Theorem trlreslem 29895

Description: Lemma for trlres 29896. Formerly part of proof of eupthres 30414. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
trlreslem	⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem trlreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		trlres.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	2	trlf1 29894	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
5		trlres.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
6		elfzouz2 13680	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		fzoss2 13693	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
9		f1ores 6821	. . 3 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
10	4, 8, 9	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
11		trlres.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12		trliswlk 29893	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13	2	wlkf 29812	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
14	1, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
15		fzossfz 13684	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
16	15, 5	sselid 3934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
17		pfxres 14693	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
18	14, 16, 17	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
19	11, 18	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
20	11	fveq2i 6870	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 prefix 𝑁))
21		elfzofz 13681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
22	5, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23		pfxlen 14697	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
24	14, 22, 23	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
25	20, 24	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
26	25	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
27		wrdf 14531	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
28		fimass 6712	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
29	13, 27, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
30	1, 12, 29	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
31		ssdmres 5999	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼 ↔ dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
32	30, 31	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
33	19, 26, 32	f1oeq123d 6800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁))))
34	10, 33	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100  dom cdm 5647   ↾ cres 5649   “ cima 5650  ⟶wf 6517  –1-1→wf1 6518  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  ℤ_≥cuz 12839  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659  ♯chash 14343  Word cword 14526   prefix cpfx 14684  Vtxcvtx 29194  iEdgciedg 29195  Walkscwlks 29794  Trailsctrls 29886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-wlks 29797  df-trls 29888

This theorem is referenced by:  trlres  29896  eupthres  30414