HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shincli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shincli 29297
Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1 𝐴S
shincl.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shincli (𝐴𝐵) ∈ S

Proof of Theorem shincli
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . 4 𝐴S
21elexi 3417 . . 3 𝐴 ∈ V
3 shincl.2 . . . 4 𝐵S
43elexi 3417 . . 3 𝐵 ∈ V
52, 4intpr 4870 . 2 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵)
61, 3pm3.2i 474 . . . . 5 (𝐴S𝐵S )
72, 4prss 4708 . . . . 5 ((𝐴S𝐵S ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ S )
86, 7mpbi 233 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ⊆ S
92prnz 4668 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
108, 9pm3.2i 474 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ⊆ S ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
1110shintcli 29264 . 2 {𝐴, 𝐵} ∈ S
125, 11eqeltrri 2830 1 (𝐴𝐵) ∈ S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399  wcel 2114  wne 2934  cin 3842  wss 3843  c0 4211  {cpr 4518   cint 4836   S csh 28863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5296  ax-hilex 28934  ax-hfvadd 28935  ax-hv0cl 28938  ax-hfvmul 28940
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-fv 6347  df-ov 7173  df-sh 29142
This theorem is referenced by:  shincl  29316  shmodsi  29324  shmodi  29325  5oalem1  29589  5oalem3  29591  5oalem5  29593  5oalem6  29594  5oai  29596  3oalem2  29598  3oalem6  29602  cdj3lem1  30369
  Copyright terms: Public domain W3C validator