Theorem trlreslem 29735

Description: Lemma for trlres 29736. Formerly part of proof of eupthres 30247. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
trlreslem	⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem trlreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		trlres.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	2	trlf1 29734	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
5		trlres.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
6		elfzouz2 13731	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		fzoss2 13744	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
9		f1ores 6876	. . 3 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
10	4, 8, 9	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
11		trlres.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12		trliswlk 29733	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13	2	wlkf 29650	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
14	1, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
15		fzossfz 13735	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
16	15, 5	sselid 4006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
17		pfxres 14727	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
18	14, 16, 17	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
19	11, 18	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
20	11	fveq2i 6923	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 prefix 𝑁))
21		elfzofz 13732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
22	5, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23		pfxlen 14731	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
24	14, 22, 23	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
25	20, 24	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
26	25	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
27		wrdf 14567	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
28		fimass 6767	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
29	13, 27, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
30	1, 12, 29	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
31		ssdmres 6042	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼 ↔ dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
32	30, 31	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
33	19, 26, 32	f1oeq123d 6856	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁))))
34	10, 33	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  dom cdm 5700   ↾ cres 5702   “ cima 5703  ⟶wf 6569  –1-1→wf1 6570  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562   prefix cpfx 14718  Vtxcvtx 29031  iEdgciedg 29032  Walkscwlks 29632  Trailsctrls 29726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-wlks 29635  df-trls 29728

This theorem is referenced by:  trlres  29736  eupthres  30247