Theorem shmodsi 31345

Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shmod.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shmod.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
shmod.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shmodsi	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))

Proof of Theorem shmodsi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3975	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶))
2		shmod.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		shmod.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	2, 3	shseli 31272	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
5		shmod.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
6	5	sheli 31170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
7	2	sheli 31170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
8	3	sheli 31170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℋ)
9		hvsubadd 31033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) = 𝑧))
10	6, 7, 8, 9	syl3an 1157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) = 𝑧))
11		eqcom 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
12	10, 11	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
13	12	3expb 1117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
14	5, 2	shsvsi 31323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐶 +ℋ 𝐴))
15	5, 2	shscomi 31319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐴) = (𝐴 +ℋ 𝐶)
16	14, 15	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
17	2, 5	shlesb1i 31342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐴 +ℋ 𝐶) = 𝐶)
18	17	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝐴 +ℋ 𝐶) = 𝐶)
19	18	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶) ↔ (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶))
20	16, 19	imbitrid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶))
21		eleq1 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶))
22	21	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐶))
23	20, 22	sylan9 506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐶))
24	23	anim2d 610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
25		elin 3975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
26	24, 25	imbitrrdi 251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
27	26	ex 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
28	27	com13 88	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
29	28	ancoms 457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
30	29	anasss 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 −ℎ 𝑥) = 𝑦 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
31	13, 30	sylbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
32	31	imp 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
33	3, 5	shincli 31318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Sℋ
34	2, 33	shsvai 31320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))
35		eleq1 2817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
36	34, 35	imbitrrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
37	36	expd 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
38	37	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
39	38	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
40	39	imp 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
41	32, 40	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
42	41	exp31 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))))
43	42	rexlimdvv 3205	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
44	4, 43	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
45	44	com13 88	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
46	45	impd 409	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
47	1, 46	biimtrid 241	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → (𝑧 ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
48	47	ssrdv 3997	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 +ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  ∃wrex 3063   ∩ cin 3958   ⊆ wss 3959  (class class class)co 7430   ℋchba 30875   +_ℎ cva 30876   −_ℎ cmv 30881   S_ℋ csh 30884   +_ℋ cph 30887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-hilex 30955  ax-hfvadd 30956  ax-hvcom 30957  ax-hvass 30958  ax-hv0cl 30959  ax-hvaddid 30960  ax-hfvmul 30961  ax-hvmulid 30962  ax-hvdistr1 30964  ax-hvdistr2 30965  ax-hvmul0 30966

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-int 4960  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8742  df-map 8865  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-ltxr 11310  df-sub 11503  df-neg 11504  df-nn 12275  df-grpo 30449  df-ablo 30501  df-hvsub 30927  df-hlim 30928  df-sh 31163  df-ch 31177  df-shs 31264

This theorem is referenced by:  shmodi  31346