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Theorem fourierdlem71 44880
Description: A periodic piecewise continuous function, possibly undefined on a finite set in each periodic interval, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem71.dmf (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
fourierdlem71.f (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
fourierdlem71.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem71.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem71.altb (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
fourierdlem71.t 𝑇 = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
fourierdlem71.7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem71.q (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
fourierdlem71.q0 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
fourierdlem71.10 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
fourierdlem71.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem71.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
fourierdlem71.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem71.xpt (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ dom 𝐹)
fourierdlem71.fxpt (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourierdlem71.i 𝐼 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem71.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem71 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   𝐡,π‘˜,π‘₯   𝑦,𝐡   𝑖,𝐹,π‘₯,π‘˜   𝑦,𝐹   𝑖,𝐼,π‘₯   𝑦,𝐼   π‘₯,𝐿   𝑖,𝑀,π‘₯,π‘˜   𝑄,𝑖,π‘₯,π‘˜   𝑦,𝑄   π‘₯,𝑅   𝑇,π‘˜,π‘₯   𝑦,𝑇   πœ‘,𝑖,π‘₯,π‘˜   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,π‘˜)   𝐡(𝑖)   𝑅(𝑦,𝑖,π‘˜)   𝑇(𝑖)   𝐸(π‘₯,𝑦,𝑖,π‘˜)   𝐼(π‘˜)   𝐿(𝑦,𝑖,π‘˜)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem fourierdlem71
Dummy variables 𝑀 𝑏 𝑑 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 9319 . . . 4 {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼} ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼} ∈ Fin)
3 fourierdlem71.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
43adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
5 simpl 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) β†’ πœ‘)
6 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼})
7 fourierdlem71.q . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
8 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (0...𝑀) ∈ V
98a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) ∈ V)
107, 9fexd 7226 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ V)
11 rnexg 7892 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ V β†’ ran 𝑄 ∈ V)
12 inex1g 5319 . . . . . . . . . . 11 (ran 𝑄 ∈ V β†’ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) ∈ V)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) ∈ V)
1413adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) β†’ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) ∈ V)
15 fourierdlem71.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
16 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^𝑀) ∈ V
1716mptex 7222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ V
1815, 17eqeltri 2830 . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 ∈ V
1918rnex 7900 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝐼 ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran 𝐼 ∈ V)
2120uniexd 7729 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐼 ∈ V)
2221adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) β†’ βˆͺ ran 𝐼 ∈ V)
23 uniprg 4925 . . . . . . . . 9 (((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) ∈ V ∧ βˆͺ ran 𝐼 ∈ V) β†’ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼} = ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
2414, 22, 23syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) β†’ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼} = ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
256, 24eleqtrd 2836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) β†’ π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
26 elinel2 4196 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
2726adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
28 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ πœ‘)
29 elunnel1 4149 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼)
3029adantll 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼)
3115funmpt2 6585 . . . . . . . . . . . . 13 Fun 𝐼
32 elunirn 7247 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝐼 β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–))
3433biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼 β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–))
3534adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ dom 𝐼 β†’ 𝑖 ∈ dom 𝐼)
37 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ V
3837, 15dmmpti 6692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom 𝐼 = (0..^𝑀)
3936, 38eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ dom 𝐼 β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
4039adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
4137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ V)
4215fvmpt2 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ V) β†’ (πΌβ€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
4340, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
44 fourierdlem71.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
45 cncff 24401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
46 fdm 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ β†’ dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
4744, 45, 463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
4839, 47sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
49 ssdmres 6003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
5048, 49sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom 𝐹)
5143, 50eqsstrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘–) βŠ† dom 𝐹)
52513adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–)) β†’ (πΌβ€˜π‘–) βŠ† dom 𝐹)
53 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–)) β†’ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–))
5452, 53sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
55543exp 1120 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ dom 𝐼 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)))
5655adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ (𝑖 ∈ dom 𝐼 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)))
5756rexlimdv 3154 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹))
5835, 57mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
5928, 30, 58syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
6027, 59pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
615, 25, 60syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
624, 61ffvelcdmd 7085 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6362recnd 11239 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6463abscld 15380 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
65 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹))
66 fzfid 13935 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
67 rnffi 43857 . . . . . . . . . 10 ((𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„ ∧ (0...𝑀) ∈ Fin) β†’ ran 𝑄 ∈ Fin)
687, 66, 67syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝑄 ∈ Fin)
69 infi 9265 . . . . . . . . 9 (ran 𝑄 ∈ Fin β†’ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) ∈ Fin)
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) ∈ Fin)
7170adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) ∈ Fin)
7265, 71eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
73 simpll 766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ πœ‘)
74 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ π‘₯ ∈ 𝑀)
75 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹))
7674, 75eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹))
7776adantll 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹))
783adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
7926adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
8078, 79ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8180recnd 11239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8281abscld 15380 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
8373, 77, 82syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
8483ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
85 fimaxre3 12157 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
8672, 84, 85syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
8786adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) ∧ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
88 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) ∧ Β¬ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ πœ‘)
89 neqne 2949 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) β†’ 𝑀 β‰  (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹))
90 elprn1 44336 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼} ∧ 𝑀 β‰  (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼)
9189, 90sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼} ∧ Β¬ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼)
