MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trlreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlreslem 29557
Description: Lemma for trlres 29558. Formerly part of proof of eupthres 30069. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
trlres.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
trlres.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
trlres.d (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
trlres.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
trlres.h 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
Assertion
Ref Expression
trlreslem (πœ‘ β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem trlreslem
StepHypRef Expression
1 trlres.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
2 trlres.i . . . . 5 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
32trlf1 29556 . . . 4 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1β†’dom 𝐼)
41, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1β†’dom 𝐼)
5 trlres.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
6 elfzouz2 13679 . . . 4 (𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
7 fzoss2 13692 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
85, 6, 73syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
9 f1ores 6848 . . 3 ((𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1β†’dom 𝐼 ∧ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ (0..^𝑁)))
104, 8, 9syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ (0..^𝑁)))
11 trlres.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12 trliswlk 29555 . . . . . 6 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
132wlkf 29472 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
141, 12, 133syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
15 fzossfz 13683 . . . . . 6 (0..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (0...(β™―β€˜πΉ))
1615, 5sselid 3970 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
17 pfxres 14661 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
1814, 16, 17syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
1911, 18eqtrid 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
2011fveq2i 6895 . . . . 5 (β™―β€˜π») = (β™―β€˜(𝐹 prefix 𝑁))
21 elfzofz 13680 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
225, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
23 pfxlen 14665 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2414, 22, 23syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2520, 24eqtrid 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») = 𝑁)
2625oveq2d 7432 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π»)) = (0..^𝑁))
27 wrdf 14501 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))⟢dom 𝐼)
28 fimass 6738 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))⟢dom 𝐼 β†’ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)) βŠ† dom 𝐼)
2913, 27, 283syl 18 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)) βŠ† dom 𝐼)
301, 12, 293syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)) βŠ† dom 𝐼)
31 ssdmres 6012 . . . 4 ((𝐹 β€œ (0..^𝑁)) βŠ† dom 𝐼 ↔ dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))) = (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))
3230, 31sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))) = (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))
3319, 26, 32f1oeq123d 6828 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))) ↔ (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
3410, 33mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  β™―chash 14321  Word cword 14496   prefix cpfx 14652  Vtxcvtx 28853  iEdgciedg 28854  Walkscwlks 29454  Trailsctrls 29548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-wlks 29457  df-trls 29550
This theorem is referenced by:  trlres  29558  eupthres  30069
  Copyright terms: Public domain W3C validator