Theorem sltled 27681

Description: Surreal less-than implies less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltled.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltled.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Proof of Theorem sltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltled.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltled.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ))
4		sltled.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
5		sltasym 27660	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ¬ 𝐵 <s 𝐴))
6	3, 4, 5	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 <s 𝐴)
7		slenlt 27664	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	6, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107   No csur 27551   <s cslt 27552   ≤s csle 27656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-1o 8434  df-2o 8435  df-no 27554  df-slt 27555  df-sle 27657

This theorem is referenced by:  sltlend  27683  slemuld  28041  mulsge0d  28049  mulsuniflem  28052  sltmul12ad  28086  sltonold  28162  onscutlt  28165  onnolt  28167  n0sge0  28230  uzsind  28293  halfcut  28333