Theorem 5oalem3 31685

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem3.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem3.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem3.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem3.4	⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
5oalem3.5	⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
5oalem3.6	⊢ 𝐺 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem3	⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))

Proof of Theorem 5oalem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandir 677	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))))
2		5oalem3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		5oalem3.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4		5oalem3.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
5		5oalem3.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
6	2, 3, 4, 5	5oalem2 31684	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) → (𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)))
7		5oalem3.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
8		5oalem3.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
9	7, 8, 4, 5	5oalem2 31684	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) → (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))
10	6, 9	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
11	10	an4s 660	. . . 4 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
12	1, 11	sylanb 581	. . 3 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
13	2, 4	shscli 31346	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐹) ∈ Sℋ
14	3, 5	shscli 31346	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
15	13, 14	shincli 31391	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∈ Sℋ
16	7, 4	shscli 31346	. . . . 5 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐹) ∈ Sℋ
17	8, 5	shscli 31346	. . . . 5 ⊢ (𝐷 +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
18	16, 17	shincli 31391	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∈ Sℋ
19	15, 18	shsvsi 31396	. . 3 ⊢ (((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
20	12, 19	syl 17	. 2 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
21	2	sheli 31243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
23	7	sheli 31243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ ℋ)
25	22, 24	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
26	4	sheli 31243	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐹 → 𝑓 ∈ ℋ)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑓 ∈ ℋ)
28		hvsubsub4 31089	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ)) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)))
29	28	anandirs 679	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)))
30		hvsubid 31055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ℋ → (𝑓 −ℎ 𝑓) = 0ℎ)
31	30	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ))
32		hvsubcl 31046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
33		hvsub0 31105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
35	31, 34	sylan9eqr 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
36	29, 35	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
37	25, 27, 36	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
38	37	eleq1d 2824	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) → (((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))))
39	38	adantr 480	. 2 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))))
40	20, 39	mpbid 232	1 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962  (class class class)co 7431   ℋchba 30948   +_ℎ cva 30949  0_ℎc0v 30953   −_ℎ cmv 30954   S_ℋ csh 30957   +_ℋ cph 30960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-grpo 30522  df-ablo 30574  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-sh 31236  df-ch 31250  df-shs 31337

This theorem is referenced by:  5oalem4  31686