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Theorem rrx2pnecoorneor 48565
Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then they are different at least at one coordinate. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2pnecoorneor.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrx2pnecoorneor ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))

Proof of Theorem rrx2pnecoorneor
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
2 rrx2pnecoorneor.i . . . . . . . . 9 𝐼 = {1, 2}
32raleqi 3322 . . . . . . . 8 (∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖))
4 1ex 11255 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
5 2ex 12341 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
6 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 → (𝑋𝑖) = (𝑋‘1))
7 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 → (𝑌𝑖) = (𝑌‘1))
86, 7eqeq12d 2751 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → ((𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)))
9 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 2 → (𝑋𝑖) = (𝑋‘2))
10 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 2 → (𝑌𝑖) = (𝑌‘2))
119, 10eqeq12d 2751 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 2 → ((𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
124, 5, 8, 11ralpr 4705 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
133, 12bitri 275 . . . . . . 7 (∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
141, 13sylibr 234 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖))
15 elmapfn 8904 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋 Fn 𝐼)
16 rrx2pnecoorneor.b . . . . . . . . . 10 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
1715, 16eleq2s 2857 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑃𝑋 Fn 𝐼)
18 elmapfn 8904 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑌 Fn 𝐼)
1918, 16eleq2s 2857 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑃𝑌 Fn 𝐼)
2017, 19anim12i 613 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼))
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → (𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼))
22 eqfnfv 7051 . . . . . . 7 ((𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖)))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖)))
2414, 23mpbird 257 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → 𝑋 = 𝑌)
2524ex 412 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → 𝑋 = 𝑌))
2625necon3ad 2951 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝑌 → ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))))
27263impia 1116 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
28 neorian 3035 . 2 (((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ↔ ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
2927, 28sylibr 234 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {cpr 4633   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cr 11152  1c1 11154  2c2 12319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-2 12327
This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  48566  inlinecirc02p  48637
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