Theorem hashres 14149

Description: The number of elements of a finite function restricted to a subset of its domain is equal to the number of elements of that subset. (Contributed by AV, 15-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashres	⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hashres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 6473	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐴 → Fun (𝐴 ↾ 𝐵))
2	1	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → Fun (𝐴 ↾ 𝐵))
3		finresfin 9021	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
4	3	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
5		hashfun 14148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin → (Fun (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘dom (𝐴 ↾ 𝐵))))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (Fun (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘dom (𝐴 ↾ 𝐵))))
7	2, 6	mpbid 231	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘dom (𝐴 ↾ 𝐵)))
8		ssdmres 5912	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ dom 𝐴 ↔ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = 𝐵)
9	8	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → dom (𝐴 ↾ 𝐵) = 𝐵)
10	9	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → dom (𝐴 ↾ 𝐵) = 𝐵)
11	10	fveq2d 6773	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom (𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘𝐵))
12	7, 11	eqtrd 2780	1 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892  dom cdm 5589   ↾ cres 5591  Fun wfun 6425  ‘cfv 6431  Fincfn 8714  ♯chash 14040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-oadd 8290  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-dju 9658  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237  df-hash 14041

This theorem is referenced by:  hashreshashfun  14150