Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocycf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tocycf 30406
Description: The permutation cycle builder as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycf.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycf.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
tocycf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
tocycf (𝐷𝑉𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶𝐵)
Distinct variable group:   𝑤,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐶(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem tocycf
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocycf.c . . 3 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
21tocycval 30397 . 2 (𝐷𝑉𝐶 = (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢))))
3 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → 𝑢 = ∅)
43rneqd 5690 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ran ∅)
5 rn0 5715 . . . . . . . . . 10 ran ∅ = ∅
64, 5syl6eq 2847 . . . . . . . . 9 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ∅)
76difeq2d 4020 . . . . . . . 8 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = (𝐷 ∖ ∅))
8 dif0 4252 . . . . . . . 8 (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
97, 8syl6eq 2847 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = 𝐷)
109reseq2d 5734 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
113cnveqd 5632 . . . . . . . . 9 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → 𝑢 = ∅)
12 cnv0 5875 . . . . . . . . 9 ∅ = ∅
1311, 12syl6eq 2847 . . . . . . . 8 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → 𝑢 = ∅)
1413coeq2d 5619 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢) = ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅))
15 co02 5988 . . . . . . 7 ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
1614, 15syl6eq 2847 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢) = ∅)
1710, 16uneq12d 4061 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
18 un0 4264 . . . . 5 (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
1917, 18syl6eq 2847 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
20 tocycf.s . . . . . . 7 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2120idresperm 18268 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ (Base‘𝑆))
22 tocycf.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
2321, 22syl6eleqr 2894 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
2423ad2antrr 722 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
2519, 24eqeltrd 2883 . . 3 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) ∈ 𝐵)
26 difexg 5122 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉 → (𝐷 ∖ ran 𝑢) ∈ V)
2726resiexd 6845 . . . . . . . 8 (𝐷𝑉 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V)
28 ovex 7048 . . . . . . . . 9 (𝑢 cyclShift 1) ∈ V
29 vex 3440 . . . . . . . . . 10 𝑢 ∈ V
3029cnvex 7486 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
3128, 30coex 7491 . . . . . . . 8 ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢) ∈ V
32 unexg 7329 . . . . . . . 8 ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V ∧ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) ∈ V)
3327, 31, 32sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) ∈ V)
3433adantr 481 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) ∈ V)
352, 34fvmpt2d 6647 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) → (𝐶𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)))
3635adantr 481 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)))
37 simpll 763 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝐷𝑉)
38 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
39 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢𝑤 = 𝑢)
40 dmeq 5658 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
41 eqidd 2796 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢𝐷 = 𝐷)
4239, 40, 41f1eq123d 6476 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
4342elrab 3618 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
4438, 43sylib 219 . . . . . . 7 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
4544simpld 495 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
4644simprd 496 . . . . . 6 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷)
471, 37, 45, 46, 20cycpmcl 30405 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
4847, 22syl6eleqr 2894 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶𝑢) ∈ 𝐵)
4936, 48eqeltrrd 2884 . . 3 (((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) ∈ 𝐵)
5025, 49pm2.61dane 3072 . 2 ((𝐷𝑉𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ 𝑢)) ∈ 𝐵)
512, 50fmpt3d 6743 1 (𝐷𝑉𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  {crab 3109  Vcvv 3437  cdif 3856  cun 3857  c0 4211   I cid 5347  ccnv 5442  dom cdm 5443  ran crn 5444  cres 5445  ccom 5447  wf 6221  1-1wf1 6222  cfv 6225  (class class class)co 7016  1c1 10384  Word cword 13707   cyclShift ccsh 13986  Basecbs 16312  SymGrpcsymg 18236  toCycctocyc 30395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-hash 13541  df-word 13708  df-concat 13769  df-substr 13839  df-pfx 13869  df-csh 13987  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-plusg 16407  df-tset 16413  df-symg 18237  df-tocyc 30396
This theorem is referenced by:  tocyc01  30407  cycpm3cl2  30415  cycpmconjv  30421  tocyccntz  30423  cyc3evpm  30430  cycpmgcl  30433  cycpmconjslem2  30435  cyc3conja  30437
  Copyright terms: Public domain W3C validator