Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fouriercn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fouriercn 41946
Description: If the derivative of 𝐹 is continuous, then the Fourier series for 𝐹 converges to 𝐹 everywhere and the hypothesis are simpler than those for the more general case of a piecewise smooth function (see fourierd 41936 for a comparison). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriercn.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fouriercn.t 𝑇 = (2 · π)
fouriercn.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fouriercn.dv (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
fouriercn.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fouriercn.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fouriercn.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fouriercn.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
Assertion
Ref Expression
fouriercn (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fouriercn
StepHypRef Expression
1 fouriercn.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fouriercn.t . 2 𝑇 = (2 · π)
3 fouriercn.per . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fouriercn.g . 2 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
54dmeqi 5623 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
6 ioossre 12614 . . . . . . . 8 (-π(,)π) ⊆ ℝ
7 fouriercn.dv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
8 cncff 23204 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ)
9 fdm 6352 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
116, 10syl5sseqr 3911 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
12 ssdmres 5721 . . . . . . 7 ((-π(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = (-π(,)π))
1311, 12sylib 210 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = (-π(,)π))
145, 13syl5eq 2827 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺 = (-π(,)π))
1514difeq2d 3990 . . . 4 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) = ((-π(,)π) ∖ (-π(,)π)))
16 difid 4217 . . . 4 ((-π(,)π) ∖ (-π(,)π)) = ∅
1715, 16syl6eq 2831 . . 3 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) = ∅)
18 0fin 8541 . . 3 ∅ ∈ Fin
1917, 18syl6eqel 2875 . 2 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
20 rescncf 23208 . . . 4 ((-π(,)π) ⊆ ℝ → ((ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)))
216, 7, 20mpsyl 68 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
224a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
2314oveq1d 6991 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐺cn→ℂ) = ((-π(,)π)–cn→ℂ))
2421, 22, 233eltr4d 2882 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
25 pire 24747 . . . . . 6 π ∈ ℝ
2625renegcli 10748 . . . . 5 -π ∈ ℝ
2725rexri 10499 . . . . 5 π ∈ ℝ*
28 icossre 12633 . . . . 5 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (-π[,)π) ⊆ ℝ)
2926, 27, 28mp2an 679 . . . 4 (-π[,)π) ⊆ ℝ
30 eldifi 3994 . . . 4 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ (-π[,)π))
3129, 30sseldi 3857 . . 3 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
32 limcresi 24186 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞))) lim 𝑥)
334reseq1i 5691 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞))
34 resres 5711 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞)))
3533, 34eqtr2i 2804 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞))) = (𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞))
3635oveq1i 6986 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥)
3732, 36sseqtri 3894 . . . . 5 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥)
387adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
39 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4038, 39cnlimci 24190 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥))
4137, 40sseldi 3857 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥))
4241ne0d 4188 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
4331, 42sylan2 583 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
44 negpitopissre 24825 . . . 4 (-π(,]π) ⊆ ℝ
45 eldifi 3994 . . . 4 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ (-π(,]π))
4644, 45sseldi 3857 . . 3 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
47 limcresi 24186 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥))) lim 𝑥)
484reseq1i 5691 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥))
49 resres 5711 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥)))
5048, 49eqtr2i 2804 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥))) = (𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥))
5150oveq1i 6986 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥)
5247, 51sseqtri 3894 . . . . 5 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥)
5352, 40sseldi 3857 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥))
5453ne0d 4188 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
5546, 54sylan2 583 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
56 eqid 2779 . 2 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
57 ax-resscn 10392 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
591, 58fssd 6358 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
60 ssid 3880 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ
6160a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
62 dvcn 24221 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
6358, 59, 61, 10, 62syl31anc 1353 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
64 cncffvrn 23209 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ 𝐹:ℝ⟶ℝ))
6558, 63, 64syl2anc 576 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ 𝐹:ℝ⟶ℝ))
661, 65mpbird 249 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
67 eqid 2779 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6867tgioo2 23114 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6967, 68, 68cncfcn 23220 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
7058, 58, 69syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
7166, 70eleqtrd 2869 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
72 fouriercn.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
73 uniretop 23074 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
7473cncnpi 21590 . . 3 ((𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑋))
7571, 72, 74syl2anc 576 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑋))
76 fouriercn.a . 2 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
77 fouriercn.b . 2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
781, 2, 3, 4, 19, 24, 43, 55, 56, 75, 76, 77fouriercnp 41940 1 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  cdif 3827  cin 3829  wss 3830  c0 4179  cmpt 5008  dom cdm 5407  ran crn 5408  cres 5409  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  Fincfn 8306  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335   + caddc 10338   · cmul 10340  +∞cpnf 10471  -∞cmnf 10472  *cxr 10473  -cneg 10671   / cdiv 11098  cn 11439  2c2 11495  0cn0 11707  (,)cioo 12554  (,]cioc 12555  [,)cico 12556  Σcsu 14903  sincsin 15277  cosccos 15278  πcpi 15280  TopOpenctopn 16551  topGenctg 16567  fldccnfld 20247   Cn ccn 21536   CnP ccnp 21537  cnccncf 23187  citg 23922   lim climc 24163   D cdv 24164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cc 9655  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-symdif 4107  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-disj 4898  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-ofr 7228  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-omul 7910  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-dju 9124  df-card 9162  df-acn 9165  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-shft 14287  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-limsup 14689  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-ef 15281  df-sin 15283  df-cos 15284  df-pi 15286  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-t1 21626  df-haus 21627  df-cmp 21699  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-ovol 23768  df-vol 23769  df-mbf 23923  df-itg1 23924  df-itg2 23925  df-ibl 23926  df-itg 23927  df-0p 23974  df-ditg 24148  df-limc 24167  df-dv 24168
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator