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Theorem lhop 25992

Description: L'Hôpital's Rule. If 𝐼 is an open set of the reals, 𝐹 and 𝐺 are real functions on 𝐴 containing all of 𝐼 except possibly 𝐵, which are differentiable everywhere on 𝐼 ∖ {𝐵}, 𝐹 and 𝐺 both approach 0, and the limit of 𝐹' (𝑥) / 𝐺' (𝑥) at 𝐵 is 𝐶, then the limit 𝐹(𝑥) / 𝐺(𝑥) at 𝐵 also exists and equals 𝐶. This is Metamath 100 proof #64. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lhop.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
lhop.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
lhop.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
lhop.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (topGen‘ran (,)))
lhop.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐼)
lhop.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 ∖ {𝐵})
lhop.if	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
lhop.ig	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
lhop.f0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
lhop.g0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐵))
lhop.gn0	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐺 “ 𝐷))
lhop.gd0	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
lhop.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
lhop	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))

Distinct variable groups: 𝑧,𝐵 𝑧,𝐶 𝑧,𝐷 𝑧,𝐹 𝜑,𝑧 𝑧,𝐺 𝑧,𝐼 Allowed substitution hint: 𝐴(𝑧)

Proof of Theorem lhop Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 24750	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
4		lhop.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (topGen‘ran (,)))
5		lhop.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐼)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7	1, 6	tgioo 24755	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
8	7	mopni2 24452	. . 3 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐼 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐼) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐼)
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐼)
10		elssuni 4896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐼 ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)))
11		uniretop 24721	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
12	10, 11	sseqtrrdi 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐼 ⊆ ℝ)
13	4, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ℝ)
14	13, 5	sseldd 3936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
15		rpre 12926	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℝ)
16	1	bl2ioo 24751	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
17	14, 15, 16	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
18	17	sseq1d 3967	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼))
19	14	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐵 ∈ ℝ)
20		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
21	20	rpred 12961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝑟 ∈ ℝ)
22	19, 21	resubcld 11577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵 − 𝑟) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵 − 𝑟) ∈ ℝ^*)
24	19, 20	ltsubrpd 12993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵 − 𝑟) < 𝐵)
25		lhop.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
27		ssun1 4132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
28		unass 4126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({𝐵} ∪ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = ({𝐵} ∪ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
29		uncom 4112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({𝐵} ∪ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) = (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ {𝐵})
30	29	uneq1i 4118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({𝐵} ∪ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
31	28, 30	eqtr3i 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝐵} ∪ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
32	19	rexrd 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
33	19, 21	readdcld 11173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵 + 𝑟) ∈ ℝ)
34	33	rexrd 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵 + 𝑟) ∈ ℝ^*)
35	19, 20	ltaddrpd 12994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐵 < (𝐵 + 𝑟))
36		ioojoin 13411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 − 𝑟) ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 + 𝑟) ∈ ℝ^*) ∧ ((𝐵 − 𝑟) < 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 𝑟))) → ((((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
37	23, 32, 34, 24, 35, 36	syl32anc 1381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
38	31, 37	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ({𝐵} ∪ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
39		elioo2 13314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 − 𝑟) ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 + 𝑟) ∈ ℝ^*) → (𝐵 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝑟) < 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 𝑟))))
40	23, 34, 39	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝑟) < 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 𝑟))))
41	19, 24, 35, 40	mpbir3and 1344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐵 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
42	41	snssd 4767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → {𝐵} ⊆ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
43		incom 4163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝐵} ∩ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ∩ {𝐵})
44		ubioo 13305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)
45		lbioo 13304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))
46	44, 45	pm3.2ni 881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
47		elun 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ↔ (𝐵 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
48	46, 47	mtbir 323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
49		disjsn 4670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
50	48, 49	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ∩ {𝐵}) = ∅
51	43, 50	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝐵} ∩ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ∅
52		uneqdifeq 4447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝐵} ⊆ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∧ ({𝐵} ∩ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ∅) → (({𝐵} ∪ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ↔ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) = (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
53	42, 51, 52	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (({𝐵} ∪ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ↔ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) = (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
54	38, 53	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) = (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
55	27, 54	sseqtrrid 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}))
56		ssdif 4098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼 → (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ⊆ (𝐼 ∖ {𝐵}))
