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Theorem lhop 25782
Description: L'HΓ΄pital's Rule. If 𝐼 is an open set of the reals, 𝐹 and 𝐺 are real functions on 𝐴 containing all of 𝐼 except possibly 𝐡, which are differentiable everywhere on 𝐼 βˆ– {𝐡}, 𝐹 and 𝐺 both approach 0, and the limit of 𝐹' (π‘₯) / 𝐺' (π‘₯) at 𝐡 is 𝐢, then the limit 𝐹(π‘₯) / 𝐺(π‘₯) at 𝐡 also exists and equals 𝐢. This is Metamath 100 proof #64. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
lhop.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
lhop.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
lhop.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
lhop.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐼)
lhop.d 𝐷 = (𝐼 βˆ– {𝐡})
lhop.if (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
lhop.ig (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† dom (ℝ D 𝐺))
lhop.f0 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
lhop.g0 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐡))
lhop.gn0 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷))
lhop.gd0 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
lhop.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
lhop (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐡   𝑧,𝐢   𝑧,𝐷   𝑧,𝐹   πœ‘,𝑧   𝑧,𝐺   𝑧,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)
Proof of Theorem lhop
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
21rexmet 24540 . . . 4 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„))
4 lhop.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
5 lhop.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐼)
6 eqid 2731 . . . . 5 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
71, 6tgioo 24545 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
87mopni2 24235 . . 3 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐼)
93, 4, 5, 8syl3anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐼)
10 elssuni 4941 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐼 βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)))
11 uniretop 24512 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1210, 11sseqtrrdi 4033 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐼 βŠ† ℝ)
134, 12syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† ℝ)
1413, 5sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
15 rpre 12989 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
161bl2ioo 24541 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
1714, 15, 16syl2an 595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
1817sseq1d 4013 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐼 ↔ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼))
1914adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
20 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2120rpred 13023 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
2219, 21resubcld 11649 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
2322rexrd 11271 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
2419, 20ltsubrpd 13055 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝐡)
25 lhop.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
2625adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
27 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
28 unass 4166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝐡} βˆͺ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ({𝐡} βˆͺ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
29 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝐡} βˆͺ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ {𝐡})
3029uneq1i 4159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝐡} βˆͺ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
3128, 30eqtr3i 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐡} βˆͺ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
3219rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
3319, 21readdcld 11250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡 + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
3433rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
3519, 20ltaddrpd 13056 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐡 < (𝐡 + π‘Ÿ))
36 ioojoin 13467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝐡 ∧ 𝐡 < (𝐡 + π‘Ÿ))) β†’ ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
3723, 32, 34, 24, 35, 36syl32anc 1377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
3831, 37eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ({𝐡} βˆͺ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
39 elioo2 13372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ (𝐡 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) β†’ (𝐡 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝐡 ∧ 𝐡 < (𝐡 + π‘Ÿ))))
4023, 34, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝐡 ∧ 𝐡 < (𝐡 + π‘Ÿ))))
4119, 24, 35, 40mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐡 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
4241snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ {𝐡} βŠ† ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
43 incom 4201 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐡} ∩ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) ∩ {𝐡})
44 ubioo 13363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β¬ 𝐡 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)
45 lbioo 13362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β¬ 𝐡 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))
4644, 45pm3.2ni 878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Β¬ (𝐡 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
47 elun 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐡 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) ↔ (𝐡 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
4846, 47mtbir 323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Β¬ 𝐡 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
49 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) ∩ {𝐡}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝐡 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
5048, 49mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) ∩ {𝐡}) = βˆ…
5143, 50eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐡} ∩ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = βˆ…
52 uneqdifeq 4492 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝐡} βŠ† ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∧ ({𝐡} ∩ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = βˆ…) β†’ (({𝐡} βˆͺ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↔ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) = (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
5342, 51, 52sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (({𝐡} βˆͺ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↔ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) = (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
5438, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) = (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
5527, 54sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}))
56 ssdif 4139 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼 β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βŠ† (𝐼 βˆ– {𝐡}))
5756ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βŠ† (𝐼 βˆ– {𝐡}))
58 lhop.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐼 βˆ– {𝐡})
5957, 58sseqtrrdi 4033 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βŠ† 𝐷)
60 lhop.if . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
61 ax-resscn 11173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ βŠ† β„‚
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
63 fss 6734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
6425, 61, 63sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
65 lhop.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6662, 64, 65dvbss 25663 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† 𝐴)
6760, 66sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝐴)
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐷 βŠ† 𝐴)
6959, 68sstrd 3992 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βŠ† 𝐴)
7055, 69sstrd 3992 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† 𝐴)
7126, 70fssresd 6758 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)):((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)βŸΆβ„)
72 lhop.g . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
7372adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
7473, 70fssresd 6758 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)):((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)βŸΆβ„)
7561a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
7664adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
7765adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
78 ioossre 13392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† ℝ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† ℝ)
80 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
8180tgioo2 24552 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
8280, 81dvres 25673 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))))
8375, 76, 77, 79, 82syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))))
84 retop 24511 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
85 iooretop 24515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
86 isopn3i 22819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
8784, 85, 86mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)
8887reseq2i 5978 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
8983, 88eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
9089dmeqd 5905 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
9155, 59sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
9260adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐷 βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
9391, 92sstrd 3992 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
94 ssdmres 6004 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
9593, 94sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
9690, 95eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
97 fss 6734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
9872, 61, 97sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
10080, 81dvres 25673 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))))
10175, 99, 77, 79, 100syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))))
10287reseq2i 5978 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
103101, 102eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
104103dmeqd 5905 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = dom ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
105 lhop.ig . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† dom (ℝ D 𝐺))
106105adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐷 βŠ† dom (ℝ D 𝐺))
10791, 106sstrd 3992 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐺))
108 ssdmres 6004 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐺) ↔ dom ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
109107, 108sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
110104, 109eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
111 limcresi 25647 . . . . . . . . . 10 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡)
112 lhop.f0 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
113112adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 0 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
114111, 113sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 0 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
115 limcresi 25647 . . . . . . . . . 10 (𝐺 limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡)
116 lhop.g0 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐡))
117116adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐡))
118115, 117sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 0 ∈ ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
119 df-ima 5689 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ran (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
120 imass2 6101 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† 𝐷 β†’ (𝐺 β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βŠ† (𝐺 β€œ 𝐷))
12191, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐺 β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βŠ† (𝐺 β€œ 𝐷))
122119, 121eqsstrrid 4031 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βŠ† (𝐺 β€œ 𝐷))
123 lhop.gn0 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷))
124123adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷))
125122, 124ssneldd 3985 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 0 ∈ ran (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
126103rneqd 5937 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ran ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
127 df-ima 5689 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐺) β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ran ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
128126, 127eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐺) β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
129 imass2 6101 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† 𝐷 β†’ ((ℝ D 𝐺) β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βŠ† ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
13091, 129syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((ℝ D 𝐺) β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βŠ† ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
131128, 130eqsstrd 4020 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) βŠ† ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
132 lhop.gd0 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
133132adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
134131, 133ssneldd 3985 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))))
135 limcresi 25647 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡) βŠ† (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡)
13691resmptd 6040 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))))
13789fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§))
138 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))
139137, 138sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))
140103fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) = (((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§))
141 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) β†’ (((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))
142140, 141sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))
143139, 142oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§)) = (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)))
144143mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))))
145136, 144eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§))))
146145oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) = ((𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
147135, 146sseqtrid 4034 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
148 lhop.c . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
149148adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
150147, 149sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
15123, 19, 24, 71, 74, 96, 110, 114, 118, 125, 134, 150lhop2 25781 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
15255resmptd 6040 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))))
153 fvres 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
154 fvres 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
155153, 154oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§)) = ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)))
156155mpteq2ia 5251 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)))
157152, 156eqtr4di 2789 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§))))
158157oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) = ((𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
