inlinecirc02p - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem inlinecirc02p 48713

Description: Intersection of a line with a circle: A line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 9-May-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
inlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
inlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
inlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
inlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
inlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
inlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
inlinecirc02p.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

**Assertion**
Ref	Expression
inlinecirc02p	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairs_proper‘𝑃))

Proof of Theorem inlinecirc02p Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inlinecirc02p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
2	1	ovexi 7466	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑃 ∈ V)
4		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
7		inlinecirc02p.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
8	7, 1	rrx2pxel 48637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
11	7, 1	rrx2pyel 48638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
14	7, 1	rrx2pxel 48637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
17	7, 1	rrx2pyel 48638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
18	17	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
20		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
21		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
22		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))
23		rpre 13044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
25	24	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
26		inlinecirc02p.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
27		2nn0 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
28		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (𝔼_hil‘2)
29	28	ehlval 25449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℕ₀ → (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘(1...2)))
30	27, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘(1...2))
31		fz12pr 13622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...2) = {1, 2}
32	31, 7	eqtr4i 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...2) = 𝐼
33	32	fveq2i 6908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ^‘(1...2)) = (ℝ^‘𝐼)
34	30, 33	eqtri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘𝐼)
35	26, 34	eqtr4i 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝔼_hil‘2)
36	7	oveq2i 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ↑_m 𝐼) = (ℝ ↑_m {1, 2})
37	1, 36	eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m {1, 2})
38		inlinecirc02p.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
39		inlinecirc02p.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
40	7	xpeq1i 5710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 × {0}) = ({1, 2} × {0})
41	39, 40	eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
42	35, 37, 38, 41	ehl2eudis0lt 48652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
43	42	3ad2antl1 1185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
44	43	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
45	44	impr 454	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
46	7, 1	rrx2pnecoorneor 48641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
47	46	orcomd 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
49		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) = ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))
50		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2))
51	10, 13, 16, 19, 20, 21, 22, 25, 45, 48, 49, 50	2itscp 48707	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)))
52	14	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
54	8	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
56	11	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
58	53, 55, 57	subdird 11721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) = (((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))))
59	17	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
61	57, 60, 55	subdird 11721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)) = (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1))))
62	58, 61	oveq12d 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = ((((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)))))
63	53, 57	mulcomd 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) = ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)))
64	63	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))))
65	57, 55	mulcomd 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) = ((𝑋‘1) · (𝑋‘2)))
66	60, 55	mulcomd 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)) = ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
67	65, 66	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
68	64, 67	oveq12d 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)))) = ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
69	57, 53	mulcld 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ)
70	55, 57	mulcld 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
71	55, 60	mulcld 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
72	69, 70, 71	npncand 11645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
73	62, 68, 72	3eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
74	73	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
75	74	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
76	75	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))))
77	76	oveq1d 7447	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) = (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2))
78	77	oveq2d 7448	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)))
79	51, 78	breqtrrd 5170	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)))
80		inlinecirc02p.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
81		inlinecirc02p.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
82		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2))
83		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
84	7, 26, 1, 80, 39, 81, 49, 82, 21, 20, 83	inlinecirc02plem 48712	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)))) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
85	4, 6, 79, 84	syl12anc 836	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
86		prprelprb 47509	. 2 ⊢ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairs_proper‘𝑃) ↔ (𝑃 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
87	3, 85, 86	sylanbrc 583	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairs_proper‘𝑃))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2939 ∃wrex 3069 Vcvv 3479 ∩ cin 3949 {csn 4625 {cpr 4627 class class class wbr 5142 × cxp 5682 ‘cfv 6560 (class class class)co 7432 ↑_m cmap 8867 ℂcc 11154 ℝcr 11155 0cc0 11156 1c1 11157 + caddc 11159 · cmul 11161 < clt 11296 − cmin 11493 2c2 12322 ℕ₀cn0 12528 ℝ⁺crp 13035 ...cfz 13548 ↑cexp 14103 distcds 17307 ℝ^crrx 25418 𝔼_hilcehl 25419 Pairs_propercprpr 47504 Line_Mcline 48653 Spherecsph 48654

