HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem3 31486
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem3.1 𝐴S
5oalem3.2 𝐵S
5oalem3.3 𝐶S
5oalem3.4 𝐷S
5oalem3.5 𝐹S
5oalem3.6 𝐺S
Assertion
Ref Expression
5oalem3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))

Proof of Theorem 5oalem3
StepHypRef Expression
1 anandir 675 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ↔ (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))))
2 5oalem3.1 . . . . . . 7 𝐴S
3 5oalem3.2 . . . . . . 7 𝐵S
4 5oalem3.5 . . . . . . 7 𝐹S
5 5oalem3.6 . . . . . . 7 𝐺S
62, 3, 4, 55oalem2 31485 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)) → (𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)))
7 5oalem3.3 . . . . . . 7 𝐶S
8 5oalem3.4 . . . . . . 7 𝐷S
97, 8, 4, 55oalem2 31485 . . . . . 6 ((((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔)) → (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)))
106, 9anim12i 611 . . . . 5 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)) ∧ (((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → ((𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
1110an4s 658 . . . 4 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → ((𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
121, 11sylanb 579 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → ((𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
132, 4shscli 31147 . . . . 5 (𝐴 + 𝐹) ∈ S
143, 5shscli 31147 . . . . 5 (𝐵 + 𝐺) ∈ S
1513, 14shincli 31192 . . . 4 ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∈ S
167, 4shscli 31147 . . . . 5 (𝐶 + 𝐹) ∈ S
178, 5shscli 31147 . . . . 5 (𝐷 + 𝐺) ∈ S
1816, 17shincli 31192 . . . 4 ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∈ S
1915, 18shsvsi 31197 . . 3 (((𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
2012, 19syl 17 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
212sheli 31044 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
2221adantr 479 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
237sheli 31044 . . . . . . 7 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
2423adantr 479 . . . . . 6 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝑧 ∈ ℋ)
2522, 24anim12i 611 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
264sheli 31044 . . . . . 6 (𝑓𝐹𝑓 ∈ ℋ)
2726adantr 479 . . . . 5 ((𝑓𝐹𝑔𝐺) → 𝑓 ∈ ℋ)
28 hvsubsub4 30890 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
2928anandirs 677 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
30 hvsubid 30856 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ℋ → (𝑓 𝑓) = 0)
3130oveq2d 7442 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − 0))
32 hvsubcl 30847 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑧) ∈ ℋ)
33 hvsub0 30906 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
3531, 34sylan9eqr 2790 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3629, 35eqtrd 2768 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3725, 27, 36syl2an 594 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3837eleq1d 2814 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) → (((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))) ↔ (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)))))
3938adantr 479 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))) ↔ (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)))))
4020, 39mpbid 231 1 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3948  (class class class)co 7426  chba 30749   + cva 30750  0c0v 30754   cmv 30755   S csh 30758   + cph 30761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hvcom 30831  ax-hvass 30832  ax-hv0cl 30833  ax-hvaddid 30834  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvmulass 30837  ax-hvdistr1 30838  ax-hvdistr2 30839  ax-hvmul0 30840
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-grpo 30323  df-ablo 30375  df-hvsub 30801  df-hlim 30802  df-sh 31037  df-ch 31051  df-shs 31138
This theorem is referenced by:  5oalem4  31487
  Copyright terms: Public domain W3C validator