Theorem slttrd 27698

Description: Surreal less-than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
slttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
slttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
slttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
slttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
slttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
slttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Proof of Theorem slttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
2		slttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)
3		slttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		slttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		slttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
6		slttr 27686	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089   No csur 27578   <s cslt 27579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-1o 8385  df-2o 8386  df-no 27581  df-slt 27582

This theorem is referenced by:  conway  27740  sslttr  27748  slerec  27760  sltlpss  27853  cofcutr  27868  addsproplem2  27913  addsproplem6  27917  slt2addd  27956  negsproplem6  27975  mulsproplem5  28059  mulsproplem6  28060  mulsproplem7  28061  mulsproplem8  28062  mulsproplem13  28067  mulsproplem14  28068  precsexlem8  28152  precsexlem9  28153  precsexlem11  28155  om2noseqlt  28229  zscut  28331  twocut  28346  pw2cut2  28382  recut  28398