Theorem inlinecirc02p 50104

Description: Intersection of a line with a circle: A line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 9-May-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
inlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
inlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
inlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
inlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
inlinecirc02p.0	⊢ 0 = ⟨“00”⟩
inlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
inlinecirc02p.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
inlinecirc02p	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairsproper‘𝑃))

Proof of Theorem inlinecirc02p

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inlinecirc02p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2	1	ovexi 7477	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑃 ∈ V)
4		simpl 488	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
5		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ+)
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
7		inlinecirc02p.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
8	7, 1	rrx2pxel 50028	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
11	7, 1	rrx2pyel 50029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
14	7, 1	rrx2pxel 50028	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘0) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘0) ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘0) ∈ ℝ)
17	7, 1	rrx2pyel 50029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
18	17	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
20		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) = ((𝑌‘0) − (𝑋‘0))
21		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) = ((𝑋‘1) − (𝑌‘1))
22		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑋‘1)) + (((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) · (𝑋‘0))) = ((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑋‘1)) + (((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) · (𝑋‘0)))
23		rpre 13156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
25	24	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
26	7	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^2) = 𝐼
27	26	fveq2i 6911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ^‘(0..^2)) = (ℝ^‘𝐼)
28		2nn0 12650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
29		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝔼hil‘2) = (𝔼hil‘2)
30	29	ehlval 25765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(0..^2)))
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(0..^2))
32		inlinecirc02p.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
33	27, 31, 32	3eqtr4ri 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
34	7	oveq2i 7454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m (0..^2))
35	1, 34	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m (0..^2))
36		inlinecirc02p.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
37		inlinecirc02p.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = ⟨“00”⟩
38	33, 35, 36, 37	ehl2eudis0lt 50044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) < (𝑅↑2)))
39	38	3ad2antl1 1204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) < (𝑅↑2)))
40	39	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 → (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) < (𝑅↑2)))
41	40	impr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) < (𝑅↑2))
42	7, 1	rrx2pnecoorneor 50033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
43	42	orcomd 885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)))
44	43	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)))
45		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2)) = ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2))
46		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2))) − (((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑋‘1)) + (((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) · (𝑋‘0)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2))) − (((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑋‘1)) + (((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) · (𝑋‘0)))↑2))
47	10, 13, 16, 19, 20, 21, 22, 25, 41, 44, 45, 46	2itscp 50098	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2))) − (((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑋‘1)) + (((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) · (𝑋‘0)))↑2)))
48	14	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
49	48	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
50	8	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘0) ∈ ℂ)
51	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘0) ∈ ℂ)
52	11	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
54	49, 51, 53	subdird 11800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑋‘1)) = (((𝑌‘0) · (𝑋‘1)) − ((𝑋‘0) · (𝑋‘1))))
55	17	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
56	55	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
57	53, 56, 51	subdird 11800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) · (𝑋‘0)) = (((𝑋‘1) · (𝑋‘0)) − ((𝑌‘1) · (𝑋‘0))))
58	54, 57	oveq12d 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑋‘1)) + (((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) · (𝑋‘0))) = ((((𝑌‘0) · (𝑋‘1)) − ((𝑋‘0) · (𝑋‘1))) + (((𝑋‘1) · (𝑋‘0)) − ((𝑌‘1) · (𝑋‘0)))))
59	49, 53	mulcomd 11357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘0) · (𝑋‘1)) = ((𝑋‘1) · (𝑌‘0)))
60	59	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘0) · (𝑋‘1)) − ((𝑋‘0) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑋‘1))))
61	53, 51	mulcomd 11357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑋‘0)) = ((𝑋‘0) · (𝑋‘1)))
62	56, 51	mulcomd 11357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) · (𝑋‘0)) = ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))
63	61, 62	oveq12d 7461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘1) · (𝑋‘0)) − ((𝑌‘1) · (𝑋‘0))) = (((𝑋‘0) · (𝑋‘1)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))
64	60, 63	oveq12d 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘0) · (𝑋‘1)) − ((𝑋‘0) · (𝑋‘1))) + (((𝑋‘1) · (𝑋‘0)) − ((𝑌‘1) · (𝑋‘0)))) = ((((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑋‘1))) + (((𝑋‘0) · (𝑋‘1)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))))
65	53, 49	mulcld 11356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) ∈ ℂ)
66	51, 53	mulcld 11356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘0) · (𝑋‘1)) ∈ ℂ)
67	51, 56	mulcld 11356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ)
68	65, 66, 67	npncand 11720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑋‘1))) + (((𝑋‘0) · (𝑋‘1)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))) = (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))
69	58, 64, 68	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑋‘1)) + (((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) · (𝑋‘0))) = (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))
70	69	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑋‘1)) + (((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) · (𝑋‘0))) = (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))
71	70	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑋‘1)) + (((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) · (𝑋‘0))) = (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))
72	71	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))) = ((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑋‘1)) + (((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) · (𝑋‘0))))
73	72	oveq1d 7458	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))↑2) = (((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑋‘1)) + (((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) · (𝑋‘0)))↑2))
74	73	oveq2d 7459	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2))) − ((((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2))) − (((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑋‘1)) + (((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) · (𝑋‘0)))↑2)))
75	47, 74	breqtrrd 5136	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2))) − ((((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))↑2)))
76		inlinecirc02p.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
77		inlinecirc02p.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
78		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2))) − ((((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2))) − ((((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))↑2))
79		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))) = (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))
80	7, 32, 1, 76, 37, 77, 45, 78, 21, 20, 79	inlinecirc02plem 50103	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2))) − ((((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))↑2)))) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
81	4, 6, 75, 80	syl12anc 850	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
82		prprelprb 48804	. 2 ⊢ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairsproper‘𝑃) ↔ (𝑃 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
83	3, 81, 82	sylanbrc 595	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairsproper‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ∩ cin 4092  {cpr 4590   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   − cmin 11568  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ℝ⁺crp 13147  ..^cfzo 13815  ↑cexp 14231  ⟨“cs2 15020  distcds 17466  ℝ^crrx 25734  𝔼_hilcehl 25735  Pairs_propercprpr 48799  Line_Mcline 50045  Spherecsph 50046

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-substr 14817  df-pfx 14849  df-s2 15027  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-dvr 20661  df-rhm 20732  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-drng 21012  df-field 21013  df-staf 21126  df-srng 21127  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-xmet 21701  df-met 21702  df-cnfld 21709  df-refld 21941  df-dsmm 22068  df-frlm 22083  df-nm 24931  df-tng 24933  df-tcph 25520  df-rrx 25736  df-ehl 25737  df-prpr 48800  df-line 50047  df-sph 50048

This theorem is used by:  inlinecirc02preu  50105