Theorem rrx2pnedifcoorneor 47402

Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then at least one difference of two corresponding coordinates is not 0. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2pnedifcoorneor.a	⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2pnedifcoorneor.b	⊢ 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))

Assertion

Ref	Expression
rrx2pnedifcoorneor	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Proof of Theorem rrx2pnedifcoorneor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2pnecoorneor.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		rrx2pnecoorneor.b	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3	1, 2	rrx2pnecoorneor 47401	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
4		rrx2pnedifcoorneor.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
5	4	neeq1i 3006	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0)
6		rrx2pnedifcoorneor.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
7	6	neeq1i 3006	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 0 ↔ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
8	5, 7	orbi12i 914	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0))
9	1, 2	rrx2pxel 47397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
11	1, 2	rrx2pxel 47397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
13		subeq0 11486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘1) ∈ ℂ) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0 ↔ (𝑌‘1) = (𝑋‘1)))
14	10, 12, 13	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0 ↔ (𝑌‘1) = (𝑋‘1)))
15	14	necon3bid 2986	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1)))
16	1, 2	rrx2pyel 47398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
18	1, 2	rrx2pyel 47398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
20		subeq0 11486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
21	17, 19, 20	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
22	21	necon3bid 2986	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2)))
23	15, 22	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ ((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ∨ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))))
24		necom 2995	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ↔ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
25		necom 2995	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
26	24, 25	orbi12i 914	. . . . 5 ⊢ (((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ∨ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2)) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
27	23, 26	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
28	8, 27	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
29	28	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
30	3, 29	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  {cpr 4631  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   − cmin 11444  2c2 12267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-2 12275

This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneorr  47403