Theorem 5oalem5 29429

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-May-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem5.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem5.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem5.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem5.4	⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
5oalem5.5	⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
5oalem5.6	⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
5oalem5.7	⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
5oalem5.8	⊢ 𝑆 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem5	⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) ∧ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))))

Proof of Theorem 5oalem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))
2	1	anim2i 618	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)))
3		simpl 485	. . 3 ⊢ ((((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))
4		5oalem5.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5		5oalem5.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
6		5oalem5.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
7		5oalem5.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
8		5oalem5.7	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
9		5oalem5.8	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ Sℋ
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	5oalem4 29428	. . 3 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))))
11	2, 3, 10	syl2an 597	. 2 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) ∧ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))))
12	4	sheli 28985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
13	12	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
14	6	sheli 28985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
15	14	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ ℋ)
16	13, 15	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
17		5oalem5.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
18	17	sheli 28985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐹 → 𝑓 ∈ ℋ)
19	18	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑓 ∈ ℋ)
20		hvsubsub4 28831	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ)) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)))
21	20	anandirs 677	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)))
22		hvsubid 28797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ℋ → (𝑓 −ℎ 𝑓) = 0ℎ)
23	22	oveq2d 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ))
24		hvsubcl 28788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
25		hvsub0 28847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
27	23, 26	sylan9eqr 2878	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) −ℎ (𝑓 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
28	21, 27	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
29	16, 19, 28	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
30	29	adantrr 715	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
31	30	adantr 483	. . 3 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) ∧ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
32		simpl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))
33	32	anim2i 618	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)))
34		anandir 675	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))))
35	33, 34	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))))
36		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) → (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))
37	35, 36	jca 514	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)))
38		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
39	38	anim1i 616	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))
40		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢))
41	40	anim1i 616	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))
42	39, 41	jca 514	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))))
43		anandir 675	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) ↔ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) ∧ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))))
44		5oalem5.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
45	4, 5, 17, 44, 8, 9	5oalem4 29428	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))
46	6, 7, 17, 44, 8, 9	5oalem4 29428	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))
47	45, 46	anim12i 614	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))) ∧ ((((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))
48	47	an4s 658	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) ∧ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) ∧ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))
49	43, 48	sylanb 583	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) ∧ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ ((𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))
50	37, 42, 49	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) ∧ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))
51	4, 17	shscli 29088	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐹) ∈ Sℋ
52	5, 44	shscli 29088	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
53	51, 52	shincli 29133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∈ Sℋ
54	4, 8	shscli 29088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝑅) ∈ Sℋ
55	5, 9	shscli 29088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝑆) ∈ Sℋ
56	54, 55	shincli 29133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) ∈ Sℋ
57	17, 8	shscli 29088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 +ℋ 𝑅) ∈ Sℋ
58	44, 9	shscli 29088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 +ℋ 𝑆) ∈ Sℋ
59	57, 58	shincli 29133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)) ∈ Sℋ
60	56, 59	shscli 29088	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))) ∈ Sℋ
61	53, 60	shincli 29133	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) ∈ Sℋ
62	6, 17	shscli 29088	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐹) ∈ Sℋ
63	7, 44	shscli 29088	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
64	62, 63	shincli 29133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∈ Sℋ
65	6, 8	shscli 29088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝑅) ∈ Sℋ
66	7, 9	shscli 29088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 +ℋ 𝑆) ∈ Sℋ
67	65, 66	shincli 29133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) ∈ Sℋ
68	67, 59	shscli 29088	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))) ∈ Sℋ
69	64, 68	shincli 29133	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) ∈ Sℋ
70	61, 69	shsvsi 29138	. . . 4 ⊢ (((𝑥 −ℎ 𝑓) ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) ∧ (𝑧 −ℎ 𝑓) ∈ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))
71	50, 70	syl 17	. . 3 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) ∧ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → ((𝑥 −ℎ 𝑓) −ℎ (𝑧 −ℎ 𝑓)) ∈ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))
72	31, 71	eqeltrrd 2914	. 2 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) ∧ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))
73	11, 72	elind 4170	1 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) ∧ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3934  (class class class)co 7150   ℋchba 28690   +_ℎ cva 28691  0_ℎc0v 28695   −_ℎ cmv 28696   S_ℋ csh 28699   +_ℋ cph 28702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-hilex 28770  ax-hfvadd 28771  ax-hvcom 28772  ax-hvass 28773  ax-hv0cl 28774  ax-hvaddid 28775  ax-hfvmul 28776  ax-hvmulid 28777  ax-hvmulass 28778  ax-hvdistr1 28779  ax-hvdistr2 28780  ax-hvmul0 28781

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-grpo 28264  df-ablo 28316  df-hvsub 28742  df-hlim 28743  df-sh 28978  df-ch 28992  df-shs 29079

This theorem is referenced by:  5oalem6  29430