MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubc3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubc3 17799
Description: Alternate definition of a subcategory, as a subset of the category which is itself a category. The assumption that the identity be closed is necessary just as in the case of a monoid, issubm2 18685, for the same reasons, since categories are a generalization of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc3.h 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
issubc3.i 1 = (Idβ€˜πΆ)
issubc3.1 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
issubc3.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
issubc3.a (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
issubc3 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐻   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hint:   1 (π‘₯)

Proof of Theorem issubc3
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
2 issubc3.h . . . 4 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
31, 2subcssc 17790 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ 𝐽 βŠ†cat 𝐻)
41adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
5 issubc3.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
65ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
7 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
8 issubc3.i . . . . 5 1 = (Idβ€˜πΆ)
94, 6, 7, 8subcidcl 17794 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯))
109ralrimiva 3147 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯))
11 issubc3.1 . . . 4 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
1211, 1subccat 17798 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ 𝐷 ∈ Cat)
133, 10, 123jca 1129 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat))
14 simpr1 1195 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ 𝐽 βŠ†cat 𝐻)
15 simpr2 1196 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Hom β€˜π·) = (Hom β€˜π·)
18 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (compβ€˜π·) = (compβ€˜π·)
19 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐷 ∈ Cat)
20 simprl1 1219 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
21 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
22 issubc3.c . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
245ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
252, 21homffn 17637 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐻 Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐻 Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))
27 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐽 βŠ†cat 𝐻)
2824, 26, 27ssc1 17768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
2911, 21, 23, 24, 28rescbas 17776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π·))
3020, 29eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π·))
31 simprl2 1220 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
3231, 29eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π·))
33 simprl3 1221 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
3433, 29eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π·))
35 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦))
3611, 21, 23, 24, 28reschom 17778 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐽 = (Hom β€˜π·))
3736oveqd 7426 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (π‘₯𝐽𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜π·)𝑦))
3835, 37eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜π·)𝑦))
39 simprrr 781 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))
4036oveqd 7426 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑦𝐽𝑧) = (𝑦(Hom β€˜π·)𝑧))
4139, 40eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜π·)𝑧))
4216, 17, 18, 19, 30, 32, 34, 38, 41catcocl 17629 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜π·)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Hom β€˜π·)𝑧))
43 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4411, 21, 23, 24, 28, 43rescco 17780 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜π·))
4544oveqd 7426 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧) = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜π·)𝑧))
4645oveqd 7426 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜π·)𝑧)𝑓))
4736oveqd 7426 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (π‘₯𝐽𝑧) = (π‘₯(Hom β€˜π·)𝑧))
4842, 46, 473eltr4d 2849 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
4948anassrs 469 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
5049ralrimivva 3201 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
5150ralrimivvva 3204 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
52513adantr2 1171 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
53 r19.26 3112 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))
5415, 52, 53sylanbrc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))
5522adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
565adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
572, 8, 43, 55, 56issubc2 17786 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))))
5814, 54, 57mpbir2and 712 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
5913, 58impbida 800 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  Catccat 17608  Idccid 17609  Homf chomf 17610   βŠ†cat cssc 17754   β†Ύcat cresc 17755  Subcatcsubc 17756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-hom 17221  df-cco 17222  df-cat 17612  df-cid 17613  df-homf 17614  df-ssc 17757  df-resc 17758  df-subc 17759
This theorem is referenced by:  subsubc  17803
  Copyright terms: Public domain W3C validator