inlinecirc02p - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem inlinecirc02p 49221

Description: Intersection of a line with a circle: A line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 9-May-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
inlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
inlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
inlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
inlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
inlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
inlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
inlinecirc02p.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

**Assertion**
Ref	Expression
inlinecirc02p	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairs_proper‘𝑃))

Proof of Theorem inlinecirc02p Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inlinecirc02p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
2	1	ovexi 7392	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑃 ∈ V)
4		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
7		inlinecirc02p.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
8	7, 1	rrx2pxel 49145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
11	7, 1	rrx2pyel 49146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
14	7, 1	rrx2pxel 49145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
17	7, 1	rrx2pyel 49146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
18	17	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))
23		rpre 12915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
25	24	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
26		inlinecirc02p.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
27		2nn0 12419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
28		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (𝔼_hil‘2)
29	28	ehlval 25359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℕ₀ → (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘(1...2)))
30	27, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘(1...2))
31		fz12pr 13498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...2) = {1, 2}
32	31, 7	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...2) = 𝐼
33	32	fveq2i 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ^‘(1...2)) = (ℝ^‘𝐼)
34	30, 33	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘𝐼)
35	26, 34	eqtr4i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝔼_hil‘2)
36	7	oveq2i 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ↑_m 𝐼) = (ℝ ↑_m {1, 2})
37	1, 36	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m {1, 2})
38		inlinecirc02p.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
39		inlinecirc02p.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
40	7	xpeq1i 5648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 × {0}) = ({1, 2} × {0})
41	39, 40	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
42	35, 37, 38, 41	ehl2eudis0lt 49160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
43	42	3ad2antl1 1187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
44	43	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
45	44	impr 454	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
46	7, 1	rrx2pnecoorneor 49149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
47	46	orcomd 872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
49		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) = ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))
50		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2))
51	10, 13, 16, 19, 20, 21, 22, 25, 45, 48, 49, 50	2itscp 49215	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)))
52	14	recnd 11161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
54	8	recnd 11161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
56	11	recnd 11161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
58	53, 55, 57	subdird 11595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) = (((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))))
59	17	recnd 11161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
61	57, 60, 55	subdird 11595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)) = (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1))))
62	58, 61	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = ((((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)))))
63	53, 57	mulcomd 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) = ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)))
64	63	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))))
65	57, 55	mulcomd 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) = ((𝑋‘1) · (𝑋‘2)))
66	60, 55	mulcomd 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)) = ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
67	65, 66	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
68	64, 67	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)))) = ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
69	57, 53	mulcld 11153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ)
70	55, 57	mulcld 11153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
71	55, 60	mulcld 11153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
72	69, 70, 71	npncand 11517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
73	62, 68, 72	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
74	73	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
75	74	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
76	75	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))))
77	76	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) = (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2))
78	77	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)))
79	51, 78	breqtrrd 5114	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)))
80		inlinecirc02p.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
81		inlinecirc02p.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
82		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2))
83		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
84	7, 26, 1, 80, 39, 81, 49, 82, 21, 20, 83	inlinecirc02plem 49220	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)))) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
85	4, 6, 79, 84	syl12anc 837	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
86		prprelprb 47951	. 2 ⊢ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairs_proper‘𝑃) ↔ (𝑃 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
87	3, 85, 86	sylanbrc 584	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairs_proper‘𝑃))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 848 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∃wrex 3062 Vcvv 3430 ∩ cin 3889 {csn 4568 {cpr 4570 class class class wbr 5086 × cxp 5620 ‘cfv 6490 (class class class)co 7358 ↑_m cmap 8764 ℂcc 11025 ℝcr 11026 0cc0 11027 1c1 11028 + caddc 11030 · cmul 11032 < clt 11167 − cmin 11365 2c2 12201 ℕ₀cn0 12402 ℝ⁺crp 12906 ...cfz 13424 ↑cexp 13985 distcds 17187 ℝ^crrx 25328 𝔼_hilcehl 25329 Pairs_propercprpr 47946 Line_Mcline 49161 Spherecsph 49162

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5300 ax-pr 5368 ax-un 7680 ax-inf2 9551 ax-cnex 11083 ax-resscn 11084 ax-1cn 11085 ax-icn 11086 ax-addcl 11087 ax-addrcl 11088 ax-mulcl 11089 ax-mulrcl 11090 ax-mulcom 11091 ax-addass 11092 ax-mulass 11093 ax-distr 11094 ax-i2m1 11095 ax-1ne0 11096 ax-1rid 11097 ax-rnegex 11098 ax-rrecex 11099 ax-cnre 11100 ax-pre-lttri 11101 ax-pre-lttrn 11102 ax-pre-ltadd 11103 ax-pre-mulgt0 11104 ax-pre-sup 11105 ax-addf 11106 ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-tp 4573 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-se 5576 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-isom 6499 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7622 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-supp 8102 df-tpos 8167 df-frecs 8222 df-wrecs 8253 df-recs 8302 df-rdg 8340 df-1o 8396 df-2o 8397 df-er 8634 df-map 8766 df-ixp 8837 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-fin 8888 df-fsupp 9266 df-sup 9346 df-oi 9416 df-card 9852 df-pnf 11169 df-mnf 11170 df-xr 11171 df-ltxr 11172 df-le 11173 df-sub 11367 df-neg 11368 df-div 11796 df-nn 12147 df-2 12209 df-3 12210 df-4 12211 df-5 12212 df-6 12213 df-7 12214 df-8 12215 df-9 12216 df-n0 12403 df-z 12490 df-dec 12609 df-uz 12753 df-rp 12907 df-xneg 13027 df-xadd 13028 df-xmul 13029 df-ico 13268 df-icc 13269 df-fz 13425 df-fzo 13572 df-seq 13926 df-exp 13986 df-hash 14255 df-cj 15023 df-re 15024 df-im 15025 df-sqrt 15159 df-abs 15160 df-clim 15412 df-sum 15611 df-struct 17075 df-sets 17092 df-slot 17110 df-ndx 17122 df-base 17138 df-ress 17159 df-plusg 17191 df-mulr 17192 df-starv 17193 df-sca 17194 df-vsca 17195 df-ip 17196 df-tset 17197 df-ple 17198 df-ds 17200 df-unif 17201 df-hom 17202 df-cco 17203 df-0g 17362 df-gsum 17363 df-prds 17368 df-pws 17370 df-mgm 18566 df-sgrp 18645 df-mnd 18661 df-mhm 18709 df-grp 18870 df-minusg 18871 df-sbg 18872 df-subg 19057 df-ghm 19146 df-cntz 19250 df-cmn 19715 df-abl 19716 df-mgp 20080 df-rng 20092 df-ur 20121 df-ring 20174 df-cring 20175 df-oppr 20275 df-dvdsr 20295 df-unit 20296 df-invr 20326 df-dvr 20339 df-rhm 20410 df-subrng 20481 df-subrg 20505 df-drng 20666 df-field 20667 df-staf 20774 df-srng 20775 df-lmod 20815 df-lss 20885 df-sra 21127 df-rgmod 21128 df-xmet 21304 df-met 21305 df-cnfld 21312 df-refld 21562 df-dsmm 21689 df-frlm 21704 df-nm 24525 df-tng 24527 df-tcph 25114 df-rrx 25330 df-ehl 25331 df-prpr 47947 df-line 49163 df-sph 49164

This theorem is referenced by: inlinecirc02preu 49222

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