Theorem shincl 31204

Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shincl	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ )

Proof of Theorem shincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4205	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵))
2	1	eleq1d 2814	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Sℋ ))
3		ineq2 4206	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)))
4	3	eleq1d 2814	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Sℋ ))
5		helsh 31068	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
6	5	elimel 4598	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Sℋ
7	5	elimel 4598	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) ∈ Sℋ
8	6, 7	shincli 31185	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Sℋ
9	2, 4, 8	dedth2h 4588	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946  ifcif 4529   ℋchba 30742   S_ℋ csh 30751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-1cn 11197  ax-addcl 11199  ax-hilex 30822  ax-hfvadd 30823  ax-hv0cl 30826  ax-hfvmul 30828

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-map 8847  df-nn 12244  df-hlim 30795  df-sh 31030  df-ch 31044

This theorem is referenced by:  orthin  31269  sumdmdii  32238