inlinecirc02p - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > inlinecirc02p		Structured version Visualization version GIF version

Theorem inlinecirc02p 49704

Description: Intersection of a line with a circle: A line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 9-May-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
inlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
inlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
inlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
inlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
inlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
inlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
inlinecirc02p.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

**Assertion**
Ref	Expression
inlinecirc02p	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairs_proper‘𝑃))

Proof of Theorem inlinecirc02p Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inlinecirc02p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
2	1	ovexi 7450	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑃 ∈ V)
4		simpl 488	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
5		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
7		inlinecirc02p.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
8	7, 1	rrx2pxel 49628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
11	7, 1	rrx2pyel 49629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
14	7, 1	rrx2pxel 49628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
17	7, 1	rrx2pyel 49629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
18	17	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
20		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
21		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
22		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))
23		rpre 13053	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
25	24	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
26		inlinecirc02p.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
27		2nn0 12548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
28		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (𝔼_hil‘2)
29	28	ehlval 25643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℕ₀ → (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘(1...2)))
30	27, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘(1...2))
31		fz12pr 13638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...2) = {1, 2}
32	31, 7	eqtr4i 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...2) = 𝐼
33	32	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ^‘(1...2)) = (ℝ^‘𝐼)
34	30, 33	eqtri 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘𝐼)
35	26, 34	eqtr4i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝔼_hil‘2)
36	7	oveq2i 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ↑_m 𝐼) = (ℝ ↑_m {1, 2})
37	1, 36	eqtri 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m {1, 2})
38		inlinecirc02p.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
39		inlinecirc02p.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
40	7	xpeq1i 5685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 × {0}) = ({1, 2} × {0})
41	39, 40	eqtri 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
42	35, 37, 38, 41	ehl2eudis0lt 49643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
43	42	3ad2antl1 1204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
44	43	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
45	44	impr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
46	7, 1	rrx2pnecoorneor 49632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ∨ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
47	46	orcomd 885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
48	47	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ∨ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
49		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) = ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))
50		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2))
51	10, 13, 16, 19, 20, 21, 22, 25, 45, 48, 49, 50	2itscp 49698	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)))
52	14	recnd 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
54	8	recnd 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
56	11	recnd 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
57	56	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
58	53, 55, 57	subdird 11698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) = (((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))))
59	17	recnd 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
60	59	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
61	57, 60, 55	subdird 11698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)) = (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1))))
62	58, 61	oveq12d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = ((((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)))))
63	53, 57	mulcomd 11257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) = ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)))
64	63	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))))
65	57, 55	mulcomd 11257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) = ((𝑋‘1) · (𝑋‘2)))
66	60, 55	mulcomd 11257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)) = ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
67	65, 66	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
68	64, 67	oveq12d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘2) · (𝑋‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑋‘1)))) = ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
69	57, 53	mulcld 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ)
70	55, 57	mulcld 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
71	55, 60	mulcld 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
72	69, 70, 71	npncand 11620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑋‘2))) + (((𝑋‘1) · (𝑋‘2)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
73	62, 68, 72	3eqtrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
74	73	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
75	74	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))
76	75	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1))))
77	76	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) = (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2))
78	77	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − (((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑋‘2)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑋‘1)))↑2)))
79	51, 78	breqtrrd 5137	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)))
80		inlinecirc02p.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
81		inlinecirc02p.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
82		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)) = (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2))
83		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
84	7, 26, 1, 80, 39, 81, 49, 82, 21, 20, 83	inlinecirc02plem 49703	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < (((𝑅↑2) · ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))) − ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2)))) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
85	4, 6, 79, 84	syl12anc 850	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
86		prprelprb 48404	. 2 ⊢ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairs_proper‘𝑃) ↔ (𝑃 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
87	3, 85, 86	sylanbrc 595	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairs_proper‘𝑃))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2957 ∃wrex 3088 Vcvv 3453 ∩ cin 3901 {csn 4587 {cpr 4589 class class class wbr 5107 × cxp 5657 ‘cfv 6537 (class class class)co 7416 ↑_m cmap 8829 ℂcc 11125 ℝcr 11126 0cc0 11127 1c1 11128 + caddc 11130 · cmul 11132 < clt 11270 − cmin 11468 2c2 12322 ℕ₀cn0 12531 ℝ⁺crp 13044 ...cfz 13563 ↑cexp 14127 distcds 17355 ℝ^crrx 25612 𝔼_hilcehl 25613 Pairs_propercprpr 48399 Line_Mcline 49644 Spherecsph 49645

