MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltlend Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltlend 27698
Description: Surreal less-than in terms of less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sltlen.1 (𝜑 → ðī ∈ No )
sltlen.2 (𝜑 → ðĩ ∈ No )
Assertion
Ref Expression
sltlend (𝜑 → (ðī <s ðĩ ↔ (ðī â‰Īs ðĩ ∧ ðĩ ≠ ðī)))

Proof of Theorem sltlend
StepHypRef Expression
1 sltlen.1 . . . . . 6 (𝜑 → ðī ∈ No )
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ðī <s ðĩ) → ðī ∈ No )
3 sltlen.2 . . . . . 6 (𝜑 → ðĩ ∈ No )
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ðī <s ðĩ) → ðĩ ∈ No )
5 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ðī <s ðĩ) → ðī <s ðĩ)
62, 4, 5sltled 27696 . . . 4 ((𝜑 ∧ ðī <s ðĩ) → ðī â‰Īs ðĩ)
76ex 412 . . 3 (𝜑 → (ðī <s ðĩ → ðī â‰Īs ðĩ))
8 sltne 27697 . . . . 5 ((ðī ∈ No ∧ ðī <s ðĩ) → ðĩ ≠ ðī)
91, 8sylan 579 . . . 4 ((𝜑 ∧ ðī <s ðĩ) → ðĩ ≠ ðī)
109ex 412 . . 3 (𝜑 → (ðī <s ðĩ → ðĩ ≠ ðī))
117, 10jcad 512 . 2 (𝜑 → (ðī <s ðĩ → (ðī â‰Īs ðĩ ∧ ðĩ ≠ ðī)))
12 sleloe 27681 . . . . 5 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ) → (ðī â‰Īs ðĩ ↔ (ðī <s ðĩ âˆĻ ðī = ðĩ)))
131, 3, 12syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (ðī â‰Īs ðĩ ↔ (ðī <s ðĩ âˆĻ ðī = ðĩ)))
14 eqneqall 2947 . . . . . 6 (ðĩ = ðī → (ðĩ ≠ ðī → ðī <s ðĩ))
1514eqcoms 2736 . . . . 5 (ðī = ðĩ → (ðĩ ≠ ðī → ðī <s ðĩ))
1615jao1i 857 . . . 4 ((ðī <s ðĩ âˆĻ ðī = ðĩ) → (ðĩ ≠ ðī → ðī <s ðĩ))
1713, 16biimtrdi 252 . . 3 (𝜑 → (ðī â‰Īs ðĩ → (ðĩ ≠ ðī → ðī <s ðĩ)))
1817impd 410 . 2 (𝜑 → ((ðī â‰Īs ðĩ ∧ ðĩ ≠ ðī) → ðī <s ðĩ))
1911, 18impbid 211 1 (𝜑 → (ðī <s ðĩ ↔ (ðī â‰Īs ðĩ ∧ ðĩ ≠ ðī)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   âˆĻ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936   class class class wbr 5143   No csur 27567   <s cslt 27568   â‰Īs csle 27671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-1o 8481  df-2o 8482  df-no 27570  df-slt 27571  df-sle 27672
This theorem is referenced by:  nnsgt0  28201
  Copyright terms: Public domain W3C validator