57	56	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ⊆ (𝐼 ∖ {𝐵}))
58		lhop.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (𝐼 ∖ {𝐵})
59	57, 58	sseqtrrdi 3977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐷)
60		lhop.if	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
61		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
63		fss 6686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
64	25, 61, 63	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
65		lhop.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
66	62, 64, 65	dvbss 25873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝐴)
67	60, 66	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐷 ⊆ 𝐴)
69	59, 68	sstrd 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴)
70	55, 69	sstrd 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ 𝐴)
71	26, 70	fssresd 6709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)):((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)⟶ℝ)
72		lhop.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
73	72	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
74	73, 70	fssresd 6709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)):((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)⟶ℝ)
75	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ℝ ⊆ ℂ)
76	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
77	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
78		ioossre 13335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ ℝ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ ℝ)
80		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
81		tgioo4 24764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
82	80, 81	dvres 25883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))))
83	75, 76, 77, 79, 82	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))))
84		retop 24720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
85		iooretop 24724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
86		isopn3i 23041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) = ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))
87	84, 85, 86	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) = ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)
88	87	reseq2i 5943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))
89	83, 88	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))
90	89	dmeqd 5862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))
91	55, 59	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
92	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐷 ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
93	91, 92	sstrd 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
94		ssdmres 5980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) = ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))
95	93, 94	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) = ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))
96	90, 95	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))
97		fss 6686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
98	72, 61, 97	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
100	80, 81	dvres 25883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))))
101	75, 99, 77, 79, 100	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))))
102	87	reseq2i 5943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))
103	101, 102	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))
104	103	dmeqd 5862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = dom ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))
105		lhop.ig	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐷 ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
107	91, 106	sstrd 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
108		ssdmres 5980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐺) ↔ dom ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) = ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))
109	107, 108	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) = ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))
110	104, 109	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))
111		limcresi 25857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ⊆ ((𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵)
112		lhop.f0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
113	112	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 0 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
114	111, 113	sselid 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 0 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
115		limcresi 25857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 lim_ℂ 𝐵) ⊆ ((𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵)
116		lhop.g0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐵))
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 0 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐵))
118	115, 117	sselid 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 0 ∈ ((𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
119		df-ima 5645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 “ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) = ran (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))
120		imass2 6069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ 𝐷 → (𝐺 “ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) ⊆ (𝐺 “ 𝐷))
121	91, 120	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐺 “ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) ⊆ (𝐺 “ 𝐷))
122	119, 121	eqsstrrid 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) ⊆ (𝐺 “ 𝐷))
123		lhop.gn0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐺 “ 𝐷))
124	123	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ¬ 0 ∈ (𝐺 “ 𝐷))
125	122, 124	ssneldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ¬ 0 ∈ ran (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))
126	103	rneqd 5895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = ran ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))
127		df-ima 5645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) = ran ((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))
128	126, 127	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))
129		imass2 6069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ 𝐷 → ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) ⊆ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
130	91, 129	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) ⊆ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
131	128, 130	eqsstrd 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))) ⊆ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
132		lhop.gd0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
134	131, 133	ssneldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))))
135		limcresi 25857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵) ⊆ (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵)
136	91	resmptd 6007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
137	89	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧))
138		fvres 6861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
