Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slttrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slttrd 32765
Description: Surreal less than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
slttrd.1 (𝜑𝐴 No )
slttrd.2 (𝜑𝐵 No )
slttrd.3 (𝜑𝐶 No )
slttrd.4 (𝜑𝐴 <s 𝐵)
slttrd.5 (𝜑𝐵 <s 𝐶)
Assertion
Ref Expression
slttrd (𝜑𝐴 <s 𝐶)

Proof of Theorem slttrd
StepHypRef Expression
1 slttrd.4 . 2 (𝜑𝐴 <s 𝐵)
2 slttrd.5 . 2 (𝜑𝐵 <s 𝐶)
3 slttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 No )
4 slttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 No )
5 slttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 No )
6 slttr 32753 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 <s 𝐵𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → ((𝐴 <s 𝐵𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
81, 2, 7mp2and 686 1 (𝜑𝐴 <s 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wcel 2050   class class class wbr 4929   No csur 32674   <s cslt 32675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-ord 6032  df-on 6033  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-fv 6196  df-1o 7905  df-2o 7906  df-no 32677  df-slt 32678
This theorem is referenced by:  conway  32791  sslttr  32795  slerec  32804
  Copyright terms: Public domain W3C validator