HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shmodsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shmodsi 31421
Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shmod.1 𝐴S
shmod.2 𝐵S
shmod.3 𝐶S
Assertion
Ref Expression
shmodsi (𝐴𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 + (𝐵𝐶)))

Proof of Theorem shmodsi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3992 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑧𝐶))
2 shmod.1 . . . . . . 7 𝐴S
3 shmod.2 . . . . . . 7 𝐵S
42, 3shseli 31348 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
5 shmod.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶S
65sheli 31246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
72sheli 31246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
83sheli 31246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℋ)
9 hvsubadd 31109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑧))
106, 7, 8, 9syl3an 1160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐶𝑥𝐴𝑦𝐵) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑧))
11 eqcom 2747 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑧𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
1210, 11bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐶𝑥𝐴𝑦𝐵) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦)))
13123expb 1120 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦)))
145, 2shsvsi 31399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐶 + 𝐴))
155, 2shscomi 31395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐶 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐶)
1614, 15eleqtrdi 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐴 + 𝐶))
172, 5shlesb1i 31418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐶) = 𝐶)
1817biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴𝐶 → (𝐴 + 𝐶) = 𝐶)
1918eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴𝐶 → ((𝑧 𝑥) ∈ (𝐴 + 𝐶) ↔ (𝑧 𝑥) ∈ 𝐶))
2016, 19imbitrid 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴𝐶 → ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → (𝑧 𝑥) ∈ 𝐶))
21 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 𝑥) ∈ 𝐶𝑦𝐶))
2221biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 𝑥) ∈ 𝐶𝑦𝐶))
2320, 22sylan9 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝐶 ∧ (𝑧 𝑥) = 𝑦) → ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → 𝑦𝐶))
2423anim2d 611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝐶 ∧ (𝑧 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → (𝑦𝐵𝑦𝐶)))
25 elin 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (𝑦𝐵𝑦𝐶))
2624, 25imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐶 ∧ (𝑧 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
2726ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐶 → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
2827com13 88 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
2928ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐶𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
3029anasss 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
3113, 30sylbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
3231imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
333, 5shincli 31394 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝐶) ∈ S
342, 33shsvai 31396 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))
35 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)) ↔ (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
3634, 35imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
3736expd 415 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
3837com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
4039imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
4132, 40syld 47 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
4241exp31 419 . . . . . . 7 (𝑧𝐶 → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))))
4342rexlimdvv 3218 . . . . . 6 (𝑧𝐶 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
444, 43biimtrid 242 . . . . 5 (𝑧𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
4544com13 88 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑧𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
4645impd 410 . . 3 (𝐴𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑧𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
471, 46biimtrid 242 . 2 (𝐴𝐶 → (𝑧 ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
4847ssrdv 4014 1 (𝐴𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 + (𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wrex 3076  cin 3975  wss 3976  (class class class)co 7448  chba 30951   + cva 30952   cmv 30957   S csh 30960   + cph 30963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvdistr1 31040  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-grpo 30525  df-ablo 30577  df-hvsub 31003  df-hlim 31004  df-sh 31239  df-ch 31253  df-shs 31340
This theorem is referenced by:  shmodi  31422
  Copyright terms: Public domain W3C validator