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Theorem inlinecirc02p 47783
Description: Intersection of a line with a circle: A line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 9-May-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
inlinecirc02p.i 𝐼 = {1, 2}
inlinecirc02p.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
inlinecirc02p.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
inlinecirc02p.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
inlinecirc02p.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
inlinecirc02p.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
inlinecirc02p.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
inlinecirc02p (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ∈ (Pairsproperβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem inlinecirc02p
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inlinecirc02p.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
21ovexi 7448 . . 3 𝑃 ∈ V
32a1i 11 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ V)
4 simpl 482 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ))
5 simpl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
65adantl 481 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
7 inlinecirc02p.i . . . . . . . 8 𝐼 = {1, 2}
87, 1rrx2pxel 47707 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
983ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
117, 1rrx2pyel 47708 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
12113ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
147, 1rrx2pxel 47707 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
15143ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
177, 1rrx2pyel 47708 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
18173ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
20 eqid 2727 . . . . 5 ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
21 eqid 2727 . . . . 5 ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) = ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))
22 eqid 2727 . . . . 5 ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))
23 rpre 13006 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2524adantl 481 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
26 inlinecirc02p.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
27 2nn0 12511 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
28 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝔼hilβ€˜2) = (𝔼hilβ€˜2)
2928ehlval 25329 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2)))
3027, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2))
31 fz12pr 13582 . . . . . . . . . . . . 13 (1...2) = {1, 2}
3231, 7eqtr4i 2758 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = 𝐼
3332fveq2i 6894 . . . . . . . . . . 11 (ℝ^β€˜(1...2)) = (ℝ^β€˜πΌ)
3430, 33eqtri 2755 . . . . . . . . . 10 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜πΌ)
3526, 34eqtr4i 2758 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
367oveq2i 7425 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
371, 36eqtri 2755 . . . . . . . . 9 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
38 inlinecirc02p.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
39 inlinecirc02p.0 . . . . . . . . . 10 0 = (𝐼 Γ— {0})
407xpeq1i 5698 . . . . . . . . . 10 (𝐼 Γ— {0}) = ({1, 2} Γ— {0})
4139, 40eqtri 2755 . . . . . . . . 9 0 = ({1, 2} Γ— {0})
4235, 37, 38, 41ehl2eudis0lt 47722 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
43423ad2antl1 1183 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
4443biimpd 228 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
4544impr 454 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))
467, 1rrx2pnecoorneor 47711 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1) ∨ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)))
4746orcomd 870 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2) ∨ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)))
4847adantr 480 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2) ∨ (π‘‹β€˜1) β‰  (π‘Œβ€˜1)))
49 eqid 2727 . . . . 5 ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) = ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))
50 eqid 2727 . . . . 5 (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2)) = (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2))
5110, 13, 16, 19, 20, 21, 22, 25, 45, 48, 49, 502itscp 47777 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2)))
5214recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ β„‚)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ β„‚)
548recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ β„‚)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ β„‚)
5611recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ β„‚)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ β„‚)
5853, 55, 57subdird 11693 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) = (((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))))
5917recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ β„‚)
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ β„‚)
6157, 60, 55subdird 11693 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1))))
6258, 61oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = ((((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)))))
6353, 57mulcomd 11257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) = ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)))
6463oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))))
6557, 55mulcomd 11257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) = ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)))
6660, 55mulcomd 11257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) = ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
6765, 66oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
6864, 67oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)) βˆ’ ((π‘Œβ€˜2) Β· (π‘‹β€˜1)))) = ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))
6957, 53mulcld 11256 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) ∈ β„‚)
7055, 57mulcld 11256 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) ∈ β„‚)
7155, 60mulcld 11256 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)) ∈ β„‚)
7269, 70, 71npncand 11617 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2))) + (((π‘‹β€˜1) Β· (π‘‹β€˜2)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
7362, 68, 723eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
74733adant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
7574adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))
7675eqcomd 2733 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1))))
7776oveq1d 7429 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) = (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2))
7877oveq2d 7430 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)) = (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ (((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘‹β€˜2)) + (((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) Β· (π‘‹β€˜1)))↑2)))
7951, 78breqtrrd 5170 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)))
80 inlinecirc02p.s . . . 4 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
81 inlinecirc02p.l . . . 4 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
82 eqid 2727 . . . 4 (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)) = (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2))
83 eqid 2727 . . . 4 (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
847, 26, 1, 80, 39, 81, 49, 82, 21, 20, 83inlinecirc02plem 47782 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (((𝑅↑2) Β· ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2))) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2)))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
854, 6, 79, 84syl12anc 836 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
86 prprelprb 46780 . 2 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ∈ (Pairsproperβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑃 ∈ V ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)))
873, 85, 86sylanbrc 582 1 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ∈ (Pairsproperβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   ∩ cin 3943  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135   < clt 11270   βˆ’ cmin 11466  2c2 12289  β„•0cn0 12494  β„+crp 12998  ...cfz 13508  β†‘cexp 14050  distcds 17233  β„^crrx 25298  π”Όhilcehl 25299  Pairspropercprpr 46775  LineMcline 47723  Spherecsph 47724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-field 20616  df-staf 20714  df-srng 20715  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-xmet 21259  df-met 21260  df-cnfld 21267  df-refld 21524  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-nm 24478  df-tng 24480  df-tcph 25084  df-rrx 25300  df-ehl 25301  df-prpr 46776  df-line 47725  df-sph 47726
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