Theorem sltled 27261

Description: Surreal less-than implies less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltled.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltled.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Proof of Theorem sltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltled.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltled.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	1, 2	jca 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ))
4		sltled.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
5		sltasym 27240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ¬ 𝐵 <s 𝐴))
6	3, 4, 5	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 <s 𝐴)
7		slenlt 27244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	6, 8	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147   No csur 27132   <s cslt 27133   ≤s csle 27236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27135  df-slt 27136  df-sle 27237

This theorem is referenced by:  slemuld  27583  mulsuniflem  27593