HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shincli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shincli 31385
Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1 𝐴S
shincl.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shincli (𝐴𝐵) ∈ S

Proof of Theorem shincli
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . 4 𝐴S
21elexi 3506 . . 3 𝐴 ∈ V
3 shincl.2 . . . 4 𝐵S
43elexi 3506 . . 3 𝐵 ∈ V
52, 4intpr 5008 . 2 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵)
61, 3pm3.2i 470 . . . . 5 (𝐴S𝐵S )
72, 4prss 4845 . . . . 5 ((𝐴S𝐵S ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ S )
86, 7mpbi 230 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ⊆ S
92prnz 4802 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
108, 9pm3.2i 470 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ⊆ S ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
1110shintcli 31352 . 2 {𝐴, 𝐵} ∈ S
125, 11eqeltrri 2835 1 (𝐴𝐵) ∈ S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wcel 2103  wne 2942  cin 3969  wss 3970  c0 4347  {cpr 4650   cint 4972   S csh 30951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pr 5450  ax-hilex 31022  ax-hfvadd 31023  ax-hv0cl 31026  ax-hfvmul 31028
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-id 5597  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-fv 6580  df-ov 7448  df-sh 31230
This theorem is referenced by:  shincl  31404  shmodsi  31412  shmodi  31413  5oalem1  31677  5oalem3  31679  5oalem5  31681  5oalem6  31682  5oai  31684  3oalem2  31686  3oalem6  31690  cdj3lem1  32457
  Copyright terms: Public domain W3C validator