Theorem slttrd 27804

Description: Surreal less-than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
slttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
slttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
slttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
slttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
slttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
slttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Proof of Theorem slttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
2		slttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)
3		slttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		slttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		slttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
6		slttr 27792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143   No csur 27684   <s cslt 27685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688

This theorem is referenced by:  conway  27844  sslttr  27852  slerec  27864  sltlpss  27945  cofcutr  27958  addsproplem2  28003  addsproplem6  28007  slt2addd  28046  negsproplem6  28065  mulsproplem5  28146  mulsproplem6  28147  mulsproplem7  28148  mulsproplem8  28149  mulsproplem13  28154  mulsproplem14  28155  precsexlem8  28238  precsexlem9  28239  precsexlem11  28241  om2noseqlt  28305  zscut  28393  recut  28428