Theorem fourierdlem112 46661

Description: Here abbreviations (local definitions) are introduced to prove the fourier 46668 theorem. (𝑍‘𝑚) is the m_th partial sum of the fourier series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem112.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem112.d	⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
fourierdlem112.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem112.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem112.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem112.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
fourierdlem112.v	⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
fourierdlem112.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem112.xran	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem112.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem112.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem112.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem112.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem112.u	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem112.fdvcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem112.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem112.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem112.z	⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
fourierdlem112.23	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
fourierdlem112.fbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
fourierdlem112.fdvbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
fourierdlem112.25	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem112	⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   𝑡,𝑅,𝑧   𝑧,𝑋   𝑡,𝑁,𝑤,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦   𝑖,𝑁,𝑚,𝑤   𝐶,𝑚,𝑥   𝑄,𝑓,𝑖,𝑡,𝑦   𝑓,𝑀,𝑚,𝑥   𝑡,𝐿   𝑥,𝑉   𝑤,𝐿,𝑧   𝑚,𝑍   𝑛,𝑉,𝑝   𝑅,𝑘,𝑛   𝑤,𝐹   𝑛,𝑋,𝑝   𝑡,𝑚   𝑥,𝑋   𝐷,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑥   𝑘,𝐹,𝑡,𝑧   𝑖,𝑀,𝑛,𝑝,𝑦   𝑛,𝑁,𝑝   𝑖,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐵,𝑘,𝑚,𝑛   𝑇,𝑛,𝑝,𝑦,𝑖   𝑖,𝑉,𝑤,𝑧   𝜑,𝑚,𝑛   𝑓,𝑁,𝑦   𝑡,𝐶   𝑓,𝑉,𝑘,𝑚,𝑡   𝑡,𝑀   𝜑,𝑘   𝑇,𝑘,𝑚,𝑥,𝑓   𝑡,𝑇   𝑅,𝑖,𝑚,𝑤   𝑄,𝑚,𝑛,𝑥   𝑥,𝑁   𝑓,𝑋,𝑘,𝑦   𝑄,𝑘,𝑝   𝑡,𝑈   𝑖,𝑋,𝑚,𝑡,𝑤,𝑧   𝜑,𝑖,𝑡,𝑤,𝑧   𝑖,𝐿,𝑘,𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑝)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑘,𝑛,𝑝)   𝐷(𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑄(𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑇(𝑧,𝑤)   𝑈(𝑦,𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑘,𝑛,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑝)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑓,𝑝)   𝑀(𝑧,𝑤,𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem112

Dummy variables 𝑗 𝑙 𝑎 𝑐 𝑟 𝑠 𝑒 𝑞 𝑏 𝑢 ℎ 𝑔 𝑣 𝑜 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem112.23	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
2		fveq2 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑗))
3		oveq1 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑗 · 𝑋))
4	3	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑗 · 𝑋)))
5	2, 4	oveq12d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))))
6		fveq2 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑗))
7	3	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑗 · 𝑋)))
8	6, 7	oveq12d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))
9	5, 8	oveq12d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
10	9	cbvmptv 5176	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
11	1, 10	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
12		seqeq3 13959	. . . 4 ⊢ (𝑆 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))))
13	11, 12	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))))
14		nnuz 12818	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15		1zzd 12549	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		nfv 1921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
17		nfcv 2901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
18		nfcv 2901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(-π(,)0)
19		nfcv 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))
20		nfcv 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
21		nfcv 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐷‘𝑚)‘𝑠)
22	19, 20, 21	nfov 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠))
23	18, 22	nfitg 25760	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠
24	17, 23	nfmpt 5170	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
25		nfcv 2901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(0(,)π)
26	25, 22	nfitg 25760	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠
27	17, 26	nfmpt 5170	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
28		fourierdlem112.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
29		fourierdlem112.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
30		nfmpt1 5171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
31	29, 30	nfcxfr 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
32		nfcv 2901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛0
33	31, 32	nffv 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘0)
34		nfcv 2901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 /
35		nfcv 2901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛2
36	33, 34, 35	nfov 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐴‘0) / 2)
37		nfcv 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 +
38		nfcv 2901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(1...𝑚)
39	38	nfsum1 15643	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
40	36, 37, 39	nfov 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
41	17, 40	nfmpt 5170	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
42	28, 41	nfcxfr 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
43		fourierdlem112.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
44		fourierdlem112.25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
45		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
46		picn 26440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
47	46	2timesi 12305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) = (π + π)
48		fourierdlem112.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
49	46, 46	subnegi 11464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π − -π) = (π + π)
50	47, 48, 49	3eqtr4i 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (π − -π)
51		fourierdlem112.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
52		fourierdlem112.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
53		fourierdlem112.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
54		pire 26439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
56	55	renegcld 11568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
57	56, 44	readdcld 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
58	55, 44	readdcld 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
59		negpilt0 45729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π < 0
60		pipos 26441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
61	54	renegcli 11446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
62		0re 11137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
63	61, 62, 54	lttri 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
64	59, 60, 63	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π < π
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -π < π)
66	56, 55, 44, 65	ltadd1dd 11752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) < (π + 𝑋))
67		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
68	67	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
69	68	rexbidv 3163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
70	69	cbvrabv 3401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
71	70	uneq2i 4095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
72		fourierdlem112.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = ((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
73		fourierdlem112.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
74	50, 51, 52, 53, 57, 58, 66, 45, 71, 72, 73	fourierdlem54 46603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁)) ∧ 𝑉 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
75	74	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁)))
76	75	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
77	75	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁))
78		fourierdlem112.xran	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
79	43	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
80		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘𝑗))
81		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
82	81	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
83	80, 82	breq12d 5085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
84	83	cbvralvw 3217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
85	84	anbi2i 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) → ((((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
87	86	rabbiia 3395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}
88	87	mpteq2i 5168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
89	51, 88	eqtri 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
90	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
91	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
92		fourierdlem112.fper	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
93	92	adantlr 721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
94		eleq1w 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
95	94	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
96		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗))
97	81	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
98	96, 97	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
99	98	reseq2d 5931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
