Theorem dmvon 47437

Description: Lebesgue measurable n-dimensional subsets of Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmvon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
dmvon	⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))

Proof of Theorem dmvon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmvon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	vonval 47371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) = ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
3	2	dmeqd 5889	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = dom ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
4	1	ovnome 47404	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
6	5	caragenss 47335	. . . 4 ⊢ ((voln*‘𝑋) ∈ OutMeas → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
7	4, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
8		ssdmres 6006	. . 3 ⊢ ((CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋) ↔ dom ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
9	7, 8	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → dom ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
10		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
11	3, 9, 10	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  Fincfn 8955  OutMeascome 47320  CaraGenccaragen 47322  voln*covoln 47367  volncvoln 47369

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-prod 15996  df-rest 17510  df-topgen 17531  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-top 23122  df-topon 23139  df-bases 23174  df-cmp 23615  df-ovol 25695  df-vol 25696  df-sumge0 47194  df-ome 47321  df-caragen 47323  df-ovoln 47368  df-voln 47370

This theorem is used by:  rrnmbl  47445  unidmvon  47448  voncmpl  47452  hspmbl  47460  isvonmbl  47469  mblvon  47470  vonmblss  47471