Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsupprnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsupprnfi 30455
 Description: Finite support implies finite range. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
fsupprnfi (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem fsupprnfi
StepHypRef Expression
1 snfi 8581 . 2 { 0 } ∈ Fin
2 simpll 766 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → Fun 𝐹)
3 simplr 768 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹𝑉)
4 simprl 770 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → 0𝑊)
5 ressupprn 30453 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐹𝑉0𝑊) → ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (ran 𝐹 ∖ { 0 }))
62, 3, 4, 5syl3anc 1368 . . 3 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (ran 𝐹 ∖ { 0 }))
7 simprr 772 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
87fsuppimpd 8828 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
9 suppssdm 7830 . . . . . 6 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
10 ssdmres 5845 . . . . . 6 ((𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
119, 10mpbi 233 . . . . 5 dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 )
122funresd 6371 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → Fun (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
13 funforn 6576 . . . . . 6 (Fun (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
1412, 13sylib 221 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
15 foeq2 6566 . . . . . 6 (dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ) → ((𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))))
1615biimpa 480 . . . . 5 ((dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
1711, 14, 16sylancr 590 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
18 fofi 8798 . . . 4 (((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))) → ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
198, 17, 18syl2anc 587 . . 3 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
206, 19eqeltrrd 2894 . 2 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
21 diffib 30296 . . 3 ({ 0 } ∈ Fin → (ran 𝐹 ∈ Fin ↔ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ Fin))
2221biimpar 481 . 2 (({ 0 } ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
231, 20, 22sylancr 590 1 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → ran 𝐹 ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  {csn 4528   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  ran crn 5524   ↾ cres 5525  Fun wfun 6322  –onto→wfo 6326  (class class class)co 7139   supp csupp 7817  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-fin 8500  df-fsupp 8822 This theorem is referenced by:  elrspunidl  31017
 Copyright terms: Public domain W3C validator