Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocycf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tocycf 32307
Description: The permutation cycle builder as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycf.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycf.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
tocycf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
tocycf (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢𝐡)
Distinct variable group:   𝑀,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑀)   𝐢(𝑀)   𝑆(𝑀)   𝑉(𝑀)
Proof of Theorem tocycf
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocycf.c . . 3 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
21tocycval 32298 . 2 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒))))
3 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ 𝑒 = βˆ…)
43rneqd 5938 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ran 𝑒 = ran βˆ…)
5 rn0 5926 . . . . . . . . . 10 ran βˆ… = βˆ…
64, 5eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ran 𝑒 = βˆ…)
76difeq2d 4123 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ (𝐷 βˆ– ran 𝑒) = (𝐷 βˆ– βˆ…))
8 dif0 4373 . . . . . . . 8 (𝐷 βˆ– βˆ…) = 𝐷
97, 8eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ (𝐷 βˆ– ran 𝑒) = 𝐷)
109reseq2d 5982 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) = ( I β†Ύ 𝐷))
113cnveqd 5876 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ◑𝑒 = β—‘βˆ…)
12 cnv0 6141 . . . . . . . . 9 β—‘βˆ… = βˆ…
1311, 12eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ◑𝑒 = βˆ…)
1413coeq2d 5863 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒) = ((𝑒 cyclShift 1) ∘ βˆ…))
15 co02 6260 . . . . . . 7 ((𝑒 cyclShift 1) ∘ βˆ…) = βˆ…
1614, 15eqtrdi 2789 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒) = βˆ…)
1710, 16uneq12d 4165 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) = (( I β†Ύ 𝐷) βˆͺ βˆ…))
18 un0 4391 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐷) βˆͺ βˆ…) = ( I β†Ύ 𝐷)
1917, 18eqtrdi 2789 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) = ( I β†Ύ 𝐷))
20 tocycf.s . . . . . . 7 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
2120idresperm 19253 . . . . . 6 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐷) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
22 tocycf.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
2321, 22eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐷) ∈ 𝐡)
2423ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ( I β†Ύ 𝐷) ∈ 𝐡)
2519, 24eqeltrd 2834 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) ∈ 𝐡)
26 difexg 5328 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (𝐷 βˆ– ran 𝑒) ∈ V)
2726resiexd 7218 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) ∈ V)
28 ovex 7442 . . . . . . . . 9 (𝑒 cyclShift 1) ∈ V
29 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑒 ∈ V
3029cnvex 7916 . . . . . . . . 9 ◑𝑒 ∈ V
3128, 30coex 7921 . . . . . . . 8 ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒) ∈ V
32 unexg 7736 . . . . . . . 8 ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) ∈ V ∧ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒) ∈ V) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) ∈ V)
3327, 31, 32sylancl 587 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) ∈ V)
3433adantr 482 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) ∈ V)
352, 34fvmpt2d 7012 . . . . 5 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) β†’ (πΆβ€˜π‘’) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)))
3635adantr 482 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (πΆβ€˜π‘’) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)))
37 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
38 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
39 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑒 β†’ 𝑀 = 𝑒)
40 dmeq 5904 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑒 β†’ dom 𝑀 = dom 𝑒)
41 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑒 β†’ 𝐷 = 𝐷)
4239, 40, 41f1eq123d 6826 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑒 β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
4342elrab 3684 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (𝑒 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
4438, 43sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (𝑒 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
4544simpld 496 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝑒 ∈ Word 𝐷)
4644simprd 497 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷)
471, 37, 45, 46, 20cycpmcl 32306 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (πΆβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
4847, 22eleqtrrdi 2845 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (πΆβ€˜π‘’) ∈ 𝐡)
4936, 48eqeltrrd 2835 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) ∈ 𝐡)
5025, 49pm2.61dane 3030 . 2 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑒)) βˆͺ ((𝑒 cyclShift 1) ∘ ◑𝑒)) ∈ 𝐡)
512, 50fmpt3d 7116 1 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947  βˆ…c0 4323   I cid 5574  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111  Word cword 14464   cyclShift ccsh 14738  Basecbs 17144  SymGrpcsymg 19234  toCycctocyc 32296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-csh 14739  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-efmnd 18750  df-symg 19235  df-tocyc 32297
This theorem is referenced by:  tocyc01  32308  cycpmco2f1  32314  cycpmco2rn  32315  cycpmco2lem1  32316  cycpmco2lem2  32317  cycpmco2lem3  32318  cycpmco2lem4  32319  cycpmco2lem5  32320  cycpmco2lem6  32321  cycpmco2lem7  32322  cycpmco2  32323  cycpm3cl2  32326  cycpmconjv  32332  tocyccntz  32334  cyc3evpm  32340  cycpmgcl  32343  cycpmconjslem2  32345  cyc3conja  32347
  Copyright terms: Public domain W3C validator