Theorem cdj3lem1 32523

Description: A property of "𝐴 and 𝐵 are completely disjoint subspaces." Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem1	⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cdj3lem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))
2		cdj1.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3		neg1cn 12138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		shmulcl 31307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵)
5	2, 3, 4	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (-1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵)
6	5	anim2i 618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (-1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵))
7	1, 6	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (-1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵))
8		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘𝑤))
9	8	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) = ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑧)))
10		fvoveq1 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) = (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧)))
11	10	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) = (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧))))
12	9, 11	breq12d 5099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) ↔ ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧)))))
13		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑤) → (normℎ‘𝑧) = (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤)))
14	13	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑤) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑧)) = ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))))
15		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑤) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))
16	15	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑤) → (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧)) = (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))))
17	16	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑤) → (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧))) = (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))))
18	14, 17	breq12d 5099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑤) → (((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧))) ↔ ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))))))
19	12, 18	rspc2v 3576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (-1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))))))
20	7, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))))))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))))))
22		cdj1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
23	22, 2	shincli 31451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ
24	23	sheli 31303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑤 ∈ ℋ)
25		normneg 31233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤)) = (normℎ‘𝑤))
26	25	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) = ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑤)))
27		normcl 31214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑤) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑤) ∈ ℂ)
29	28	2timesd 12414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (2 · (normℎ‘𝑤)) = ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑤)))
30	26, 29	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) = (2 · (normℎ‘𝑤)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) = (2 · (normℎ‘𝑤)))
32		hvnegid 31116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)) = 0ℎ)
33	32	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))) = (normℎ‘0ℎ))
34		norm0 31217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))) = 0)
36	35	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))) = (𝑥 · 0))
37		recn 11122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
38	37	mul01d 11339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 0) = 0)
39	36, 38	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))) = 0)
40		2t0e0 12339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 0) = 0
41	39, 40	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))) = (2 · 0))
42	31, 41	breq12d 5099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))) ↔ (2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0)))
43		0re 11140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		letri3 11225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normℎ‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((normℎ‘𝑤) = 0 ↔ ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑤))))
45	27, 43, 44	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) = 0 ↔ ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑤))))
46		normge0 31215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝑤))
47	46	biantrud 531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ↔ ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑤))))
48		2re 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
49		2pos 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
50	48, 49	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
51		lemul2 12002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((normℎ‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0)))
52	43, 50, 51	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ‘𝑤) ∈ ℝ → ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0)))
53	27, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0)))
54	45, 47, 53	3bitr2rd 308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ (normℎ‘𝑤) = 0))
55		norm-i 31218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = 0ℎ))
56	54, 55	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ 𝑤 = 0ℎ))
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ 𝑤 = 0ℎ))
58	42, 57	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))) ↔ 𝑤 = 0ℎ))
59	24, 58	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))) ↔ 𝑤 = 0ℎ))
60	21, 59	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → 𝑤 = 0ℎ))
61	60	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑤 = 0ℎ))
62		elch0 31343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 0ℋ ↔ 𝑤 = 0ℎ)
63	61, 62	imbitrrdi 252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑤 ∈ 0ℋ))
64	63	ssrdv 3928	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ)
65	64	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ))
66		shle0 31531	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
67	23, 66	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)
68	65, 67	imbitrdi 251	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
69	68	adantld 490	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
70	69	rexlimiv 3132	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   < clt 11173   ≤ cle 11174  -cneg 11372  2c2 12230   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009   ·_ℎ csm 31010  norm_ℎcno 31012  0_ℎc0v 31013   S_ℋ csh 31017  0_ℋc0h 31024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-hnorm 31057  df-hvsub 31060  df-sh 31296  df-ch0 31342

This theorem is referenced by:  cdj3lem2b  32526  cdj3i  32530