MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lhop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhop 25380
Description: L'Hôpital's Rule. If 𝐼 is an open set of the reals, 𝐹 and 𝐺 are real functions on 𝐴 containing all of 𝐼 except possibly 𝐵, which are differentiable everywhere on 𝐼 ∖ {𝐵}, 𝐹 and 𝐺 both approach 0, and the limit of 𝐹' (𝑥) / 𝐺' (𝑥) at 𝐵 is 𝐶, then the limit 𝐹(𝑥) / 𝐺(𝑥) at 𝐵 also exists and equals 𝐶. This is Metamath 100 proof #64. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
lhop.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
lhop.g (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
lhop.i (𝜑𝐼 ∈ (topGen‘ran (,)))
lhop.b (𝜑𝐵𝐼)
lhop.d 𝐷 = (𝐼 ∖ {𝐵})
lhop.if (𝜑𝐷 ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
lhop.ig (𝜑𝐷 ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
lhop.f0 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
lhop.g0 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
lhop.gn0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐺𝐷))
lhop.gd0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
lhop.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
lhop (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧𝐷 ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝑧,𝐷   𝑧,𝐹   𝜑,𝑧   𝑧,𝐺   𝑧,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem lhop
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21rexmet 24154 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
4 lhop.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (topGen‘ran (,)))
5 lhop.b . . 3 (𝜑𝐵𝐼)
6 eqid 2736 . . . . 5 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
71, 6tgioo 24159 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
87mopni2 23849 . . 3 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐼 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵𝐼) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐼)
93, 4, 5, 8syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐼)
10 elssuni 4898 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐼 (topGen‘ran (,)))
11 uniretop 24126 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
1210, 11sseqtrrdi 3995 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐼 ⊆ ℝ)
134, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ⊆ ℝ)
1413, 5sseldd 3945 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
15 rpre 12923 . . . . . 6 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
161bl2ioo 24155 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
1714, 15, 16syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
1817sseq1d 3975 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼))
1914adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐵 ∈ ℝ)
20 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2120rpred 12957 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝑟 ∈ ℝ)
2219, 21resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵𝑟) ∈ ℝ)
2322rexrd 11205 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵𝑟) ∈ ℝ*)
2419, 20ltsubrpd 12989 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵𝑟) < 𝐵)
25 lhop.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
2625adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
27 ssun1 4132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
28 unass 4126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝐵} ∪ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = ({𝐵} ∪ (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
29 uncom 4113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝐵} ∪ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) = (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ {𝐵})
3029uneq1i 4119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝐵} ∪ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
3128, 30eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐵} ∪ (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
3219rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3319, 21readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵 + 𝑟) ∈ ℝ)
3433rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵 + 𝑟) ∈ ℝ*)
3519, 20ltaddrpd 12990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐵 < (𝐵 + 𝑟))
36 ioojoin 13400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑟) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑟) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐵𝑟) < 𝐵𝐵 < (𝐵 + 𝑟))) → ((((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
3723, 32, 34, 24, 35, 36syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
3831, 37eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ({𝐵} ∪ (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
39 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑟) < 𝐵𝐵 < (𝐵 + 𝑟))))
4023, 34, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵 ∈ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑟) < 𝐵𝐵 < (𝐵 + 𝑟))))
4119, 24, 35, 40mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐵 ∈ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
4241snssd 4769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → {𝐵} ⊆ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
43 incom 4161 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐵} ∩ (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ∩ {𝐵})
44 ubioo 13296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 𝐵 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)
45 lbioo 13295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 𝐵 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))
4644, 45pm3.2ni 879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ (𝐵 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
47 elun 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ↔ (𝐵 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
4846, 47mtbir 322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 𝐵 ∈ (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
49 disjsn 4672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
5048, 49mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ∩ {𝐵}) = ∅
5143, 50eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐵} ∩ (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ∅
52 uneqdifeq 4450 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝐵} ⊆ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∧ ({𝐵} ∩ (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ∅) → (({𝐵} ∪ (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ↔ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) = (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
5342, 51, 52sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (({𝐵} ∪ (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ↔ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) = (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
5438, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) = (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
5527, 54sseqtrrid 3997 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}))
56 ssdif 4099 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼 → (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ⊆ (𝐼 ∖ {𝐵}))
5756ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ⊆ (𝐼 ∖ {𝐵}))
58 lhop.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐼 ∖ {𝐵})
5957, 58sseqtrrdi 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐷)
60 lhop.if . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
61 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
63 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
6425, 61, 63sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
65 lhop.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6662, 64, 65dvbss 25265 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝐴)
6760, 66sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷𝐴)
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐷𝐴)
6959, 68sstrd 3954 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴)
7055, 69sstrd 3954 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ 𝐴)
7126, 70fssresd 6709 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)):((𝐵𝑟)(,)𝐵)⟶ℝ)
72 lhop.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
7372adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
7473, 70fssresd 6709 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)):((𝐵𝑟)(,)𝐵)⟶ℝ)
7561a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ℝ ⊆ ℂ)
7664adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
7765adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
78 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ ℝ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ ℝ)
80 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8180tgioo2 24166 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
8280, 81dvres 25275 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵𝑟)(,)𝐵))))
8375, 76, 77, 79, 82syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵𝑟)(,)𝐵))))
84 retop 24125 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
85 iooretop 24129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
86 isopn3i 22433 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵𝑟)(,)𝐵)) = ((𝐵𝑟)(,)𝐵))
8784, 85, 86mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵𝑟)(,)𝐵)) = ((𝐵𝑟)(,)𝐵)
8887reseq2i 5934 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))
8983, 88eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))
9089dmeqd 5861 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))
9155, 59sstrd 3954 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
9260adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐷 ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
9391, 92sstrd 3954 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
94 ssdmres 5960 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) = ((𝐵𝑟)(,)𝐵))
9593, 94sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) = ((𝐵𝑟)(,)𝐵))
9690, 95eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = ((𝐵𝑟)(,)𝐵))
97 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
9872, 61, 97sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
9998adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
10080, 81dvres 25275 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵𝑟)(,)𝐵))))
10175, 99, 77, 79, 100syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵𝑟)(,)𝐵))))
10287reseq2i 5934 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))
103101, 102eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))
104103dmeqd 5861 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = dom ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))
105 lhop.ig . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐷 ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
10791, 106sstrd 3954 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
108 ssdmres 5960 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐺) ↔ dom ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) = ((𝐵𝑟)(,)𝐵))
109107, 108sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) = ((𝐵𝑟)(,)𝐵))
110104, 109eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = ((𝐵𝑟)(,)𝐵))
111 limcresi 25249 . . . . . . . . . 10 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ((𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) lim 𝐵)
112 lhop.f0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
113112adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
114111, 113sselid 3942 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 0 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) lim 𝐵))
115 limcresi 25249 . . . . . . . . . 10 (𝐺 lim 𝐵) ⊆ ((𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) lim 𝐵)
116 lhop.g0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
117116adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
118115, 117sselid 3942 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 0 ∈ ((𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) lim 𝐵))
119 df-ima 5646 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 “ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) = ran (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))
120 imass2 6054 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ 𝐷 → (𝐺 “ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) ⊆ (𝐺𝐷))
12191, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐺 “ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) ⊆ (𝐺𝐷))
122119, 121eqsstrrid 3993 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) ⊆ (𝐺𝐷))
123 lhop.gn0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐺𝐷))
124123adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ¬ 0 ∈ (𝐺𝐷))
125122, 124ssneldd 3947 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ¬ 0 ∈ ran (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))
126103rneqd 5893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = ran ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))
127 df-ima 5646 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) = ran ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))
128126, 127eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))
129 imass2 6054 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ 𝐷 → ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) ⊆ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
13091, 129syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) ⊆ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
131128, 130eqsstrd 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))) ⊆ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
132 lhop.gd0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
133132adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
134131, 133ssneldd 3947 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))))
135 limcresi 25249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐵) ⊆ (((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) lim 𝐵)
13691resmptd 5994 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
13789fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧))
138 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
139137, 138sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
140103fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) = (((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧))
141 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))
142140, 141sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))
143139, 142oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
144143mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
145136, 144eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧))))
146145oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧))) lim 𝐵))
147135, 146sseqtrid 3996 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧))) lim 𝐵))
148 lhop.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐵))
149148adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐵))
150147, 149sseldd 3945 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧))) lim 𝐵))
15123, 19, 24, 71, 74, 96, 110, 114, 118, 125, 134, 150lhop2 25379 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧))) lim 𝐵))
15255resmptd 5994 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))))
153 fvres 6861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
154 fvres 6861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) → ((𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) = (𝐺𝑧))
155153, 154oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) → (((𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧)) = ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))
156155mpteq2ia 5208 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))
157152, 156eqtr4di 2794 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧))))
158157oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵))‘𝑧))) lim 𝐵))
159151, 158eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ (((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) lim 𝐵))
160 ssun2 4133 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ (((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
161160, 54sseqtrrid 3997 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}))
162161, 69sstrd 3954 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)
16326, 162fssresd 6709 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))):(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))⟶ℝ)
