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Theorem inlinecirc02p 48713
Description: Intersection of a line with a circle: A line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 9-May-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
inlinecirc02p.i 𝐼 = {1, 2}
inlinecirc02p.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
inlinecirc02p.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
inlinecirc02p.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
inlinecirc02p.0 0 = (𝐼 × {0})
inlinecirc02p.l 𝐿 = (LineM𝐸)
inlinecirc02p.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
inlinecirc02p (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairsproper𝑃))

Proof of Theorem inlinecirc02p
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inlinecirc02p.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
21ovexi 7466 . . 3 𝑃 ∈ V
32a1i 11 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑃 ∈ V)
4 simpl 482 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
5 simpl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ+)
65adantl 481 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
7 inlinecirc02p.i . . . . . . . 8 𝐼 = {1, 2}
87, 1rrx2pxel 48637 . . . . . . 7 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
983ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
117, 1rrx2pyel 48638 . . . . . . 7 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
12113ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
147, 1rrx2pxel 48637 . . . . . . 7 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
15143ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
177, 1rrx2pyel 48638 . . . . . . 7 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
18173ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
20 eqid 2736 . . . . 5 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
21 eqid 2736 . . . . 5 ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
22 eqid 2736 . . . . 5 ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))
23 rpre 13044 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
2524adantl 481 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
26 inlinecirc02p.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
27 2nn0 12545 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
28 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝔼hil‘2) = (𝔼hil‘2)
2928ehlval 25449 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2)))
3027, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2))
31 fz12pr 13622 . . . . . . . . . . . . 13 (1...2) = {1, 2}
3231, 7eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = 𝐼
3332fveq2i 6908 . . . . . . . . . . 11 (ℝ^‘(1...2)) = (ℝ^‘𝐼)
3430, 33eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘𝐼)
3526, 34eqtr4i 2767 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝔼hil‘2)
367oveq2i 7443 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
371, 36eqtri 2764 . . . . . . . . 9 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
38 inlinecirc02p.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘𝐸)
39 inlinecirc02p.0 . . . . . . . . . 10 0 = (𝐼 × {0})
407xpeq1i 5710 . . . . . . . . . 10 (𝐼 × {0}) = ({1, 2} × {0})
4139, 40eqtri 2764 . . . . . . . . 9 0 = ({1, 2} × {0})
4235, 37, 38, 41ehl2eudis0lt 48652 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
43423ad2antl1 1185 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
4443biimpd 229 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
4544impr 454 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
467, 1rrx2pnecoorneor 48641 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
4746orcomd 871 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
4847adantr 480 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
49 eqid 2736 . . . . 5 ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) = ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))
50 eqid 2736 . . . . 5 (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2))
5110, 13, 16, 19, 20, 21, 22, 25, 45, 48, 49, 502itscp 48707 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)))
5214recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
548recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
5611recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
5853, 55, 57subdird 11721 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) = (((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))))
5917recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
6157, 60, 55subdird 11721 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)) = (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1))))
6258, 61oveq12d 7450 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = ((((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)))))
6353, 57mulcomd 11283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) = ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)))
6463oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))))
6557, 55mulcomd 11283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) = ((𝑋‘1) · (𝑋‘2)))
6660, 55mulcomd 11283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)) = ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
6765, 66oveq12d 7450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
6864, 67oveq12d 7450 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)))) = ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
6957, 53mulcld 11282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ)
7055, 57mulcld 11282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
7155, 60mulcld 11282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
7269, 70, 71npncand 11645 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
7362, 68, 723eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
74733adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
7574adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
7675eqcomd 2742 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))))
7776oveq1d 7447 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) = (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2))
7877oveq2d 7448 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)))
7951, 78breqtrrd 5170 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)))
80 inlinecirc02p.s . . . 4 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
81 inlinecirc02p.l . . . 4 𝐿 = (LineM𝐸)
82 eqid 2736 . . . 4 (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2))
83 eqid 2736 . . . 4 (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
847, 26, 1, 80, 39, 81, 49, 82, 21, 20, 83inlinecirc02plem 48712 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)))) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
854, 6, 79, 84syl12anc 836 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
86 prprelprb 47509 . 2 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairsproper𝑃) ↔ (𝑃 ∈ V ∧ ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)))
873, 85, 86sylanbrc 583 1 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairsproper𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069  Vcvv 3479  cin 3949  {csn 4625  {cpr 4627   class class class wbr 5142   × cxp 5682  cfv 6560  (class class class)co 7432  m cmap 8867  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cmin 11493  2c2 12322  0cn0 12528  +crp 13035  ...cfz 13548  cexp 14103  distcds 17307  ℝ^crrx 25418  𝔼hilcehl 25419  Pairspropercprpr 47504  LineMcline 48653  Spherecsph 48654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-field 20733  df-staf 20841  df-srng 20842  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-xmet 21358  df-met 21359  df-cnfld 21366  df-refld 21624  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-nm 24596  df-tng 24598  df-tcph 25204  df-rrx 25420  df-ehl 25421  df-prpr 47505  df-line 48655  df-sph 48656
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