139	137, 138	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
140	103	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) = (((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧))
141		fvres 6861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐺) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))
142	140, 141	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))
143	139, 142	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
144	143	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
145	136, 144	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧))))
146	145	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
147	135, 146	sseqtrid 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
148		lhop.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
149	148	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
150	147, 149	sseldd 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)))‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
151	23, 19, 24, 71, 74, 96, 110, 114, 118, 125, 134, 150	lhop2 25991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
152	55	resmptd 6007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))))
153		fvres 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
154		fvres 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) → ((𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
155	153, 154	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) → (((𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧)) = ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))
156	155	mpteq2ia 5195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))
157	152, 156	eqtr4di 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) = (𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧))))
158	157	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵))‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
159	151, 158	eleqtrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ (((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
160		ssun2 4133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ (((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
161	160, 54	sseqtrrid 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}))
162	161, 69	sstrd 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)
163	26, 162	fssresd 6709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))):(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))⟶ℝ)
164	73, 162	fssresd 6709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))):(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))⟶ℝ)
165		ioossre 13335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ ℝ
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ ℝ)
167	80, 81	dvres 25883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
168	75, 76, 77, 166, 167	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
169		iooretop 24724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ (topGen‘ran (,))
170		isopn3i 23041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
171	84, 169, 170	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))
172	171	reseq2i 5943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
173	168, 172	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
174	173	dmeqd 5862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
175	161, 59	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐷)
176	175, 92	sstrd 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
177		ssdmres 5980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
178	176, 177	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
179	174, 178	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
180	80, 81	dvres 25883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
181	75, 99, 77, 166, 180	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
182	171	reseq2i 5943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
183	181, 182	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
184	183	dmeqd 5862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = dom ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
185	175, 106	sstrd 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
186		ssdmres 5980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D 𝐺) ↔ dom ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
187	185, 186	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
188	184, 187	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → dom (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
189		limcresi 25857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim_ℂ 𝐵)
190	189, 113	sselid 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 0 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim_ℂ 𝐵))
191		limcresi 25857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 lim_ℂ 𝐵) ⊆ ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim_ℂ 𝐵)
192	191, 117	sselid 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 0 ∈ ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim_ℂ 𝐵))
193		df-ima 5645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = ran (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
194		imass2 6069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐷 → (𝐺 “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ⊆ (𝐺 “ 𝐷))
195	175, 194	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐺 “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ⊆ (𝐺 “ 𝐷))
196	193, 195	eqsstrrid 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ⊆ (𝐺 “ 𝐷))
197	196, 124	ssneldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ¬ 0 ∈ ran (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
198	183	rneqd 5895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ran ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
199		df-ima 5645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ D 𝐺) “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = ran ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))
200	198, 199	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) = ((ℝ D 𝐺) “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))
201		imass2 6069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐷 → ((ℝ D 𝐺) “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ⊆ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
202	175, 201	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((ℝ D 𝐺) “ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) ⊆ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
203	200, 202	eqsstrd 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ran (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))) ⊆ ((ℝ D 𝐺) “ 𝐷))
204	203, 133	ssneldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))))
205		limcresi 25857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵) ⊆ (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim_ℂ 𝐵)
206	175	resmptd 6007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
207	173	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧))
208		fvres 6861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
209	207, 208	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
210	183	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) = (((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧))