16473, 162fssresd 6709 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))):(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))⟶ℝ)
165 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ ℝ
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ ℝ)
16780, 81dvres 25275 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
16875, 76, 77, 166, 167syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
169 iooretop 24129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ (topGen‘ran (,))
170 isopn3i 22433 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
17184, 169, 170mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))
172171reseq2i 5934 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
173168, 172eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
174173dmeqd 5861 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
175161, 59sstrd 3954 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐷)
176175, 92sstrd 3954 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
177 ssdmres 5960 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
178176, 177sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
179174, 178eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
18080, 81dvres 25275 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
18175, 99, 77, 166, 180syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
182171reseq2i 5934 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
183181, 182eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
184183dmeqd 5861 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = dom ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
185175, 106sstrd 3954 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
186 ssdmres 5960 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D 𝐺) ↔ dom ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
187185, 186sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
188184, 187eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
189 limcresi 25249 . . . . . . . . . 10 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim 𝐵)
190189, 113sselid 3942 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 0 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim 𝐵))
191 limcresi 25249 . . . . . . . . . 10 (𝐺 lim 𝐵) ⊆ ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim 𝐵)
192191, 117sselid 3942 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 0 ∈ ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim 𝐵))
193 df-ima 5646 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = ran (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
194 imass2 6054 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐷 → (𝐺 “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ⊆ (𝐺𝐷))
195175, 194syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐺 “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ⊆ (𝐺𝐷))
196193, 195eqsstrrid 3993 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ⊆ (𝐺𝐷))
197196, 124ssneldd 3947 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ¬ 0 ∈ ran (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
198183rneqd 5893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ran ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
199 df-ima 5646 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐺) “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = ran ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
200198, 199eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐺) “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
201 imass2 6054 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐷 → ((ℝ D 𝐺) “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ⊆ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
202175, 201syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((ℝ D 𝐺) “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ⊆ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
203200, 202eqsstrd 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) ⊆ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
204203, 133ssneldd 3947 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
205 limcresi 25249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐵) ⊆ (((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim 𝐵)
206175resmptd 5994 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
207173fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧))
208 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
209207, 208sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
210183fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) = (((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧))
211 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) → (((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))
212210, 211sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))
213209, 212oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
214213mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
215206, 214eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧))))
216215oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧))) lim 𝐵))
217205, 216sseqtrid 3996 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧))) lim 𝐵))
218217, 149sseldd 3945 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧))) lim 𝐵))
21919, 34, 35, 163, 164, 179, 188, 190, 192, 197, 204, 218lhop1 25378 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧))) lim 𝐵))
220161resmptd 5994 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))))
221 fvres 6861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
222 fvres 6861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) → ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) = (𝐺𝑧))
223221, 222oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧)) = ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))
224223mpteq2ia 5208 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))
225220, 224eqtr4di 2794 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧))))
226225oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧))) lim 𝐵))
227219, 226eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ (((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim 𝐵))
228159, 227elind 4154 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) lim 𝐵) ∩ (((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim 𝐵)))
22959resmptd 5994 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧𝐷 ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))))
230229oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝑧𝐷 ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
23167sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐷) → 𝑧𝐴)
23225ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
233231, 232syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐷) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
234233recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐷) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
23572ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
236231, 235syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐷) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
237236recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐷) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
238123adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐷) → ¬ 0 ∈ (𝐺𝐷))
23972ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
240239adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐷) → 𝐺 Fn 𝐴)
24167adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐷) → 𝐷𝐴)
242 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐷) → 𝑧𝐷)
243 fnfvima 7183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 Fn 𝐴𝐷𝐴𝑧𝐷) → (𝐺𝑧) ∈ (𝐺𝐷))
244240, 241, 242, 243syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐷) → (𝐺𝑧) ∈ (𝐺𝐷))
245 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑧) = 0 → ((𝐺𝑧) ∈ (𝐺𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺𝐷)))
246244, 245syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐷) → ((𝐺𝑧) = 0 → 0 ∈ (𝐺𝐷)))
247246necon3bd 2957 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐷) → (¬ 0 ∈ (𝐺𝐷) → (𝐺𝑧) ≠ 0))
