Theorem sltlend 27831

Description: Surreal less-than in terms of less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltlen.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
sltlend	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem sltlend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltlen.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ No )
3		sltlen.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ∈ No )
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
6	2, 4, 5	sltled 27829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ≤s 𝐵)
7	6	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐴 ≤s 𝐵))
8		sltne 27830	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
9	1, 8	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
10	9	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
11	7, 10	jcad 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))
12		sleloe 27814	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
13	1, 3, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
14		eqneqall 2949	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
15	14	eqcoms 2743	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
16	15	jao1i 858	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
17	13, 16	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵)))
18	17	impd 410	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐴 <s 𝐵))
19	11, 18	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148   No csur 27699   <s cslt 27700   ≤s csle 27804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703  df-sle 27805

This theorem is referenced by:  nnsgt0  28357