211		fvres 6861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) → (((ℝ D 𝐺) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))
212	210, 211	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))
213	209, 212	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
214	213	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
215	206, 214	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧))))
216	215	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
217	205, 216	sseqtrid 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
218	217, 149	sseldd 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧) / ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))))‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
219	19, 34, 35, 163, 164, 179, 188, 190, 192, 197, 204, 218	lhop1 25990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
220	161	resmptd 6007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))))
221		fvres 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
222		fvres 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) → ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
223	221, 222	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧)) = ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))
224	223	mpteq2ia 5195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))
225	220, 224	eqtr4di 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) = (𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧))))
226	225	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ↦ (((𝐹 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧) / ((𝐺 ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
227	219, 226	eleqtrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ (((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim_ℂ 𝐵))
228	159, 227	elind 4154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ∩ (((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim_ℂ 𝐵)))
229	59	resmptd 6007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))))
230	229	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
231	67	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐴)
232	25	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
233	231, 232	syldan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
234	233	recnd 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
235	72	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
236	231, 235	syldan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
237	236	recnd 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
238	123	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 0 ∈ (𝐺 “ 𝐷))
239	72	ffnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
240	239	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐺 Fn 𝐴)
241	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ⊆ 𝐴)
242		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
243		fnfvima 7189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐺‘𝑧) ∈ (𝐺 “ 𝐷))
244	240, 241, 242, 243	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐺‘𝑧) ∈ (𝐺 “ 𝐷))
245		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 0 → ((𝐺‘𝑧) ∈ (𝐺 “ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 “ 𝐷)))
246	244, 245	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ((𝐺‘𝑧) = 0 → 0 ∈ (𝐺 “ 𝐷)))
247	246	necon3bd 2947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (¬ 0 ∈ (𝐺 “ 𝐷) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0))
248	238, 247	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0)
249	234, 237, 248	divcld 11929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
250	249	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
251	250	fmpttd 7069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))):𝐷⟶ℂ)
252		difss 4090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐼
253	58, 252	eqsstri 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝐼
254	13, 61	sstrdi 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ℂ)
255	253, 254	sstrid 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
256	255	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
257		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐷 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐷 ∪ {𝐵}))
258	58	uneq1i 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐷 ∪ {𝐵}) = ((𝐼 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
259		undif1 4430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐼 ∪ {𝐵})
260	258, 259	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∪ {𝐵}) = (𝐼 ∪ {𝐵})
261		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)
262	42, 261	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → {𝐵} ⊆ 𝐼)
263		ssequn2 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐼 ↔ (𝐼 ∪ {𝐵}) = 𝐼)
264	262, 263	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐼 ∪ {𝐵}) = 𝐼)
265	260, 264	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐷 ∪ {𝐵}) = 𝐼)
266	265	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐷 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐼))
267	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐼 ⊆ ℝ)
268		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
269	80, 268	rerest 24763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐼) = ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐼))
270	267, 269	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐼) = ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐼))
271	266, 270	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐷 ∪ {𝐵})) = ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐼))
272	271	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (int‘((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐷 ∪ {𝐵}))) = (int‘((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐼)))
273	272	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((int‘((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐷 ∪ {𝐵})))‘((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐼))‘((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))))
274	80	cnfldtopon 24741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)
275	254	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐼 ⊆ ℂ)
276		resttopon 23120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐼 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
277	274, 275, 276	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
278		topontop 22872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐼) ∈ Top)
279	277, 278	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐼) ∈ Top)
280	270, 279	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐼) ∈ Top)
281		iooretop 24724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ (topGen‘ran (,))
282	281	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ (topGen‘ran (,)))
283	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐼 ∈ (topGen‘ran (,)))
284		restopn2 23136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐼 ∈ (topGen‘ran (,))) → (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐼) ↔ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)))
285	84, 283, 284	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐼) ↔ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)))
