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Theorem lhop 25515
Description: L'HΓ΄pital's Rule. If 𝐼 is an open set of the reals, 𝐹 and 𝐺 are real functions on 𝐴 containing all of 𝐼 except possibly 𝐡, which are differentiable everywhere on 𝐼 βˆ– {𝐡}, 𝐹 and 𝐺 both approach 0, and the limit of 𝐹' (π‘₯) / 𝐺' (π‘₯) at 𝐡 is 𝐢, then the limit 𝐹(π‘₯) / 𝐺(π‘₯) at 𝐡 also exists and equals 𝐢. This is Metamath 100 proof #64. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
lhop.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
lhop.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
lhop.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
lhop.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐼)
lhop.d 𝐷 = (𝐼 βˆ– {𝐡})
lhop.if (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
lhop.ig (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† dom (ℝ D 𝐺))
lhop.f0 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
lhop.g0 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐡))
lhop.gn0 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷))
lhop.gd0 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
lhop.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
lhop (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐡   𝑧,𝐢   𝑧,𝐷   𝑧,𝐹   πœ‘,𝑧   𝑧,𝐺   𝑧,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)
Proof of Theorem lhop
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
21rexmet 24289 . . . 4 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„))
4 lhop.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
5 lhop.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐼)
6 eqid 2733 . . . . 5 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
71, 6tgioo 24294 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
87mopni2 23984 . . 3 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐼)
93, 4, 5, 8syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐼)
10 elssuni 4940 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐼 βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)))
11 uniretop 24261 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1210, 11sseqtrrdi 4032 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐼 βŠ† ℝ)
134, 12syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† ℝ)
1413, 5sseldd 3982 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
15 rpre 12978 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
161bl2ioo 24290 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
1714, 15, 16syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
1817sseq1d 4012 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐼 ↔ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼))
1914adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
20 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2120rpred 13012 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
2219, 21resubcld 11638 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
2322rexrd 11260 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
2419, 20ltsubrpd 13044 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝐡)
25 lhop.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
2625adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
27 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
28 unass 4165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝐡} βˆͺ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ({𝐡} βˆͺ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
29 uncom 4152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝐡} βˆͺ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ {𝐡})
3029uneq1i 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝐡} βˆͺ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
3128, 30eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐡} βˆͺ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
3219rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
3319, 21readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡 + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
3433rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
3519, 20ltaddrpd 13045 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐡 < (𝐡 + π‘Ÿ))
36 ioojoin 13456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝐡 ∧ 𝐡 < (𝐡 + π‘Ÿ))) β†’ ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
3723, 32, 34, 24, 35, 36syl32anc 1379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
3831, 37eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ({𝐡} βˆͺ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
39 elioo2 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ (𝐡 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) β†’ (𝐡 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝐡 ∧ 𝐡 < (𝐡 + π‘Ÿ))))
4023, 34, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝐡 ∧ 𝐡 < (𝐡 + π‘Ÿ))))
4119, 24, 35, 40mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐡 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
4241snssd 4811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ {𝐡} βŠ† ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
43 incom 4200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐡} ∩ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) ∩ {𝐡})
44 ubioo 13352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β¬ 𝐡 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)
45 lbioo 13351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β¬ 𝐡 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))
4644, 45pm3.2ni 880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Β¬ (𝐡 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
47 elun 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐡 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) ↔ (𝐡 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
4846, 47mtbir 323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Β¬ 𝐡 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
49 disjsn 4714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) ∩ {𝐡}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝐡 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
5048, 49mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) ∩ {𝐡}) = βˆ…
5143, 50eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐡} ∩ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = βˆ…
52 uneqdifeq 4491 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝐡} βŠ† ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∧ ({𝐡} ∩ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = βˆ…) β†’ (({𝐡} βˆͺ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↔ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) = (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
5342, 51, 52sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (({𝐡} βˆͺ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↔ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) = (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
5438, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) = (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
5527, 54sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}))
56 ssdif 4138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼 β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βŠ† (𝐼 βˆ– {𝐡}))
5756ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βŠ† (𝐼 βˆ– {𝐡}))
58 lhop.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐼 βˆ– {𝐡})
5957, 58sseqtrrdi 4032 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βŠ† 𝐷)
60 lhop.if . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
61 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ βŠ† β„‚
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
63 fss 6731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
6425, 61, 63sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
65 lhop.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6662, 64, 65dvbss 25400 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† 𝐴)
6760, 66sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝐴)
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐷 βŠ† 𝐴)
6959, 68sstrd 3991 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βŠ† 𝐴)
7055, 69sstrd 3991 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† 𝐴)
