Theorem shincli 31306

Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ

Proof of Theorem shincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1	elexi 3459	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		shincl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	3	elexi 3459	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4932	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ )
7	2, 4	prss 4771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ )
8	6, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ
9	2	prnz 4729	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	shintcli 31273	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Sℋ
12	5, 11	eqeltrri 2825	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  {cpr 4579  ∩ cint 4896   S_ℋ csh 30872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-hilex 30943  ax-hfvadd 30944  ax-hv0cl 30947  ax-hfvmul 30949

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-sh 31151

This theorem is referenced by:  shincl  31325  shmodsi  31333  shmodi  31334  5oalem1  31598  5oalem3  31600  5oalem5  31602  5oalem6  31603  5oai  31605  3oalem2  31607  3oalem6  31611  cdj3lem1  32378