Theorem rrx2pnecoorneor 46791

Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then they are different at least at one coordinate. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))

Proof of Theorem rrx2pnecoorneor

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
2		rrx2pnecoorneor.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
3	2	raleqi 3311	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
4		1ex 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
5		2ex 12230	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ V
6		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘1))
7		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘1))
8	6, 7	eqeq12d 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)))
9		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘2))
10		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘2))
11	9, 10	eqeq12d 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
12	4, 5, 8, 11	ralpr 4661	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
13	3, 12	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
14	1, 13	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
15		elmapfn 8803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋 Fn 𝐼)
16		rrx2pnecoorneor.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
17	15, 16	eleq2s 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 Fn 𝐼)
18		elmapfn 8803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑌 Fn 𝐼)
19	18, 16	eleq2s 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 Fn 𝐼)
20	17, 19	anim12i 613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼))
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → (𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼))
22		eqfnfv 6982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖)))
24	14, 23	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → 𝑋 = 𝑌)
25	24	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → 𝑋 = 𝑌))
26	25	necon3ad 2956	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ≠ 𝑌 → ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))))
27	26	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
28		neorian 3039	. 2 ⊢ (((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ↔ ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
29	27, 28	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {cpr 4588   Fn wfn 6491  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  ℝcr 11050  1c1 11052  2c2 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-1cn 11109  ax-addcl 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8767  df-2 12216

This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  46792  inlinecirc02p  46863