Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsupprnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsupprnfi 32707
Description: Finite support implies finite range. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
fsupprnfi (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem fsupprnfi
StepHypRef Expression
1 snfi 9082 . 2 { 0 } ∈ Fin
2 simpll 767 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → Fun 𝐹)
3 simplr 769 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹𝑉)
4 simprl 771 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → 0𝑊)
5 ressupprn 32705 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐹𝑉0𝑊) → ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (ran 𝐹 ∖ { 0 }))
62, 3, 4, 5syl3anc 1370 . . 3 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (ran 𝐹 ∖ { 0 }))
7 simprr 773 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
87fsuppimpd 9407 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
9 suppssdm 8201 . . . . . 6 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
10 ssdmres 6033 . . . . . 6 ((𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
119, 10mpbi 230 . . . . 5 dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 )
122funresd 6611 . . . . . 6 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → Fun (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
13 funforn 6828 . . . . . 6 (Fun (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
1412, 13sylib 218 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
15 foeq2 6818 . . . . . 6 (dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ) → ((𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))))
1615biimpa 476 . . . . 5 ((dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ) ∧ (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):dom (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
1711, 14, 16sylancr 587 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )))
18 fofi 9349 . . . 4 (((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )):(𝐹 supp 0 )–onto→ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 ))) → ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
198, 17, 18syl2anc 584 . . 3 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → ran (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
206, 19eqeltrrd 2840 . 2 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
21 diffib 32549 . . 3 ({ 0 } ∈ Fin → (ran 𝐹 ∈ Fin ↔ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ Fin))
2221biimpar 477 . 2 (({ 0 } ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
231, 20, 22sylancr 587 1 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ ( 0𝑊𝐹 finSupp 0 )) → ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  Fun wfun 6557  ontowfo 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-supp 8185  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-fsupp 9400
This theorem is referenced by:  elrspunidl  33436
  Copyright terms: Public domain W3C validator