MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubc3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubc3 17803
Description: Alternate definition of a subcategory, as a subset of the category which is itself a category. The assumption that the identity be closed is necessary just as in the case of a monoid, issubm2 18721, for the same reasons, since categories are a generalization of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc3.h 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
issubc3.i 1 = (Idβ€˜πΆ)
issubc3.1 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
issubc3.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
issubc3.a (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
issubc3 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐻   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hint:   1 (π‘₯)

Proof of Theorem issubc3
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
2 issubc3.h . . . 4 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
31, 2subcssc 17794 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ 𝐽 βŠ†cat 𝐻)
41adantr 479 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
5 issubc3.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
65ad2antrr 722 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
7 simpr 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
8 issubc3.i . . . . 5 1 = (Idβ€˜πΆ)
94, 6, 7, 8subcidcl 17798 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯))
109ralrimiva 3144 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯))
11 issubc3.1 . . . 4 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
1211, 1subccat 17802 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ 𝐷 ∈ Cat)
133, 10, 123jca 1126 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat))
14 simpr1 1192 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ 𝐽 βŠ†cat 𝐻)
15 simpr2 1193 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯))
16 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
17 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Hom β€˜π·) = (Hom β€˜π·)
18 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (compβ€˜π·) = (compβ€˜π·)
19 simplrr 774 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐷 ∈ Cat)
20 simprl1 1216 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
21 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
22 issubc3.c . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
2322ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
245ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
252, 21homffn 17641 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐻 Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐻 Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))
27 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐽 βŠ†cat 𝐻)
2824, 26, 27ssc1 17772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
2911, 21, 23, 24, 28rescbas 17780 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π·))
3020, 29eleqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π·))
31 simprl2 1217 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
3231, 29eleqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π·))
33 simprl3 1218 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
3433, 29eleqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π·))
35 simprrl 777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦))
3611, 21, 23, 24, 28reschom 17782 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐽 = (Hom β€˜π·))
3736oveqd 7428 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (π‘₯𝐽𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜π·)𝑦))
3835, 37eleqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜π·)𝑦))
39 simprrr 778 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))
4036oveqd 7428 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑦𝐽𝑧) = (𝑦(Hom β€˜π·)𝑧))
4139, 40eleqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜π·)𝑧))
4216, 17, 18, 19, 30, 32, 34, 38, 41catcocl 17633 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜π·)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Hom β€˜π·)𝑧))
43 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4411, 21, 23, 24, 28, 43rescco 17784 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜π·))
4544oveqd 7428 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧) = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜π·)𝑧))
4645oveqd 7428 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜π·)𝑧)𝑓))
4736oveqd 7428 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (π‘₯𝐽𝑧) = (π‘₯(Hom β€˜π·)𝑧))
4842, 46, 473eltr4d 2846 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
4948anassrs 466 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
5049ralrimivva 3198 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
5150ralrimivvva 3201 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
52513adantr2 1168 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
53 r19.26 3109 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))
5415, 52, 53sylanbrc 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))
5522adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
565adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
572, 8, 43, 55, 56issubc2 17790 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))))
5814, 54, 57mpbir2and 709 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
5913, 58impbida 797 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Hom chom 17212  compcco 17213  Catccat 17612  Idccid 17613  Homf chomf 17614   βŠ†cat cssc 17758   β†Ύcat cresc 17759  Subcatcsubc 17760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-hom 17225  df-cco 17226  df-cat 17616  df-cid 17617  df-homf 17618  df-ssc 17761  df-resc 17762  df-subc 17763
This theorem is referenced by:  subsubc  17807
  Copyright terms: Public domain W3C validator