Theorem rrx2pnedifcoorneor 49221

Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then at least one difference of two corresponding coordinates is not 0. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2pnedifcoorneor.a	⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2pnedifcoorneor.b	⊢ 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))

Assertion

Ref	Expression
rrx2pnedifcoorneor	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Proof of Theorem rrx2pnedifcoorneor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2pnecoorneor.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		rrx2pnecoorneor.b	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3	1, 2	rrx2pnecoorneor 49220	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
4		rrx2pnedifcoorneor.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
5	4	neeq1i 3000	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0)
6		rrx2pnedifcoorneor.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
7	6	neeq1i 3000	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 0 ↔ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
8	5, 7	orbi12i 921	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0))
9	1, 2	rrx2pxel 49216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
11	1, 2	rrx2pxel 49216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
13		subeq0 11415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘1) ∈ ℂ) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0 ↔ (𝑌‘1) = (𝑋‘1)))
14	10, 12, 13	syl2anr 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0 ↔ (𝑌‘1) = (𝑋‘1)))
15	14	necon3bid 2980	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1)))
16	1, 2	rrx2pyel 49217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
18	1, 2	rrx2pyel 49217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
20		subeq0 11415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
21	17, 19, 20	syl2anr 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
22	21	necon3bid 2980	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2)))
23	15, 22	orbi12d 925	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ ((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ∨ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))))
24		necom 2989	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ↔ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
25		necom 2989	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
26	24, 25	orbi12i 921	. . . . 5 ⊢ (((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ∨ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2)) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
27	23, 26	bitrdi 289	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
28	8, 27	bitrid 285	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
29	28	3adant3 1139	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
30	3, 29	mpbird 259	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  {cpr 4560  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   − cmin 11372  2c2 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374  df-2 12239

This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneorr  49222