Theorem shincli 31725

Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ

Proof of Theorem shincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1	elexi 3476	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		shincl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	3	elexi 3476	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4946	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ )
7	2, 4	prss 4785	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ )
8	6, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ
9	2	prnz 4742	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	shintcli 31692	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Sℋ
12	5, 11	eqeltrri 2859	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {cpr 4590  ∩ cint 4911   S_ℋ csh 31291

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-hilex 31362  ax-hfvadd 31363  ax-hv0cl 31366  ax-hfvmul 31368

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-sh 31570

This theorem is used by:  shincl  31744  shmodsi  31752  shmodi  31753  5oalem1  32017  5oalem3  32019  5oalem5  32021  5oalem6  32022  5oai  32024  3oalem2  32026  3oalem6  32030  cdj3lem1  32797