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2734 ax-rep 5236 ax-sep 5255 ax-nul 5267 ax-pow 5334 ax-pr 5402 ax-un 7739 ax-inf2 9623 ax-cnex 11183 ax-resscn 11184 ax-1cn 11185 ax-icn 11186 ax-addcl 11187 ax-addrcl 11188 ax-mulcl 11189 ax-mulrcl 11190 ax-mulcom 11191 ax-addass 11192 ax-mulass 11193 ax-distr 11194 ax-i2m1 11195 ax-1ne0 11196 ax-1rid 11197 ax-rnegex 11198 ax-rrecex 11199 ax-cnre 11200 ax-pre-lttri 11201 ax-pre-lttrn 11202 ax-pre-ltadd 11203 ax-pre-mulgt0 11204 ax-pre-sup 11205 ax-addf 11206 ax-mulf 11207

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3455 df-sbc 3743 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4283 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4594 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-br 5108 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5554 df-eprel 5559 df-po 5567 df-so 5568 df-fr 5612 df-se 5613 df-we 5614 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-of 7681 df-om 7866 df-1st 7989 df-2nd 7990 df-supp 8162 df-tpos 8227 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-1o 8458 df-2o 8459 df-er 8699 df-map 8831 df-ixp 8908 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-fin 8959 df-fsupp 9335 df-sup 9415 df-oi 9485 df-card 9947 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11899 df-nn 12261 df-2 12330 df-3 12331 df-4 12332 df-5 12333 df-6 12334 df-7 12335 df-8 12336 df-9 12337 df-n0 12532 df-z 12619 df-dec 12740 df-uz 12891 df-rp 13045 df-xneg 13165 df-xadd 13166 df-xmul 13167 df-ico 13406 df-icc 13407 df-fz 13564 df-fzo 13712 df-seq 14068 df-exp 14128 df-hash 14397 df-cj 15188 df-re 15189 df-im 15190 df-sqrt 15324 df-abs 15325 df-clim 15577 df-sum 15776 df-struct 17243 df-sets 17260 df-slot 17278 df-ndx 17290 df-base 17306 df-ress 17327 df-plusg 17359 df-mulr 17360 df-starv 17361 df-sca 17362 df-vsca 17363 df-ip 17364 df-tset 17365 df-ple 17366 df-ds 17368 df-unif 17369 df-hom 17370 df-cco 17371 df-0g 17530 df-gsum 17531 df-prds 17536 df-pws 17538 df-mgm 18734 df-sgrp 18823 df-mnd 18839 df-mhm 18892 df-grp 19061 df-minusg 19062 df-sbg 19063 df-subg 19247 df-ghm 19342 df-cntz 19445 df-cmn 19910 df-abl 19911 df-mgp 20275 df-rng 20289 df-ur 20322 df-ring 20375 df-cring 20376 df-oppr 20479 df-dvdsr 20499 df-unit 20500 df-invr 20530 df-dvr 20543 df-rhm 20614 df-subrng 20709 df-subrg 20733 df-drng 20893 df-field 20894 df-staf 21006 df-srng 21007 df-lmod 21047 df-lss 21117 df-sra 21358 df-rgmod 21359 df-xmet 21579 df-met 21580 df-cnfld 21587 df-refld 21819 df-dsmm 21946 df-frlm 21961 df-nm 24809 df-tng 24811 df-tcph 25398 df-rrx 25614 df-ehl 25615 df-prpr 48400 df-line 49646 df-sph 49647

This theorem is used by: inlinecirc02preu 49705

W3C validator