HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem5 29420
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1 𝐴S
5oalem5.2 𝐵S
5oalem5.3 𝐶S
5oalem5.4 𝐷S
5oalem5.5 𝐹S
5oalem5.6 𝐺S
5oalem5.7 𝑅S
5oalem5.8 𝑆S
Assertion
Ref Expression
5oalem5 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))

Proof of Theorem 5oalem5
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) → (𝑣𝑅𝑢𝑆))
21anim2i 619 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)))
3 simpl 486 . . 3 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)))
4 5oalem5.1 . . . 4 𝐴S
5 5oalem5.2 . . . 4 𝐵S
6 5oalem5.3 . . . 4 𝐶S
7 5oalem5.4 . . . 4 𝐷S
8 5oalem5.7 . . . 4 𝑅S
9 5oalem5.8 . . . 4 𝑆S
104, 5, 6, 7, 8, 95oalem4 29419 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))))
112, 3, 10syl2an 598 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))))
124sheli 28976 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
1312adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
146sheli 28976 . . . . . . . 8 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
1514adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝑧 ∈ ℋ)
1613, 15anim12i 615 . . . . . 6 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
17 5oalem5.5 . . . . . . . 8 𝐹S
1817sheli 28976 . . . . . . 7 (𝑓𝐹𝑓 ∈ ℋ)
1918adantr 484 . . . . . 6 ((𝑓𝐹𝑔𝐺) → 𝑓 ∈ ℋ)
20 hvsubsub4 28822 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
2120anandirs 678 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
22 hvsubid 28788 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ℋ → (𝑓 𝑓) = 0)
2322oveq2d 7146 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − 0))
24 hvsubcl 28779 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑧) ∈ ℋ)
25 hvsub0 28838 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
2723, 26sylan9eqr 2878 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
2821, 27eqtrd 2856 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
2916, 19, 28syl2an 598 . . . . 5 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3029adantrr 716 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3130adantr 484 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
32 simpl 486 . . . . . . . 8 (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) → (𝑓𝐹𝑔𝐺))
3332anim2i 619 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)))
34 anandir 676 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ↔ (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))))
3533, 34sylib 221 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))))
36 simprr 772 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (𝑣𝑅𝑢𝑆))
3735, 36jca 515 . . . . 5 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)))
38 simpl 486 . . . . . . 7 (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢))
3938anim1i 617 . . . . . 6 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))
40 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢))
4140anim1i 617 . . . . . 6 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))
4239, 41jca 515 . . . . 5 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))))
43 anandir 676 . . . . . 6 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ↔ ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ (((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))))
44 5oalem5.6 . . . . . . . . 9 𝐺S
454, 5, 17, 44, 8, 95oalem4 29419 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))
466, 7, 17, 44, 8, 95oalem4 29419 . . . . . . . 8 (((((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))
4745, 46anim12i 615 . . . . . . 7 ((((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) ∧ ((((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
4847an4s 659 . . . . . 6 ((((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ (((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
4943, 48sylanb 584 . . . . 5 ((((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
5037, 42, 49syl2an 598 . . . 4 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
514, 17shscli 29079 . . . . . . 7 (𝐴 + 𝐹) ∈ S
525, 44shscli 29079 . . . . . . 7 (𝐵 + 𝐺) ∈ S
5351, 52shincli 29124 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∈ S
544, 8shscli 29079 . . . . . . . 8 (𝐴 + 𝑅) ∈ S
555, 9shscli 29079 . . . . . . . 8 (𝐵 + 𝑆) ∈ S
5654, 55shincli 29124 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) ∈ S
5717, 8shscli 29079 . . . . . . . 8 (𝐹 + 𝑅) ∈ S
5844, 9shscli 29079 . . . . . . . 8 (𝐺 + 𝑆) ∈ S
5957, 58shincli 29124 . . . . . . 7 ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)) ∈ S
6056, 59shscli 29079 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))) ∈ S
6153, 60shincli 29124 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∈ S
626, 17shscli 29079 . . . . . . 7 (𝐶 + 𝐹) ∈ S
637, 44shscli 29079 . . . . . . 7 (𝐷 + 𝐺) ∈ S
6462, 63shincli 29124 . . . . . 6 ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∈ S
656, 8shscli 29079 . . . . . . . 8 (𝐶 + 𝑅) ∈ S
667, 9shscli 29079 . . . . . . . 8 (𝐷 + 𝑆) ∈ S
6765, 66shincli 29124 . . . . . . 7 ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) ∈ S
6867, 59shscli 29079 . . . . . 6 (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))) ∈ S
6964, 68shincli 29124 . . . . 5 (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∈ S
7061, 69shsvsi 29129 . . . 4 (((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
7150, 70syl 17 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
7231, 71eqeltrrd 2913 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
7311, 72elind 4146 1 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cin 3909  (class class class)co 7130  chba 28681   + cva 28682  0c0v 28686   cmv 28687   S csh 28690   + cph 28693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-hilex 28761  ax-hfvadd 28762  ax-hvcom 28763  ax-hvass 28764  ax-hv0cl 28765  ax-hvaddid 28766  ax-hfvmul 28767  ax-hvmulid 28768  ax-hvmulass 28769  ax-hvdistr1 28770  ax-hvdistr2 28771  ax-hvmul0 28772
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-ltxr 10657  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-grpo 28255  df-ablo 28307  df-hvsub 28733  df-hlim 28734  df-sh 28969  df-ch 28983  df-shs 29070
This theorem is referenced by:  5oalem6  29421
  Copyright terms: Public domain W3C validator