MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltne 27622
Description: Surreal less-than implies not equal. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
sltne ((𝐴 No 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem sltne
StepHypRef Expression
1 sltirr 27598 . . . 4 (𝐴 No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
2 breq2 5143 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 <s 𝐵𝐴 <s 𝐴))
32notbid 318 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
41, 3syl5ibrcom 246 . . 3 (𝐴 No → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
54necon2ad 2947 . 2 (𝐴 No → (𝐴 <s 𝐵𝐵𝐴))
65imp 406 1 ((𝐴 No 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5139   No csur 27492   <s cslt 27493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27495  df-slt 27496
This theorem is referenced by:  sltlend  27623  sgt0ne0  27686  0elright  27756
  Copyright terms: Public domain W3C validator