Theorem shincli 31119

Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ

Proof of Theorem shincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1	elexi 3488	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		shincl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	3	elexi 3488	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4979	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ )
7	2, 4	prss 4818	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ )
8	6, 7	mpbi 229	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ
9	2	prnz 4776	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	shintcli 31086	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Sℋ
12	5, 11	eqeltrri 2824	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  {cpr 4625  ∩ cint 4943   S_ℋ csh 30685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hv0cl 30760  ax-hfvmul 30762

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-sh 30964

This theorem is referenced by:  shincl  31138  shmodsi  31146  shmodi  31147  5oalem1  31411  5oalem3  31413  5oalem5  31415  5oalem6  31416  5oai  31418  3oalem2  31420  3oalem6  31424  cdj3lem1  32191