Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem94 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem94 43416
Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem94.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem94.t 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem94.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem94.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem94.p 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem94.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem94.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem94.dvcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem94.dvlb ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
fourierdlem94.dvub ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem94 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝑀,𝑥,𝑛   𝑀,𝑝,𝑖,𝑛   𝑄,𝑖,𝑥,𝑛   𝑄,𝑝   𝑇,𝑖,𝑥,𝑛   𝑇,𝑝   𝑖,𝑋,𝑥,𝑛   𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem94
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pire 25348 . . . . 5 π ∈ ℝ
21renegcli 11139 . . . 4 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
41a1i 11 . . 3 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 negpilt0 42491 . . . . 5 -π < 0
6 pipos 25350 . . . . 5 0 < π
7 0re 10835 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
82, 7, 1lttri 10958 . . . . 5 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
95, 6, 8mp2an 692 . . . 4 -π < π
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → -π < π)
11 fourierdlem94.p . . 3 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
12 picn 25349 . . . . 5 π ∈ ℂ
13122timesi 11968 . . . 4 (2 · π) = (π + π)
14 fourierdlem94.t . . . 4 𝑇 = (2 · π)
1512, 12subnegi 11157 . . . 4 (π − -π) = (π + π)
1613, 14, 153eqtr4i 2775 . . 3 𝑇 = (π − -π)
17 fourierdlem94.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
18 fourierdlem94.q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
19 ssid 3923 . . . 4 ℝ ⊆ ℝ
2019a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
21 fourierdlem94.f . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
22 simp2 1139 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
23 zre 12180 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
24233ad2ant3 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
25 2re 11904 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
2625, 1remulcli 10849 . . . . . . . . 9 (2 · π) ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
2814, 27eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2928adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
30293adant2 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
3124, 30remulcld 10863 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
3222, 31readdcld 10862 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
33 simp1 1138 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝜑)
34 simp3 1140 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
35 ax-resscn 10786 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3721, 36fssd 6563 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3837adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3938adantr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
4029adantr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
41 simplr 769 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℤ)
42 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
43 eleq1w 2820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
4443anbi2d 632 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑𝑦 ∈ ℝ)))
45 oveq1 7220 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
4645fveq2d 6721 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)))
47 fveq2 6717 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
4846, 47eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)))
4944, 48imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))))
50 fourierdlem94.per . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
5149, 50chvarvv 2007 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
5251ad4ant14 752 . . . . 5 ((((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
5339, 40, 41, 42, 52fperiodmul 42516 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
5433, 34, 22, 53syl21anc 838 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
5535a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
56 ioossre 12996 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
5821, 57fssresd 6586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
5958, 36fssd 6563 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
6059adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
6156a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
6237adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
6319a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℝ)
64 eqid 2737 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6564tgioo2 23700 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6664, 65dvres 24808 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
6755, 62, 63, 61, 66syl22anc 839 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
6867dmeqd 5774 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
69 ioontr 42724 . . . . . . . 8 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))
7069reseq2i 5848 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
7170dmeqi 5773 . . . . . 6 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
7271a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
73 fourierdlem94.dvcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
74 cncff 23790 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
75 fdm 6554 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
7673, 74, 753syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
7768, 72, 763eqtrd 2781 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
78 dvcn 24818 . . . 4 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
7955, 60, 61, 77, 78syl31anc 1375 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
8061, 35sstrdi 3913 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
8111fourierdlem2 43325 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
8217, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
8318, 82mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
8483simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
85 elmapi 8530 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
8684, 85syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
8786adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
88 elfzofz 13258 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
8988adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
9087, 89ffvelrnd 6905 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
9190rexrd 10883 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
92 fzofzp1 13339 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
9392adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
9487, 93ffvelrnd 6905 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
9583simprrd 774 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9695r19.21bi 3130 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9764, 91, 94, 96lptioo2cn 42861 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
9858adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
9936, 37, 20dvbss 24798 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
100 dvfre 24848 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
