MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubc3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubc3 17740
Description: Alternate definition of a subcategory, as a subset of the category which is itself a category. The assumption that the identity be closed is necessary just as in the case of a monoid, issubm2 18620, for the same reasons, since categories are a generalization of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc3.h 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
issubc3.i 1 = (Idβ€˜πΆ)
issubc3.1 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
issubc3.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
issubc3.a (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
issubc3 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐻   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hint:   1 (π‘₯)

Proof of Theorem issubc3
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
2 issubc3.h . . . 4 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
31, 2subcssc 17731 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ 𝐽 βŠ†cat 𝐻)
41adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
5 issubc3.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
65ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
7 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
8 issubc3.i . . . . 5 1 = (Idβ€˜πΆ)
94, 6, 7, 8subcidcl 17735 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯))
109ralrimiva 3140 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯))
11 issubc3.1 . . . 4 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
1211, 1subccat 17739 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ 𝐷 ∈ Cat)
133, 10, 123jca 1129 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ)) β†’ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat))
14 simpr1 1195 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ 𝐽 βŠ†cat 𝐻)
15 simpr2 1196 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Hom β€˜π·) = (Hom β€˜π·)
18 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (compβ€˜π·) = (compβ€˜π·)
19 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐷 ∈ Cat)
20 simprl1 1219 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
21 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
22 issubc3.c . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
245ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
252, 21homffn 17578 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐻 Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐻 Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))
27 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐽 βŠ†cat 𝐻)
2824, 26, 27ssc1 17709 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
2911, 21, 23, 24, 28rescbas 17717 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π·))
3020, 29eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π·))
31 simprl2 1220 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
3231, 29eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π·))
33 simprl3 1221 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
3433, 29eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π·))
35 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦))
3611, 21, 23, 24, 28reschom 17719 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐽 = (Hom β€˜π·))
3736oveqd 7375 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (π‘₯𝐽𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜π·)𝑦))
3835, 37eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜π·)𝑦))
39 simprrr 781 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))
4036oveqd 7375 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑦𝐽𝑧) = (𝑦(Hom β€˜π·)𝑧))
4139, 40eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜π·)𝑧))
4216, 17, 18, 19, 30, 32, 34, 38, 41catcocl 17570 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜π·)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Hom β€˜π·)𝑧))
43 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4411, 21, 23, 24, 28, 43rescco 17721 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜π·))
4544oveqd 7375 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧) = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜π·)𝑧))
4645oveqd 7375 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜π·)𝑧)𝑓))
4736oveqd 7375 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (π‘₯𝐽𝑧) = (π‘₯(Hom β€˜π·)𝑧))
4842, 46, 473eltr4d 2849 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
4948anassrs 469 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
5049ralrimivva 3194 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
5150ralrimivvva 3197 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
52513adantr2 1171 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))
53 r19.26 3111 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))
5415, 52, 53sylanbrc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))
5522adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
565adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
572, 8, 43, 55, 56issubc2 17727 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))))
5814, 54, 57mpbir2and 712 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
5913, 58impbida 800 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ 𝐷 ∈ Cat)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632   Fn wfn 6492  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Hom chom 17149  compcco 17150  Catccat 17549  Idccid 17550  Homf chomf 17551   βŠ†cat cssc 17695   β†Ύcat cresc 17696  Subcatcsubc 17697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-hom 17162  df-cco 17163  df-cat 17553  df-cid 17554  df-homf 17555  df-ssc 17698  df-resc 17699  df-subc 17700
This theorem is referenced by:  subsubc  17744
  Copyright terms: Public domain W3C validator