Theorem tocycf 33557

Description: The permutation cycle builder as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycf.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycf.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
tocycf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
tocycf	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)

Distinct variable group:   𝑤,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐶(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem tocycf

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2	1	tocycval 33548	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢))))
3		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → 𝑢 = ∅)
4	3	rneqd 5922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ran ∅)
5		rn0 5910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ran 𝑢 = ∅)
7	6	difeq2d 4074	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = (𝐷 ∖ ∅))
8		dif0 4327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∖ ∅) = 𝐷
9	7, 8	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (𝐷 ∖ ran 𝑢) = 𝐷)
10	9	reseq2d 5972	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
11	3	cnveqd 5855	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ◡𝑢 = ◡∅)
12		cnv0 5863	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡∅ = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ◡𝑢 = ∅)
14	13	coeq2d 5842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) = ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅))
15		co02 6257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ∅) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) = ∅)
17	10, 16	uneq12d 4116	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) = (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅))
18		un0 4344	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∪ ∅) = ( I ↾ 𝐷)
19	17, 18	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) = ( I ↾ 𝐷))
20		tocycf.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
21	20	idresperm 19513	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ (Base‘𝑆))
22		tocycf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	21, 22	eleqtrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → ( I ↾ 𝐷) ∈ 𝐵)
25	19, 24	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 = ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
26		difexg 5294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝐷 ∖ ran 𝑢) ∈ V)
27	26	resiexd 7215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V)
28		ovex 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 cyclShift 1) ∈ V
29		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑢 ∈ V
30	29	cnvex 7922	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡𝑢 ∈ V
31	28, 30	coex 7927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) ∈ V
32		unexg 7745	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∈ V ∧ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
33	27, 31, 32	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ V)
35	2, 34	fvmpt2d 7000	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (𝐶‘𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)))
36	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)))
37		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝐷 ∈ 𝑉)
38		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
39		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝑤 = 𝑢)
40		dmeq 5887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
41		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝐷 = 𝐷)
42	39, 40, 41	f1eq123d 6809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
43	42	elrab 3645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
44	38, 43	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
45	44	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
46	44	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
47	1, 37, 45, 46, 20	cycpmcl 33556	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
48	47, 22	eleqtrrdi 2871	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑢) ∈ 𝐵)
49	36, 48	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) ∧ 𝑢 ≠ ∅) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
50	25, 49	pm2.61dane 3042	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑢)) ∪ ((𝑢 cyclShift 1) ∘ ◡𝑢)) ∈ 𝐵)
51	2, 50	fmpt3d 7109	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  ∅c0 4279   I cid 5549  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  –1-1→wf1 6530  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  1c1 11125  Word cword 14578   cyclShift ccsh 14859  Basecbs 17301  SymGrpcsymg 19496  toCycctocyc 33546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-substr 14709  df-pfx 14741  df-csh 14860  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-tset 17361  df-efmnd 18978  df-symg 19497  df-tocyc 33547

This theorem is used by:  tocyc01  33558  cycpmco2f1  33564  cycpmco2rn  33565  cycpmco2lem1  33566  cycpmco2lem2  33567  cycpmco2lem3  33568  cycpmco2lem4  33569  cycpmco2lem5  33570  cycpmco2lem6  33571  cycpmco2lem7  33572  cycpmco2  33573  cycpm3cl2  33576  cycpmconjv  33582  tocyccntz  33584  cyc3evpm  33590  cycpmgcl  33593  cycpmconjslem2  33595  cyc3conja  33597