HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shincli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shincli 31394
Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1 𝐴S
shincl.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shincli (𝐴𝐵) ∈ S

Proof of Theorem shincli
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . 4 𝐴S
21elexi 3511 . . 3 𝐴 ∈ V
3 shincl.2 . . . 4 𝐵S
43elexi 3511 . . 3 𝐵 ∈ V
52, 4intpr 5006 . 2 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵)
61, 3pm3.2i 470 . . . . 5 (𝐴S𝐵S )
72, 4prss 4845 . . . . 5 ((𝐴S𝐵S ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ S )
86, 7mpbi 230 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ⊆ S
92prnz 4802 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
108, 9pm3.2i 470 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ⊆ S ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
1110shintcli 31361 . 2 {𝐴, 𝐵} ∈ S
125, 11eqeltrri 2841 1 (𝐴𝐵) ∈ S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wcel 2108  wne 2946  cin 3975  wss 3976  c0 4352  {cpr 4650   cint 4970   S csh 30960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hv0cl 31035  ax-hfvmul 31037
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-sh 31239
This theorem is referenced by:  shincl  31413  shmodsi  31421  shmodi  31422  5oalem1  31686  5oalem3  31688  5oalem5  31690  5oalem6  31691  5oai  31693  3oalem2  31695  3oalem6  31699  cdj3lem1  32466
  Copyright terms: Public domain W3C validator