159151, 158eleqtrrd 2835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
160 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
161160, 54sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}))
162161, 69sstrd 3992 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)
16326, 162fssresd 6758 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))):(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))βŸΆβ„)
16473, 162fssresd 6758 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))):(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))βŸΆβ„)
165 ioossre 13392 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† ℝ
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† ℝ)
16780, 81dvres 25673 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
16875, 76, 77, 166, 167syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
169 iooretop 24515 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
170 isopn3i 22819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
17184, 169, 170mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))
172171reseq2i 5978 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
173168, 172eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
174173dmeqd 5905 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
175161, 59sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐷)
176175, 92sstrd 3992 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
177 ssdmres 6004 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
178176, 177sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
179174, 178eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
18080, 81dvres 25673 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
18175, 99, 77, 166, 180syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
182171reseq2i 5978 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
183181, 182eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
184183dmeqd 5905 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = dom ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
185175, 106sstrd 3992 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† dom (ℝ D 𝐺))
186 ssdmres 6004 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† dom (ℝ D 𝐺) ↔ dom ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
187185, 186sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
188184, 187eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
189 limcresi 25647 . . . . . . . . . 10 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡)
190189, 113sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 0 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡))
191 limcresi 25647 . . . . . . . . . 10 (𝐺 limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡)
192191, 117sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 0 ∈ ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡))
193 df-ima 5689 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ran (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
194 imass2 6101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐷 β†’ (𝐺 β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) βŠ† (𝐺 β€œ 𝐷))
195175, 194syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐺 β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) βŠ† (𝐺 β€œ 𝐷))
196193, 195eqsstrrid 4031 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) βŠ† (𝐺 β€œ 𝐷))
197196, 124ssneldd 3985 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 0 ∈ ran (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
198183rneqd 5937 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ran ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
199 df-ima 5689 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐺) β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ran ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
200198, 199eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐺) β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
201 imass2 6101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐷 β†’ ((ℝ D 𝐺) β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) βŠ† ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
202175, 201syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((ℝ D 𝐺) β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) βŠ† ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
203200, 202eqsstrd 4020 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) βŠ† ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
204203, 133ssneldd 3985 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
205 limcresi 25647 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡) βŠ† (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡)
206175resmptd 6040 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))))
207173fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§))
208 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))
209207, 208sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))
210183fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) = (((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§))
211 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) β†’ (((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))
212210, 211sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) β†’ ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))
213209, 212oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§)) = (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)))
214213mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))))
215206, 214eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§))))
216215oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡) = ((𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
217205, 216sseqtrid 4034 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
218217, 149sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
21919, 34, 35, 163, 164, 179, 188, 190, 192, 197, 204, 218lhop1 25780 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
220161resmptd 6040 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))))
221 fvres 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
222 fvres 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
223221, 222oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§)) = ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)))
224223mpteq2ia 5251 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)))
225220, 224eqtr4di 2789 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§))))
226225oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡) = ((𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
227219, 226eleqtrrd 2835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡))
228159, 227elind 4194 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) ∩ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡)))
22959resmptd 6040 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})) = (𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))))
230229oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡) = ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
23167sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
23225ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
233231, 232syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
234233recnd 11249 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
23572ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
236231, 235syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
237236recnd 11249 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
238123adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷))
23972ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
240239adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
24167adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 βŠ† 𝐴)
242 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
243 fnfvima 7237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐷 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ 𝐷))
244240, 241, 242, 243syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ 𝐷))