248238, 247mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐷) → (𝐺𝑧) ≠ 0)
249234, 237, 248divcld 11931 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐷) → ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
250249adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧𝐷) → ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
251250fmpttd 7063 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝑧𝐷 ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))):𝐷⟶ℂ)
252 difss 4091 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐼
25358, 252eqsstri 3978 . . . . . . . . . 10 𝐷𝐼
25413, 61sstrdi 3956 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ⊆ ℂ)
255253, 254sstrid 3955 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
256255adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
257 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐷 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐷 ∪ {𝐵}))
25858uneq1i 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∪ {𝐵}) = ((𝐼 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
259 undif1 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐼 ∪ {𝐵})
260258, 259eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∪ {𝐵}) = (𝐼 ∪ {𝐵})
261 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)
26242, 261sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → {𝐵} ⊆ 𝐼)
263 ssequn2 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝐵} ⊆ 𝐼 ↔ (𝐼 ∪ {𝐵}) = 𝐼)
264262, 263sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐼 ∪ {𝐵}) = 𝐼)
265260, 264eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐷 ∪ {𝐵}) = 𝐼)
266265oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐷 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐼))
26713adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐼 ⊆ ℝ)
268 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
26980, 268rerest 24167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐼) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐼))
270267, 269syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐼) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐼))
271266, 270eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐷 ∪ {𝐵})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐼))
272271fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐷 ∪ {𝐵}))) = (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐼)))
273272fveq1d 6844 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐷 ∪ {𝐵})))‘((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐼))‘((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))))
27480cnfldtopon 24146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
275254adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐼 ⊆ ℂ)
276 resttopon 22512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐼 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
277274, 275, 276sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
278 topontop 22262 . . . . . . . . . . . . . 14 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐼) ∈ Top)
279277, 278syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐼) ∈ Top)
280270, 279eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐼) ∈ Top)
281 iooretop 24129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ (topGen‘ran (,))
282281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ (topGen‘ran (,)))
2834adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐼 ∈ (topGen‘ran (,)))
284 restopn2 22528 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐼 ∈ (topGen‘ran (,))) → (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐼) ↔ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)))
28584, 283, 284sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐼) ↔ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)))
286282, 261, 285mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐼))
287 isopn3i 22433 . . . . . . . . . . . 12 ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐼) ∈ Top ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐼)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐼))‘((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
288280, 286, 287syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐼))‘((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
289273, 288eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐷 ∪ {𝐵})))‘((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
29041, 289eleqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐷 ∪ {𝐵})))‘((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))))
291 undif1 4435 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∪ {𝐵})
292 ssequn2 4143 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐵} ⊆ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ↔ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∪ {𝐵}) = ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
29342, 292sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∪ {𝐵}) = ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
294291, 293eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
295294fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐷 ∪ {𝐵})))‘((((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐷 ∪ {𝐵})))‘((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))))
296290, 295eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐷 ∪ {𝐵})))‘((((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})))
297251, 59, 256, 80, 257, 296limcres 25250 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝑧𝐷 ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})) lim 𝐵) = ((𝑧𝐷 ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
29878, 61sstri 3953 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ ℂ
299298a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵𝑟)(,)𝐵) ⊆ ℂ)
300165, 61sstri 3953 . . . . . . . . 9 (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ ℂ
301300a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ ℂ)
30259sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})) → 𝑧𝐷)
303302, 250syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})) → ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
304303fmpttd 7063 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))):(((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})⟶ℂ)
30554feq2d 6654 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))):(((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))):(((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))⟶ℂ))
306304, 305mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))):(((𝐵𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))⟶ℂ)
307299, 301, 306limcun 25259 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵) = ((((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) lim 𝐵) ∩ (((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim 𝐵)))
308230, 297, 3073eqtr3rd 2785 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ ((𝐵𝑟)(,)𝐵)) lim 𝐵) ∩ (((𝑧 ∈ (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim 𝐵)) = ((𝑧𝐷 ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
309228, 308eleqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((𝑧𝐷 ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
310309expr 457 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝐵𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼𝐶 ∈ ((𝑧𝐷 ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵)))
31118, 310sylbid 239 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐼𝐶 ∈ ((𝑧𝐷 ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵)))
312311rexlimdva 3152 . 2 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐼𝐶 ∈ ((𝑧𝐷 ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵)))
3139, 312mpd 15 1 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧𝐷 ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cmin 11385   / cdiv 11812  +crp 12915  (,)cioo 13264  abscabs 15119  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783  MetOpencmopn 20786  fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  intcnt 22368   lim climc 25226   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  taylthlem2  25733  dirkercncflem2  44335  fourierdlem62  44399
  Copyright terms: Public domain W3C validator