HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem1 29085
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 1-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem1.1 𝐴S
5oalem1.2 𝐵S
5oalem1.3 𝐶S
5oalem1.4 𝑅S
Assertion
Ref Expression
5oalem1 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅))))

Proof of Theorem 5oalem1
StepHypRef Expression
1 simplll 765 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥𝐴)
2 5oalem1.1 . . . . . . . 8 𝐴S
32sheli 28643 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
43ad2antrr 716 . . . . . 6 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
5 5oalem1.3 . . . . . . . 8 𝐶S
65sheli 28643 . . . . . . 7 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
76adantr 474 . . . . . 6 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ ℋ)
8 hvaddsub12 28467 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 + (𝑧 𝑧)) = (𝑧 + (𝑥 𝑧)))
983anidm23 1493 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 + (𝑧 𝑧)) = (𝑧 + (𝑥 𝑧)))
10 hvsubid 28455 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 𝑧) = 0)
1110oveq2d 6938 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑥 + (𝑧 𝑧)) = (𝑥 + 0))
12 ax-hvaddid 28433 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
1311, 12sylan9eqr 2836 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 + (𝑧 𝑧)) = 𝑥)
149, 13eqtr3d 2816 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 + (𝑥 𝑧)) = 𝑥)
154, 7, 14syl2an 589 . . . . 5 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑧 + (𝑥 𝑧)) = 𝑥)
16 5oalem1.4 . . . . . . 7 𝑅S
175, 16shsvai 28795 . . . . . 6 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅) → (𝑧 + (𝑥 𝑧)) ∈ (𝐶 + 𝑅))
1817adantl 475 . . . . 5 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑧 + (𝑥 𝑧)) ∈ (𝐶 + 𝑅))
1915, 18eqeltrrd 2860 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐶 + 𝑅))
201, 19elind 4021 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)))
21 simpllr 766 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑦𝐵)
225, 16shscli 28748 . . . . . 6 (𝐶 + 𝑅) ∈ S
232, 22shincli 28793 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)) ∈ S
24 5oalem1.2 . . . . 5 𝐵S
2523, 24shsvai 28795 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ((𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)) + 𝐵))
2623, 24shscomi 28794 . . . 4 ((𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)))
2725, 26syl6eleq 2869 . . 3 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅))))
2820, 21, 27syl2anc 579 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅))))
29 eleq1 2847 . . 3 (𝑣 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑣 ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅))) ↔ (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)))))
3029ad2antlr 717 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑣 ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅))) ↔ (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅)))))
3128, 30mpbird 249 1 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑧𝐶 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cin 3791  (class class class)co 6922  chba 28348   + cva 28349  0c0v 28353   cmv 28354   S csh 28357   + cph 28360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvcom 28430  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvdistr1 28437  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-neg 10609  df-grpo 27920  df-ablo 27972  df-hvsub 28400  df-sh 28636  df-shs 28739
This theorem is referenced by:  5oalem6  29090
  Copyright terms: Public domain W3C validator