Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem94 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem94 44431
Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem94.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem94.t 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem94.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem94.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem94.p 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem94.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem94.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem94.dvcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem94.dvlb ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
fourierdlem94.dvub ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem94 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝑀,𝑥,𝑛   𝑀,𝑝,𝑖,𝑛   𝑄,𝑖,𝑥,𝑛   𝑄,𝑝   𝑇,𝑖,𝑥,𝑛   𝑇,𝑝   𝑖,𝑋,𝑥,𝑛   𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem94
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pire 25815 . . . . 5 π ∈ ℝ
21renegcli 11462 . . . 4 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
41a1i 11 . . 3 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 negpilt0 43504 . . . . 5 -π < 0
6 pipos 25817 . . . . 5 0 < π
7 0re 11157 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
82, 7, 1lttri 11281 . . . . 5 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
95, 6, 8mp2an 690 . . . 4 -π < π
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → -π < π)
11 fourierdlem94.p . . 3 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
12 picn 25816 . . . . 5 π ∈ ℂ
13122timesi 12291 . . . 4 (2 · π) = (π + π)
14 fourierdlem94.t . . . 4 𝑇 = (2 · π)
1512, 12subnegi 11480 . . . 4 (π − -π) = (π + π)
1613, 14, 153eqtr4i 2774 . . 3 𝑇 = (π − -π)
17 fourierdlem94.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
18 fourierdlem94.q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
19 ssid 3966 . . . 4 ℝ ⊆ ℝ
2019a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
21 fourierdlem94.f . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
22 simp2 1137 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
23 zre 12503 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
24233ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
25 2re 12227 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
2625, 1remulcli 11171 . . . . . . . . 9 (2 · π) ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
2814, 27eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
30293adant2 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
3124, 30remulcld 11185 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
3222, 31readdcld 11184 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
33 simp1 1136 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝜑)
34 simp3 1138 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
35 ax-resscn 11108 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3721, 36fssd 6686 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3837adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3938adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
4029adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
41 simplr 767 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℤ)
42 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
43 eleq1w 2820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
4443anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑𝑦 ∈ ℝ)))
45 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
4645fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)))
47 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
4846, 47eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)))
4944, 48imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))))
50 fourierdlem94.per . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
5149, 50chvarvv 2002 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
5251ad4ant14 750 . . . . 5 ((((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
5339, 40, 41, 42, 52fperiodmul 43528 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
5433, 34, 22, 53syl21anc 836 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
5535a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
56 ioossre 13325 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
5821, 57fssresd 6709 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
5958, 36fssd 6686 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
6059adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
6156a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
6237adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
6319a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℝ)
64 eqid 2736 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6564tgioo2 24166 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6664, 65dvres 25275 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
6755, 62, 63, 61, 66syl22anc 837 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
6867dmeqd 5861 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
69 ioontr 43739 . . . . . . . 8 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))
7069reseq2i 5934 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
7170dmeqi 5860 . . . . . 6 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
7271a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
73 fourierdlem94.dvcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
74 cncff 24256 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
75 fdm 6677 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
7673, 74, 753syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
7768, 72, 763eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
78 dvcn 25285 . . . 4 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
7955, 60, 61, 77, 78syl31anc 1373 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
8061, 35sstrdi 3956 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
8111fourierdlem2 44340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
8217, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
8318, 82mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
8483simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
85 elmapi 8787 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
8684, 85syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
8786adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
88 elfzofz 13588 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
8988adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
9087, 89ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
9190rexrd 11205 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
92 fzofzp1 13669 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
9392adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
9487, 93ffvelcdmd 7036 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
9583simprrd 772 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9695r19.21bi 3234 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9764, 91, 94, 96lptioo2cn 43876 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
9858adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
9936, 37, 20dvbss 25265 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
100 dvfre 25315 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
10121, 20, 100syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
10283simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
103102simplld 766 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
104102simplrd 768 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
10573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
10694rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
10764, 106, 90, 96lptioo1cn 43877 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
108 fourierdlem94.dvlb . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
109105, 80, 107, 108, 64ellimciota 43845 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (℩𝑥𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
110 fourierdlem94.dvub . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
111105, 80, 97, 110, 64ellimciota 43845 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (℩𝑥𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
11223adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
113112, 29remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
11438adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
11529adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
116 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℤ)
117 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
11850ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
119114, 115, 116, 117, 118fperiodmul 43528 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑡 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑡))
120 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
12138, 113, 119, 120fperdvper 44150 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((𝑡 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘(𝑡 + (𝑘 · 𝑇))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
122121an32s 650 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑡 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘(𝑡 + (𝑘 · 𝑇))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
123122simpld 495 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑡 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
124122simprd 496 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℝ D 𝐹)‘(𝑡 + (𝑘 · 𝑇))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
125 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
126 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
127126fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
128125, 127oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
129128cbvmptv 5218 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
130 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡 + ((⌊‘((π − 𝑡) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡 + ((⌊‘((π − 𝑡) / 𝑇)) · 𝑇)))
13199, 101, 3, 4, 10, 16, 17, 86, 103, 104, 73, 109, 111, 123, 124, 129, 130fourierdlem71 44408 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
132131adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
133 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑡(𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀))
134 nfra1 3267 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
135133, 134nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑡((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
13667, 70eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
137136fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡))
138 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
139137, 138sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
140139fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
141140adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
142 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
143 ssdmres 5960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
14476, 143sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
145144ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
146 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
147145, 146sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
148 rspa 3231 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
149142, 147, 148syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
150141, 149eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
151150ex 413 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
152135, 151ralrimi 3240 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
153152ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
154153reximdv 3167 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
155132, 154mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
15690, 94, 98, 77, 155ioodvbdlimc2 44166 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
15760, 80, 97, 156, 64ellimciota 43845 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (℩𝑦𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
158 fourierdlem94.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
159 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (π − 𝑦) = (π − 𝑥))
160159oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((π − 𝑦) / 𝑇) = ((π − 𝑥) / 𝑇))
161160fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)))
162161oveq1d 7372 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
163162cbvmptv 5218 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
164 id 22 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
165 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑧) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑥))
166164, 165oveq12d 7375 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 + ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑧)) = (𝑥 + ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑥)))
167166cbvmptv 5218 . . 3 (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑧 + ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑧))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑥)))
1683, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 21, 32, 54, 79, 157, 158, 163, 167fourierdlem49 44386 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅)
16990, 94, 98, 77, 155ioodvbdlimc1 44164 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
17060, 80, 107, 169, 64ellimciota 43845 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (℩𝑦𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
171 biid 260 . . 3 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
1723, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 21, 32, 54, 79, 170, 158, 163, 167, 171fourierdlem48 44385 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
173168, 172jca 512 1 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cio 6446  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  cfl 13695  abscabs 15119  πcpi 15949  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  intcnt 22368  cnccncf 24239   lim climc 25226   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  fourierdlem102  44439
  Copyright terms: Public domain W3C validator