HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem5 31488
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1 𝐴S
5oalem5.2 𝐵S
5oalem5.3 𝐶S
5oalem5.4 𝐷S
5oalem5.5 𝐹S
5oalem5.6 𝐺S
5oalem5.7 𝑅S
5oalem5.8 𝑆S
Assertion
Ref Expression
5oalem5 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))

Proof of Theorem 5oalem5
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . 4 (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) → (𝑣𝑅𝑢𝑆))
21anim2i 615 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)))
3 simpl 481 . . 3 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)))
4 5oalem5.1 . . . 4 𝐴S
5 5oalem5.2 . . . 4 𝐵S
6 5oalem5.3 . . . 4 𝐶S
7 5oalem5.4 . . . 4 𝐷S
8 5oalem5.7 . . . 4 𝑅S
9 5oalem5.8 . . . 4 𝑆S
104, 5, 6, 7, 8, 95oalem4 31487 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))))
112, 3, 10syl2an 594 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))))
124sheli 31044 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
1312adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
146sheli 31044 . . . . . . . 8 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
1514adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝑧 ∈ ℋ)
1613, 15anim12i 611 . . . . . 6 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
17 5oalem5.5 . . . . . . . 8 𝐹S
1817sheli 31044 . . . . . . 7 (𝑓𝐹𝑓 ∈ ℋ)
1918adantr 479 . . . . . 6 ((𝑓𝐹𝑔𝐺) → 𝑓 ∈ ℋ)
20 hvsubsub4 30890 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
2120anandirs 677 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
22 hvsubid 30856 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ℋ → (𝑓 𝑓) = 0)
2322oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − 0))
24 hvsubcl 30847 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑧) ∈ ℋ)
25 hvsub0 30906 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
2723, 26sylan9eqr 2790 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
2821, 27eqtrd 2768 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
2916, 19, 28syl2an 594 . . . . 5 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3029adantrr 715 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3130adantr 479 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
32 simpl 481 . . . . . . . 8 (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) → (𝑓𝐹𝑔𝐺))
3332anim2i 615 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)))
34 anandir 675 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ↔ (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))))
3533, 34sylib 217 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))))
36 simprr 771 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (𝑣𝑅𝑢𝑆))
3735, 36jca 510 . . . . 5 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)))
38 simpl 481 . . . . . . 7 (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢))
3938anim1i 613 . . . . . 6 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))
40 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢))
4140anim1i 613 . . . . . 6 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))
4239, 41jca 510 . . . . 5 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))))
43 anandir 675 . . . . . 6 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ↔ ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ (((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))))
44 5oalem5.6 . . . . . . . . 9 𝐺S
454, 5, 17, 44, 8, 95oalem4 31487 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))
466, 7, 17, 44, 8, 95oalem4 31487 . . . . . . . 8 (((((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))
4745, 46anim12i 611 . . . . . . 7 ((((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) ∧ ((((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
4847an4s 658 . . . . . 6 ((((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ (((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
4943, 48sylanb 579 . . . . 5 ((((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
5037, 42, 49syl2an 594 . . . 4 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
514, 17shscli 31147 . . . . . . 7 (𝐴 + 𝐹) ∈ S
525, 44shscli 31147 . . . . . . 7 (𝐵 + 𝐺) ∈ S
5351, 52shincli 31192 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∈ S
544, 8shscli 31147 . . . . . . . 8 (𝐴 + 𝑅) ∈ S
555, 9shscli 31147 . . . . . . . 8 (𝐵 + 𝑆) ∈ S
5654, 55shincli 31192 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) ∈ S
5717, 8shscli 31147 . . . . . . . 8 (𝐹 + 𝑅) ∈ S
5844, 9shscli 31147 . . . . . . . 8 (𝐺 + 𝑆) ∈ S
5957, 58shincli 31192 . . . . . . 7 ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)) ∈ S
6056, 59shscli 31147 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))) ∈ S
6153, 60shincli 31192 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∈ S
626, 17shscli 31147 . . . . . . 7 (𝐶 + 𝐹) ∈ S
637, 44shscli 31147 . . . . . . 7 (𝐷 + 𝐺) ∈ S
6462, 63shincli 31192 . . . . . 6 ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∈ S
656, 8shscli 31147 . . . . . . . 8 (𝐶 + 𝑅) ∈ S
667, 9shscli 31147 . . . . . . . 8 (𝐷 + 𝑆) ∈ S
6765, 66shincli 31192 . . . . . . 7 ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) ∈ S
6867, 59shscli 31147 . . . . . 6 (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))) ∈ S
6964, 68shincli 31192 . . . . 5 (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∈ S
7061, 69shsvsi 31197 . . . 4 (((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
7150, 70syl 17 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
7231, 71eqeltrrd 2830 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
7311, 72elind 4196 1 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3948  (class class class)co 7426  chba 30749   + cva 30750  0c0v 30754   cmv 30755   S csh 30758   + cph 30761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hvcom 30831  ax-hvass 30832  ax-hv0cl 30833  ax-hvaddid 30834  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvmulass 30837  ax-hvdistr1 30838  ax-hvdistr2 30839  ax-hvmul0 30840
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-grpo 30323  df-ablo 30375  df-hvsub 30801  df-hlim 30802  df-sh 31037  df-ch 31051  df-shs 31138
This theorem is referenced by:  5oalem6  31489
  Copyright terms: Public domain W3C validator