Theorem sltled 27748

Description: Surreal less-than implies less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltled.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltled.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Proof of Theorem sltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltled.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltled.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	1, 2	jca 510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ))
4		sltled.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
5		sltasym 27727	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ¬ 𝐵 <s 𝐴))
6	3, 4, 5	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 <s 𝐴)
7		slenlt 27731	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	1, 2, 7	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	6, 8	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149   No csur 27618   <s cslt 27619   ≤s csle 27723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-fv 6557  df-1o 8487  df-2o 8488  df-no 27621  df-slt 27622  df-sle 27724

This theorem is referenced by:  sltlend  27750  slemuld  28088  mulsge0d  28096  mulsuniflem  28099  sltmul12ad  28133  sltonold  28203  n0sge0  28258