Theorem tocycf 33728

Description: The permutation cycle builder as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycf.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycf.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
tocycf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
tocycf	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)

Distinct variable group:   𝑤,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐶(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem tocycf

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2	1	tocycval 33719	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢))))
3		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → 𝑢 = ∅)
4	3	rneqd 5921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ran ∅)
5		rn0 5909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ∅)
7	6	difeq2d 4062	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = (𝐷 ∖ ∅))
8		dif0 4326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
9	7, 8	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = 𝐷)
10	9	reseq2d 5971	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
11	3	cnveqd 5854	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ◡𝑢 = ◡∅)
12		cnv0 5862	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡∅ = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ◡𝑢 = ∅)
14	13	coeq2d 5841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) = ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅))
15		co02 6265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) = ∅)
17	10, 16	uneq12d 4167	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
18		un0 4343	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
19	17, 18	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
20		tocycf.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
21	20	idresperm 19609	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ (Base‘𝑆))
22		tocycf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	21, 22	eleqtrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
25	19, 24	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
26		difexg 5291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝐷 ∖ ran 𝑢) ∈ V)
27	26	resiexd 7226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V)
28		ovex 7457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 cyclShift 1) ∈ V
29		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑢 ∈ V
30	29	cnvex 7941	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡𝑢 ∈ V
31	28, 30	coex 7946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) ∈ V
32		unexg 7764	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V ∧ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
33	27, 31, 32	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
35	2, 34	fvmpt2d 7012	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (𝐶‘𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)))
36	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)))
37		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝐷 ∈ 𝑉)
38		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
39		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝑤 = 𝑢)
40		dmeq 5886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
41		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝐷 = 𝐷)
42	39, 40, 41	f1eq123d 6821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
43	42	elrab 3644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
44	38, 43	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
45	44	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
46	44	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
47	1, 37, 45, 46, 20	cycpmcl 33727	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
48	47, 22	eleqtrrdi 2871	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) ∈ 𝐵)
49	36, 48	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
50	25, 49	pm2.61dane 3042	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
51	2, 50	fmpt3d 7121	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 4044   ∪ cun 4148  ∅c0 4277   I cid 5545  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1c1 11208  Word cword 14665   cyclShift ccsh 14947  Basecbs 17396  SymGrpcsymg 19592  toCycctocyc 33717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-hash 14482  df-word 14666  df-concat 14723  df-substr 14797  df-pfx 14829  df-csh 14948  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-tset 17456  df-efmnd 19074  df-symg 19593  df-tocyc 33718

This theorem is used by:  tocyc01  33729  cycpmco2f1  33735  cycpmco2rn  33736  cycpmco2lem1  33737  cycpmco2lem2  33738  cycpmco2lem3  33739  cycpmco2lem4  33740  cycpmco2lem5  33741  cycpmco2lem6  33742  cycpmco2lem7  33743  cycpmco2  33744  cycpm3cl2  33747  cycpmconjv  33753  tocyccntz  33755  cyc3evpm  33761  cycpmgcl  33764  cycpmconjslem2  33766  cyc3conja  33768