Theorem shincl 31361

Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shincl	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ )

Proof of Theorem shincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4160	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵))
2	1	eleq1d 2816	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Sℋ ))
3		ineq2 4161	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)))
4	3	eleq1d 2816	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Sℋ ))
5		helsh 31225	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
6	5	elimel 4542	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Sℋ
7	5	elimel 4542	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) ∈ Sℋ
8	6, 7	shincli 31342	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Sℋ
9	2, 4, 8	dedth2h 4532	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3896  ifcif 4472   ℋchba 30899   S_ℋ csh 30908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-1cn 11064  ax-addcl 11066  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hv0cl 30983  ax-hfvmul 30985

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-map 8752  df-nn 12126  df-hlim 30952  df-sh 31187  df-ch 31201

This theorem is referenced by:  orthin  31426  sumdmdii  32395