10121, 20, 100syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
10283simprd 499 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
103102simplld 768 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
104102simplrd 770 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
10573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
10694rexrd 10883 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
10764, 106, 90, 96lptioo1cn 42862 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
108 fourierdlem94.dvlb . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
109105, 80, 107, 108, 64ellimciota 42830 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (℩𝑥𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
110 fourierdlem94.dvub . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
111105, 80, 97, 110, 64ellimciota 42830 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (℩𝑥𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
11223adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
113112, 29remulcld 10863 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
11438adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
11529adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
116 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℤ)
117 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
11850ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
119114, 115, 116, 117, 118fperiodmul 42516 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑡 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑡))
120 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
12138, 113, 119, 120fperdvper 43135 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((𝑡 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘(𝑡 + (𝑘 · 𝑇))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
122121an32s 652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑡 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘(𝑡 + (𝑘 · 𝑇))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
123122simpld 498 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑡 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
124122simprd 499 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℝ D 𝐹)‘(𝑡 + (𝑘 · 𝑇))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
125 fveq2 6717 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
126 oveq1 7220 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
127126fveq2d 6721 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
128125, 127oveq12d 7231 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
129128cbvmptv 5158 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
130 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡 + ((⌊‘((π − 𝑡) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡 + ((⌊‘((π − 𝑡) / 𝑇)) · 𝑇)))
13199, 101, 3, 4, 10, 16, 17, 86, 103, 104, 73, 109, 111, 123, 124, 129, 130fourierdlem71 43393 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
132131adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
133 nfv 1922 . . . . . . . . . 10 𝑡(𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀))
134 nfra1 3140 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
135133, 134nfan 1907 . . . . . . . . 9 𝑡((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
13667, 70eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
137136fveq1d 6719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡))
138 fvres 6736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
139137, 138sylan9eq 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
140139fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
141140adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
142 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
143 ssdmres 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
14476, 143sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
145144ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
146 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
147145, 146sseldd 3902 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
148 rspa 3128 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
149142, 147, 148syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
150141, 149eqbrtrd 5075 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
151150ex 416 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
152135, 151ralrimi 3137 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
153152ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
154153reximdv 3192 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
155132, 154mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
15690, 94, 98, 77, 155ioodvbdlimc2 43151 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
15760, 80, 97, 156, 64ellimciota 42830 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (℩𝑦𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
158 fourierdlem94.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
159 oveq2 7221 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (π − 𝑦) = (π − 𝑥))
160159oveq1d 7228 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((π − 𝑦) / 𝑇) = ((π − 𝑥) / 𝑇))
161160fveq2d 6721 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)))
162161oveq1d 7228 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
163162cbvmptv 5158 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
164 id 22 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
165 fveq2 6717 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑧) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑥))
166164, 165oveq12d 7231 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 + ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑧)) = (𝑥 + ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑥)))
167166cbvmptv 5158 . . 3 (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑧 + ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑧))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑥)))
1683, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 21, 32, 54, 79, 157, 158, 163, 167fourierdlem49 43371 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅)
16990, 94, 98, 77, 155ioodvbdlimc1 43149 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
17060, 80, 107, 169, 64ellimciota 42830 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (℩𝑦𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
171 biid 264 . . 3 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
1723, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 21, 32, 54, 79, 170, 158, 163, 167, 171fourierdlem48 43370 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
173168, 172jca 515 1 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  wss 3866  c0 4237   class class class wbr 5053  cmpt 5135  dom cdm 5551  ran crn 5552  cres 5553  cio 6336  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  +∞cpnf 10864  -∞cmnf 10865   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062  -cneg 11063   / cdiv 11489  cn 11830  2c2 11885  cz 12176  (,)cioo 12935  [,)cico 12937  ...cfz 13095  ..^cfzo 13238  cfl 13365  abscabs 14797  πcpi 15628  TopOpenctopn 16926  topGenctg 16942  fldccnfld 20363  intcnt 21914  cnccncf 23773   lim climc 24759   D cdv 24760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-cmp 22284  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764
This theorem is referenced by:  fourierdlem102  43424
  Copyright terms: Public domain W3C validator