Theorem cdj3lem1 32637

Description: A property of "𝐴 and 𝐵 are completely disjoint subspaces." Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem1	⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cdj3lem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))
2		cdj1.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3		neg1cn 12180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		shmulcl 31421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (-1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵)
5	2, 3, 4	mp3an12 1472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (-1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵)
6	5	anim2i 626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (-1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵))
7	1, 6	sylbi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (-1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵))
8		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘𝑤))
9	8	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) = ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑧)))
10		fvoveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)) = (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧)))
11	10	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) = (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧))))
12	9, 11	breq12d 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) ↔ ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧)))))
13		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑤) → (normℎ‘𝑧) = (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤)))
14	13	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑤) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑧)) = ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))))
15		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑤) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))
16	15	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑤) → (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧)) = (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))))
17	16	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑤) → (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧))) = (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))))
18	14, 17	breq12d 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (-1 ·ℎ 𝑤) → (((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ 𝑧))) ↔ ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))))))
19	12, 18	rspc2v 3592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (-1 ·ℎ 𝑤) ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))))))
20	7, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))))))
21	20	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))))))
22		cdj1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
23	22, 2	shincli 31565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ
24	23	sheli 31417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑤 ∈ ℋ)
25		normneg 31347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤)) = (normℎ‘𝑤))
26	25	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) = ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑤)))
27		normcl 31328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑤) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑤) ∈ ℂ)
29	28	2timesd 12464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (2 · (normℎ‘𝑤)) = ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘𝑤)))
30	26, 29	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) = (2 · (normℎ‘𝑤)))
31	30	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) = (2 · (normℎ‘𝑤)))
32		hvnegid 31230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)) = 0ℎ)
33	32	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))) = (normℎ‘0ℎ))
34		norm0 31331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤))) = 0)
36	35	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))) = (𝑥 · 0))
37		recn 11163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
38	37	mul01d 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 0) = 0)
39	36, 38	sylan9eqr 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))) = 0)
40		2t0e0 12388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 0) = 0
41	39, 40	eqtr4di 2815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))) = (2 · 0))
42	31, 41	breq12d 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))) ↔ (2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0)))
43		0re 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		letri3 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normℎ‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((normℎ‘𝑤) = 0 ↔ ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑤))))
45	27, 43, 44	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) = 0 ↔ ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑤))))
46		normge0 31329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝑤))
47	46	biantrud 539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ↔ ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑤))))
48		2re 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
49		2pos 12322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
50	48, 49	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
51		lemul2 12044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((normℎ‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0)))
52	43, 50, 51	mp3an23 1474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ‘𝑤) ∈ ℝ → ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0)))
53	27, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) ≤ 0 ↔ (2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0)))
54	45, 47, 53	3bitr2rd 310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ (normℎ‘𝑤) = 0))
55		norm-i 31332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = 0ℎ))
56	54, 55	bitrd 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ 𝑤 = 0ℎ))
57	56	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((2 · (normℎ‘𝑤)) ≤ (2 · 0) ↔ 𝑤 = 0ℎ))
58	42, 57	bitrd 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))) ↔ 𝑤 = 0ℎ))
59	24, 58	sylan2 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (((normℎ‘𝑤) + (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝑤))) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑤 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑤)))) ↔ 𝑤 = 0ℎ))
60	21, 59	sylibd 241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → 𝑤 = 0ℎ))
61	60	impancom 455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑤 = 0ℎ))
62		elch0 31457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 0ℋ ↔ 𝑤 = 0ℎ)
63	61, 62	imbitrrdi 254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑤 ∈ 0ℋ))
64	63	ssrdv 3942	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ)
65	64	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ))
66		shle0 31645	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
67	23, 66	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)
68	65, 67	imbitrdi 253	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
69	68	adantld 494	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
70	69	rexlimiv 3156	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((normℎ‘𝑦) + (normℎ‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘(𝑦 +ℎ 𝑧)))) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   < clt 11216   ≤ cle 11217  -cneg 11415  2c2 12272   ℋchba 31122   +_ℎ cva 31123   ·_ℎ csm 31124  norm_ℎcno 31126  0_ℎc0v 31127   S_ℋ csh 31131  0_ℋc0h 31138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-hilex 31202  ax-hfvadd 31203  ax-hvcom 31204  ax-hv0cl 31206  ax-hvaddid 31207  ax-hfvmul 31208  ax-hvmulid 31209  ax-hvmulass 31210  ax-hvdistr1 31211  ax-hvdistr2 31212  ax-hvmul0 31213  ax-hfi 31282  ax-his1 31285  ax-his3 31287  ax-his4 31288

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-hnorm 31171  df-hvsub 31174  df-sh 31410  df-ch0 31456

This theorem is referenced by:  cdj3lem2b  32640  cdj3i  32644