Theorem 5oalem3 32258

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem3.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem3.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem3.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem3.4	⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
5oalem3.5	⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
5oalem3.6	⊢ 𝐺 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem3	⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))

Proof of Theorem 5oalem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandir 690	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))))
2		5oalem3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		5oalem3.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4		5oalem3.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
5		5oalem3.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
6	2, 3, 4, 5	5oalem2 32257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) → (𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)))
7		5oalem3.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
8		5oalem3.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
9	7, 8, 4, 5	5oalem2 32257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) → (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))
10	6, 9	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
11	10	an4s 673	. . . 4 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
12	1, 11	sylanb 593	. . 3 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
13	2, 4	shscli 31919	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐹) ∈ Sℋ
14	3, 5	shscli 31919	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
15	13, 14	shincli 31964	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∈ Sℋ
16	7, 4	shscli 31919	. . . . 5 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐹) ∈ Sℋ
17	8, 5	shscli 31919	. . . . 5 ⊢ (𝐷 +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
18	16, 17	shincli 31964	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∈ Sℋ
19	15, 18	shsvsi 31969	. . 3 ⊢ (((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
20	12, 19	syl 18	. 2 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
21	2	sheli 31816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
22	21	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
23	7	sheli 31816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ ℋ)
25	22, 24	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
26	4	sheli 31816	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐹 → 𝑓 ∈ ℋ)
27	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑓 ∈ ℋ)
28		hvsubsub4 31662	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ)) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)))
29	28	anandirs 692	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)))
30		hvsubid 31628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ℋ → (𝑓 −ℎ 𝑓) = 0ℎ)
31	30	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ))
32		hvsubcl 31619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
33		hvsub0 31678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
35	31, 34	sylan9eqr 2817	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
36	29, 35	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
37	25, 27, 36	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
38	37	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) → (((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))))
39	38	adantr 486	. 2 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))))
40	20, 39	mpbid 235	1 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4089  (class class class)co 7420   ℋchba 31521   +_ℎ cva 31522  0_ℎc0v 31526   −_ℎ cmv 31527   S_ℋ csh 31530   +_ℋ cph 31533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-grpo 31095  df-ablo 31147  df-hvsub 31573  df-hlim 31574  df-sh 31809  df-ch 31823  df-shs 31910

This theorem is used by:  5oalem4  32259