inlinecirc02p - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem inlinecirc02p 48760

Description: Intersection of a line with a circle: A line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 9-May-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
inlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
inlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
inlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
inlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
inlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
inlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
inlinecirc02p.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

**Assertion**
Ref	Expression
inlinecirc02p	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairs_proper‘𝑃))

Proof of Theorem inlinecirc02p Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inlinecirc02p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
2	1	ovexi 7387	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑃 ∈ V)
4		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
7		inlinecirc02p.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
8	7, 1	rrx2pxel 48684	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
11	7, 1	rrx2pyel 48685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
14	7, 1	rrx2pxel 48684	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
17	7, 1	rrx2pyel 48685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
18	17	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
20		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
21		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
22		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))
23		rpre 12920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
25	24	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
26		inlinecirc02p.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
27		2nn0 12419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
28		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (𝔼_hil‘2)
29	28	ehlval 25330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℕ₀ → (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘(1...2)))
30	27, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘(1...2))
31		fz12pr 13502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...2) = {1, 2}
32	31, 7	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...2) = 𝐼
33	32	fveq2i 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ^‘(1...2)) = (ℝ^‘𝐼)
34	30, 33	eqtri 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘𝐼)
35	26, 34	eqtr4i 2755	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝔼_hil‘2)
36	7	oveq2i 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ↑_m 𝐼) = (ℝ ↑_m {1, 2})
37	1, 36	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m {1, 2})
38		inlinecirc02p.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
39		inlinecirc02p.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
40	7	xpeq1i 5649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 × {0}) = ({1, 2} × {0})
41	39, 40	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
42	35, 37, 38, 41	ehl2eudis0lt 48699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
43	42	3ad2antl1 1186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
44	43	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
45	44	impr 454	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
46	7, 1	rrx2pnecoorneor 48688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
47	46	orcomd 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
49		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) = ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))
50		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2))
51	10, 13, 16, 19, 20, 21, 22, 25, 45, 48, 49, 50	2itscp 48754	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)))
52	14	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
54	8	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
56	11	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
58	53, 55, 57	subdird 11595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) = (((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))))
59	17	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
61	57, 60, 55	subdird 11595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)) = (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1))))
62	58, 61	oveq12d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = ((((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)))))
63	53, 57	mulcomd 11155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) = ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)))
64	63	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))))
65	57, 55	mulcomd 11155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) = ((𝑋‘1) · (𝑋‘2)))
66	60, 55	mulcomd 11155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)) = ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
67	65, 66	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
68	64, 67	oveq12d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)))) = ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
69	57, 53	mulcld 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ)
70	55, 57	mulcld 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
71	55, 60	mulcld 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
72	69, 70, 71	npncand 11517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
73	62, 68, 72	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
74	73	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
75	74	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
76	75	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))))
77	76	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) = (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2))
78	77	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)))
79	51, 78	breqtrrd 5123	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)))
80		inlinecirc02p.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
81		inlinecirc02p.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
82		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2))
83		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
84	7, 26, 1, 80, 39, 81, 49, 82, 21, 20, 83	inlinecirc02plem 48759	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)))) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
85	4, 6, 79, 84	syl12anc 836	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
86		prprelprb 47502	. 2 ⊢ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairs_proper‘𝑃) ↔ (𝑃 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
87	3, 85, 86	sylanbrc 583	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairs_proper‘𝑃))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∃wrex 3053 Vcvv 3438 ∩ cin 3904 {csn 4579 {cpr 4581 class class class wbr 5095 × cxp 5621 ‘cfv 6486 (class class class)co 7353 ↑_m cmap 8760 ℂcc 11026 ℝcr 11027 0cc0 11028 1c1 11029 + caddc 11031 · cmul 11033 < clt 11168 − cmin 11365 2c2 12201 ℕ₀cn0 12402 ℝ⁺crp 12911 ...cfz 13428 ↑cexp 13986 distcds 17188 ℝ^crrx 25299 𝔼_hilcehl 25300 Pairs_propercprpr 47497 Line_Mcline 48700 Spherecsph 48701

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5221 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7675 ax-inf2 9556 ax-cnex 11084 ax-resscn 11085 ax-1cn 11086 ax-icn 11087 ax-addcl 11088 ax-addrcl 11089 ax-mulcl 11090 ax-mulrcl 11091 ax-mulcom 11092 ax-addass 11093 ax-mulass 11094 ax-distr 11095 ax-i2m1 11096 ax-1ne0 11097 ax-1rid 11098 ax-rnegex 11099 ax-rrecex 11100 ax-cnre 11101 ax-pre-lttri 11102 ax-pre-lttrn 11103 ax-pre-ltadd 11104 ax-pre-mulgt0 11105 ax-pre-sup 11106 ax-addf 11107 ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3397 df-v 3440 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4479 df-pw 4555 df-sn 4580 df-pr 4582 df-tp 4584 df-op 4586 df-uni 4862 df-int 4900 df-iun 4946 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5518 df-eprel 5523 df-po 5531 df-so 5532 df-fr 5576 df-se 5577 df-we 5578 df-xp 5629 df-rel 5630 df-cnv 5631 df-co 5632 df-dm 5633 df-rn 5634 df-res 5635 df-ima 5636 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-isom 6495 df-riota 7310 df-ov 7356 df-oprab 7357 df-mpo 7358 df-of 7617 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-supp 8101 df-tpos 8166 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-2o 8396 df-er 8632 df-map 8762 df-ixp 8832 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-fin 8883 df-fsupp 9271 df-sup 9351 df-oi 9421 df-card 9854 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11367 df-neg 11368 df-div 11796 df-nn 12147 df-2 12209 df-3 12210 df-4 12211 df-5 12212 df-6 12213 df-7 12214 df-8 12215 df-9 12216 df-n0 12403 df-z 12490 df-dec 12610 df-uz 12754 df-rp 12912 df-xneg 13032 df-xadd 13033 df-xmul 13034 df-ico 13272 df-icc 13273 df-fz 13429 df-fzo 13576 df-seq 13927 df-exp 13987 df-hash 14256 df-cj 15024 df-re 15025 df-im 15026 df-sqrt 15160 df-abs 15161 df-clim 15413 df-sum 15612 df-struct 17076 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17139 df-ress 17160 df-plusg 17192 df-mulr 17193 df-starv 17194 df-sca 17195 df-vsca 17196 df-ip 17197 df-tset 17198 df-ple 17199 df-ds 17201 df-unif 17202 df-hom 17203 df-cco 17204 df-0g 17363 df-gsum 17364 df-prds 17369 df-pws 17371 df-mgm 18532 df-sgrp 18611 df-mnd 18627 df-mhm 18675 df-grp 18833 df-minusg 18834 df-sbg 18835 df-subg 19020 df-ghm 19110 df-cntz 19214 df-cmn 19679 df-abl 19680 df-mgp 20044 df-rng 20056 df-ur 20085 df-ring 20138 df-cring 20139 df-oppr 20240 df-dvdsr 20260 df-unit 20261 df-invr 20291 df-dvr 20304 df-rhm 20375 df-subrng 20449 df-subrg 20473 df-drng 20634 df-field 20635 df-staf 20742 df-srng 20743 df-lmod 20783 df-lss 20853 df-sra 21095 df-rgmod 21096 df-xmet 21272 df-met 21273 df-cnfld 21280 df-refld 21530 df-dsmm 21657 df-frlm 21672 df-nm 24486 df-tng 24488 df-tcph 25085 df-rrx 25301 df-ehl 25302 df-prpr 47498 df-line 48702 df-sph 48703

This theorem is referenced by: inlinecirc02preu 48761

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