HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  3oalem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3oalem6 31686
Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3oa.1 𝐴C
3oa.2 𝐵C
3oa.3 𝐶C
3oa.4 𝑅 = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐴))
3oa.5 𝑆 = ((⊥‘𝐶) ∩ (𝐶 𝐴))
Assertion
Ref Expression
3oalem6 (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))) ⊆ (𝐵 (𝑅 ∩ (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆)))))

Proof of Theorem 3oalem6
StepHypRef Expression
1 3oa.2 . . . 4 𝐵C
21chshii 31246 . . 3 𝐵S
3 3oa.4 . . . . . 6 𝑅 = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐴))
41choccli 31326 . . . . . . 7 (⊥‘𝐵) ∈ C
5 3oa.1 . . . . . . . 8 𝐴C
61, 5chjcli 31476 . . . . . . 7 (𝐵 𝐴) ∈ C
74, 6chincli 31479 . . . . . 6 ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐴)) ∈ C
83, 7eqeltri 2837 . . . . 5 𝑅C
98chshii 31246 . . . 4 𝑅S
10 3oa.5 . . . . . . 7 𝑆 = ((⊥‘𝐶) ∩ (𝐶 𝐴))
11 3oa.3 . . . . . . . . 9 𝐶C
1211choccli 31326 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐶) ∈ C
1311, 5chjcli 31476 . . . . . . . 8 (𝐶 𝐴) ∈ C
1412, 13chincli 31479 . . . . . . 7 ((⊥‘𝐶) ∩ (𝐶 𝐴)) ∈ C
1510, 14eqeltri 2837 . . . . . 6 𝑆C
1615chshii 31246 . . . . 5 𝑆S
1711chshii 31246 . . . . . . 7 𝐶S
182, 17shscli 31336 . . . . . 6 (𝐵 + 𝐶) ∈ S
199, 16shscli 31336 . . . . . 6 (𝑅 + 𝑆) ∈ S
2018, 19shincli 31381 . . . . 5 ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)) ∈ S
2116, 20shscli 31336 . . . 4 (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ∈ S
229, 21shincli 31381 . . 3 (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))) ∈ S
232, 22shsleji 31389 . 2 (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))) ⊆ (𝐵 (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))))
2416, 20shsleji 31389 . . . . 5 (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ⊆ (𝑆 ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))
251, 11chsleji 31477 . . . . . . . 8 (𝐵 + 𝐶) ⊆ (𝐵 𝐶)
26 ssrin 4242 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐶) ⊆ (𝐵 𝐶) → ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)) ⊆ ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)) ⊆ ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))
288, 15chsleji 31477 . . . . . . . 8 (𝑅 + 𝑆) ⊆ (𝑅 𝑆)
29 sslin 4243 . . . . . . . 8 ((𝑅 + 𝑆) ⊆ (𝑅 𝑆) → ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)) ⊆ ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆)))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)) ⊆ ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆))
3127, 30sstri 3993 . . . . . 6 ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)) ⊆ ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆))
321, 11chjcli 31476 . . . . . . . . 9 (𝐵 𝐶) ∈ C
338, 15chjcli 31476 . . . . . . . . 9 (𝑅 𝑆) ∈ C
3432, 33chincli 31479 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆)) ∈ C
3534chshii 31246 . . . . . . 7 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆)) ∈ S
3620, 35, 16shlej2i 31398 . . . . . 6 (((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)) ⊆ ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆)) → (𝑆 ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ⊆ (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆))))
3731, 36ax-mp 5 . . . . 5 (𝑆 ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ⊆ (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆)))
3824, 37sstri 3993 . . . 4 (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ⊆ (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆)))
39 sslin 4243 . . . 4 ((𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ⊆ (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆))) → (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))) ⊆ (𝑅 ∩ (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆)))))
4038, 39ax-mp 5 . . 3 (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))) ⊆ (𝑅 ∩ (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆))))
4115, 34chjcli 31476 . . . . . 6 (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆))) ∈ C
428, 41chincli 31479 . . . . 5 (𝑅 ∩ (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆)))) ∈ C
4342chshii 31246 . . . 4 (𝑅 ∩ (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆)))) ∈ S
4422, 43, 2shlej2i 31398 . . 3 ((𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))) ⊆ (𝑅 ∩ (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆)))) → (𝐵 (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))) ⊆ (𝐵 (𝑅 ∩ (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆))))))
4540, 44ax-mp 5 . 2 (𝐵 (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))) ⊆ (𝐵 (𝑅 ∩ (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆)))))
4623, 45sstri 3993 1 (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))) ⊆ (𝐵 (𝑅 ∩ (𝑆 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝑅 𝑆)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431   C cch 30948  cort 30949   + cph 30950   chj 30952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cau 25290  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-hnorm 30987  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-shs 31327  df-chj 31329
This theorem is referenced by:  3oai  31687
  Copyright terms: Public domain W3C validator