HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem3 31413
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem3.1 𝐴S
5oalem3.2 𝐵S
5oalem3.3 𝐶S
5oalem3.4 𝐷S
5oalem3.5 𝐹S
5oalem3.6 𝐺S
Assertion
Ref Expression
5oalem3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))

Proof of Theorem 5oalem3
StepHypRef Expression
1 anandir 674 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ↔ (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))))
2 5oalem3.1 . . . . . . 7 𝐴S
3 5oalem3.2 . . . . . . 7 𝐵S
4 5oalem3.5 . . . . . . 7 𝐹S
5 5oalem3.6 . . . . . . 7 𝐺S
62, 3, 4, 55oalem2 31412 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)) → (𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)))
7 5oalem3.3 . . . . . . 7 𝐶S
8 5oalem3.4 . . . . . . 7 𝐷S
97, 8, 4, 55oalem2 31412 . . . . . 6 ((((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔)) → (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)))
106, 9anim12i 612 . . . . 5 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)) ∧ (((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → ((𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
1110an4s 657 . . . 4 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → ((𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
121, 11sylanb 580 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → ((𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
132, 4shscli 31074 . . . . 5 (𝐴 + 𝐹) ∈ S
143, 5shscli 31074 . . . . 5 (𝐵 + 𝐺) ∈ S
1513, 14shincli 31119 . . . 4 ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∈ S
167, 4shscli 31074 . . . . 5 (𝐶 + 𝐹) ∈ S
178, 5shscli 31074 . . . . 5 (𝐷 + 𝐺) ∈ S
1816, 17shincli 31119 . . . 4 ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∈ S
1915, 18shsvsi 31124 . . 3 (((𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
2012, 19syl 17 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
212sheli 30971 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
2221adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
237sheli 30971 . . . . . . 7 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
2423adantr 480 . . . . . 6 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝑧 ∈ ℋ)
2522, 24anim12i 612 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
264sheli 30971 . . . . . 6 (𝑓𝐹𝑓 ∈ ℋ)
2726adantr 480 . . . . 5 ((𝑓𝐹𝑔𝐺) → 𝑓 ∈ ℋ)
28 hvsubsub4 30817 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
2928anandirs 676 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
30 hvsubid 30783 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ℋ → (𝑓 𝑓) = 0)
3130oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − 0))
32 hvsubcl 30774 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑧) ∈ ℋ)
33 hvsub0 30833 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
3531, 34sylan9eqr 2788 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3629, 35eqtrd 2766 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3725, 27, 36syl2an 595 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3837eleq1d 2812 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) → (((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))) ↔ (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)))))
3938adantr 480 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))) ↔ (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)))))
4020, 39mpbid 231 1 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3942  (class class class)co 7404  chba 30676   + cva 30677  0c0v 30681   cmv 30682   S csh 30685   + cph 30688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hvcom 30758  ax-hvass 30759  ax-hv0cl 30760  ax-hvaddid 30761  ax-hfvmul 30762  ax-hvmulid 30763  ax-hvmulass 30764  ax-hvdistr1 30765  ax-hvdistr2 30766  ax-hvmul0 30767
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-grpo 30250  df-ablo 30302  df-hvsub 30728  df-hlim 30729  df-sh 30964  df-ch 30978  df-shs 31065
This theorem is referenced by:  5oalem4  31414
  Copyright terms: Public domain W3C validator