Theorem trlreslem 29634

Description: Lemma for trlres 29635. Formerly part of proof of eupthres 30151. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
trlreslem	⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem trlreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		trlres.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	2	trlf1 29633	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
5		trlres.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
6		elfzouz2 13642	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		fzoss2 13655	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
9		f1ores 6817	. . 3 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
10	4, 8, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
11		trlres.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12		trliswlk 29632	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13	2	wlkf 29549	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
14	1, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
15		fzossfz 13646	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
16	15, 5	sselid 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
17		pfxres 14651	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
18	14, 16, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
19	11, 18	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
20	11	fveq2i 6864	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 prefix 𝑁))
21		elfzofz 13643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
22	5, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23		pfxlen 14655	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
24	14, 22, 23	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
25	20, 24	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
26	25	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
27		wrdf 14490	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
28		fimass 6711	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
29	13, 27, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
30	1, 12, 29	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
31		ssdmres 5987	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼 ↔ dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
32	30, 31	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
33	19, 26, 32	f1oeq123d 6797	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁))))
34	10, 33	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  dom cdm 5641   ↾ cres 5643   “ cima 5644  ⟶wf 6510  –1-1→wf1 6511  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   prefix cpfx 14642  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  Walkscwlks 29531  Trailsctrls 29625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-wlks 29534  df-trls 29627

This theorem is referenced by:  trlres  29635  eupthres  30151