MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltne 27696
Description: Surreal less-than implies not equal. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
sltne ((𝐴 No 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem sltne
StepHypRef Expression
1 sltirr 27672 . . . 4 (𝐴 No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
2 breq2 5146 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 <s 𝐵𝐴 <s 𝐴))
32notbid 318 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
41, 3syl5ibrcom 246 . . 3 (𝐴 No → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
54necon2ad 2951 . 2 (𝐴 No → (𝐴 <s 𝐵𝐵𝐴))
65imp 406 1 ((𝐴 No 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936   class class class wbr 5142   No csur 27566   <s cslt 27567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27569  df-slt 27570
This theorem is referenced by:  sltlend  27697  sgt0ne0  27760  0elright  27830
  Copyright terms: Public domain W3C validator