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Theorem inlinecirc02p 47560
Description: Intersection of a line with a circle: A line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 9-May-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
inlinecirc02p.i 𝐼 = {1, 2}
inlinecirc02p.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
inlinecirc02p.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
inlinecirc02p.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
inlinecirc02p.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
inlinecirc02p.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
inlinecirc02p.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
inlinecirc02p (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ∈ (Pairsproperβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem inlinecirc02p
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inlinecirc02p.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
21ovexi 7445 . . 3 𝑃 ∈ V
32a1i 11 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ V)
4 simpl 481 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ))
5 simpl 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
65adantl 480 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
7 inlinecirc02p.i . . . . . . . 8 𝐼 = {1, 2}
87, 1rrx2pxel 47484 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
983ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
109adantr 479 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
117, 1rrx2pyel 47485 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
12113ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
1312adantr 479 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
147, 1rrx2pxel 47484 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
15143ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
1615adantr 479 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
177, 1rrx2pyel 47485 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
18173ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
1918adantr 479 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
20 eqid 2730 . . . . 5 ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
21 eqid 2730 . . . . 5 ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) = ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))
22 eqid 2730 . . . . 5 ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))
23 rpre 12986 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2423adantr 479 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2524adantl 480 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
26 inlinecirc02p.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
27 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
28 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝔼hilβ€˜2) = (𝔼hilβ€˜2)
2928ehlval 25162 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2)))
3027, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2))
31 fz12pr 13562 . . . . . . . . . . . . 13 (1...2) = {1, 2}
3231, 7eqtr4i 2761 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = 𝐼
3332fveq2i 6893 . . . . . . . . . . 11 (ℝ^β€˜(1...2)) = (ℝ^β€˜πΌ)
3430, 33eqtri 2758 . . . . . . . . . 10 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜πΌ)
3526, 34eqtr4i 2761 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
367oveq2i 7422 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
371, 36eqtri 2758 . . . . . . . . 9 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
38 inlinecirc02p.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
39 inlinecirc02p.0 . . . . . . . . . 10 0 = (𝐼 Γ— {0})
407xpeq1i 5701 . . . . . . . . . 10 (𝐼 Γ— {0}) = ({1, 2} Γ— {0})
4139, 40eqtri 2758 . . . . . . . . 9 0 = ({1, 2} Γ— {0})
4235, 37, 38, 41ehl2eudis0lt 47499 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
43423ad2antl1 1183 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
4443biimpd 228 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
4544impr 453 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))
467, 1rrx2pnecoorneor 47488 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1) ∨ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)))
4746orcomd 867 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2) ∨ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)))
4847adantr 479 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2) ∨ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)))
49 eqid 2730 . . . . 5 ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) = ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))
50 eqid 2730 . . . . 5 (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2)) = (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2))
5110, 13, 16, 19, 20, 21, 22, 25, 45, 48, 49, 502itscp 47554 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2)))
5214recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ β„‚)
5352adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ β„‚)
548recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ β„‚)
5554adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ β„‚)
5611recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ β„‚)
5756adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ β„‚)
5853, 55, 57subdird 11675 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) = (((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))))
5917recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ β„‚)
6059adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ β„‚)
6157, 60, 55subdird 11675 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1))))
6258, 61oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = ((((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)))))
6353, 57mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) = ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)))
6463oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))))
6557, 55mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) = ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)))
6660, 55mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) = ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
6765, 66oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
6864, 67oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)))) = ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))
6957, 53mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) ∈ β„‚)
7055, 57mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) ∈ β„‚)
7155, 60mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)) ∈ β„‚)
7269, 70, 71npncand 11599 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
7362, 68, 723eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
74733adant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
7574adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
7675eqcomd 2736 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))))
7776oveq1d 7426 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) = (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2))
7877oveq2d 7427 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)) = (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2)))
7951, 78breqtrrd 5175 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)))
80 inlinecirc02p.s . . . 4 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
81 inlinecirc02p.l . . . 4 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
82 eqid 2730 . . . 4 (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)) = (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2))
83 eqid 2730 . . . 4 (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
847, 26, 1, 80, 39, 81, 49, 82, 21, 20, 83inlinecirc02plem 47559 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
854, 6, 79, 84syl12anc 833 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
86 prprelprb 46483 . 2 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ∈ (Pairsproperβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑃 ∈ V ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)))
873, 85, 86sylanbrc 581 1 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ∈ (Pairsproperβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3946  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„+crp 12978  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  distcds 17210  β„^crrx 25131  π”Όhilcehl 25132  Pairspropercprpr 46478  LineMcline 47500  Spherecsph 47501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-xmet 21137  df-met 21138  df-cnfld 21145  df-refld 21377  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-nm 24311  df-tng 24313  df-tcph 24917  df-rrx 25133  df-ehl 25134  df-prpr 46479  df-line 47502  df-sph 47503
This theorem is referenced by:  inlinecirc02preu  47561
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