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Theorem rrx2pnedifcoorneor 44981
Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then at least one difference of two corresponding coordinates is not 0. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2pnecoorneor.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2pnedifcoorneor.a 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2pnedifcoorneor.b 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
Assertion
Ref Expression
rrx2pnedifcoorneor ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Proof of Theorem rrx2pnedifcoorneor
StepHypRef Expression
1 rrx2pnecoorneor.i . . 3 𝐼 = {1, 2}
2 rrx2pnecoorneor.b . . 3 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
31, 2rrx2pnecoorneor 44980 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
4 rrx2pnedifcoorneor.a . . . . . 6 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
54neeq1i 3078 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0)
6 rrx2pnedifcoorneor.b . . . . . 6 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
76neeq1i 3078 . . . . 5 (𝐵 ≠ 0 ↔ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
85, 7orbi12i 912 . . . 4 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0))
91, 2rrx2pxel 44976 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
109recnd 10661 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
111, 2rrx2pxel 44976 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
1211recnd 10661 . . . . . . . 8 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
13 subeq0 10904 . . . . . . . 8 (((𝑌‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘1) ∈ ℂ) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0 ↔ (𝑌‘1) = (𝑋‘1)))
1410, 12, 13syl2anr 599 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0 ↔ (𝑌‘1) = (𝑋‘1)))
1514necon3bid 3058 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1)))
161, 2rrx2pyel 44977 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
1716recnd 10661 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
181, 2rrx2pyel 44977 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
1918recnd 10661 . . . . . . . 8 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
20 subeq0 10904 . . . . . . . 8 (((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
2117, 19, 20syl2anr 599 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
2221necon3bid 3058 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2)))
2315, 22orbi12d 916 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ ((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ∨ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))))
24 necom 3067 . . . . . 6 ((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ↔ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
25 necom 3067 . . . . . 6 ((𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
2624, 25orbi12i 912 . . . . 5 (((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ∨ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2)) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
2723, 26syl6bb 290 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
288, 27syl5bb 286 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
29283adant3 1129 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
303, 29mpbird 260 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  {cpr 4551  cfv 6343  (class class class)co 7145  m cmap 8396  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530  cmin 10862  2c2 11685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-2 11693
This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneorr  44982
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