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Theorem rrx2pnecoorneor 46891
Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then they are different at least at one coordinate. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2pnecoorneor.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrx2pnecoorneor ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))

Proof of Theorem rrx2pnecoorneor
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
2 rrx2pnecoorneor.i . . . . . . . . 9 𝐼 = {1, 2}
32raleqi 3310 . . . . . . . 8 (∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖))
4 1ex 11159 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
5 2ex 12238 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
6 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 → (𝑋𝑖) = (𝑋‘1))
7 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 → (𝑌𝑖) = (𝑌‘1))
86, 7eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → ((𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)))
9 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 2 → (𝑋𝑖) = (𝑋‘2))
10 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 2 → (𝑌𝑖) = (𝑌‘2))
119, 10eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 2 → ((𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
124, 5, 8, 11ralpr 4665 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
133, 12bitri 275 . . . . . . 7 (∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
141, 13sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖))
15 elmapfn 8809 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋 Fn 𝐼)
16 rrx2pnecoorneor.b . . . . . . . . . 10 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
1715, 16eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑃𝑋 Fn 𝐼)
18 elmapfn 8809 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑌 Fn 𝐼)
1918, 16eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑃𝑌 Fn 𝐼)
2017, 19anim12i 614 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼))
2120adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → (𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼))
22 eqfnfv 6986 . . . . . . 7 ((𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖)))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖)))
2414, 23mpbird 257 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → 𝑋 = 𝑌)
2524ex 414 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → 𝑋 = 𝑌))
2625necon3ad 2953 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝑌 → ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))))
27263impia 1118 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
28 neorian 3036 . 2 (((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ↔ ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
2927, 28sylibr 233 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  {cpr 4592   Fn wfn 6495  cfv 6500  (class class class)co 7361  m cmap 8771  cr 11058  1c1 11060  2c2 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-1cn 11117  ax-addcl 11119
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-2 12224
This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  46892  inlinecirc02p  46963
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