Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fouriercn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fouriercn 44443
Description: If the derivative of 𝐹 is continuous, then the Fourier series for 𝐹 converges to 𝐹 everywhere and the hypothesis are simpler than those for the more general case of a piecewise smooth function (see fourierd 44433 for a comparison). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriercn.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fouriercn.t 𝑇 = (2 · π)
fouriercn.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fouriercn.dv (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
fouriercn.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fouriercn.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fouriercn.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fouriercn.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
Assertion
Ref Expression
fouriercn (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fouriercn
StepHypRef Expression
1 fouriercn.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fouriercn.t . 2 𝑇 = (2 · π)
3 fouriercn.per . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fouriercn.g . 2 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
54dmeqi 5859 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
6 ioossre 13322 . . . . . . . 8 (-π(,)π) ⊆ ℝ
7 fouriercn.dv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
8 cncff 24252 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ)
9 fdm 6675 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
116, 10sseqtrrid 3996 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
12 ssdmres 5959 . . . . . . 7 ((-π(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = (-π(,)π))
1311, 12sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = (-π(,)π))
145, 13eqtrid 2788 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺 = (-π(,)π))
1514difeq2d 4081 . . . 4 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) = ((-π(,)π) ∖ (-π(,)π)))
16 difid 4329 . . . 4 ((-π(,)π) ∖ (-π(,)π)) = ∅
1715, 16eqtrdi 2792 . . 3 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) = ∅)
18 0fin 9112 . . 3 ∅ ∈ Fin
1917, 18eqeltrdi 2846 . 2 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
20 rescncf 24256 . . . 4 ((-π(,)π) ⊆ ℝ → ((ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)))
216, 7, 20mpsyl 68 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
224a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
2314oveq1d 7369 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐺cn→ℂ) = ((-π(,)π)–cn→ℂ))
2421, 22, 233eltr4d 2853 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
25 pire 25811 . . . . . 6 π ∈ ℝ
2625renegcli 11459 . . . . 5 -π ∈ ℝ
2725rexri 11210 . . . . 5 π ∈ ℝ*
28 icossre 13342 . . . . 5 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (-π[,)π) ⊆ ℝ)
2926, 27, 28mp2an 690 . . . 4 (-π[,)π) ⊆ ℝ
30 eldifi 4085 . . . 4 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ (-π[,)π))
3129, 30sselid 3941 . . 3 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
32 limcresi 25245 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞))) lim 𝑥)
334reseq1i 5932 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞))
34 resres 5949 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞)))
3533, 34eqtr2i 2765 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞))) = (𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞))
3635oveq1i 7364 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥)
3732, 36sseqtri 3979 . . . . 5 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥)
387adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
39 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4038, 39cnlimci 25249 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥))
4137, 40sselid 3941 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥))
4241ne0d 4294 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
4331, 42sylan2 593 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
44 negpitopissre 25892 . . . 4 (-π(,]π) ⊆ ℝ
45 eldifi 4085 . . . 4 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ (-π(,]π))
4644, 45sselid 3941 . . 3 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
47 limcresi 25245 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥))) lim 𝑥)
484reseq1i 5932 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥))
49 resres 5949 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥)))
5048, 49eqtr2i 2765 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥))) = (𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥))
5150oveq1i 7364 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥)
5247, 51sseqtri 3979 . . . . 5 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥)
5352, 40sselid 3941 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥))
5453ne0d 4294 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
5546, 54sylan2 593 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
56 eqid 2736 . 2 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
57 ax-resscn 11105 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
591, 58fssd 6684 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
60 ssid 3965 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ
6160a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
62 dvcn 25281 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
6358, 59, 61, 10, 62syl31anc 1373 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
64 cncfcdm 24257 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ 𝐹:ℝ⟶ℝ))
6558, 63, 64syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ 𝐹:ℝ⟶ℝ))
661, 65mpbird 256 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
67 eqid 2736 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6867tgioo2 24162 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6967, 68, 68cncfcn 24269 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
7058, 58, 69syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
7166, 70eleqtrd 2840 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
72 fouriercn.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
73 uniretop 24122 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
7473cncnpi 22625 . . 3 ((𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑋))
7571, 72, 74syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑋))
76 fouriercn.a . 2 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
77 fouriercn.b . 2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
781, 2, 3, 4, 19, 24, 43, 55, 56, 75, 76, 77fouriercnp 44437 1 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2942  cdif 3906  cin 3908  wss 3909  c0 4281  cmpt 5187  dom cdm 5632  ran crn 5633  cres 5634  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7354  Fincfn 8880  cc 11046  cr 11047  0cc0 11048   + caddc 11051   · cmul 11053  +∞cpnf 11183  -∞cmnf 11184  *cxr 11185  -cneg 11383   / cdiv 11809  cn 12150  2c2 12205  0cn0 12410  (,)cioo 13261  (,]cioc 13262  [,)cico 13263  Σcsu 15567  sincsin 15943  cosccos 15944  πcpi 15946  TopOpenctopn 17300  topGenctg 17316  fldccnfld 20792   Cn ccn 22571   CnP ccnp 22572  cnccncf 24235  citg 24978   lim climc 25222   D cdv 25223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-inf2 9574  ax-cc 10368  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126  ax-addf 11127  ax-mulf 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-symdif 4201  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7614  df-ofr 7615  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-supp 8090  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-omul 8414  df-er 8645  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8833  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-fsupp 9303  df-fi 9344  df-sup 9375  df-inf 9376  df-oi 9443  df-dju 9834  df-card 9872  df-acn 9875  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-xnn0 12483  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-q 12871  df-rp 12913  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-fl 13694  df-mod 13772  df-seq 13904  df-exp 13965  df-fac 14171  df-bc 14200  df-hash 14228  df-shft 14949  df-cj 14981  df-re 14982  df-im 14983  df-sqrt 15117  df-abs 15118  df-limsup 15350  df-clim 15367  df-rlim 15368  df-sum 15568  df-ef 15947  df-sin 15949  df-cos 15950  df-pi 15952  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-starv 17145  df-sca 17146  df-vsca 17147  df-ip 17148  df-tset 17149  df-ple 17150  df-ds 17152  df-unif 17153  df-hom 17154  df-cco 17155  df-rest 17301  df-topn 17302  df-0g 17320  df-gsum 17321  df-topgen 17322  df-pt 17323  df-prds 17326  df-xrs 17381  df-qtop 17386  df-imas 17387  df-xps 17389  df-mre 17463  df-mrc 17464  df-acs 17466  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-submnd 18599  df-mulg 18869  df-cntz 19093  df-cmn 19560  df-psmet 20784  df-xmet 20785  df-met 20786  df-bl 20787  df-mopn 20788  df-fbas 20789  df-fg 20790  df-cnfld 20793  df-top 22239  df-topon 22256  df-topsp 22278  df-bases 22292  df-cld 22366  df-ntr 22367  df-cls 22368  df-nei 22445  df-lp 22483  df-perf 22484  df-cn 22574  df-cnp 22575  df-t1 22661  df-haus 22662  df-cmp 22734  df-tx 22909  df-hmeo 23102  df-fil 23193  df-fm 23285  df-flim 23286  df-flf 23287  df-xms 23669  df-ms 23670  df-tms 23671  df-cncf 24237  df-ovol 24824  df-vol 24825  df-mbf 24979  df-itg1 24980  df-itg2 24981  df-ibl 24982  df-itg 24983  df-0p 25030  df-ditg 25207  df-limc 25226  df-dv 25227
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator