HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem1 29601
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 1-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem1.1 𝐴S
5oalem1.2 𝐵S
5oalem1.3 𝐶S
5oalem1.4 𝑅S
Assertion
Ref Expression
5oalem1 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅))))

Proof of Theorem 5oalem1
StepHypRef Expression
1 simplll 775 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥𝐴)
2 5oalem1.1 . . . . . . . 8 𝐴S
32sheli 29161 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
43ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
5 5oalem1.3 . . . . . . . 8 𝐶S
65sheli 29161 . . . . . . 7 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
76adantr 484 . . . . . 6 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ ℋ)
8 hvaddsub12 28985 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 + (𝑧 𝑧)) = (𝑧 + (𝑥 𝑧)))
983anidm23 1422 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 + (𝑧 𝑧)) = (𝑧 + (𝑥 𝑧)))
10 hvsubid 28973 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 𝑧) = 0)
1110oveq2d 7198 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑥 + (𝑧 𝑧)) = (𝑥 + 0))
12 ax-hvaddid 28951 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
1311, 12sylan9eqr 2796 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 + (𝑧 𝑧)) = 𝑥)
149, 13eqtr3d 2776 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 + (𝑥 𝑧)) = 𝑥)
154, 7, 14syl2an 599 . . . . 5 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑧 + (𝑥 𝑧)) = 𝑥)
16 5oalem1.4 . . . . . . 7 𝑅S
175, 16shsvai 29311 . . . . . 6 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅) → (𝑧 + (𝑥 𝑧)) ∈ (𝐶 + 𝑅))
1817adantl 485 . . . . 5 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑧 + (𝑥 𝑧)) ∈ (𝐶 + 𝑅))
1915, 18eqeltrrd 2835 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐶 + 𝑅))
201, 19elind 4094 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)))
21 simpllr 776 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑦𝐵)
225, 16shscli 29264 . . . . . 6 (𝐶 + 𝑅) ∈ S
232, 22shincli 29309 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)) ∈ S
24 5oalem1.2 . . . . 5 𝐵S
2523, 24shsvai 29311 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ((𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)) + 𝐵))
2623, 24shscomi 29310 . . . 4 ((𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)))
2725, 26eleqtrdi 2844 . . 3 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅))))
2820, 21, 27syl2anc 587 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅))))
29 eleq1 2821 . . 3 (𝑣 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑣 ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅))) ↔ (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)))))
3029ad2antlr 727 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑣 ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅))) ↔ (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)))))
3128, 30mpbird 260 1 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cin 3852  (class class class)co 7182  chba 28866   + cva 28867  0c0v 28871   cmv 28872   S csh 28875   + cph 28878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-hilex 28946  ax-hfvadd 28947  ax-hvcom 28948  ax-hvass 28949  ax-hv0cl 28950  ax-hvaddid 28951  ax-hfvmul 28952  ax-hvmulid 28953  ax-hvdistr1 28955  ax-hvdistr2 28956  ax-hvmul0 28957
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-ltxr 10770  df-sub 10962  df-neg 10963  df-grpo 28440  df-ablo 28492  df-hvsub 28918  df-sh 29154  df-shs 29255
This theorem is referenced by:  5oalem6  29606
  Copyright terms: Public domain W3C validator