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Theorem inlinecirc02p 47473
Description: Intersection of a line with a circle: A line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 9-May-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
inlinecirc02p.i 𝐼 = {1, 2}
inlinecirc02p.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
inlinecirc02p.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
inlinecirc02p.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
inlinecirc02p.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
inlinecirc02p.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
inlinecirc02p.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
inlinecirc02p (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ∈ (Pairsproperβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem inlinecirc02p
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inlinecirc02p.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
21ovexi 7443 . . 3 𝑃 ∈ V
32a1i 11 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ V)
4 simpl 484 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ))
5 simpl 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
65adantl 483 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
7 inlinecirc02p.i . . . . . . . 8 𝐼 = {1, 2}
87, 1rrx2pxel 47397 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
983ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
109adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
117, 1rrx2pyel 47398 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
12113ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
1312adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
147, 1rrx2pxel 47397 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
15143ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
1615adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
177, 1rrx2pyel 47398 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
18173ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
1918adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
20 eqid 2733 . . . . 5 ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
21 eqid 2733 . . . . 5 ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) = ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))
22 eqid 2733 . . . . 5 ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))
23 rpre 12982 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2423adantr 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2524adantl 483 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
26 inlinecirc02p.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
27 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝔼hilβ€˜2) = (𝔼hilβ€˜2)
2928ehlval 24931 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2)))
3027, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2))
31 fz12pr 13558 . . . . . . . . . . . . 13 (1...2) = {1, 2}
3231, 7eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = 𝐼
3332fveq2i 6895 . . . . . . . . . . 11 (ℝ^β€˜(1...2)) = (ℝ^β€˜πΌ)
3430, 33eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜πΌ)
3526, 34eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
367oveq2i 7420 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
371, 36eqtri 2761 . . . . . . . . 9 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
38 inlinecirc02p.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
39 inlinecirc02p.0 . . . . . . . . . 10 0 = (𝐼 Γ— {0})
407xpeq1i 5703 . . . . . . . . . 10 (𝐼 Γ— {0}) = ({1, 2} Γ— {0})
4139, 40eqtri 2761 . . . . . . . . 9 0 = ({1, 2} Γ— {0})
4235, 37, 38, 41ehl2eudis0lt 47412 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
43423ad2antl1 1186 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
4443biimpd 228 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
4544impr 456 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))
467, 1rrx2pnecoorneor 47401 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1) ∨ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)))
4746orcomd 870 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2) ∨ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)))
4847adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2) ∨ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)))
49 eqid 2733 . . . . 5 ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) = ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))
50 eqid 2733 . . . . 5 (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2)) = (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2))
5110, 13, 16, 19, 20, 21, 22, 25, 45, 48, 49, 502itscp 47467 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2)))
5214recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ β„‚)
5352adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ β„‚)
548recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ β„‚)
5554adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ β„‚)
5611recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ β„‚)
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ β„‚)
5853, 55, 57subdird 11671 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) = (((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))))
5917recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ β„‚)
6059adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ β„‚)
6157, 60, 55subdird 11671 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1))))
6258, 61oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = ((((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)))))
6353, 57mulcomd 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) = ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)))
6463oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))))
6557, 55mulcomd 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) = ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)))
6660, 55mulcomd 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) = ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
6765, 66oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
6864, 67oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)))) = ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))
6957, 53mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) ∈ β„‚)
7055, 57mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) ∈ β„‚)
7155, 60mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)) ∈ β„‚)
7269, 70, 71npncand 11595 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
7362, 68, 723eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
74733adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
7574adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
7675eqcomd 2739 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))))
7776oveq1d 7424 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) = (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2))
7877oveq2d 7425 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)) = (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2)))
7951, 78breqtrrd 5177 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)))
80 inlinecirc02p.s . . . 4 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
81 inlinecirc02p.l . . . 4 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
82 eqid 2733 . . . 4 (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)) = (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2))
83 eqid 2733 . . . 4 (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
847, 26, 1, 80, 39, 81, 49, 82, 21, 20, 83inlinecirc02plem 47472 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
854, 6, 79, 84syl12anc 836 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
86 prprelprb 46185 . 2 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ∈ (Pairsproperβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑃 ∈ V ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)))
873, 85, 86sylanbrc 584 1 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ∈ (Pairsproperβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„+crp 12974  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  distcds 17206  β„^crrx 24900  π”Όhilcehl 24901  Pairspropercprpr 46180  LineMcline 47413  Spherecsph 47414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-xmet 20937  df-met 20938  df-cnfld 20945  df-refld 21158  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-nm 24091  df-tng 24093  df-tcph 24686  df-rrx 24902  df-ehl 24903  df-prpr 46181  df-line 47415  df-sph 47416
This theorem is referenced by:  inlinecirc02preu  47474
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