Theorem sltled 27715

Description: Surreal less-than implies less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltled.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltled.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Proof of Theorem sltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltled.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltled.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ))
4		sltled.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
5		sltasym 27694	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ¬ 𝐵 <s 𝐴))
6	3, 4, 5	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 <s 𝐴)
7		slenlt 27698	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	1, 2, 7	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	6, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148   No csur 27586   <s cslt 27587   ≤s csle 27690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-1o 8487  df-2o 8488  df-no 27589  df-slt 27590  df-sle 27691

This theorem is referenced by:  sltlend  27717  slemuld  28051  mulsge0d  28059  mulsuniflem  28062  sltmul12ad  28096  sltonold  28166  n0sge0  28219