Theorem shmodsi 32024

Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shmod.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shmod.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
shmod.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shmodsi	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))

Proof of Theorem shmodsi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4096	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))
2		shmod.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		shmod.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	2, 3	shseli 31951	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
5		shmod.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
6	5	sheli 31849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
7	2	sheli 31849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
8	3	sheli 31849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℋ)
9		hvsubadd 31712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) = 𝑧))
10	6, 7, 8, 9	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) = 𝑧))
11		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
12	10, 11	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
13	12	3expb 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
14	5, 2	shsvsi 32002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐶 +ℋ 𝐴))
15	5, 2	shscomi 31998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐴) = (𝐴 +ℋ 𝐶)
16	14, 15	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
17	2, 5	shlesb1i 32021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐶) = 𝐶)
18	17	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐶) = 𝐶)
19	18	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶) ↔ (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶))
20	16, 19	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶))
21		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶))
22	21	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐶))
23	20, 22	sylan9 517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐶))
24	23	anim2d 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
25		elin 4096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
26	24, 25	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
27	26	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
28	27	com13 89	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
29	28	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
30	29	anasss 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
31	13, 30	sylbird 263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
32	31	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
33	3, 5	shincli 31997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Sℋ
34	2, 33	shsvai 31999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))
35		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
36	34, 35	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
37	36	expd 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
38	37	com12 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
39	38	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
40	39	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
41	32, 40	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
42	41	exp31 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))))
43	42	rexlimdvv 3222	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
44	4, 43	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
45	44	com13 89	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
46	45	impd 416	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
47	1, 46	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝑧 ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
48	47	ssrdv 3919	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  (class class class)co 7446   ℋchba 31554   +_ℎ cva 31555   −_ℎ cmv 31560   S_ℋ csh 31563   +_ℋ cph 31566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-hilex 31634  ax-hfvadd 31635  ax-hvcom 31636  ax-hvass 31637  ax-hv0cl 31638  ax-hvaddid 31639  ax-hfvmul 31640  ax-hvmulid 31641  ax-hvdistr1 31643  ax-hvdistr2 31644  ax-hvmul0 31645

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-ltxr 11378  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-grpo 31128  df-ablo 31180  df-hvsub 31606  df-hlim 31607  df-sh 31842  df-ch 31856  df-shs 31943

This theorem is used by:  shmodi  32025