Theorem sltlend 27834

Description: Surreal less-than in terms of less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltlen.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
sltlend	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem sltlend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltlen.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ No )
3		sltlen.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ∈ No )
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
6	2, 4, 5	sltled 27832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ≤s 𝐵)
7	6	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐴 ≤s 𝐵))
8		sltne 27833	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
9	1, 8	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
10	9	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
11	7, 10	jcad 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))
12		sleloe 27817	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
13	1, 3, 12	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
14		eqneqall 2957	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
15	14	eqcoms 2748	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
16	15	jao1i 857	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
17	13, 16	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵)))
18	17	impd 410	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐴 <s 𝐵))
19	11, 18	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166   No csur 27702   <s cslt 27703   ≤s csle 27807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-1o 8522  df-2o 8523  df-no 27705  df-slt 27706  df-sle 27808

This theorem is referenced by:  nnsgt0  28360