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Theorem inlinecirc02p 46190
Description: Intersection of a line with a circle: A line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 9-May-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
inlinecirc02p.i 𝐼 = {1, 2}
inlinecirc02p.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
inlinecirc02p.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
inlinecirc02p.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
inlinecirc02p.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
inlinecirc02p.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
inlinecirc02p.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
inlinecirc02p (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ∈ (Pairsproperβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem inlinecirc02p
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inlinecirc02p.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
21ovexi 7337 . . 3 𝑃 ∈ V
32a1i 11 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ V)
4 simpl 484 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ))
5 simpl 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
65adantl 483 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
7 inlinecirc02p.i . . . . . . . 8 𝐼 = {1, 2}
87, 1rrx2pxel 46114 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
983ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
109adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
117, 1rrx2pyel 46115 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
12113ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
1312adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
147, 1rrx2pxel 46114 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
15143ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
1615adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
177, 1rrx2pyel 46115 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
18173ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
1918adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
20 eqid 2736 . . . . 5 ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
21 eqid 2736 . . . . 5 ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) = ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))
22 eqid 2736 . . . . 5 ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))
23 rpre 12780 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2423adantr 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2524adantl 483 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
26 inlinecirc02p.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
27 2nn0 12292 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
28 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝔼hilβ€˜2) = (𝔼hilβ€˜2)
2928ehlval 24619 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2)))
3027, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2))
31 fz12pr 13355 . . . . . . . . . . . . 13 (1...2) = {1, 2}
3231, 7eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = 𝐼
3332fveq2i 6803 . . . . . . . . . . 11 (ℝ^β€˜(1...2)) = (ℝ^β€˜πΌ)
3430, 33eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜πΌ)
3526, 34eqtr4i 2767 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
367oveq2i 7314 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
371, 36eqtri 2764 . . . . . . . . 9 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
38 inlinecirc02p.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
39 inlinecirc02p.0 . . . . . . . . . 10 0 = (𝐼 Γ— {0})
407xpeq1i 5622 . . . . . . . . . 10 (𝐼 Γ— {0}) = ({1, 2} Γ— {0})
4139, 40eqtri 2764 . . . . . . . . 9 0 = ({1, 2} Γ— {0})
4235, 37, 38, 41ehl2eudis0lt 46129 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
43423ad2antl1 1185 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
4443biimpd 228 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
4544impr 456 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))
467, 1rrx2pnecoorneor 46118 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1) ∨ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)))
4746orcomd 869 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2) ∨ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)))
4847adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2) ∨ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)))
49 eqid 2736 . . . . 5 ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) = ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))
50 eqid 2736 . . . . 5 (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2)) = (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2))
5110, 13, 16, 19, 20, 21, 22, 25, 45, 48, 49, 502itscp 46184 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2)))
5214recnd 11045 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ β„‚)
5352adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ β„‚)
548recnd 11045 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ β„‚)
5554adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ β„‚)
5611recnd 11045 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ β„‚)
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ β„‚)
5853, 55, 57subdird 11474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) = (((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))))
5917recnd 11045 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ β„‚)
6059adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ β„‚)
6157, 60, 55subdird 11474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1))))
6258, 61oveq12d 7321 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = ((((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)))))
6353, 57mulcomd 11038 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) = ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)))
6463oveq1d 7318 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))))
6557, 55mulcomd 11038 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) = ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)))
6660, 55mulcomd 11038 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) = ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
6765, 66oveq12d 7321 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
6864, 67oveq12d 7321 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)))) = ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))
6957, 53mulcld 11037 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) ∈ β„‚)
7055, 57mulcld 11037 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) ∈ β„‚)
7155, 60mulcld 11037 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)) ∈ β„‚)
7269, 70, 71npncand 11398 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
7362, 68, 723eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
74733adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
7574adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
7675eqcomd 2742 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))))
7776oveq1d 7318 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) = (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2))
7877oveq2d 7319 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)) = (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2)))
7951, 78breqtrrd 5109 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)))
80 inlinecirc02p.s . . . 4 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
81 inlinecirc02p.l . . . 4 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
82 eqid 2736 . . . 4 (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)) = (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2))
83 eqid 2736 . . . 4 (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
847, 26, 1, 80, 39, 81, 49, 82, 21, 20, 83inlinecirc02plem 46189 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
854, 6, 79, 84syl12anc 835 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
86 prprelprb 45026 . 2 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ∈ (Pairsproperβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑃 ∈ V ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)))
873, 85, 86sylanbrc 584 1 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ∈ (Pairsproperβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3437   ∩ cin 3891  {csn 4565  {cpr 4567   class class class wbr 5081   Γ— cxp 5594  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   ↑m cmap 8642  β„‚cc 10911  β„cr 10912  0cc0 10913  1c1 10914   + caddc 10916   Β· cmul 10918   < clt 11051   βˆ’ cmin 11247  2c2 12070  β„•0cn0 12275  β„+crp 12772  ...cfz 13281  β†‘cexp 13824  distcds 17012  β„^crrx 24588  π”Όhilcehl 24589  Pairspropercprpr 45021  LineMcline 46130  Spherecsph 46131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-inf2 9439  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991  ax-addf 10992  ax-mulf 10993
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-tpos 8069  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-map 8644  df-ixp 8713  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fsupp 9169  df-sup 9241  df-oi 9309  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-rp 12773  df-xneg 12890  df-xadd 12891  df-xmul 12892  df-ico 13127  df-icc 13128  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-seq 13764  df-exp 13825  df-hash 14087  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988  df-clim 15238  df-sum 15439  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-starv 17018  df-sca 17019  df-vsca 17020  df-ip 17021  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ds 17025  df-unif 17026  df-hom 17027  df-cco 17028  df-0g 17193  df-gsum 17194  df-prds 17199  df-pws 17201  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-mhm 18471  df-grp 18621  df-minusg 18622  df-sbg 18623  df-subg 18793  df-ghm 18873  df-cntz 18964  df-cmn 19429  df-abl 19430  df-mgp 19762  df-ur 19779  df-ring 19826  df-cring 19827  df-oppr 19903  df-dvdsr 19924  df-unit 19925  df-invr 19955  df-dvr 19966  df-rnghom 20000  df-drng 20034  df-field 20035  df-subrg 20063  df-staf 20146  df-srng 20147  df-lmod 20166  df-lss 20235  df-sra 20475  df-rgmod 20476  df-xmet 20631  df-met 20632  df-cnfld 20639  df-refld 20851  df-dsmm 20980  df-frlm 20995  df-nm 23779  df-tng 23781  df-tcph 24374  df-rrx 24590  df-ehl 24591  df-prpr 45022  df-line 46132  df-sph 46133
This theorem is referenced by:  inlinecirc02preu  46191
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