Theorem subcss1 18022

Description: The objects of a subcategory are a subset of the objects of the original. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subcss1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subcss1.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subcss1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
subcss1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subcss1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcss1.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
3		subcss1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4	2, 3	homffn 17872	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵))
6		subcss1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
7	6, 2	subcssc 18020	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆cat (Homf ‘𝐶))
8	1, 5, 7	ssc1 18001	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   × cxp 5648   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  Basecbs 17392  Hom_f chomf 17845  Subcatcsubc 17989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-homf 17849  df-ssc 17990  df-subc 17992

This theorem is used by:  subcss2  18023  subccatid  18026  subsubc  18033  funcres  18076  funcres2b  18077  funcres2  18078  idfusubc  18080  subthinc  50671