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Theorem rrx2pnedifcoorneor 46892
Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then at least one difference of two corresponding coordinates is not 0. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2pnecoorneor.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2pnedifcoorneor.a 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2pnedifcoorneor.b 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
Assertion
Ref Expression
rrx2pnedifcoorneor ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Proof of Theorem rrx2pnedifcoorneor
StepHypRef Expression
1 rrx2pnecoorneor.i . . 3 𝐼 = {1, 2}
2 rrx2pnecoorneor.b . . 3 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
31, 2rrx2pnecoorneor 46891 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
4 rrx2pnedifcoorneor.a . . . . . 6 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
54neeq1i 3005 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0)
6 rrx2pnedifcoorneor.b . . . . . 6 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
76neeq1i 3005 . . . . 5 (𝐵 ≠ 0 ↔ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
85, 7orbi12i 914 . . . 4 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0))
91, 2rrx2pxel 46887 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
109recnd 11191 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
111, 2rrx2pxel 46887 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
1211recnd 11191 . . . . . . . 8 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
13 subeq0 11435 . . . . . . . 8 (((𝑌‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘1) ∈ ℂ) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0 ↔ (𝑌‘1) = (𝑋‘1)))
1410, 12, 13syl2anr 598 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0 ↔ (𝑌‘1) = (𝑋‘1)))
1514necon3bid 2985 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1)))
161, 2rrx2pyel 46888 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
1716recnd 11191 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
181, 2rrx2pyel 46888 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
1918recnd 11191 . . . . . . . 8 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
20 subeq0 11435 . . . . . . . 8 (((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
2117, 19, 20syl2anr 598 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
2221necon3bid 2985 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2)))
2315, 22orbi12d 918 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ ((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ∨ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))))
24 necom 2994 . . . . . 6 ((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ↔ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
25 necom 2994 . . . . . 6 ((𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
2624, 25orbi12i 914 . . . . 5 (((𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1) ∨ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2)) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
2723, 26bitrdi 287 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
288, 27bitrid 283 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
29283adant3 1133 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
303, 29mpbird 257 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  {cpr 4592  cfv 6500  (class class class)co 7361  m cmap 8771  cc 11057  cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  cmin 11393  2c2 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395  df-2 12224
This theorem is referenced by:  rrx2pnedifcoorneorr  46893
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