Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fouriercn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fouriercn 45520
Description: If the derivative of 𝐹 is continuous, then the Fourier series for 𝐹 converges to 𝐹 everywhere and the hypothesis are simpler than those for the more general case of a piecewise smooth function (see fourierd 45510 for a comparison). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriercn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fouriercn.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
fouriercn.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fouriercn.dv (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
fouriercn.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
fouriercn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fouriercn.a 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fouriercn.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
Assertion
Ref Expression
fouriercn (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑇   𝑛,𝑋,π‘₯   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(π‘₯,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fouriercn
StepHypRef Expression
1 fouriercn.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 fouriercn.t . 2 𝑇 = (2 Β· Ο€)
3 fouriercn.per . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
4 fouriercn.g . 2 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
54dmeqi 5898 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
6 ioossre 13391 . . . . . . . 8 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† ℝ
7 fouriercn.dv . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
8 cncff 24768 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚) β†’ (ℝ D 𝐹):β„βŸΆβ„‚)
9 fdm 6720 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹):β„βŸΆβ„‚ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
116, 10sseqtrrid 4030 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)Ο€) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
12 ssdmres 5998 . . . . . . 7 ((-Ο€(,)Ο€) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) = (-Ο€(,)Ο€))
1311, 12sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) = (-Ο€(,)Ο€))
145, 13eqtrid 2778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = (-Ο€(,)Ο€))
1514difeq2d 4117 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) = ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– (-Ο€(,)Ο€)))
16 difid 4365 . . . 4 ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– (-Ο€(,)Ο€)) = βˆ…
1715, 16eqtrdi 2782 . . 3 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) = βˆ…)
18 0fin 9173 . . 3 βˆ… ∈ Fin
1917, 18eqeltrdi 2835 . 2 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
20 rescncf 24772 . . . 4 ((-Ο€(,)Ο€) βŠ† ℝ β†’ ((ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ ((-Ο€(,)Ο€)–cnβ†’β„‚)))
216, 7, 20mpsyl 68 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ ((-Ο€(,)Ο€)–cnβ†’β„‚))
224a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
2314oveq1d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚) = ((-Ο€(,)Ο€)–cnβ†’β„‚))
2421, 22, 233eltr4d 2842 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
25 pire 26348 . . . . . 6 Ο€ ∈ ℝ
2625renegcli 11525 . . . . 5 -Ο€ ∈ ℝ
2725rexri 11276 . . . . 5 Ο€ ∈ ℝ*
28 icossre 13411 . . . . 5 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (-Ο€[,)Ο€) βŠ† ℝ)
2926, 27, 28mp2an 689 . . . 4 (-Ο€[,)Ο€) βŠ† ℝ
30 eldifi 4121 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€))
3129, 30sselid 3975 . . 3 (π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
32 limcresi 25769 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) limβ„‚ π‘₯) βŠ† (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (π‘₯(,)+∞))) limβ„‚ π‘₯)
334reseq1i 5971 . . . . . . . 8 (𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞))
34 resres 5988 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (π‘₯(,)+∞)))
3533, 34eqtr2i 2755 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (π‘₯(,)+∞))) = (𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞))
3635oveq1i 7415 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (π‘₯(,)+∞))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯)
3732, 36sseqtri 4013 . . . . 5 ((ℝ D 𝐹) limβ„‚ π‘₯) βŠ† ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯)
387adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
39 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4038, 39cnlimci 25773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ((ℝ D 𝐹) limβ„‚ π‘₯))
4137, 40sselid 3975 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯))
4241ne0d 4330 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
4331, 42sylan2 592 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
44 negpitopissre 26429 . . . 4 (-Ο€(,]Ο€) βŠ† ℝ
45 eldifi 4121 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,]Ο€))
4644, 45sselid 3975 . . 3 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
47 limcresi 25769 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) limβ„‚ π‘₯) βŠ† (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (-∞(,)π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)
484reseq1i 5971 . . . . . . . 8 (𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯))
49 resres 5988 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (-∞(,)π‘₯)))
5048, 49eqtr2i 2755 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (-∞(,)π‘₯))) = (𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯))
5150oveq1i 7415 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (-∞(,)π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯)
5247, 51sseqtri 4013 . . . . 5 ((ℝ D 𝐹) limβ„‚ π‘₯) βŠ† ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯)
5352, 40sselid 3975 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯))
5453ne0d 4330 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
5546, 54sylan2 592 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
56 eqid 2726 . 2 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
57 ax-resscn 11169 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
5857a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
591, 58fssd 6729 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
60 ssid 3999 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† ℝ
6160a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
62 dvcn 25806 . . . . . . 7 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ ℝ βŠ† ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
6358, 59, 61, 10, 62syl31anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
64 cncfcdm 24773 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ 𝐹:β„βŸΆβ„))
6558, 63, 64syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ 𝐹:β„βŸΆβ„))
661, 65mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
67 eqid 2726 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6867tgioo2 24674 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
6967, 68, 68cncfcn 24785 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ–cn→ℝ) = ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
7058, 58, 69syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ–cn→ℝ) = ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
7166, 70eleqtrd 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
72 fouriercn.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
73 uniretop 24634 . . . 4 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
7473cncnpi 23137 . . 3 ((𝐹 ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (topGenβ€˜ran (,))) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹))
7571, 72, 74syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹))
76 fouriercn.a . 2 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
77 fouriercn.b . 2 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
781, 2, 3, 4, 19, 24, 43, 55, 56, 75, 76, 77fouriercnp 45514 1 (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  (,)cioo 13330  (,]cioc 13331  [,)cico 13332  Ξ£csu 15638  sincsin 16013  cosccos 16014  Ο€cpi 16016  TopOpenctopn 17376  topGenctg 17392  β„‚fldccnfld 21240   Cn ccn 23083   CnP ccnp 23084  β€“cnβ†’ccncf 24751  βˆ«citg 25502   limβ„‚ climc 25746   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-t1 23173  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554  df-ditg 25731  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator