Theorem rrx2pnecoorneor 44709

Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then they are different at least at one coordinate. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))

Proof of Theorem rrx2pnecoorneor

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
2		rrx2pnecoorneor.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
3	2	raleqi 3416	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
4		1ex 10640	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
5		2ex 11717	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ V
6		fveq2 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘1))
7		fveq2 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘1))
8	6, 7	eqeq12d 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)))
9		fveq2 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘2))
10		fveq2 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘2))
11	9, 10	eqeq12d 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
12	4, 5, 8, 11	ralpr 4639	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
13	3, 12	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
14	1, 13	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
15		elmapfn 8432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋 Fn 𝐼)
16		rrx2pnecoorneor.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
17	15, 16	eleq2s 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 Fn 𝐼)
18		elmapfn 8432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑌 Fn 𝐼)
19	18, 16	eleq2s 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 Fn 𝐼)
20	17, 19	anim12i 614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼))
21	20	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → (𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼))
22		eqfnfv 6805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖)))
24	14, 23	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))) → 𝑋 = 𝑌)
25	24	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → 𝑋 = 𝑌))
26	25	necon3ad 3032	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ≠ 𝑌 → ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))))
27	26	3impia 1113	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
28		neorian 3114	. 2 ⊢ (((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ↔ ¬ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
29	27, 28	sylibr 236	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  {cpr 4572   Fn wfn 6353  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ↑_m cmap 8409  ℝcr 10539  1c1 10541  2c2 11695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-1cn 10598  ax-addcl 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-map 8411  df-2 11703

This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneor  44710  inlinecirc02p  44781