MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trlreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlreslem 28067
Description: Lemma for trlres 28068. Formerly part of proof of eupthres 28579. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
trlres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlres.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlres.h 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
Assertion
Ref Expression
trlreslem (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem trlreslem
StepHypRef Expression
1 trlres.d . . . 4 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2 trlres.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
32trlf1 28066 . . . 4 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
5 trlres.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
6 elfzouz2 13402 . . . 4 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
7 fzoss2 13415 . . . 4 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
9 f1ores 6730 . . 3 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
104, 8, 9syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
11 trlres.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12 trliswlk 28065 . . . . . 6 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
132wlkf 27981 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
141, 12, 133syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
15 fzossfz 13406 . . . . . 6 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
1615, 5sselid 3919 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
17 pfxres 14392 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
1814, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
1911, 18eqtrid 2790 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
2011fveq2i 6777 . . . . 5 (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 prefix 𝑁))
21 elfzofz 13403 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
225, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23 pfxlen 14396 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2414, 22, 23syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2520, 24eqtrid 2790 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
2625oveq2d 7291 . . 3 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
27 wrdf 14222 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
28 fimass 6621 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
2913, 27, 283syl 18 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
301, 12, 293syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
31 ssdmres 5914 . . . 4 ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼 ↔ dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
3230, 31sylib 217 . . 3 (𝜑 → dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
3319, 26, 32f1oeq123d 6710 . 2 (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁))))
3410, 33mpbird 256 1 (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3887   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  cres 5591  cima 5592  wf 6429  1-1wf1 6430  1-1-ontowf1o 6432  cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  cuz 12582  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  chash 14044  Word cword 14217   prefix cpfx 14383  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  Walkscwlks 27963  Trailsctrls 28058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-wlks 27966  df-trls 28060
This theorem is referenced by:  trlres  28068  eupthres  28579
  Copyright terms: Public domain W3C validator