Theorem hashres 14394

Description: The number of elements of a finite function restricted to a subset of its domain is equal to the number of elements of that subset. (Contributed by AV, 15-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashres	⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hashres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 6587	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐴 → Fun (𝐴 ↾ 𝐵))
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → Fun (𝐴 ↾ 𝐵))
3		finresfin 9266	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
5		hashfun 14393	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin → (Fun (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘dom (𝐴 ↾ 𝐵))))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (Fun (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘dom (𝐴 ↾ 𝐵))))
7	2, 6	mpbid 231	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘dom (𝐴 ↾ 𝐵)))
8		ssdmres 6002	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ dom 𝐴 ↔ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = 𝐵)
9	8	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → dom (𝐴 ↾ 𝐵) = 𝐵)
10	9	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → dom (𝐴 ↾ 𝐵) = 𝐵)
11	10	fveq2d 6892	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘dom (𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘𝐵))
12	7, 11	eqtrd 2772	1 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (♯‘(𝐴 ↾ 𝐵)) = (♯‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947  dom cdm 5675   ↾ cres 5677  Fun wfun 6534  ‘cfv 6540  Fincfn 8935  ♯chash 14286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287

This theorem is referenced by:  hashreshashfun  14395