MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltlend Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltlend 27816
Description: Surreal less-than in terms of less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sltlen.1 (𝜑𝐴 No )
sltlen.2 (𝜑𝐵 No )
Assertion
Ref Expression
sltlend (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem sltlend
StepHypRef Expression
1 sltlen.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 No )
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 No )
3 sltlen.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 No )
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 No )
5 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
62, 4, 5sltled 27814 . . . 4 ((𝜑𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ≤s 𝐵)
76ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵𝐴 ≤s 𝐵))
8 sltne 27815 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵𝐴)
91, 8sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝐴 <s 𝐵) → 𝐵𝐴)
109ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵𝐵𝐴))
117, 10jcad 512 . 2 (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → (𝐴 ≤s 𝐵𝐵𝐴)))
12 sleloe 27799 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵)))
131, 3, 12syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵)))
14 eqneqall 2951 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵𝐴𝐴 <s 𝐵))
1514eqcoms 2745 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 <s 𝐵))
1615jao1i 859 . . . 4 ((𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴𝐴 <s 𝐵))
1713, 16biimtrdi 253 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 <s 𝐵)))
1817impd 410 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ≤s 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 <s 𝐵))
1911, 18impbid 212 1 (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143   No csur 27684   <s cslt 27685   ≤s csle 27789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688  df-sle 27790
This theorem is referenced by:  nnsgt0  28342
  Copyright terms: Public domain W3C validator