Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fouriercn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fouriercn 45871
Description: If the derivative of 𝐹 is continuous, then the Fourier series for 𝐹 converges to 𝐹 everywhere and the hypothesis are simpler than those for the more general case of a piecewise smooth function (see fourierd 45861 for a comparison). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriercn.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fouriercn.t 𝑇 = (2 · π)
fouriercn.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fouriercn.dv (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
fouriercn.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fouriercn.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fouriercn.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fouriercn.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
Assertion
Ref Expression
fouriercn (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fouriercn
StepHypRef Expression
1 fouriercn.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fouriercn.t . 2 𝑇 = (2 · π)
3 fouriercn.per . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fouriercn.g . 2 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
54dmeqi 5913 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
6 ioossre 13441 . . . . . . . 8 (-π(,)π) ⊆ ℝ
7 fouriercn.dv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
8 cncff 24907 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ)
9 fdm 6739 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
116, 10sseqtrrid 4033 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
12 ssdmres 6024 . . . . . . 7 ((-π(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = (-π(,)π))
1311, 12sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = (-π(,)π))
145, 13eqtrid 2778 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺 = (-π(,)π))
1514difeq2d 4121 . . . 4 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) = ((-π(,)π) ∖ (-π(,)π)))
16 difid 4375 . . . 4 ((-π(,)π) ∖ (-π(,)π)) = ∅
1715, 16eqtrdi 2782 . . 3 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) = ∅)
18 0fi 9082 . . 3 ∅ ∈ Fin
1917, 18eqeltrdi 2834 . 2 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
20 rescncf 24911 . . . 4 ((-π(,)π) ⊆ ℝ → ((ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)))
216, 7, 20mpsyl 68 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
224a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
2314oveq1d 7441 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐺cn→ℂ) = ((-π(,)π)–cn→ℂ))
2421, 22, 233eltr4d 2841 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
25 pire 26489 . . . . . 6 π ∈ ℝ
2625renegcli 11573 . . . . 5 -π ∈ ℝ
2725rexri 11324 . . . . 5 π ∈ ℝ*
28 icossre 13461 . . . . 5 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (-π[,)π) ⊆ ℝ)
2926, 27, 28mp2an 690 . . . 4 (-π[,)π) ⊆ ℝ
30 eldifi 4126 . . . 4 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ (-π[,)π))
3129, 30sselid 3977 . . 3 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
32 limcresi 25908 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞))) lim 𝑥)
334reseq1i 5987 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞))
34 resres 6004 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞)))
3533, 34eqtr2i 2755 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞))) = (𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞))
3635oveq1i 7436 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥)
3732, 36sseqtri 4016 . . . . 5 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥)
387adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
39 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4038, 39cnlimci 25912 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥))
4137, 40sselid 3977 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥))
4241ne0d 4338 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
4331, 42sylan2 591 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
44 negpitopissre 26570 . . . 4 (-π(,]π) ⊆ ℝ
45 eldifi 4126 . . . 4 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ (-π(,]π))
4644, 45sselid 3977 . . 3 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
47 limcresi 25908 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥))) lim 𝑥)
484reseq1i 5987 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥))
49 resres 6004 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥)))
5048, 49eqtr2i 2755 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥))) = (𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥))
5150oveq1i 7436 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥)
5247, 51sseqtri 4016 . . . . 5 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥)
5352, 40sselid 3977 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥))
5453ne0d 4338 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
5546, 54sylan2 591 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
56 eqid 2726 . 2 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
57 ax-resscn 11217 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
591, 58fssd 6747 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
60 ssid 4002 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ
6160a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
62 dvcn 25945 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
6358, 59, 61, 10, 62syl31anc 1370 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
64 cncfcdm 24912 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ 𝐹:ℝ⟶ℝ))
6558, 63, 64syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ 𝐹:ℝ⟶ℝ))
661, 65mpbird 256 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
67 eqid 2726 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6867tgioo2 24813 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6967, 68, 68cncfcn 24924 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
7058, 58, 69syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
7166, 70eleqtrd 2828 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
72 fouriercn.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
73 uniretop 24773 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
7473cncnpi 23276 . . 3 ((𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑋))
7571, 72, 74syl2anc 582 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑋))
76 fouriercn.a . 2 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
77 fouriercn.b . 2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
781, 2, 3, 4, 19, 24, 43, 55, 56, 75, 76, 77fouriercnp 45865 1 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cdif 3944  cin 3946  wss 3947  c0 4325  cmpt 5238  dom cdm 5684  ran crn 5685  cres 5686  wf 6552  cfv 6556  (class class class)co 7426  Fincfn 8976  cc 11158  cr 11159  0cc0 11160   + caddc 11163   · cmul 11165  +∞cpnf 11297  -∞cmnf 11298  *cxr 11299  -cneg 11497   / cdiv 11923  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  (,)cioo 13380  (,]cioc 13381  [,)cico 13382  Σcsu 15692  sincsin 16067  cosccos 16068  πcpi 16070  TopOpenctopn 17438  topGenctg 17454  fldccnfld 21345   Cn ccn 23222   CnP ccnp 23223  cnccncf 24890  citg 25641   lim climc 25885   D cdv 25886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686  ax-cc 10480  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238  ax-addf 11239
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-symdif 4244  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-disj 5121  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8177  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-oadd 8502  df-omul 8503  df-er 8736  df-map 8859  df-pm 8860  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9408  df-fi 9456  df-sup 9487  df-inf 9488  df-oi 9555  df-dju 9946  df-card 9984  df-acn 9987  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12599  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12987  df-rp 13031  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13384  df-ioc 13385  df-ico 13386  df-icc 13387  df-fz 13541  df-fzo 13684  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14024  df-exp 14084  df-fac 14293  df-bc 14322  df-hash 14350  df-shft 15074  df-cj 15106  df-re 15107  df-im 15108  df-sqrt 15242  df-abs 15243  df-limsup 15475  df-clim 15492  df-rlim 15493  df-sum 15693  df-ef 16071  df-sin 16073  df-cos 16074  df-pi 16076  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-starv 17283  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-ip 17286  df-tset 17287  df-ple 17288  df-ds 17290  df-unif 17291  df-hom 17292  df-cco 17293  df-rest 17439  df-topn 17440  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-topgen 17460  df-pt 17461  df-prds 17464  df-xrs 17519  df-qtop 17524  df-imas 17525  df-xps 17527  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-submnd 18776  df-mulg 19064  df-cntz 19313  df-cmn 19782  df-psmet 21337  df-xmet 21338  df-met 21339  df-bl 21340  df-mopn 21341  df-fbas 21342  df-fg 21343  df-cnfld 21346  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-cld 23017  df-ntr 23018  df-cls 23019  df-nei 23096  df-lp 23134  df-perf 23135  df-cn 23225  df-cnp 23226  df-t1 23312  df-haus 23313  df-cmp 23385  df-tx 23560  df-hmeo 23753  df-fil 23844  df-fm 23936  df-flim 23937  df-flf 23938  df-xms 24320  df-ms 24321  df-tms 24322  df-cncf 24892  df-ovol 25487  df-vol 25488  df-mbf 25642  df-itg1 25643  df-itg2 25644  df-ibl 25645  df-itg 25646  df-0p 25693  df-ditg 25870  df-limc 25889  df-dv 25890
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator