Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsupprnfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fsupprnfi 31901
Description: Finite support implies finite range. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
fsupprnfi (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
Proof of Theorem fsupprnfi
StepHypRef Expression
1 snfi 9040 . 2 { 0 } ∈ Fin
2 simpll 765 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ Fun 𝐹)
3 simplr 767 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
4 simprl 769 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 0 ∈ π‘Š)
5 ressupprn 31899 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) = (ran 𝐹 βˆ– { 0 }))
62, 3, 4, 5syl3anc 1371 . . 3 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) = (ran 𝐹 βˆ– { 0 }))
7 simprr 771 . . . . 5 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
87fsuppimpd 9365 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
9 suppssdm 8158 . . . . . 6 (𝐹 supp 0 ) βŠ† dom 𝐹
10 ssdmres 6002 . . . . . 6 ((𝐹 supp 0 ) βŠ† dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
119, 10mpbi 229 . . . . 5 dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 )
122funresd 6588 . . . . . 6 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ Fun (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )))
13 funforn 6809 . . . . . 6 (Fun (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )))
1412, 13sylib 217 . . . . 5 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )))
15 foeq2 6799 . . . . . 6 (dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))))
1615biimpa 477 . . . . 5 ((dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )))
1711, 14, 16sylancr 587 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )))
18 fofi 9334 . . . 4 (((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 ))) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
198, 17, 18syl2anc 584 . . 3 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
206, 19eqeltrrd 2834 . 2 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ∈ Fin)
21 diffib 31746 . . 3 ({ 0 } ∈ Fin β†’ (ran 𝐹 ∈ Fin ↔ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ∈ Fin))
2221biimpar 478 . 2 (({ 0 } ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ∈ Fin) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
231, 20, 22sylancr 587 1 (((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ ( 0 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  Fun wfun 6534  β€“ontoβ†’wfo 6538  (class class class)co 7405   supp csupp 8142  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-supp 8143  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-fin 8939  df-fsupp 9358
This theorem is referenced by:  elrspunidl  32534
  Copyright terms: Public domain W3C validator