MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trlreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlreslem 29717
Description: Lemma for trlres 29718. Formerly part of proof of eupthres 30234. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
trlres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlres.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlres.h 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
Assertion
Ref Expression
trlreslem (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem trlreslem
StepHypRef Expression
1 trlres.d . . . 4 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2 trlres.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
32trlf1 29716 . . . 4 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
5 trlres.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
6 elfzouz2 13714 . . . 4 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
7 fzoss2 13727 . . . 4 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
9 f1ores 6862 . . 3 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
104, 8, 9syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
11 trlres.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12 trliswlk 29715 . . . . . 6 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
132wlkf 29632 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
141, 12, 133syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
15 fzossfz 13718 . . . . . 6 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
1615, 5sselid 3981 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
17 pfxres 14717 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
1814, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
1911, 18eqtrid 2789 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
2011fveq2i 6909 . . . . 5 (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 prefix 𝑁))
21 elfzofz 13715 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
225, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23 pfxlen 14721 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2414, 22, 23syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2520, 24eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
2625oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
27 wrdf 14557 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
28 fimass 6756 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
2913, 27, 283syl 18 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
301, 12, 293syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
31 ssdmres 6031 . . . 4 ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼 ↔ dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
3230, 31sylib 218 . . 3 (𝜑 → dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
3319, 26, 32f1oeq123d 6842 . 2 (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁))))
3410, 33mpbird 257 1 (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cres 5687  cima 5688  wf 6557  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   prefix cpfx 14708  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  Walkscwlks 29614  Trailsctrls 29708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-wlks 29617  df-trls 29710
This theorem is referenced by:  trlres  29718  eupthres  30234
  Copyright terms: Public domain W3C validator