Theorem 5oalem3 31727

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem3.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem3.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem3.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem3.4	⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
5oalem3.5	⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
5oalem3.6	⊢ 𝐺 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem3	⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))

Proof of Theorem 5oalem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandir 678	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))))
2		5oalem3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		5oalem3.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4		5oalem3.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
5		5oalem3.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
6	2, 3, 4, 5	5oalem2 31726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) → (𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)))
7		5oalem3.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
8		5oalem3.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
9	7, 8, 4, 5	5oalem2 31726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) → (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))
10	6, 9	anim12i 614	. . . . 5 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
11	10	an4s 661	. . . 4 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
12	1, 11	sylanb 582	. . 3 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
13	2, 4	shscli 31388	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐹) ∈ Sℋ
14	3, 5	shscli 31388	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
15	13, 14	shincli 31433	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∈ Sℋ
16	7, 4	shscli 31388	. . . . 5 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐹) ∈ Sℋ
17	8, 5	shscli 31388	. . . . 5 ⊢ (𝐷 +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
18	16, 17	shincli 31433	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∈ Sℋ
19	15, 18	shsvsi 31438	. . 3 ⊢ (((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
20	12, 19	syl 17	. 2 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))
21	2	sheli 31285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
23	7	sheli 31285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ ℋ)
25	22, 24	anim12i 614	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
26	4	sheli 31285	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐹 → 𝑓 ∈ ℋ)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑓 ∈ ℋ)
28		hvsubsub4 31131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ)) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)))
29	28	anandirs 680	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)))
30		hvsubid 31097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ℋ → (𝑓 −ℎ 𝑓) = 0ℎ)
31	30	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ))
32		hvsubcl 31088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
33		hvsub0 31147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
35	31, 34	sylan9eqr 2793	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
36	29, 35	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
37	25, 27, 36	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
38	37	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) → (((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))))
39	38	adantr 480	. 2 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)))))
40	20, 39	mpbid 232	1 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑓 +ℎ 𝑔))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888  (class class class)co 7367   ℋchba 30990   +_ℎ cva 30991  0_ℎc0v 30995   −_ℎ cmv 30996   S_ℋ csh 30999   +_ℋ cph 31002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvmulass 31078  ax-hvdistr1 31079  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-grpo 30564  df-ablo 30616  df-hvsub 31042  df-hlim 31043  df-sh 31278  df-ch 31292  df-shs 31379

This theorem is referenced by:  5oalem4  31728