HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3lem1 31376
Description: A property of "𝐴 and 𝐵 are completely disjoint subspaces." Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj1.1 𝐴S
cdj1.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
cdj3lem1 (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝐴𝐵) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cdj3lem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵))
2 cdj1.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵S
3 neg1cn 12267 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℂ
4 shmulcl 30160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝐵) → (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵)
52, 3, 4mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝐵 → (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵)
65anim2i 617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐴𝑤𝐵) → (𝑤𝐴 ∧ (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵))
71, 6sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑤𝐴 ∧ (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵))
8 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (norm𝑦) = (norm𝑤))
98oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → ((norm𝑦) + (norm𝑧)) = ((norm𝑤) + (norm𝑧)))
10 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (norm‘(𝑦 + 𝑧)) = (norm‘(𝑤 + 𝑧)))
1110oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) = (𝑥 · (norm‘(𝑤 + 𝑧))))
129, 11breq12d 5118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) ↔ ((norm𝑤) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + 𝑧)))))
13 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (norm𝑧) = (norm‘(-1 · 𝑤)))
1413oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → ((norm𝑤) + (norm𝑧)) = ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))))
15 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (𝑤 + 𝑧) = (𝑤 + (-1 · 𝑤)))
1615fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (norm‘(𝑤 + 𝑧)) = (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))
1716oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (𝑥 · (norm‘(𝑤 + 𝑧))) = (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))))
1814, 17breq12d 5118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (-1 · 𝑤) → (((norm𝑤) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + 𝑧))) ↔ ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))))
1912, 18rspc2v 3590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐴 ∧ (-1 · 𝑤) ∈ 𝐵) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))))
207, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))))
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))))))
22 cdj1.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴S
2322, 2shincli 30304 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵) ∈ S
2423sheli 30156 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑤 ∈ ℋ)
25 normneg 30086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℋ → (norm‘(-1 · 𝑤)) = (norm𝑤))
2625oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) = ((norm𝑤) + (norm𝑤)))
27 normcl 30067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℋ → (norm𝑤) ∈ ℝ)
2827recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℋ → (norm𝑤) ∈ ℂ)
29282timesd 12396 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → (2 · (norm𝑤)) = ((norm𝑤) + (norm𝑤)))
3026, 29eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) = (2 · (norm𝑤)))
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) = (2 · (norm𝑤)))
32 hvnegid 29969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑤 + (-1 · 𝑤)) = 0)
3332fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))) = (norm‘0))
34 norm0 30070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (norm‘0) = 0
3533, 34eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤))) = 0)
3635oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) = (𝑥 · 0))
37 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3837mul01d 11354 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 0) = 0)
3936, 38sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) = 0)
40 2t0e0 12322 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 0) = 0
4139, 40eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) = (2 · 0))
4231, 41breq12d 5118 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) ↔ (2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0)))
43 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
44 letri3 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((norm𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((norm𝑤) = 0 ↔ ((norm𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm𝑤))))
4527, 43, 44sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) = 0 ↔ ((norm𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm𝑤))))
46 normge0 30068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝑤))
4746biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) ≤ 0 ↔ ((norm𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm𝑤))))
48 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
49 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
5048, 49pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
51 lemul2 12008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((norm𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((norm𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0)))
5243, 50, 51mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((norm𝑤) ∈ ℝ → ((norm𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0)))
5327, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0)))
5445, 47, 533bitr2rd 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℋ → ((2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ (norm𝑤) = 0))
55 norm-i 30071 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℋ → ((norm𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = 0))
5654, 55bitrd 278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℋ → ((2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ 𝑤 = 0))
5756adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((2 · (norm𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ 𝑤 = 0))
5842, 57bitrd 278 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) ↔ 𝑤 = 0))
5924, 58sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → (((norm𝑤) + (norm‘(-1 · 𝑤))) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑤 + (-1 · 𝑤)))) ↔ 𝑤 = 0))
6021, 59sylibd 238 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → 𝑤 = 0))
6160impancom 452 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑤 = 0))
62 elch0 30196 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ 0𝑤 = 0)
6361, 62syl6ibr 251 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑤 ∈ 0))
6463ssrdv 3950 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝐴𝐵) ⊆ 0)
6564ex 413 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → (𝐴𝐵) ⊆ 0))
66 shle0 30384 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ S → ((𝐴𝐵) ⊆ 0 ↔ (𝐴𝐵) = 0))
6723, 66ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴𝐵) ⊆ 0 ↔ (𝐴𝐵) = 0)
6865, 67syl6ib 250 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧))) → (𝐴𝐵) = 0))
6968adantld 491 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝐴𝐵) = 0))
7069rexlimiv 3145 1 (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ((norm𝑦) + (norm𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm‘(𝑦 + 𝑧)))) → (𝐴𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  -cneg 11386  2c2 12208  chba 29861   + cva 29862   · csm 29863  normcno 29865  0c0v 29866   S csh 29870  0c0h 29877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his3 30026  ax-his4 30027
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-hnorm 29910  df-hvsub 29913  df-sh 30149  df-ch0 30195
This theorem is referenced by:  cdj3lem2b  31379  cdj3i  31383
  Copyright terms: Public domain W3C validator