Theorem 5oalem3 29435

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem3.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem3.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem3.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem3.4	⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
5oalem3.5	⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
5oalem3.6	⊢ 𝐺 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem3	⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))

Proof of Theorem 5oalem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandir 675	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))))
2		5oalem3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		5oalem3.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4		5oalem3.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
5		5oalem3.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
6	2, 3, 4, 5	5oalem2 29434	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) → (𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)))
7		5oalem3.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
8		5oalem3.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
9	7, 8, 4, 5	5oalem2 29434	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) → (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))
10	6, 9	anim12i 614	. . . . 5 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
11	10	an4s 658	. . . 4 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
12	1, 11	sylanb 583	. . 3 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
13	2, 4	shscli 29096	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐹) ∈ Sℋ
14	3, 5	shscli 29096	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
15	13, 14	shincli 29141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∈ Sℋ
16	7, 4	shscli 29096	. . . . 5 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐹) ∈ Sℋ
17	8, 5	shscli 29096	. . . . 5 ⊢ (𝐷 +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
18	16, 17	shincli 29141	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∈ Sℋ
19	15, 18	shsvsi 29146	. . 3 ⊢ (((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
20	12, 19	syl 17	. 2 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
21	2	sheli 28993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
22	21	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
23	7	sheli 28993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
24	23	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ ℋ)
25	22, 24	anim12i 614	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
26	4	sheli 28993	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐹 → 𝑓 ∈ ℋ)
27	26	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑓 ∈ ℋ)
28		hvsubsub4 28839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ)) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)))
29	28	anandirs 677	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)))
30		hvsubid 28805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ℋ → (𝑓 −ℎ 𝑓) = 0ℎ)
31	30	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ))
32		hvsubcl 28796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
33		hvsub0 28855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
35	31, 34	sylan9eqr 2880	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
36	29, 35	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
37	25, 27, 36	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
38	37	eleq1d 2899	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) → (((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))))
39	38	adantr 483	. 2 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))))
40	20, 39	mpbid 234	1 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3937  (class class class)co 7158   ℋchba 28698   +_ℎ cva 28699  0_ℎc0v 28703   −_ℎ cmv 28704   S_ℋ csh 28707   +_ℋ cph 28710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-hilex 28778  ax-hfvadd 28779  ax-hvcom 28780  ax-hvass 28781  ax-hv0cl 28782  ax-hvaddid 28783  ax-hfvmul 28784  ax-hvmulid 28785  ax-hvmulass 28786  ax-hvdistr1 28787  ax-hvdistr2 28788  ax-hvmul0 28789

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-grpo 28272  df-ablo 28324  df-hvsub 28750  df-hlim 28751  df-sh 28986  df-ch 29000  df-shs 29087

This theorem is referenced by:  5oalem4  29436