Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsupprnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsupprnfi 30455
Description: Finite support implies finite range. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
fsupprnfi (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem fsupprnfi
StepHypRef Expression
1 snfi 8581 . 2 { 0 } ∈ Fin
2 simpll 766 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → Fun 𝐹)
3 simplr 768 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹𝑉)
4 simprl 770 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → 0𝑊)
5 ressupprn 30453 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐹𝑉0𝑊) → ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (ran 𝐹 ∖ { 0 }))
62, 3, 4, 5syl3anc 1368 . . 3 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (ran 𝐹 ∖ { 0 }))
7 simprr 772 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
87fsuppimpd 8828 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
9 suppssdm 7830 . . . . . 6 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
10 ssdmres 5845 . . . . . 6 ((𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
119, 10mpbi 233 . . . . 5 dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 )
122funresd 6371 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → Fun (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
13 funforn 6576 . . . . . 6 (Fun (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
1412, 13sylib 221 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
15 foeq2 6566 . . . . . 6 (dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ) → ((𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))))
1615biimpa 480 . . . . 5 ((dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
1711, 14, 16sylancr 590 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
18 fofi 8798 . . . 4 (((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))) → ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
198, 17, 18syl2anc 587 . . 3 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
206, 19eqeltrrd 2894 . 2 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
21 diffib 30296 . . 3 ({ 0 } ∈ Fin → (ran 𝐹 ∈ Fin ↔ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ Fin))
2221biimpar 481 . 2 (({ 0 } ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
231, 20, 22sylancr 590 1 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  cdif 3881  wss 3884  {csn 4528   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  ran crn 5524  cres 5525  Fun wfun 6322  ontowfo 6326  (class class class)co 7139   supp csupp 7817  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-fin 8500  df-fsupp 8822
This theorem is referenced by:  elrspunidl  31017
  Copyright terms: Public domain W3C validator