Theorem shmodsi 31417

Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shmod.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shmod.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
shmod.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shmodsi	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))

Proof of Theorem shmodsi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3978	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))
2		shmod.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		shmod.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	2, 3	shseli 31344	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
5		shmod.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
6	5	sheli 31242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
7	2	sheli 31242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
8	3	sheli 31242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℋ)
9		hvsubadd 31105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) = 𝑧))
10	6, 7, 8, 9	syl3an 1159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) = 𝑧))
11		eqcom 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
12	10, 11	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
13	12	3expb 1119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
14	5, 2	shsvsi 31395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐶 +ℋ 𝐴))
15	5, 2	shscomi 31391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐴) = (𝐴 +ℋ 𝐶)
16	14, 15	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
17	2, 5	shlesb1i 31414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐶) = 𝐶)
18	17	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐶) = 𝐶)
19	18	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶) ↔ (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶))
20	16, 19	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶))
21		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶))
22	21	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐶))
23	20, 22	sylan9 507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐶))
24	23	anim2d 612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
25		elin 3978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
26	24, 25	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
27	26	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
28	27	com13 88	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
29	28	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
30	29	anasss 466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
31	13, 30	sylbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
32	31	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
33	3, 5	shincli 31390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Sℋ
34	2, 33	shsvai 31392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))
35		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
36	34, 35	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
37	36	expd 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
38	37	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
39	38	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
40	39	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
41	32, 40	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
42	41	exp31 419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))))
43	42	rexlimdvv 3209	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
44	4, 43	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
45	44	com13 88	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
46	45	impd 410	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
47	1, 46	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝑧 ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
48	47	ssrdv 4000	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  (class class class)co 7430   ℋchba 30947   +_ℎ cva 30948   −_ℎ cmv 30953   S_ℋ csh 30956   +_ℋ cph 30959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-grpo 30521  df-ablo 30573  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-sh 31235  df-ch 31249  df-shs 31336

This theorem is referenced by:  shmodi  31418