Theorem 5oalem1 32138

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 1-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem1.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem1.4	⊢ 𝑅 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem1	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))

Proof of Theorem 5oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 787	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
2		5oalem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3	2	sheli 31698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
4	3	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
5		5oalem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
6	5	sheli 31698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ ℋ)
8		hvaddsub12 31522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)))
9	8	3anidm23 1448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)))
10		hvsubid 31510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 𝑧) = 0ℎ)
11	10	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
12		ax-hvaddid 31488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ 0ℎ) = 𝑥)
13	11, 12	sylan9eqr 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = 𝑥)
14	9, 13	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) = 𝑥)
15	4, 7, 14	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) = 𝑥)
16		5oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
17	5, 16	shsvai 31848	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) ∈ (𝐶 +ℋ 𝑅))
18	17	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) ∈ (𝐶 +ℋ 𝑅))
19	15, 18	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑅))
20	1, 19	elind 4146	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))
21		simpllr 788	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	5, 16	shscli 31801	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝑅) ∈ Sℋ
23	2, 22	shincli 31846	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) ∈ Sℋ
24		5oalem1.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
25	23, 24	shsvai 31848	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ((𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) +ℋ 𝐵))
26	23, 24	shscomi 31847	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))
27	25, 26	eleqtrdi 2870	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))
28	20, 21, 27	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))
29		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))))
30	29	ad2antlr 740	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))))
31	28, 30	mpbird 260	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  (class class class)co 7414   ℋchba 31403   +_ℎ cva 31404  0_ℎc0v 31408   −_ℎ cmv 31409   S_ℋ csh 31412   +_ℋ cph 31415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-hilex 31483  ax-hfvadd 31484  ax-hvcom 31485  ax-hvass 31486  ax-hv0cl 31487  ax-hvaddid 31488  ax-hfvmul 31489  ax-hvmulid 31490  ax-hvdistr1 31492  ax-hvdistr2 31493  ax-hvmul0 31494

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471  df-grpo 30977  df-ablo 31029  df-hvsub 31455  df-sh 31691  df-shs 31792

This theorem is used by:  5oalem6  32143