Theorem cdj3lem1 33093

Description: A property of "𝐴 and 𝐵 are completely disjoint subspaces." Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem1	⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cdj3lem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))
2		cdj1.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3		neg1cn 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		shmulcl 31877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ( -1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵)
5	2, 3, 4	mp3an12 1481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → ( -1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵)
6	5	anim2i 629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ( -1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵))
7	1, 6	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ( -1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵))
8		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘𝑤))
9	8	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) = ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑧)))
10		fvoveq1 7474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) = (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧)))
11	10	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) = (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧))))
12	9, 11	breq12d 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) ↔ ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧)))))
13		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = ( -1 ·ℎ 𝑤) → (normℎ‘𝑧) = (normℎ‘( -1 ·ℎ 𝑤)))
14	13	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = ( -1 ·ℎ 𝑤) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑧)) = ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘( -1 ·ℎ 𝑤))))
15		oveq2 7459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = ( -1 ·ℎ 𝑤) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤)))
16	15	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = ( -1 ·ℎ 𝑤) → (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧)) = (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤))))
17	16	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = ( -1 ·ℎ 𝑤) → (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧))) = (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤)))))
18	14, 17	breq12d 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ( -1 ·ℎ 𝑤) → (((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧))) ↔ ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘( -1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤))))))
19	12, 18	rspc2v 3590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ( -1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘( -1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤))))))
20	7, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘( -1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤))))))
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘( -1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤))))))
22		cdj1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
23	22, 2	shincli 32021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ
24	23	sheli 31873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑤 ∈ ℋ)
25		normneg 31803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘( -1 ·ℎ 𝑤)) = (normℎ‘𝑤))
26	25	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘( -1 ·ℎ 𝑤))) = ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑤)))
27		normcl 31784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑤) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑤) ∈ ℂ)
29	28	2timesd 12629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (2 · (normℎ‘𝑤)) = ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑤)))
30	26, 29	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘( -1 ·ℎ 𝑤))) = (2 · (normℎ‘𝑤)))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘( -1 ·ℎ 𝑤))) = (2 · (normℎ‘𝑤)))
32		hvnegid 31686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤)) = 0ℎ)
33	32	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤))) = (normℎ‘0ℎ))
34		norm0 31787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤))) = 0)
36	35	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤)))) = (𝑥 · 0))
37		recn 11329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
38	37	mul01d 11548	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 0) = 0)
39	36, 38	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤)))) = 0)
40		2t0e0 12553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 0) = 0
41	39, 40	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤)))) = (2 · 0))
42	31, 41	breq12d 5121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘( -1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤)))) ↔ (2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0)))
43		0re 11349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		letri3 11434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normℎ‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((normℎ‘𝑤) = 0 ↔ ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑤))))
45	27, 43, 44	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) = 0 ↔ ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑤))))
46		normge0 31785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝑤))
47	46	biantrud 541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ↔ ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑤))))
48		2re 12457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
49		2pos 12487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
50	48, 49	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
51		lemul2 12210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((normℎ‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0)))
52	43, 50, 51	mp3an23 1483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ‘𝑤) ∈ ℝ → ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0)))
53	27, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0)))
54	45, 47, 53	3bitr2rd 311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ (normℎ‘𝑤) = 0))
55		norm-i 31788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = 0ℎ))
56	54, 55	bitrd 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ 𝑤 = 0ℎ))
57	56	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ 𝑤 = 0ℎ))
58	42, 57	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘( -1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤)))) ↔ 𝑤 = 0ℎ))
59	24, 58	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘( -1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝑤)))) ↔ 𝑤 = 0ℎ))
60	21, 59	sylibd 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → 𝑤 = 0ℎ))
61	60	impancom 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑤 = 0ℎ))
62		elch0 31913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 0ℋ ↔ 𝑤 = 0ℎ)
63	61, 62	imbitrrdi 255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑤 ∈ 0ℋ))
64	63	ssrdv 3919	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ)
65	64	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ))
66		shle0 32101	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
67	23, 66	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)
68	65, 67	imbitrdi 254	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
69	68	adantld 496	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
70	69	rexlimiv 3160	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   -cneg 11581  2c2 12437   ℋchba 31578   +_ℎ cva 31579   ·_ℎ csm 31580  norm_ℎcno 31582  0_ℎc0v 31583   S_ℋ csh 31587  0_ℋc0h 31594

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-hilex 31658  ax-hfvadd 31659  ax-hvcom 31660  ax-hv0cl 31662  ax-hvaddid 31663  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvmulass 31666  ax-hvdistr1 31667  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his3 31743  ax-his4 31744

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-hnorm 31627  df-hvsub 31630  df-sh 31866  df-ch0 31912

This theorem is used by:  cdj3lem2b  33096  cdj3i  33100