Theorem 5oalem6 32048

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 4-May-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem5.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem5.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem5.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem5.4	⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
5oalem5.5	⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
5oalem5.6	⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
5oalem5.7	⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
5oalem5.8	⊢ 𝑆 ∈ Sℋ

Assertion

Ref

Expression

5oalem6

⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ℎ ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))))))

Proof of Theorem 5oalem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 669	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
2		an4 669	. . . 4 ⊢ ((((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢))) ↔ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) ∧ (ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢))))
3		eqeq1 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))
4	3	biimpcd 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))
5		eqeq1 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢) ↔ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))
6	5	biimpcd 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))
7	4, 6	anim12d 621	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢))))
8		eqeq1 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔) → (ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢) ↔ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))
9	8	biimpcd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔) → (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))
10	7, 9	anim12d 621	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (((ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) → (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))))
11	10	expdcom 420	. . . . . . 7 ⊢ ((ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔) → (ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))))
12	11	imp32 424	. . . . . 6 ⊢ (((ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ (ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢)))
13	12	anim2i 629	. . . . 5 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) ∧ ((ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ (ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) ∧ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))))
14	13	an4s 673	. . . 4 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) ∧ (ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) ∧ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))))
15	1, 2, 14	syl2anb 610	. . 3 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) ∧ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))))
16		5oalem5.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
17		5oalem5.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
18		5oalem5.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
19		5oalem5.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
20		5oalem5.5	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
21		5oalem5.6	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
22		5oalem5.7	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
23		5oalem5.8	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ Sℋ
24	16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	5oalem5 32047	. . 3 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆))) ∧ (((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑣 +ℎ 𝑢) ∧ (𝑧 +ℎ 𝑤) = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ (𝑓 +ℎ 𝑔) = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))))
25	15, 24	syl 18	. 2 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))))
26	16, 18	shscli 31706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐶) ∈ Sℋ
27	17, 19	shscli 31706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) ∈ Sℋ
28	26, 27	shincli 31751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∈ Sℋ
29	16, 22	shscli 31706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝑅) ∈ Sℋ
30	17, 23	shscli 31706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝑆) ∈ Sℋ
31	29, 30	shincli 31751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) ∈ Sℋ
32	18, 22	shscli 31706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝑅) ∈ Sℋ
33	19, 23	shscli 31706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 +ℋ 𝑆) ∈ Sℋ
34	32, 33	shincli 31751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) ∈ Sℋ
35	31, 34	shscli 31706	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆))) ∈ Sℋ
36	28, 35	shincli 31751	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∈ Sℋ
37	16, 20	shscli 31706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐹) ∈ Sℋ
38	17, 21	shscli 31706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
39	37, 38	shincli 31751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∈ Sℋ
40	20, 22	shscli 31706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 +ℋ 𝑅) ∈ Sℋ
41	21, 23	shscli 31706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 +ℋ 𝑆) ∈ Sℋ
42	40, 41	shincli 31751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)) ∈ Sℋ
43	31, 42	shscli 31706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))) ∈ Sℋ
44	39, 43	shincli 31751	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) ∈ Sℋ
45	18, 20	shscli 31706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝐹) ∈ Sℋ
46	19, 21	shscli 31706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 +ℋ 𝐺) ∈ Sℋ
47	45, 46	shincli 31751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∈ Sℋ
48	34, 42	shscli 31706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))) ∈ Sℋ
49	47, 48	shincli 31751	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) ∈ Sℋ
50	44, 49	shscli 31706	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))) ∈ Sℋ
51	36, 50	shincli 31751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))) ∈ Sℋ
52	16, 17, 18, 51	5oalem1 32043	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))))) → ℎ ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))))))
53	52	expr 462	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))) → ℎ ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))))))))
54	53	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))) → ℎ ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))))))))
55	54	adantrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))) → ℎ ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))))))))
56	55	adantr 486	. 2 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))) → ℎ ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))))))))
57	25, 56	mpd 16	1 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ℎ ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3907  (class class class)co 7423   +_ℎ cva 31309   −_ℎ cmv 31314   S_ℋ csh 31317   +_ℋ cph 31320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-hilex 31388  ax-hfvadd 31389  ax-hvcom 31390  ax-hvass 31391  ax-hv0cl 31392  ax-hvaddid 31393  ax-hfvmul 31394  ax-hvmulid 31395  ax-hvmulass 31396  ax-hvdistr1 31397  ax-hvdistr2 31398  ax-hvmul0 31399

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-grpo 30882  df-ablo 30934  df-hvsub 31360  df-hlim 31361  df-sh 31596  df-ch 31610  df-shs 31697

This theorem is used by:  5oalem7  32049