MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trlreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlreslem 27653
Description: Lemma for trlres 27654. Formerly part of proof of eupthres 28164. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
trlres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlres.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlres.h 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
Assertion
Ref Expression
trlreslem (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem trlreslem
StepHypRef Expression
1 trlres.d . . . 4 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2 trlres.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
32trlf1 27652 . . . 4 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
5 trlres.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
6 elfzouz2 13155 . . . 4 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
7 fzoss2 13168 . . . 4 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
9 f1ores 6644 . . 3 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
104, 8, 9syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
11 trlres.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12 trliswlk 27651 . . . . . 6 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
132wlkf 27568 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
141, 12, 133syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
15 fzossfz 13159 . . . . . 6 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
1615, 5sseldi 3885 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
17 pfxres 14142 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
1814, 16, 17syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
1911, 18syl5eq 2786 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
2011fveq2i 6689 . . . . 5 (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 prefix 𝑁))
21 elfzofz 13156 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
225, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23 pfxlen 14146 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2414, 22, 23syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2520, 24syl5eq 2786 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
2625oveq2d 7198 . . 3 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
27 wrdf 13972 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
28 fimass 6535 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
2913, 27, 283syl 18 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
301, 12, 293syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
31 ssdmres 5858 . . . 4 ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼 ↔ dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
3230, 31sylib 221 . . 3 (𝜑 → dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
3319, 26, 32f1oeq123d 6624 . 2 (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁))))
3410, 33mpbird 260 1 (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3853   class class class wbr 5040  dom cdm 5535  cres 5537  cima 5538  wf 6345  1-1wf1 6346  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  (class class class)co 7182  0cc0 10627  cuz 12336  ...cfz 12993  ..^cfzo 13136  chash 13794  Word cword 13967   prefix cpfx 14133  Vtxcvtx 26953  iEdgciedg 26954  Walkscwlks 27550  Trailsctrls 27644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-hash 13795  df-word 13968  df-substr 14104  df-pfx 14134  df-wlks 27553  df-trls 27646
This theorem is referenced by:  trlres  27654  eupthres  28164
  Copyright terms: Public domain W3C validator