HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shincli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shincli 31192
Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1 𝐴S
shincl.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shincli (𝐴𝐵) ∈ S

Proof of Theorem shincli
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . 4 𝐴S
21elexi 3493 . . 3 𝐴 ∈ V
3 shincl.2 . . . 4 𝐵S
43elexi 3493 . . 3 𝐵 ∈ V
52, 4intpr 4989 . 2 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵)
61, 3pm3.2i 469 . . . . 5 (𝐴S𝐵S )
72, 4prss 4828 . . . . 5 ((𝐴S𝐵S ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ S )
86, 7mpbi 229 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ⊆ S
92prnz 4786 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
108, 9pm3.2i 469 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ⊆ S ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
1110shintcli 31159 . 2 {𝐴, 𝐵} ∈ S
125, 11eqeltrri 2826 1 (𝐴𝐵) ∈ S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394  wcel 2098  wne 2937  cin 3948  wss 3949  c0 4326  {cpr 4634   cint 4953   S csh 30758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hv0cl 30833  ax-hfvmul 30835
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-sh 31037
This theorem is referenced by:  shincl  31211  shmodsi  31219  shmodi  31220  5oalem1  31484  5oalem3  31486  5oalem5  31488  5oalem6  31489  5oai  31491  3oalem2  31493  3oalem6  31497  cdj3lem1  32264
  Copyright terms: Public domain W3C validator