Theorem shincl 31405

Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shincl	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ )

Proof of Theorem shincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4163	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵))
2	1	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Sℋ ))
3		ineq2 4164	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)))
4	3	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Sℋ ))
5		helsh 31269	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
6	5	elimel 4547	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Sℋ
7	5	elimel 4547	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) ∈ Sℋ
8	6, 7	shincli 31386	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Sℋ
9	2, 4, 8	dedth2h 4537	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3898  ifcif 4477   ℋchba 30943   S_ℋ csh 30952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-1cn 11082  ax-addcl 11084  ax-hilex 31023  ax-hfvadd 31024  ax-hv0cl 31027  ax-hfvmul 31029

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-map 8763  df-nn 12144  df-hlim 30996  df-sh 31231  df-ch 31245

This theorem is referenced by:  orthin  31470  sumdmdii  32439