Theorem relexprnd 15081

Description: The range of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
relexprnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexprnd	⊢ (𝜑 → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)

Proof of Theorem relexprnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexprnd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		relexprn 15080	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V) → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
3	1, 2	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
4	3	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ V → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅))
5		reldmrelexp 15054	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↑𝑟
6	5	ovprc1 7449	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
7	6	rneqd 5928	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ran (𝑅↑𝑟𝑁) = ran ∅)
8		rn0 5916	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ran (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
10		0ss 4357	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∪ ∪ 𝑅
11	9, 10	eqsstrdi 3981	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
12	4, 11	pm2.61d1 182	1 ⊢ (𝜑 → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∪ cuni 4872  ran crn 5662  (class class class)co 7410  ℕ₀cn0 12499  ↑_𝑟crelexp 15052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-seq 14034  df-relexp 15053

This theorem is referenced by: (None)