Theorem slttrd 32765

Description: Surreal less than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
slttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
slttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
slttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
slttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
slttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
slttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Proof of Theorem slttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
2		slttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)
3		slttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		slttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		slttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
6		slttr 32753	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1351	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 686	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4929   No csur 32674   <s cslt 32675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-ord 6032  df-on 6033  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-fv 6196  df-1o 7905  df-2o 7906  df-no 32677  df-slt 32678

This theorem is referenced by:  conway  32791  sslttr  32795  slerec  32804