Theorem shmodsi 31878

Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shmod.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shmod.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
shmod.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shmodsi	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))

Proof of Theorem shmodsi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3918	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))
2		shmod.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		shmod.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	2, 3	shseli 31805	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
5		shmod.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
6	5	sheli 31703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
7	2	sheli 31703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
8	3	sheli 31703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℋ)
9		hvsubadd 31566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) = 𝑧))
10	6, 7, 8, 9	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) = 𝑧))
11		eqcom 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
12	10, 11	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
13	12	3expb 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
14	5, 2	shsvsi 31856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐶 +ℋ 𝐴))
15	5, 2	shscomi 31852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐴) = (𝐴 +ℋ 𝐶)
16	14, 15	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
17	2, 5	shlesb1i 31875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐶) = 𝐶)
18	17	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐶) = 𝐶)
19	18	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶) ↔ (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶))
20	16, 19	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶))
21		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶))
22	21	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐶))
23	20, 22	sylan9 517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐶))
24	23	anim2d 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
25		elin 3918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
26	24, 25	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
27	26	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
28	27	com13 89	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
29	28	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
30	29	anasss 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
31	13, 30	sylbird 263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
32	31	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
33	3, 5	shincli 31851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Sℋ
34	2, 33	shsvai 31853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))
35		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
36	34, 35	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
37	36	expd 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
38	37	com12 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
39	38	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
40	39	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
41	32, 40	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
42	41	exp31 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))))
43	42	rexlimdvv 3220	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
44	4, 43	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
45	44	com13 89	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
46	45	impd 416	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
47	1, 46	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝑧 ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
48	47	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7417   ℋchba 31408   +_ℎ cva 31409   −_ℎ cmv 31414   S_ℋ csh 31417   +_ℋ cph 31420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-hilex 31488  ax-hfvadd 31489  ax-hvcom 31490  ax-hvass 31491  ax-hv0cl 31492  ax-hvaddid 31493  ax-hfvmul 31494  ax-hvmulid 31495  ax-hvdistr1 31497  ax-hvdistr2 31498  ax-hvmul0 31499

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-grpo 30982  df-ablo 31034  df-hvsub 31460  df-hlim 31461  df-sh 31696  df-ch 31710  df-shs 31797

This theorem is used by:  shmodi  31879