9291adantll 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) ∧ Β¬ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼)
93 fzofi 13936 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ∈ Fin
9415rnmptfi 43853 . . . . . . . 8 ((0..^𝑀) ∈ Fin β†’ ran 𝐼 ∈ Fin)
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . 7 ran 𝐼 ∈ Fin
9695a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) β†’ ran 𝐼 ∈ Fin)
973adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
9897, 58ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
9998recnd 11239 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
10099adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
101100abscld 15380 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
10237, 15fnmpti 6691 . . . . . . . . . . 11 𝐼 Fn (0..^𝑀)
103 fvelrnb 6950 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 Fn (0..^𝑀) β†’ (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)(πΌβ€˜π‘–) = 𝑑))
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)(πΌβ€˜π‘–) = 𝑑)
105104biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ran 𝐼 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)(πΌβ€˜π‘–) = 𝑑)
106105adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)(πΌβ€˜π‘–) = 𝑑)
1077adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
108 elfzofz 13645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
109108adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
110107, 109ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
111 fzofzp1 13726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
112111adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
113107, 112ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
114 fourierdlem71.l . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
115 fourierdlem71.r . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
116110, 113, 44, 114, 115cncfioobd 44600 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
1171163adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
118 fvres 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
119118fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
120119breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏))
121120adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏))
122121ralbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏))
123122rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏))
1241233adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏))
12537, 42mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (πΌβ€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
126 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΌβ€˜π‘–) = 𝑑 β†’ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑)
127125, 126sylan9req 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = 𝑑)
1281273adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = 𝑑)
129128raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏))
130129rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏))
131124, 130bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏))
132117, 131mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
1331323exp 1120 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((πΌβ€˜π‘–) = 𝑑 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)))
134133adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((πΌβ€˜π‘–) = 𝑑 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)))
135134rexlimdv 3154 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)(πΌβ€˜π‘–) = 𝑑 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏))
136106, 135mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
137136adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
138 eqimss 4040 . . . . . . 7 (𝑀 = βˆͺ ran 𝐼 β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ ran 𝐼)
139138adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ ran 𝐼)
14096, 101, 137, 139ssfiunibd 44006 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
14188, 92, 140syl2anc 585 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) ∧ Β¬ 𝑀 = (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
14287, 141pm2.61dan 812 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼}) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
143 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ran 𝑄) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝑄)
144 elinel2 4196 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
145144ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ran 𝑄) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
146143, 145elind 4194 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ran 𝑄) β†’ π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹))
147 elun1 4176 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
148146, 147syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ran 𝑄) β†’ π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
149 fourierdlem71.7 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
150149ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝑄) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1517ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝑄) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
152 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
153152adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
154 fourierdlem71.q0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
155154eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘„β€˜0))
156155adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) β†’ 𝐴 = (π‘„β€˜0))
157 fourierdlem71.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
158157eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘„β€˜π‘€))
159158adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) β†’ 𝐡 = (π‘„β€˜π‘€))
160156, 159oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) β†’ (𝐴[,]𝐡) = ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
161153, 160eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
162161adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝑄) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
163 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝑄) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝑄)
164 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜π‘—))
165164breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) < π‘₯ ↔ (π‘„β€˜π‘—) < π‘₯))
166165cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . . 12 {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < π‘₯} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) < π‘₯}
167166supeq1i 9439 . . . . . . . . . . 11 sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < π‘₯}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) < π‘₯}, ℝ, < )
168150, 151, 162, 163, 167fourierdlem25 44835 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝑄) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
16939ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
170 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–))) β†’ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–))
171169, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–))) β†’ (πΌβ€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
172170, 171eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
173169, 172jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–))) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
174 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
175174, 38eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ dom 𝐼)
176175ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ 𝑖 ∈ dom 𝐼)
177 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
178125eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (πΌβ€˜π‘–))
179178ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (πΌβ€˜π‘–))
180177, 179eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–))
181176, 180jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ (𝑖 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
182173, 181impbida 800 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ dom 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–)) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
183182rexbidv2 3175 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
184183ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝑄) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
185168, 184mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝑄) β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘–))
186185, 33sylibr 233 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝑄) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼)
187 elun2 4177 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐼 β†’ π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
188186, 187syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝑄) β†’ π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
189148, 188pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
190189ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
191 dfss3 3970 . . . . 5 (((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹) βŠ† ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)π‘₯ ∈ ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
192190, 191sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹) βŠ† ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