7126, 70fssresd 6755 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)):((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)βŸΆβ„)
72 lhop.g . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
7372adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
7473, 70fssresd 6755 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)):((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)βŸΆβ„)
7561a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
7664adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
7765adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
78 ioossre 13381 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† ℝ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† ℝ)
80 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
8180tgioo2 24301 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
8280, 81dvres 25410 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))))
8375, 76, 77, 79, 82syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))))
84 retop 24260 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
85 iooretop 24264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
86 isopn3i 22568 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
8784, 85, 86mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)
8887reseq2i 5976 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
8983, 88eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
9089dmeqd 5903 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
9155, 59sstrd 3991 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
9260adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐷 βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
9391, 92sstrd 3991 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
94 ssdmres 6002 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
9593, 94sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
9690, 95eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
97 fss 6731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
9872, 61, 97sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
9998adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
10080, 81dvres 25410 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))))
10175, 99, 77, 79, 100syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))))
10287reseq2i 5976 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
103101, 102eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
104103dmeqd 5903 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = dom ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
105 lhop.ig . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† dom (ℝ D 𝐺))
106105adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐷 βŠ† dom (ℝ D 𝐺))
10791, 106sstrd 3991 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐺))
108 ssdmres 6002 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐺) ↔ dom ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
109107, 108sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
110104, 109eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
111 limcresi 25384 . . . . . . . . . 10 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡)
112 lhop.f0 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
113112adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 0 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
114111, 113sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 0 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
115 limcresi 25384 . . . . . . . . . 10 (𝐺 limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡)
116 lhop.g0 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐡))
117116adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐡))
118115, 117sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 0 ∈ ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
119 df-ima 5688 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ran (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
120 imass2 6098 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† 𝐷 β†’ (𝐺 β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βŠ† (𝐺 β€œ 𝐷))
12191, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐺 β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βŠ† (𝐺 β€œ 𝐷))
122119, 121eqsstrrid 4030 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βŠ† (𝐺 β€œ 𝐷))
123 lhop.gn0 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷))
124123adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷))
125122, 124ssneldd 3984 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 0 ∈ ran (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
126103rneqd 5935 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ran ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
127 df-ima 5688 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐺) β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = ran ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))
128126, 127eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐺) β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))
129 imass2 6098 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† 𝐷 β†’ ((ℝ D 𝐺) β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βŠ† ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
13091, 129syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((ℝ D 𝐺) β€œ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) βŠ† ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
131128, 130eqsstrd 4019 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))) βŠ† ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
132 lhop.gd0 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
133132adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
134131, 133ssneldd 3984 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))))
135 limcresi 25384 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡) βŠ† (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡)
13691resmptd 6038 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))))
13789fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§))
138 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))
139137, 138sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))
140103fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) = (((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§))
141 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) β†’ (((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))
142140, 141sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))
143139, 142oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§)) = (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)))
144143mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))))
145136, 144eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§))))
146145oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) = ((𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
147135, 146sseqtrid 4033 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
148 lhop.c . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
149148adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
150147, 149sseldd 3982 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
15123, 19, 24, 71, 74, 96, 110, 114, 118, 125, 134, 150lhop2 25514 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
15255resmptd 6038 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))))
153 fvres 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
154 fvres 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
155153, 154oveq12d 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§)) = ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)))
156155mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)))
157152, 156eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) = (𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§))))
158157oveq1d 7419 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) = ((𝑧 ∈ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) ↦ (((𝐹 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
159151, 158eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
160 ssun2 4172 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
161160, 54sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}))
162161, 69sstrd 3991 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)
16326, 162fssresd 6755 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))):(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))βŸΆβ„)
16473, 162fssresd 6755 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))):(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))βŸΆβ„)
165 ioossre 13381 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† ℝ
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† ℝ)
16780, 81dvres 25410 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
16875, 76, 77, 166, 167syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
169 iooretop 24264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
170 isopn3i 22568 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
17184, 169, 170mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))
172171reseq2i 5976 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
173168, 172eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
174173dmeqd 5903 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
175161, 59sstrd 3991 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐷)
176175, 92sstrd 3991 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
177 ssdmres 6002 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
178176, 177sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
179174, 178eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
18080, 81dvres 25410 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
18175, 99, 77, 166, 180syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
182171reseq2i 5976 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐺) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
183181, 182eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
184183dmeqd 5903 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = dom ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
185175, 106sstrd 3991 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† dom (ℝ D 𝐺))
186 ssdmres 6002 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† dom (ℝ D 𝐺) ↔ dom ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
187185, 186sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
188184, 187eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ dom (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
189 limcresi 25384 . . . . . . . . . 10 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡)
190189, 113sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 0 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡))
191 limcresi 25384 . . . . . . . . . 10 (𝐺 limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡)
192191, 117sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 0 ∈ ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡))
193 df-ima 5688 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ran (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
194 imass2 6098 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐷 β†’ (𝐺 β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) βŠ† (𝐺 β€œ 𝐷))
195175, 194syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐺 β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) βŠ† (𝐺 β€œ 𝐷))
196193, 195eqsstrrid 4030 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) βŠ† (𝐺 β€œ 𝐷))
197196, 124ssneldd 3984 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 0 ∈ ran (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
198183rneqd 5935 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ran ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
199 df-ima 5688 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐺) β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ran ((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
200198, 199eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D 𝐺) β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
201 imass2 6098 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐷 β†’ ((ℝ D 𝐺) β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) βŠ† ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
202175, 201syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((ℝ D 𝐺) β€œ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) βŠ† ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
203200, 202eqsstrd 4019 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))) βŠ† ((ℝ D 𝐺) β€œ 𝐷))
204203, 133ssneldd 3984 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))))
205 limcresi 25384 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡) βŠ† (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡)
206175resmptd 6038 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))))
207173fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§))
208 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))
209207, 208sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))
210183fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) = (((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§))
211 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) β†’ (((ℝ D 𝐺) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))
212210, 211sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) β†’ ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))
213209, 212oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§)) = (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)))
214213mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))))
215206, 214eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§))))
216215oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡) = ((𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
217205, 216sseqtrid 4033 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) / ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
218217, 149sseldd 3982 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§) / ((ℝ D (𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
21919, 34, 35, 163, 164, 179, 188, 190, 192, 197, 204, 218lhop1 25513 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
220161resmptd 6038 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))))
221 fvres 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
222 fvres 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
223221, 222oveq12d 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§)) = ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)))
224223mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)))
225220, 224eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = (𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§))))
226225oveq1d 7419 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡) = ((𝑧 ∈ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§) / ((𝐺 β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))β€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
227219, 226eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡))
228159, 227elind 4193 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) ∩ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡)))
22959resmptd 6038 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})) = (𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))))
230229oveq1d 7419 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡) = ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
23167sselda 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
23225ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
233231, 232syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
234233recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
23572ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
236231, 235syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
237236recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
238123adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷))
23972ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
240239adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
24167adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 βŠ† 𝐴)
242 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
243 fnfvima 7230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐷 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ 𝐷))
