈ V)
3433adantr 482 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) ∈ V)
352, 34fvmpt2d 6962 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) β†’ (πΆβ€˜π‘’) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)))
3635adantr 482 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (πΆβ€˜π‘’) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)))
37 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
38 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
39 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑒 β†’ 𝑀 = 𝑒)
40 dmeq 5860 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑒 β†’ dom 𝑀 = dom 𝑒)
41 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑒 β†’ 𝐷 = 𝐷)
4239, 40, 41f1eq123d 6777 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑒 β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
4342elrab 3646 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (𝑒 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
4438, 43sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (𝑒 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
4544simpld 496 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝑒 ∈ Word 𝐷)
4644simprd 497 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷)
471, 37, 45, 46, 20cycpmcl 32014 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (πΆβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
4847, 22eleqtrrdi 2845 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (πΆβ€˜π‘’) ∈ 𝐡)
4936, 48eqeltrrd 2835 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) ∈ 𝐡)
5025, 49pm2.61dane 3029 . 2 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) ∈ 𝐡)
512, 50fmpt3d 7065 1 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909  βˆ…c0 4283   I cid 5531  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057  Word cword 14408   cyclShift ccsh 14682  Basecbs 17088  SymGrpcsymg 19153  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-csh 14683  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-efmnd 18684  df-symg 19154  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  tocyc01  32016  cycpmco2f1  32022  cycpmco2rn  32023  cycpmco2lem1  32024  cycpmco2lem2  32025  cycpmco2lem3  32026  cycpmco2lem4  32027  cycpmco2lem5  32028  cycpmco2lem6  32029  cycpmco2lem7  32030  cycpmco2  32031  cycpm3cl2  32034  cycpmconjv  32040  tocyccntz  32042  cyc3evpm  32048  cycpmgcl  32051  cycpmconjslem2  32053  cyc3conja  32055
  Copyright terms: Public domain W3C validator