HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem6 29042
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 4-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1 𝐴S
5oalem5.2 𝐵S
5oalem5.3 𝐶S
5oalem5.4 𝐷S
5oalem5.5 𝐹S
5oalem5.6 𝐺S
5oalem5.7 𝑅S
5oalem5.8 𝑆S
Assertion
Ref Expression
5oalem6 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))

Proof of Theorem 5oalem6
StepHypRef Expression
1 an4 647 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ↔ (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ( = (𝑥 + 𝑦) ∧ = (𝑧 + 𝑤))))
2 an4 647 . . . 4 ((((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢))) ↔ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ( = (𝑓 + 𝑔) ∧ = (𝑣 + 𝑢))))
3 eqeq1 2804 . . . . . . . . . . 11 ( = (𝑥 + 𝑦) → ( = (𝑣 + 𝑢) ↔ (𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢)))
43biimpcd 241 . . . . . . . . . 10 ( = (𝑣 + 𝑢) → ( = (𝑥 + 𝑦) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢)))
5 eqeq1 2804 . . . . . . . . . . 11 ( = (𝑧 + 𝑤) → ( = (𝑣 + 𝑢) ↔ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)))
65biimpcd 241 . . . . . . . . . 10 ( = (𝑣 + 𝑢) → ( = (𝑧 + 𝑤) → (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)))
74, 6anim12d 603 . . . . . . . . 9 ( = (𝑣 + 𝑢) → (( = (𝑥 + 𝑦) ∧ = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢))))
8 eqeq1 2804 . . . . . . . . . 10 ( = (𝑓 + 𝑔) → ( = (𝑣 + 𝑢) ↔ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))
98biimpcd 241 . . . . . . . . 9 ( = (𝑣 + 𝑢) → ( = (𝑓 + 𝑔) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))
107, 9anim12d 603 . . . . . . . 8 ( = (𝑣 + 𝑢) → ((( = (𝑥 + 𝑦) ∧ = (𝑧 + 𝑤)) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) → (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))))
1110expdcom 404 . . . . . . 7 (( = (𝑥 + 𝑦) ∧ = (𝑧 + 𝑤)) → ( = (𝑓 + 𝑔) → ( = (𝑣 + 𝑢) → (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))))
1211imp32 410 . . . . . 6 ((( = (𝑥 + 𝑦) ∧ = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ( = (𝑓 + 𝑔) ∧ = (𝑣 + 𝑢))) → (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))
1312anim2i 611 . . . . 5 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (( = (𝑥 + 𝑦) ∧ = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ( = (𝑓 + 𝑔) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))))
1413an4s 651 . . . 4 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ( = (𝑥 + 𝑦) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ( = (𝑓 + 𝑔) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))))
151, 2, 14syl2anb 592 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))))
16 5oalem5.1 . . . 4 𝐴S
17 5oalem5.2 . . . 4 𝐵S
18 5oalem5.3 . . . 4 𝐶S
19 5oalem5.4 . . . 4 𝐷S
20 5oalem5.5 . . . 4 𝐹S
21 5oalem5.6 . . . 4 𝐺S
22 5oalem5.7 . . . 4 𝑅S
23 5oalem5.8 . . . 4 𝑆S
2416, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 235oalem5 29041 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))
2515, 24syl 17 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))
2616, 18shscli 28700 . . . . . . . . . 10 (𝐴 + 𝐶) ∈ S
2717, 19shscli 28700 . . . . . . . . . 10 (𝐵 + 𝐷) ∈ S
2826, 27shincli 28745 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∈ S
2916, 22shscli 28700 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 + 𝑅) ∈ S
3017, 23shscli 28700 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 + 𝑆) ∈ S
3129, 30shincli 28745 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) ∈ S
3218, 22shscli 28700 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 + 𝑅) ∈ S
3319, 23shscli 28700 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 + 𝑆) ∈ S
3432, 33shincli 28745 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) ∈ S
3531, 34shscli 28700 . . . . . . . . 9 (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆))) ∈ S
3628, 35shincli 28745 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∈ S
3716, 20shscli 28700 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 + 𝐹) ∈ S
3817, 21shscli 28700 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 + 𝐺) ∈ S
3937, 38shincli 28745 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∈ S
4020, 22shscli 28700 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 + 𝑅) ∈ S
4121, 23shscli 28700 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 + 𝑆) ∈ S
4240, 41shincli 28745 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)) ∈ S
4331, 42shscli 28700 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))) ∈ S
4439, 43shincli 28745 . . . . . . . . 9 (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∈ S
4518, 20shscli 28700 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 + 𝐹) ∈ S
4619, 21shscli 28700 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 + 𝐺) ∈ S
4745, 46shincli 28745 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∈ S
4834, 42shscli 28700 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))) ∈ S
4947, 48shincli 28745 . . . . . . . . 9 (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∈ S
5044, 49shscli 28700 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))) ∈ S
5136, 50shincli 28745 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))) ∈ S
5216, 17, 18, 515oalem1 29037 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
5352expr 449 . . . . 5 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ 𝑧𝐶) → ((𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))))))
5453adantrr 709 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → ((𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))))))
5554adantrr 709 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) → ((𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))))))
5655adantr 473 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ((𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))))))
5725, 56mpd 15 1 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cin 3769  (class class class)co 6879   + cva 28301   cmv 28306   S csh 28309   + cph 28312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-hilex 28380  ax-hfvadd 28381  ax-hvcom 28382  ax-hvass 28383  ax-hv0cl 28384  ax-hvaddid 28385  ax-hfvmul 28386  ax-hvmulid 28387  ax-hvmulass 28388  ax-hvdistr1 28389  ax-hvdistr2 28390  ax-hvmul0 28391
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-ltxr 10369  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-grpo 27872  df-ablo 27924  df-hvsub 28352  df-hlim 28353  df-sh 28588  df-ch 28602  df-shs 28691
This theorem is referenced by:  5oalem7  29043
  Copyright terms: Public domain W3C validator