HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shmodsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shmodsi 29170
Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shmod.1 𝐴S
shmod.2 𝐵S
shmod.3 𝐶S
Assertion
Ref Expression
shmodsi (𝐴𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 + (𝐵𝐶)))

Proof of Theorem shmodsi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3924 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑧𝐶))
2 shmod.1 . . . . . . 7 𝐴S
3 shmod.2 . . . . . . 7 𝐵S
42, 3shseli 29097 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
5 shmod.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶S
65sheli 28995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
72sheli 28995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
83sheli 28995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℋ)
9 hvsubadd 28858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑧))
106, 7, 8, 9syl3an 1157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐶𝑥𝐴𝑦𝐵) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑧))
11 eqcom 2829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑧𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
1210, 11syl6bb 290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐶𝑥𝐴𝑦𝐵) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦)))
13123expb 1117 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦)))
145, 2shsvsi 29148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐶 + 𝐴))
155, 2shscomi 29144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐶 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐶)
1614, 15eleqtrdi 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐴 + 𝐶))
172, 5shlesb1i 29167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐶) = 𝐶)
1817biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴𝐶 → (𝐴 + 𝐶) = 𝐶)
1918eleq2d 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴𝐶 → ((𝑧 𝑥) ∈ (𝐴 + 𝐶) ↔ (𝑧 𝑥) ∈ 𝐶))
2016, 19syl5ib 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴𝐶 → ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → (𝑧 𝑥) ∈ 𝐶))
21 eleq1 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 𝑥) ∈ 𝐶𝑦𝐶))
2221biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 𝑥) ∈ 𝐶𝑦𝐶))
2320, 22sylan9 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝐶 ∧ (𝑧 𝑥) = 𝑦) → ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → 𝑦𝐶))
2423anim2d 614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝐶 ∧ (𝑧 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → (𝑦𝐵𝑦𝐶)))
25 elin 3924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (𝑦𝐵𝑦𝐶))
2624, 25syl6ibr 255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐶 ∧ (𝑧 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
2726ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐶 → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
2827com13 88 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
2928ancoms 462 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐶𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
3029anasss 470 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
3113, 30sylbird 263 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
3231imp 410 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
333, 5shincli 29143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝐶) ∈ S
342, 33shsvai 29145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))
35 eleq1 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)) ↔ (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
3634, 35syl5ibr 249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
3736expd 419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
3837com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
4039imp 410 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
4132, 40syld 47 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
4241exp31 423 . . . . . . 7 (𝑧𝐶 → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))))
4342rexlimdvv 3279 . . . . . 6 (𝑧𝐶 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
444, 43syl5bi 245 . . . . 5 (𝑧𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
4544com13 88 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑧𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
4645impd 414 . . 3 (𝐴𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑧𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
471, 46syl5bi 245 . 2 (𝐴𝐶 → (𝑧 ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
4847ssrdv 3948 1 (𝐴𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 + (𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wrex 3131  cin 3907  wss 3908  (class class class)co 7140  chba 28700   + cva 28701   cmv 28706   S csh 28709   + cph 28712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-hilex 28780  ax-hfvadd 28781  ax-hvcom 28782  ax-hvass 28783  ax-hv0cl 28784  ax-hvaddid 28785  ax-hfvmul 28786  ax-hvmulid 28787  ax-hvdistr1 28789  ax-hvdistr2 28790  ax-hvmul0 28791
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-grpo 28274  df-ablo 28326  df-hvsub 28752  df-hlim 28753  df-sh 28988  df-ch 29002  df-shs 29089
This theorem is referenced by:  shmodi  29171
  Copyright terms: Public domain W3C validator