HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shincl 30365
Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shincl ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴𝐵) ∈ S )

Proof of Theorem shincl
StepHypRef Expression
1 ineq1 4170 . . 3 (𝐴 = if(𝐴S , 𝐴, ℋ) → (𝐴𝐵) = (if(𝐴S , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵))
21eleq1d 2823 . 2 (𝐴 = if(𝐴S , 𝐴, ℋ) → ((𝐴𝐵) ∈ S ↔ (if(𝐴S , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ S ))
3 ineq2 4171 . . 3 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴S , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) = (if(𝐴S , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵S , 𝐵, ℋ)))
43eleq1d 2823 . 2 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴S , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ∈ S ↔ (if(𝐴S , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵S , 𝐵, ℋ)) ∈ S ))
5 helsh 30229 . . . 4 ℋ ∈ S
65elimel 4560 . . 3 if(𝐴S , 𝐴, ℋ) ∈ S
75elimel 4560 . . 3 if(𝐵S , 𝐵, ℋ) ∈ S
86, 7shincli 30346 . 2 (if(𝐴S , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵S , 𝐵, ℋ)) ∈ S
92, 4, 8dedth2h 4550 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴𝐵) ∈ S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3914  ifcif 4491  chba 29903   S csh 29912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-1cn 11116  ax-addcl 11118  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hv0cl 29987  ax-hfvmul 29989
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-map 8774  df-nn 12161  df-hlim 29956  df-sh 30191  df-ch 30205
This theorem is referenced by:  orthin  30430  sumdmdii  31399
  Copyright terms: Public domain W3C validator