244240, 241, 242, 243syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ 𝐷))
245 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΊβ€˜π‘§) = 0 β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷)))
246244, 245syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 0 β†’ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷)))
247246necon3bd 2955 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (Β¬ 0 ∈ (𝐺 β€œ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0))
248238, 247mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0)
249234, 237, 248divcld 11986 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
250249adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
251250fmpttd 7110 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))):π·βŸΆβ„‚)
252 difss 4130 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 βˆ– {𝐡}) βŠ† 𝐼
25358, 252eqsstri 4015 . . . . . . . . . 10 𝐷 βŠ† 𝐼
25413, 61sstrdi 3993 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† β„‚)
255253, 254sstrid 3992 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
256255adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
257 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡}))
25858uneq1i 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 βˆͺ {𝐡}) = ((𝐼 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡})
259 undif1 4474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) = (𝐼 βˆͺ {𝐡})
260258, 259eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 βˆͺ {𝐡}) = (𝐼 βˆͺ {𝐡})
261 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)
26242, 261sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ {𝐡} βŠ† 𝐼)
263 ssequn2 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝐡} βŠ† 𝐼 ↔ (𝐼 βˆͺ {𝐡}) = 𝐼)
264262, 263sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐼 βˆͺ {𝐡}) = 𝐼)
265260, 264eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐷 βˆͺ {𝐡}) = 𝐼)
266265oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼))
26713adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐼 βŠ† ℝ)
268 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
26980, 268rerest 24302 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))
270267, 269syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))
271266, 270eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))
272271fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡}))) = (intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼)))
273272fveq1d 6890 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
27480cnfldtopon 24281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
275254adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐼 βŠ† β„‚)
276 resttopon 22647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐼 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ))
277274, 275, 276sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ))
278 topontop 22397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) ∈ Top)
279277, 278syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐼) ∈ Top)
280270, 279eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼) ∈ Top)
281 iooretop 24264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
282281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
2834adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
284 restopn2 22663 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐼 ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼) ↔ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)))
28584, 283, 284sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼) ↔ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)))
286282, 261, 285mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))
287 isopn3i 22568 . . . . . . . . . . . 12 ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼) ∈ Top ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼)) β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
288280, 286, 287syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐼))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
289273, 288eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
29041, 289eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
291 undif1 4474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) = (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆͺ {𝐡})
292 ssequn2 4182 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐡} βŠ† ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) ↔ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆͺ {𝐡}) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
29342, 292sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆͺ {𝐡}) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
294291, 293eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) = ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))
295294fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})))β€˜((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡})) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ))))
296290, 295eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐷 βˆͺ {𝐡})))β€˜((((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡})))
297251, 59, 256, 80, 257, 296limcres 25385 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡) = ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
29878, 61sstri 3990 . . . . . . . . 9 ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† β„‚
299298a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βŠ† β„‚)
300165, 61sstri 3990 . . . . . . . . 9 (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† β„‚
301300a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† β„‚)
30259sselda 3981 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
303302, 250syldan 592 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
304303fmpttd 7110 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))):(((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})βŸΆβ„‚)
30554feq2d 6700 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))):(((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡})βŸΆβ„‚ ↔ (𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))):(((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))βŸΆβ„‚))
306304, 305mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))):(((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡) βˆͺ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ)))βŸΆβ„‚)
307299, 301, 306limcun 25394 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡) = ((((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) ∩ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡)))
308230, 297, 3073eqtr3rd 2782 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ ((((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) ∩ (((𝑧 ∈ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βˆ– {𝐡}) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐡(,)(𝐡 + π‘Ÿ))) limβ„‚ 𝐡)) = ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
309228, 308eleqtrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
310309expr 458 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (((𝐡 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐡 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐼 β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡)))
31118, 310sylbid 239 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐼 β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡)))
312311rexlimdva 3156 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐡(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐼 β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡)))
3139, 312mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) / (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109  β„*cxr 11243   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  abscabs 15177   β†Ύt crest 17362  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  βˆžMetcxmet 20914  ballcbl 20916  MetOpencmopn 20919  β„‚fldccnfld 20929  Topctop 22377  TopOnctopon 22394  intcnt 22503   limβ„‚ climc 25361   D cdv 25362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-cmp 22873  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366
This theorem is referenced by:  taylthlem2  25868  dirkercncflem2  44755  fourierdlem62  44819
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