Theorem rrx2pnecoorneor 48103

Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then they are different at least at one coordinate. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))

Proof of Theorem rrx2pnecoorneor

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
2		rrx2pnecoorneor.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
3	2	raleqi 3313	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
4		1ex 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
5		2ex 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ V
6		fveq2 6901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘1))
7		fveq2 6901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘1))
8	6, 7	eqeq12d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)))
9		fveq2 6901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘2))
10		fveq2 6901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘2))
11	9, 10	eqeq12d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
12	4, 5, 8, 11	ralpr 4709	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
13	3, 12	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
14	1, 13	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
15		elmapfn 8894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋 Fn 𝐼)
16		rrx2pnecoorneor.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
17	15, 16	eleq2s 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 Fn 𝐼)
18		elmapfn 8894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑌 Fn 𝐼)
19	18, 16	eleq2s 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 Fn 𝐼)
20	17, 19	anim12i 611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼))
21	20	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → (𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼))
22		eqfnfv 7044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖)))
24	14, 23	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → 𝑋 = 𝑌)
25	24	ex 411	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → 𝑋 = 𝑌))
26	25	necon3ad 2943	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ≠ 𝑌 → ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))))
27	26	3impia 1114	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
28		neorian 3027	. 2 ⊢ (((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ↔ ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
29	27, 28	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  {cpr 4635   Fn wfn 6549  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855  ℝcr 11157  1c1 11159  2c2 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-1cn 11216  ax-addcl 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-map 8857  df-2 12327

This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  48104  inlinecirc02p  48175