286	282, 261, 285	mpbir2and 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐼))
287		isopn3i 23041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐼) ∈ Top ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐼)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐼))‘((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
288	280, 286, 287	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐼))‘((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
289	273, 288	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((int‘((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐷 ∪ {𝐵})))‘((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))) = ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
290	41, 289	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐷 ∪ {𝐵})))‘((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))))
291		undif1 4430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∪ {𝐵})
292		ssequn2 4143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐵} ⊆ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ↔ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∪ {𝐵}) = ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
293	42, 292	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∪ {𝐵}) = ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
294	291, 293	eqtrid 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)))
295	294	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((int‘((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐷 ∪ {𝐵})))‘((((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = ((int‘((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐷 ∪ {𝐵})))‘((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟))))
296	290, 295	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐷 ∪ {𝐵})))‘((((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})))
297	251, 59, 256, 80, 257, 296	limcres 25858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
298	78, 61	sstri 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ ℂ
299	298	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ⊆ ℂ)
300	165, 61	sstri 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ ℂ
301	300	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ ℂ)
302	59	sselda 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ 𝐷)
303	302, 250	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
304	303	fmpttd 7069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))):(((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})⟶ℂ)
305	54	feq2d 6654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))):(((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵})⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))):(((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))⟶ℂ))
306	304, 305	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → (𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))):(((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟)))⟶ℂ)
307	299, 301, 306	limcun 25867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵) = ((((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ∩ (((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim_ℂ 𝐵)))
308	230, 297, 307	3eqtr3rd 2781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → ((((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ ((𝐵 − 𝑟)(,)𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ∩ (((𝑧 ∈ (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) ↾ (𝐵(,)(𝐵 + 𝑟))) lim_ℂ 𝐵)) = ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
309	228, 308	eleqtrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼)) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))
310	309	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (((𝐵 − 𝑟)(,)(𝐵 + 𝑟)) ⊆ 𝐼 → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵)))
311	18, 310	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐼 → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵)))
312	311	rexlimdva 3139	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝐵(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐼 → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵)))
313	9, 312	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) lim_ℂ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 848 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∃wrex 3062 ∖ cdif 3900 ∪ cun 3901 ∩ cin 3902 ⊆ wss 3903 ∅c0 4287 {csn 4582 ∪ cuni 4865 class class class wbr 5100 ↦ cmpt 5181 × cxp 5630 dom cdm 5632 ran crn 5633 ↾ cres 5634 “ cima 5635 ∘ ccom 5636 Fn wfn 6495 ⟶wf 6496 ‘cfv 6500 (class class class)co 7368 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 + caddc 11041 ℝ^*cxr 11177 < clt 11178 − cmin 11376 / cdiv 11806 ℝ⁺crp 12917 (,)cioo 13273 abscabs 15169 ↾_t crest 17352 TopOpenctopn 17353 topGenctg 17369 ∞Metcxmet 21309 ballcbl 21311 MetOpencmopn 21314 ℂ_fldccnfld 21324 Topctop 22852 TopOnctopon 22869 intcnt 22976 lim_ℂ climc 25834 D cdv 25835

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5226 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116 ax-addf 11117

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-tp 4587 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4905 df-iun 4950 df-iin 4951 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-se 5586 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-of 7632 df-om 7819 df-1st 7943 df-2nd 7944 df-supp 8113 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-1o 8407 df-2o 8408 df-er 8645 df-map 8777 df-pm 8778 df-ixp 8848 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-fsupp 9277 df-fi 9326 df-sup 9357 df-inf 9358 df-oi 9427 df-card 9863 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-div 11807 df-nn 12158 df-2 12220 df-3 12221 df-4 12222 df-5 12223 df-6 12224 df-7 12225 df-8 12226 df-9 12227 df-n0 12414 df-z 12501 df-dec 12620 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12918 df-xneg 13038 df-xadd 13039 df-xmul 13040 df-ioo 13277 df-ioc 13278 df-ico 13279 df-icc 13280 df-fz 13436 df-fzo 13583 df-seq 13937 df-exp 13997 df-hash 14266 df-cj 15034 df-re 15035 df-im 15036 df-sqrt 15170 df-abs 15171 df-struct 17086 df-sets 17103 df-slot 17121 df-ndx 17133 df-base 17149 df-ress 17170 df-plusg 17202 df-mulr 17203 df-starv 17204 df-sca 17205 df-vsca 17206 df-ip 17207 df-tset 17208 df-ple 17209 df-ds 17211 df-unif 17212 df-hom 17213 df-cco 17214 df-rest 17354 df-topn 17355 df-0g 17373 df-gsum 17374 df-topgen 17375 df-pt 17376 df-prds 17379 df-xrs 17435 df-qtop 17440 df-imas 17441 df-xps 17443 df-mre 17517 df-mrc 17518 df-acs 17520 df-mgm 18577 df-sgrp 18656 df-mnd 18672 df-submnd 18721 df-mulg 19013 df-cntz 19261 df-cmn 19726 df-psmet 21316 df-xmet 21317 df-met 21318 df-bl 21319 df-mopn 21320 df-fbas 21321 df-fg 21322 df-cnfld 21325 df-top 22853 df-topon 22870 df-topsp 22892 df-bases 22905 df-cld 22978 df-ntr 22979 df-cls 22980 df-nei 23057 df-lp 23095 df-perf 23096 df-cn 23186 df-cnp 23187 df-haus 23274 df-cmp 23346 df-tx 23521 df-hmeo 23714 df-fil 23805 df-fm 23897 df-flim 23898 df-flf 23899 df-xms 24279 df-ms 24280 df-tms 24281 df-cncf 24842 df-limc 25838 df-dv 25839

This theorem is referenced by: taylthlem2 26353 taylthlem2OLD 26354 dirkercncflem2 46466 fourierdlem62 46530

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