Theorem shincli 31883

Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ

Proof of Theorem shincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1	elexi 3472	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		shincl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	3	elexi 3472	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4942	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ )
7	2, 4	prss 4781	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ )
8	6, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ
9	2	prnz 4738	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	shintcli 31850	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Sℋ
12	5, 11	eqeltrri 2857	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {cpr 4586  ∩ cint 4907   S_ℋ csh 31449

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-hilex 31520  ax-hfvadd 31521  ax-hv0cl 31524  ax-hfvmul 31526

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-fv 6536  df-ov 7412  df-sh 31728

This theorem is used by:  shincl  31902  shmodsi  31910  shmodi  31911  5oalem1  32175  5oalem3  32177  5oalem5  32179  5oalem6  32180  5oai  32182  3oalem2  32184  3oalem6  32188  cdj3lem1  32955