Theorem shincli 31297

Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ

Proof of Theorem shincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1	elexi 3473	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		shincl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	3	elexi 3473	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4948	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ )
7	2, 4	prss 4786	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ )
8	6, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ
9	2	prnz 4743	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Sℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	shintcli 31264	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Sℋ
12	5, 11	eqeltrri 2826	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∩ cin 3915   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  {cpr 4593  ∩ cint 4912   S_ℋ csh 30863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-hilex 30934  ax-hfvadd 30935  ax-hv0cl 30938  ax-hfvmul 30940

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-fv 6521  df-ov 7392  df-sh 31142

This theorem is referenced by:  shincl  31316  shmodsi  31324  shmodi  31325  5oalem1  31589  5oalem3  31591  5oalem5  31593  5oalem6  31594  5oai  31596  3oalem2  31598  3oalem6  31602  cdj3lem1  32369