Theorem rrx2pnedifcoorneor 50034

Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then at least one difference of two corresponding coordinates is not 0. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
rrx2pnecoorneor.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2pnedifcoorneor.a	⊢ 𝐴 = ((𝑌‘0) − (𝑋‘0))
rrx2pnedifcoorneor.b	⊢ 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))

Assertion

Ref	Expression
rrx2pnedifcoorneor	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Proof of Theorem rrx2pnedifcoorneor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2pnecoorneor.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
2		rrx2pnecoorneor.b	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3	1, 2	rrx2pnecoorneor 50033	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
4		rrx2pnedifcoorneor.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((𝑌‘0) − (𝑋‘0))
5	4	neeq1i 3023	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) ≠ 0)
6		rrx2pnedifcoorneor.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
7	6	neeq1i 3023	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 0 ↔ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0)
8	5, 7	orbi12i 928	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0))
9	1, 2	rrx2pxel 50028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘0) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
11	1, 2	rrx2pxel 50028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘0) ∈ ℂ)
13		subeq0 11611	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘0) ∈ ℂ) → (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑋‘0)))
14	10, 12, 13	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑋‘0)))
15	14	necon3bid 3003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘0) ≠ (𝑋‘0)))
16	1, 2	rrx2pyel 50029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
18	1, 2	rrx2pyel 50029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
20		subeq0 11611	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘1) ∈ ℂ) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0 ↔ (𝑌‘1) = (𝑋‘1)))
21	17, 19, 20	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0 ↔ (𝑌‘1) = (𝑋‘1)))
22	21	necon3bid 3003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1)))
23	15, 22	orbi12d 932	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0) ↔ ((𝑌‘0) ≠ (𝑋‘0) ∨ (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1))))
24		necom 3012	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌‘0) ≠ (𝑋‘0) ↔ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0))
25		necom 3012	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ↔ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
26	24, 25	orbi12i 928	. . . . 5 ⊢ (((𝑌‘0) ≠ (𝑋‘0) ∨ (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1)) ↔ ((𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
27	23, 26	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0) ↔ ((𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))))
28	8, 27	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))))
29	28	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))))
30	3, 29	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   − cmin 11568  2c2 12424  ..^cfzo 13815

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816

This theorem is used by:  rrx2pnedifcoorneorr  50035