MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sectffval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sectffval 17732
Description: Value of the section operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issect.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
issect.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
issect.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
issect.i 1 = (Idโ€˜๐ถ)
issect.s ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
issect.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
issect.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
issect.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
sectffval (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ))}))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ, 1   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐ถ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘“,๐ป,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ยท ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘“,๐‘‹,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘“,๐‘Œ,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘“,๐‘”)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”)

Proof of Theorem sectffval
Dummy variables ๐‘ โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issect.s . 2 ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
2 issect.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
3 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = (Baseโ€˜๐ถ))
4 issect.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
53, 4eqtr4di 2783 . . . . 5 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = ๐ต)
6 fvexd 6907 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Hom โ€˜๐‘) โˆˆ V)
7 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = (Hom โ€˜๐ถ))
8 issect.h . . . . . . . 8 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
97, 8eqtr4di 2783 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = ๐ป)
10 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ โ„Ž = ๐ป)
1110oveqd 7433 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ) = (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))
1211eleq2d 2811 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ) โ†” ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)))
1310oveqd 7433 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ))
1413eleq2d 2811 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ) โ†” ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)))
1512, 14anbi12d 630 . . . . . . . 8 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)) โ†” (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ))))
16 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ ๐‘ = ๐ถ)
1716fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (compโ€˜๐‘) = (compโ€˜๐ถ))
18 issect.o . . . . . . . . . . . 12 ยท = (compโ€˜๐ถ)
1917, 18eqtr4di 2783 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (compโ€˜๐‘) = ยท )
2019oveqd 7433 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜๐‘)๐‘ฅ) = (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ))
2120oveqd 7433 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜๐‘)๐‘ฅ)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“))
2216fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (Idโ€˜๐‘) = (Idโ€˜๐ถ))
23 issect.i . . . . . . . . . . 11 1 = (Idโ€˜๐ถ)
2422, 23eqtr4di 2783 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (Idโ€˜๐‘) = 1 )
2524fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ ((Idโ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ))
2621, 25eqeq12d 2741 . . . . . . . 8 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜๐‘)๐‘ฅ)๐‘“) = ((Idโ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ)))
2715, 26anbi12d 630 . . . . . . 7 ((๐‘ = ๐ถ โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜๐‘)๐‘ฅ)๐‘“) = ((Idโ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ))))
286, 9, 27sbcied2 3816 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ([(Hom โ€˜๐‘) / โ„Ž]((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜๐‘)๐‘ฅ)๐‘“) = ((Idโ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ))))
2928opabbidv 5209 . . . . 5 (๐‘ = ๐ถ โ†’ {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ [(Hom โ€˜๐‘) / โ„Ž]((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜๐‘)๐‘ฅ)๐‘“) = ((Idโ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ))} = {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ))})
305, 5, 29mpoeq123dv 7492 . . . 4 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ [(Hom โ€˜๐‘) / โ„Ž]((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜๐‘)๐‘ฅ)๐‘“) = ((Idโ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ))}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ))}))
31 df-sect 17729 . . . 4 Sect = (๐‘ โˆˆ Cat โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ [(Hom โ€˜๐‘) / โ„Ž]((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ(compโ€˜๐‘)๐‘ฅ)๐‘“) = ((Idโ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฅ))}))
324fvexi 6906 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
3332, 32mpoex 8082 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ))}) โˆˆ V
3430, 31, 33fvmpt 7000 . . 3 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ (Sectโ€˜๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ))}))
352, 34syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (Sectโ€˜๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ))}))
361, 35eqtrid 2777 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463  [wsbc 3768  โŸจcop 4630  {copab 5205  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โˆˆ cmpo 7418  Basecbs 17179  Hom chom 17243  compcco 17244  Catccat 17643  Idccid 17644  Sectcsect 17726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-sect 17729
This theorem is referenced by:  sectfval  17733
  Copyright terms: Public domain W3C validator