Theorem 5oalem1 31731

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 1-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem1.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem1.4	⊢ 𝑅 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem1	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))

Proof of Theorem 5oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 774	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
2		5oalem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3	2	sheli 31291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
5		5oalem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
6	5	sheli 31291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ ℋ)
8		hvaddsub12 31115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)))
9	8	3anidm23 1423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)))
10		hvsubid 31103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 𝑧) = 0ℎ)
11	10	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
12		ax-hvaddid 31081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ 0ℎ) = 𝑥)
13	11, 12	sylan9eqr 2793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = 𝑥)
14	9, 13	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) = 𝑥)
15	4, 7, 14	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) = 𝑥)
16		5oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
17	5, 16	shsvai 31441	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) ∈ (𝐶 +ℋ 𝑅))
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) ∈ (𝐶 +ℋ 𝑅))
19	15, 18	eqeltrrd 2837	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑅))
20	1, 19	elind 4152	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))
21		simpllr 775	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	5, 16	shscli 31394	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝑅) ∈ Sℋ
23	2, 22	shincli 31439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) ∈ Sℋ
24		5oalem1.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
25	23, 24	shsvai 31441	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ((𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) +ℋ 𝐵))
26	23, 24	shscomi 31440	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))
27	25, 26	eleqtrdi 2846	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))
28	20, 21, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))
29		eleq1 2824	. . 3 ⊢ (𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))))
30	29	ad2antlr 727	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))))
31	28, 30	mpbird 257	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3900  (class class class)co 7358   ℋchba 30996   +_ℎ cva 30997  0_ℎc0v 31001   −_ℎ cmv 31002   S_ℋ csh 31005   +_ℋ cph 31008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-hilex 31076  ax-hfvadd 31077  ax-hvcom 31078  ax-hvass 31079  ax-hv0cl 31080  ax-hvaddid 31081  ax-hfvmul 31082  ax-hvmulid 31083  ax-hvdistr1 31085  ax-hvdistr2 31086  ax-hvmul0 31087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369  df-grpo 30570  df-ablo 30622  df-hvsub 31048  df-sh 31284  df-shs 31385

This theorem is referenced by:  5oalem6  31736