Theorem 5oalem1 32015

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 1-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem1.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem1.4	⊢ 𝑅 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem1	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))

Proof of Theorem 5oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 786	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
2		5oalem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3	2	sheli 31575	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
4	3	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
5		5oalem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
6	5	sheli 31575	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
7	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ ℋ)
8		hvaddsub12 31399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)))
9	8	3anidm23 1448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)))
10		hvsubid 31387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 𝑧) = 0ℎ)
11	10	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
12		ax-hvaddid 31365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ 0ℎ) = 𝑥)
13	11, 12	sylan9eqr 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = 𝑥)
14	9, 13	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) = 𝑥)
15	4, 7, 14	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) = 𝑥)
16		5oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
17	5, 16	shsvai 31725	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) ∈ (𝐶 +ℋ 𝑅))
18	17	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) ∈ (𝐶 +ℋ 𝑅))
19	15, 18	eqeltrrd 2864	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑅))
20	1, 19	elind 4153	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))
21		simpllr 787	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	5, 16	shscli 31678	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝑅) ∈ Sℋ
23	2, 22	shincli 31723	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) ∈ Sℋ
24		5oalem1.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
25	23, 24	shsvai 31725	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ((𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) +ℋ 𝐵))
26	23, 24	shscomi 31724	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))
27	25, 26	eleqtrdi 2873	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))
28	20, 21, 27	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))
29		eleq1 2851	. . 3 ⊢ (𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))))
30	29	ad2antlr 739	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))))
31	28, 30	mpbird 260	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904  (class class class)co 7410   ℋchba 31280   +_ℎ cva 31281  0_ℎc0v 31285   −_ℎ cmv 31286   S_ℋ csh 31289   +_ℋ cph 31292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-hilex 31360  ax-hfvadd 31361  ax-hvcom 31362  ax-hvass 31363  ax-hv0cl 31364  ax-hvaddid 31365  ax-hfvmul 31366  ax-hvmulid 31367  ax-hvdistr1 31369  ax-hvdistr2 31370  ax-hvmul0 31371

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11447  df-neg 11448  df-grpo 30854  df-ablo 30906  df-hvsub 31332  df-sh 31568  df-shs 31669

This theorem is used by:  5oalem6  32020