19313, 21, 23syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼} = ((ran 𝑄 ∩ dom 𝐹) βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
194192, 193sseqtrrd 4023 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹) βŠ† βˆͺ {(ran 𝑄 ∩ dom 𝐹), βˆͺ ran 𝐼})
1952, 64, 142, 194ssfiunibd 44006 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
196 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘₯πœ‘
197 nfra1 3282 . . . . . 6 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦
198196, 197nfan 1903 . . . . 5 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
199 fourierdlem71.dmf . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
200199sselda 3982 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
201 fourierdlem71.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
202201adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
203202, 200resubcld 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (𝐡 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ)
204 fourierdlem71.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑇 = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
205 fourierdlem71.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
206201, 205resubcld 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
207204, 206eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
208207adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
209 fourierdlem71.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
210205, 201posdifd 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
211209, 210mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴))
212211, 204breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑇)
213212gt0ne0d 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  0)
214213adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ 𝑇 β‰  0)
215203, 208, 214redivcld 12039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇) ∈ ℝ)
216215flcld 13760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) ∈ β„€)
217216zred 12663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) ∈ ℝ)
218217, 208remulcld 11241 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
219200, 218readdcld 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
220 fourierdlem71.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
221220fvmpt2 7007 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)) ∈ ℝ) β†’ (πΈβ€˜π‘₯) = (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
222200, 219, 221syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΈβ€˜π‘₯) = (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
223222fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜(πΈβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜(π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇))))
224 fvex 6902 . . . . . . . . . . . 12 (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) ∈ V
225 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ↔ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) ∈ β„€))
226225anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) ∧ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) ∈ β„€)))
227 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑇) = ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇))
228227oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) β†’ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
229228fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜(π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇))))
230229eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜(π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘₯)))
231226, 230imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) β†’ ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) ∧ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘₯))))
232 fourierdlem71.fxpt . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘₯))
233224, 231, 232vtocl 3550 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) ∧ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘₯))
234216, 233mpdan 686 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘₯))
235223, 234eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(πΈβ€˜π‘₯)))
236235fveq2d 6893 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(πΈβ€˜π‘₯))))
237236adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(πΈβ€˜π‘₯))))
238 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘€))
239238fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)))
240239breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) ≀ 𝑦))
241240cbvralvw 3235 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘€ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) ≀ 𝑦)
242241biimpi 215 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) ≀ 𝑦)
243242ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) ≀ 𝑦)
244 iocssicc 13411 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
245205adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
246209adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐴 < 𝐡)
247 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦)
248 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐡 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝑦))
249248oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇) = ((𝐡 βˆ’ 𝑦) / 𝑇))
250249fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑦) / 𝑇)))
251250oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇) = ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑦) / 𝑇)) Β· 𝑇))
252247, 251oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)) = (𝑦 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑦) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
253252cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑦) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
254220, 253eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑦) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
255245, 202, 246, 204, 254fourierdlem4 44814 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐸:β„βŸΆ(𝐴(,]𝐡))
256255, 200ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΈβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴(,]𝐡))
257244, 256sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΈβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴[,]𝐡))
258228eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) β†’ ((π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ dom 𝐹 ↔ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)) ∈ dom 𝐹))
259226, 258imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) β†’ ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ dom 𝐹) ↔ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) ∧ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) ∈ β„€) β†’ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)) ∈ dom 𝐹)))
260 fourierdlem71.xpt . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ dom 𝐹)
261224, 259, 260vtocl 3550 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) ∧ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) ∈ β„€) β†’ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)) ∈ dom 𝐹)
262216, 261mpdan 686 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)) ∈ dom 𝐹)
263222, 262eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΈβ€˜π‘₯) ∈ dom 𝐹)
264257, 263elind 4194 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΈβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹))
265264adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΈβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹))
266 fveq2 6889 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (πΈβ€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜(πΈβ€˜π‘₯)))
267266fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (πΈβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(πΈβ€˜π‘₯))))
268267breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (πΈβ€˜π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) ≀ 𝑦 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜(πΈβ€˜π‘₯))) ≀ 𝑦))
269268rspccva 3612 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘€ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) ≀ 𝑦 ∧ (πΈβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(πΈβ€˜π‘₯))) ≀ 𝑦)
270243, 265, 269syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(πΈβ€˜π‘₯))) ≀ 𝑦)
271237, 270eqbrtrd 5170 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
272271ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
273198, 272ralrimi 3255 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
274273ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
275274reximdv 3171 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) ∩ dom 𝐹)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
276195, 275mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {cpr 4630  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  supcsup 9432  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112   < clt 11245   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  β„•cn 12209  β„€cz 12555  (,)cioo 13321  (,]cioc 13322  [,]cicc 13324  ...cfz 13481  ..^cfzo 13624  βŒŠcfl 13752  abscabs 15178  β€“cnβ†’ccncf 24384   limβ„‚ climc 25371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  44903  fourierdlem113  44922
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