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2707 ax-rep 5278 ax-sep 5295 ax-nul 5305 ax-pow 5364 ax-pr 5431 ax-un 7756 ax-inf2 9682 ax-cnex 11212 ax-resscn 11213 ax-1cn 11214 ax-icn 11215 ax-addcl 11216 ax-addrcl 11217 ax-mulcl 11218 ax-mulrcl 11219 ax-mulcom 11220 ax-addass 11221 ax-mulass 11222 ax-distr 11223 ax-i2m1 11224 ax-1ne0 11225 ax-1rid 11226 ax-rnegex 11227 ax-rrecex 11228 ax-cnre 11229 ax-pre-lttri 11230 ax-pre-lttrn 11231 ax-pre-ltadd 11232 ax-pre-mulgt0 11233 ax-pre-sup 11234 ax-addf 11235 ax-mulf 11236

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2815 df-nfc 2891 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3379 df-reu 3380 df-rab 3436 df-v 3481 df-sbc 3788 df-csb 3899 df-dif 3953 df-un 3955 df-in 3957 df-ss 3967 df-pss 3970 df-nul 4333 df-if 4525 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-tp 4630 df-op 4632 df-uni 4907 df-int 4946 df-iun 4992 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5577 df-eprel 5583 df-po 5591 df-so 5592 df-fr 5636 df-se 5637 df-we 5638 df-xp 5690 df-rel 5691 df-cnv 5692 df-co 5693 df-dm 5694 df-rn 5695 df-res 5696 df-ima 5697 df-pred 6320 df-ord 6386 df-on 6387 df-lim 6388 df-suc 6389 df-iota 6513 df-fun 6562 df-fn 6563 df-f 6564 df-f1 6565 df-fo 6566 df-f1o 6567 df-fv 6568 df-isom 6569 df-riota 7389 df-ov 7435 df-oprab 7436 df-mpo 7437 df-of 7698 df-om 7889 df-1st 8015 df-2nd 8016 df-supp 8187 df-tpos 8252 df-frecs 8307 df-wrecs 8338 df-recs 8412 df-rdg 8451 df-1o 8507 df-2o 8508 df-er 8746 df-map 8869 df-ixp 8939 df-en 8987 df-dom 8988 df-sdom 8989 df-fin 8990 df-fsupp 9403 df-sup 9483 df-oi 9551 df-card 9980 df-pnf 11298 df-mnf 11299 df-xr 11300 df-ltxr 11301 df-le 11302 df-sub 11495 df-neg 11496 df-div 11922 df-nn 12268 df-2 12330 df-3 12331 df-4 12332 df-5 12333 df-6 12334 df-7 12335 df-8 12336 df-9 12337 df-n0 12529 df-z 12616 df-dec 12736 df-uz 12880 df-rp 13036 df-xneg 13155 df-xadd 13156 df-xmul 13157 df-ico 13394 df-icc 13395 df-fz 13549 df-fzo 13696 df-seq 14044 df-exp 14104 df-hash 14371 df-cj 15139 df-re 15140 df-im 15141 df-sqrt 15275 df-abs 15276 df-clim 15525 df-sum 15724 df-struct 17185 df-sets 17202 df-slot 17220 df-ndx 17232 df-base 17249 df-ress 17276 df-plusg 17311 df-mulr 17312 df-starv 17313 df-sca 17314 df-vsca 17315 df-ip 17316 df-tset 17317 df-ple 17318 df-ds 17320 df-unif 17321 df-hom 17322 df-cco 17323 df-0g 17487 df-gsum 17488 df-prds 17493 df-pws 17495 df-mgm 18654 df-sgrp 18733 df-mnd 18749 df-mhm 18797 df-grp 18955 df-minusg 18956 df-sbg 18957 df-subg 19142 df-ghm 19232 df-cntz 19336 df-cmn 19801 df-abl 19802 df-mgp 20139 df-rng 20151 df-ur 20180 df-ring 20233 df-cring 20234 df-oppr 20335 df-dvdsr 20358 df-unit 20359 df-invr 20389 df-dvr 20402 df-rhm 20473 df-subrng 20547 df-subrg 20571 df-drng 20732 df-field 20733 df-staf 20841 df-srng 20842 df-lmod 20861 df-lss 20931 df-sra 21173 df-rgmod 21174 df-xmet 21358 df-met 21359 df-cnfld 21366 df-refld 21624 df-dsmm 21753 df-frlm 21768 df-nm 24596 df-tng 24598 df-tcph 25204 df-rrx 25420 df-ehl 25421 df-prpr 47505 df-line 48655 df-sph 48656

This theorem is referenced by: inlinecirc02preu 48714

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