Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsupprnfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fsupprnfi 31952
Description: Finite support implies finite range. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
fsupprnfi (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
Proof of Theorem fsupprnfi
StepHypRef Expression
1 snfi 9046 . 2 { 0 } ∈ Fin
2 simpll 765 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ Fun 𝐹)
3 simplr 767 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
4 simprl 769 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 0 ∈ π‘Š)
5 ressupprn 31950 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) = (ran 𝐹 βˆ– { 0 }))
62, 3, 4, 5syl3anc 1371 . . 3 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) = (ran 𝐹 βˆ– { 0 }))
7 simprr 771 . . . . 5 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
87fsuppimpd 9371 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
9 suppssdm 8164 . . . . . 6 (𝐹 supp 0 ) βŠ† dom 𝐹
10 ssdmres 6004 . . . . . 6 ((𝐹 supp 0 ) βŠ† dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
119, 10mpbi 229 . . . . 5 dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 )
122funresd 6591 . . . . . 6 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ Fun (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )))
13 funforn 6812 . . . . . 6 (Fun (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )))
1412, 13sylib 217 . . . . 5 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )))
15 foeq2 6802 . . . . . 6 (dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))))
1615biimpa 477 . . . . 5 ((dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )))
1711, 14, 16sylancr 587 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )))
18 fofi 9340 . . . 4 (((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
198, 17, 18syl2anc 584 . . 3 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
206, 19eqeltrrd 2834 . 2 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ∈ Fin)
21 diffib 31797 . . 3 ({ 0 } ∈ Fin β†’ (ran 𝐹 ∈ Fin ↔ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ∈ Fin))
2221biimpar 478 . 2 (({ 0 } ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ∈ Fin) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
231, 20, 22sylancr 587 1 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  Fun wfun 6537  β€“ontoβ†’wfo 6541  (class class class)co 7411   supp csupp 8148  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-supp 8149  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-fsupp 9364
This theorem is referenced by:  elrspunidl  32591
  Copyright terms: Public domain W3C validator