Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fouriercn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fouriercn 45683
Description: If the derivative of 𝐹 is continuous, then the Fourier series for 𝐹 converges to 𝐹 everywhere and the hypothesis are simpler than those for the more general case of a piecewise smooth function (see fourierd 45673 for a comparison). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriercn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fouriercn.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
fouriercn.per ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fouriercn.dv (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
fouriercn.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
fouriercn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fouriercn.a 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fouriercn.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
Assertion
Ref Expression
fouriercn (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑇   𝑛,𝑋,π‘₯   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(π‘₯,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fouriercn
StepHypRef Expression
1 fouriercn.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 fouriercn.t . 2 𝑇 = (2 Β· Ο€)
3 fouriercn.per . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
4 fouriercn.g . 2 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
54dmeqi 5901 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
6 ioossre 13417 . . . . . . . 8 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† ℝ
7 fouriercn.dv . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
8 cncff 24831 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚) β†’ (ℝ D 𝐹):β„βŸΆβ„‚)
9 fdm 6726 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹):β„βŸΆβ„‚ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
116, 10sseqtrrid 4026 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)Ο€) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
12 ssdmres 6012 . . . . . . 7 ((-Ο€(,)Ο€) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) = (-Ο€(,)Ο€))
1311, 12sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) = (-Ο€(,)Ο€))
145, 13eqtrid 2777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = (-Ο€(,)Ο€))
1514difeq2d 4114 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) = ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– (-Ο€(,)Ο€)))
16 difid 4366 . . . 4 ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– (-Ο€(,)Ο€)) = βˆ…
1715, 16eqtrdi 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) = βˆ…)
18 0fin 9194 . . 3 βˆ… ∈ Fin
1917, 18eqeltrdi 2833 . 2 (πœ‘ β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) ∈ Fin)
20 rescncf 24835 . . . 4 ((-Ο€(,)Ο€) βŠ† ℝ β†’ ((ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ ((-Ο€(,)Ο€)–cnβ†’β„‚)))
216, 7, 20mpsyl 68 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ ((-Ο€(,)Ο€)–cnβ†’β„‚))
224a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
2314oveq1d 7431 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚) = ((-Ο€(,)Ο€)–cnβ†’β„‚))
2421, 22, 233eltr4d 2840 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cnβ†’β„‚))
25 pire 26411 . . . . . 6 Ο€ ∈ ℝ
2625renegcli 11551 . . . . 5 -Ο€ ∈ ℝ
2725rexri 11302 . . . . 5 Ο€ ∈ ℝ*
28 icossre 13437 . . . . 5 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (-Ο€[,)Ο€) βŠ† ℝ)
2926, 27, 28mp2an 690 . . . 4 (-Ο€[,)Ο€) βŠ† ℝ
30 eldifi 4119 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€))
3129, 30sselid 3970 . . 3 (π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
32 limcresi 25832 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) limβ„‚ π‘₯) βŠ† (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (π‘₯(,)+∞))) limβ„‚ π‘₯)
334reseq1i 5975 . . . . . . . 8 (𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞))
34 resres 5992 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (π‘₯(,)+∞)))
3533, 34eqtr2i 2754 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (π‘₯(,)+∞))) = (𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞))
3635oveq1i 7426 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (π‘₯(,)+∞))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯)
3732, 36sseqtri 4009 . . . . 5 ((ℝ D 𝐹) limβ„‚ π‘₯) βŠ† ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯)
387adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
39 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4038, 39cnlimci 25836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ((ℝ D 𝐹) limβ„‚ π‘₯))
4137, 40sselid 3970 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯))
4241ne0d 4331 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
4331, 42sylan2 591 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
44 negpitopissre 26492 . . . 4 (-Ο€(,]Ο€) βŠ† ℝ
45 eldifi 4119 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,]Ο€))
4644, 45sselid 3970 . . 3 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
47 limcresi 25832 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) limβ„‚ π‘₯) βŠ† (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (-∞(,)π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)
484reseq1i 5975 . . . . . . . 8 (𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯))
49 resres 5992 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (-∞(,)π‘₯)))
5048, 49eqtr2i 2754 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (-∞(,)π‘₯))) = (𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯))
5150oveq1i 7426 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (-∞(,)π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯)
5247, 51sseqtri 4009 . . . . 5 ((ℝ D 𝐹) limβ„‚ π‘₯) βŠ† ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯)
5352, 40sselid 3970 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯))
5453ne0d 4331 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
5546, 54sylan2 591 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom 𝐺)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
56 eqid 2725 . 2 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
57 ax-resscn 11195 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
5857a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
591, 58fssd 6735 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
60 ssid 3995 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† ℝ
6160a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
62 dvcn 25869 . . . . . . 7 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ ℝ βŠ† ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
6358, 59, 61, 10, 62syl31anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
64 cncfcdm 24836 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ 𝐹:β„βŸΆβ„))
6558, 63, 64syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ 𝐹:β„βŸΆβ„))
661, 65mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
67 eqid 2725 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6867tgioo2 24737 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
6967, 68, 68cncfcn 24848 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ–cn→ℝ) = ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
7058, 58, 69syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ–cn→ℝ) = ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
7166, 70eleqtrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
72 fouriercn.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
73 uniretop 24697 . . . 4 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
7473cncnpi 23200 . . 3 ((𝐹 ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (topGenβ€˜ran (,))) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹))
7571, 72, 74syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹))
76 fouriercn.a . 2 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
77 fouriercn.b . 2 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
781, 2, 3, 4, 19, 24, 43, 55, 56, 75, 76, 77fouriercnp 45677 1 (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ– cdif 3936   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138   + caddc 11141   Β· cmul 11143  +∞cpnf 11275  -∞cmnf 11276  β„*cxr 11277  -cneg 11475   / cdiv 11901  β„•cn 12242  2c2 12297  β„•0cn0 12502  (,)cioo 13356  (,]cioc 13357  [,)cico 13358  Ξ£csu 15664  sincsin 16039  cosccos 16040  Ο€cpi 16042  TopOpenctopn 17402  topGenctg 17418  β„‚fldccnfld 21283   Cn ccn 23146   CnP ccnp 23147  β€“cnβ†’ccncf 24814  βˆ«citg 25565   limβ„‚ climc 25809   D cdv 25810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-symdif 4237  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-t1 23236  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567  df-itg2 25568  df-ibl 25569  df-itg 25570  df-0p 25617  df-ditg 25794  df-limc 25813  df-dv 25814
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator