Theorem sltlend 27681

Description: Surreal less-than in terms of less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltlen.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
sltlend	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem sltlend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltlen.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ No )
3		sltlen.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ∈ No )
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
6	2, 4, 5	sltled 27679	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ≤s 𝐵)
7	6	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐴 ≤s 𝐵))
8		sltne 27680	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
9	1, 8	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
10	9	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
11	7, 10	jcad 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))
12		sleloe 27664	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
13	1, 3, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
14		eqneqall 2936	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
15	14	eqcoms 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
16	15	jao1i 858	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
17	13, 16	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵)))
18	17	impd 410	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐴 <s 𝐵))
19	11, 18	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092   No csur 27549   <s cslt 27550   ≤s csle 27654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-1o 8388  df-2o 8389  df-no 27552  df-slt 27553  df-sle 27655

This theorem is referenced by:  nnsgt0  28236  n0subs2  28259