Proof of Theorem 5oalem3
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | anandir 677 |
. . . 4
⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)))) |
| 2 | | 5oalem3.1 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐴 ∈
Sℋ |
| 3 | | 5oalem3.2 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐵 ∈
Sℋ |
| 4 | | 5oalem3.5 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐹 ∈
Sℋ |
| 5 | | 5oalem3.6 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐺 ∈
Sℋ |
| 6 | 2, 3, 4, 5 | 5oalem2 31674 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) → (𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺))) |
| 7 | | 5oalem3.3 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐶 ∈
Sℋ |
| 8 | | 5oalem3.4 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐷 ∈
Sℋ |
| 9 | 7, 8, 4, 5 | 5oalem2 31674 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) → (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) |
| 10 | 6, 9 | anim12i 613 |
. . . . 5
⊢
(((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))) |
| 11 | 10 | an4s 660 |
. . . 4
⊢
(((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))) |
| 12 | 1, 11 | sylanb 581 |
. . 3
⊢
(((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))) |
| 13 | 2, 4 | shscli 31336 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 +ℋ 𝐹) ∈
Sℋ |
| 14 | 3, 5 | shscli 31336 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 +ℋ 𝐺) ∈
Sℋ |
| 15 | 13, 14 | shincli 31381 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∈
Sℋ |
| 16 | 7, 4 | shscli 31336 |
. . . . 5
⊢ (𝐶 +ℋ 𝐹) ∈
Sℋ |
| 17 | 8, 5 | shscli 31336 |
. . . . 5
⊢ (𝐷 +ℋ 𝐺) ∈
Sℋ |
| 18 | 16, 17 | shincli 31381 |
. . . 4
⊢ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∈
Sℋ |
| 19 | 15, 18 | shsvsi 31386 |
. . 3
⊢ (((𝑥 −ℎ
𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ
(𝑧
−ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))) |
| 20 | 12, 19 | syl 17 |
. 2
⊢
(((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ
(𝑧
−ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))) |
| 21 | 2 | sheli 31233 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ) |
| 22 | 21 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ) |
| 23 | 7 | sheli 31233 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ) |
| 24 | 23 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ ℋ) |
| 25 | 22, 24 | anim12i 613 |
. . . . 5
⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) |
| 26 | 4 | sheli 31233 |
. . . . . 6
⊢ (𝑓 ∈ 𝐹 → 𝑓 ∈ ℋ) |
| 27 | 26 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑓 ∈ ℋ) |
| 28 | | hvsubsub4 31079 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ)) → ((𝑥 −ℎ
𝑓)
−ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ
(𝑓
−ℎ 𝑓))) |
| 29 | 28 | anandirs 679 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ
𝑓)
−ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ
(𝑓
−ℎ 𝑓))) |
| 30 | | hvsubid 31045 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑓 ∈ ℋ → (𝑓 −ℎ
𝑓) =
0ℎ) |
| 31 | 30 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑓 ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ
𝑧)
−ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ
0ℎ)) |
| 32 | | hvsubcl 31036 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ
𝑧) ∈
ℋ) |
| 33 | | hvsub0 31095 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 −ℎ
𝑧) ∈ ℋ →
((𝑥
−ℎ 𝑧) −ℎ
0ℎ) = (𝑥
−ℎ 𝑧)) |
| 34 | 32, 33 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ
𝑧)
−ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧)) |
| 35 | 31, 34 | sylan9eqr 2799 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ
𝑧)
−ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧)) |
| 36 | 29, 35 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ
𝑓)
−ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧)) |
| 37 | 25, 27, 36 | syl2an 596 |
. . . 4
⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ
(𝑧
−ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧)) |
| 38 | 37 | eleq1d 2826 |
. . 3
⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) → (((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ
(𝑧
−ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))) |
| 39 | 38 | adantr 480 |
. 2
⊢
(((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ
(𝑧
−ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))) |
| 40 | 20, 39 | mpbid 232 |
1
⊢
(((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))) |