245 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΊβ€˜π‘§) = 0 β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷)))
246244, 245syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 0 β†’ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷)))
247246necon3bd 2953 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (Β¬ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0))
248238, 247mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0)
249234, 237, 248divcld 11997 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
250249adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
251250fmpttd 7116 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))):π·βŸΆβ„‚)
252 difss 4131 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 βˆ– {𝐡}) βŠ† 𝐼
25358, 252eqsstri 4016 . . . . . . . . . 10 𝐷 βŠ† 𝐼
25413, 61sstrdi 3994 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† β„‚)
255253, 254sstrid 3993 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
256255adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
257 eqid 2731 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡}))
25858uneq1i 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 βˆͺ {𝐡}) = ((𝐼 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡})
259 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) = (𝐼 βˆͺ {𝐡})
260258, 259eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 βˆͺ {𝐡}) = (𝐼 βˆͺ {𝐡})
261 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)
26242, 261sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ {𝐡} βŠ† 𝐼)
263 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝐡} βŠ† 𝐼 ↔ (𝐼 βˆͺ {𝐡}) = 𝐼)
264262, 263sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐼 βˆͺ {𝐡}) = 𝐼)
265260, 264eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐷 βˆͺ {𝐡}) = 𝐼)
266265oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼))
26713adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐼 βŠ† ℝ)
268 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
26980, 268rerest 24553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))
270267, 269syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))
271266, 270eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))
272271fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡}))) = (intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼)))
273272fveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
27480cnfldtopon 24532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
275254adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐼 βŠ† β„‚)
276 resttopon 22898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐼 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ))
277274, 275, 276sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ))
278 topontop 22648 . . . . . . . . . . . . . 14 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) ∈ Top)
279277, 278syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) ∈ Top)
280270, 279eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼) ∈ Top)
281 iooretop 24515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
282281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
2834adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
284 restopn2 22914 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼) ↔ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)))
28584, 283, 284sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼) ↔ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)))
286282, 261, 285mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))
287 isopn3i 22819 . . . . . . . . . . . 12 ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼) ∈ Top ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼)) β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
288280, 286, 287syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
289273, 288eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
29041, 289eleqtrrd 2835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
291 undif1 4475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) = (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆͺ {𝐡})
292 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐡} βŠ† ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↔ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆͺ {𝐡}) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
29342, 292sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆͺ {𝐡}) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
294291, 293eqtrid 2783 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
295294fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})))β€˜((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡})) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
296290, 295eleqtrrd 2835 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})))β€˜((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡})))
297251, 59, 256, 80, 257, 296limcres 25648 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡) = ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
29878, 61sstri 3991 . . . . . . . . 9 ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† β„‚
299298a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† β„‚)
300165, 61sstri 3991 . . . . . . . . 9 (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† β„‚
301300a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† β„‚)
30259sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
303302, 250syldan 590 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
304303fmpttd 7116 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))):(((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})βŸΆβ„‚)
30554feq2d 6703 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))):(((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})βŸΆβ„‚ ↔ (𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))):(((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))βŸΆβ„‚))
306304, 305mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))):(((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))βŸΆβ„‚)
307299, 301, 306limcun 25657 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡) = ((((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) ∩ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡)))
308230, 297, 3073eqtr3rd 2780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) ∩ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡)) = ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
309228, 308eleqtrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
310309expr 456 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼 β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡)))
31118, 310sylbid 239 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐼 β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡)))
312311rexlimdva 3154 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐼 β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡)))
3139, 312mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  β„cr 11115  0cc0 11116   + caddc 11119  β„*cxr 11254   < clt 11255   βˆ’ cmin 11451   / cdiv 11878  β„+crp 12981  (,)cioo 13331  abscabs 15188   β†Ύt crest 17373  TopOpenctopn 17374  topGenctg 17390  βˆžMetcxmet 21133  ballcbl 21135  MetOpencmopn 21138  β„‚fldccnfld 21148  Topctop 22628  TopOnctopon 22645  intcnt 22754   limβ„‚ climc 25624   D cdv 25625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-mulg 18991  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-fbas 21145  df-fg 21146  df-cnfld 21149  df-top 22629  df-topon 22646  df-topsp 22668  df-bases 22682  df-cld 22756  df-ntr 22757  df-cls 22758  df-nei 22835  df-lp 22873  df-perf 22874  df-cn 22964  df-cnp 22965  df-haus 23052  df-cmp 23124  df-tx 23299  df-hmeo 23492  df-fil 23583  df-fm 23675  df-flim 23676  df-flf 23677  df-xms 24059  df-ms 24060  df-tms 24061  df-cncf 24631  df-limc 25628  df-dv 25629
This theorem is referenced by:  taylthlem2  26136  dirkercncflem2  45131  fourierdlem62  45195
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