100	98	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) = (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
101	99, 100	eleq12d 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ)))
102	95, 101	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))))
103		fourierdlem112.fcn	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
104	102, 103	chvarvv 1996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
105	104	adantlr 721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
106	57	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
107	57	rexrd 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ*)
108		pnfxr 11190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
110	58	ltpnfd 13063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) < +∞)
111	107, 109, 58, 66, 110	eliood 45943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
112	111	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
113		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
114	72	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1))
115	113, 114	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
116	115	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
117	72	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...𝑁) = (0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1))
118		isoeq4 7264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0...𝑁) = (0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
119	117, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
120	119	iotabii 6470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
121	73, 120	eqtri 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
122	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 106, 112, 116, 121	fourierdlem98 46647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
123		fourierdlem112.fbd	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
124	123	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
125		nfra1 3263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤
126		elioore 13319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
127		rspa 3228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
128	126, 127	sylan2 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
129	128	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
130	125, 129	ralrimi 3237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
131	130	reximi 3077	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
132	124, 131	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
133		ssid 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
134		dvfre 25936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
135	43, 133, 134	sylancl 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
137		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
138	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ)
139	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ)
140	98	reseq2d 5931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
141	140, 100	eleq12d 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ)))
142	95, 141	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))))
143		fourierdlem112.fdvcn	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
144	142, 143	chvarvv 1996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
145	144	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
146		fourierdlem112.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
147	56, 146	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
149	147	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ*)
150	55, 146	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
151	56, 55, 146, 65	ltadd1dd 11752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) < (π + 𝑋))
152	150	ltpnfd 13063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) < +∞)
153	149, 109, 150, 151, 152	eliood 45943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
155		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑘 · 𝑇) = (ℎ · 𝑇))
156	155	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (ℎ · 𝑇)))
157	156	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = ℎ → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
158	157	cbvrexvw 3218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
159	158	rgenw 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∀𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋))(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
160		rabbi 3421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋))(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
161	159, 160	mpbi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
162	161	uneq2i 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
163		isoeq5 7265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
164	162, 163	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
165	164	iotabii 6470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
166	121, 165	eqtri 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
167		eleq1w 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹)))
168		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑣) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑢))
169	167, 168	ifbieq1d 4479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → if(𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑣), 0) = if(𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑢), 0))
170	169	cbvmptv 5176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ if(𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑣), 0)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑢), 0))
171	79, 137, 89, 138, 139, 50, 90, 91, 93, 145, 148, 154, 116, 166, 170	fourierdlem97 46646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
172		cncff 24878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
173		fdm 6664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
174	171, 172, 173	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
175		ssdmres 5965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
176	174, 175	sylibr 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
177	136, 176	fssresd 6694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
178		ax-resscn 11086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
180		cncfcdm 24883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ))
181	179, 171, 180	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ))
182	177, 181	mpbird 258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
183		fourierdlem112.fdvbd	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
184	183	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
185		nfv 1921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
186		nfra1 3263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
187	185, 186	nfan 1906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
188		fvres 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
189	188	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
190	189	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
191	190	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
192		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
193	176	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
194	193	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
195		rspa 3228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
196	192, 194, 195	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
197	191, 196	eqbrtrd 5094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
198	197	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
199	187, 198	ralrimi 3237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
200	199	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
201	200	reximdv 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
202	184, 201	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
203		nfra1 3263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧
204	188	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡))
205	204	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) = (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)))
206	205	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) = (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)))
207		rspa 3228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
208	206, 207	eqbrtrd 5094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
209	208	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
210	203, 209	ralrimi 3237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
212	211	reximdv 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
213	202, 212	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
214		nfv 1921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
215		nfcsb1v 3855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶
216	215	nfel1 2917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗))
217	214, 216	nfim 1903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
218		csbeq1a 3845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)
219	99, 96	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
220	218, 219	eleq12d 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗))))
221	95, 220	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))))
222		fourierdlem112.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
223	217, 221, 222	chvarfv 2252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
224	223	adantlr 721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
225	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 224, 106, 112, 116, 121	fourierdlem96 46645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝑖)))
226		nfcsb1v 3855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈
227	226	nfel1 2917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
228	214, 227	nfim 1903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
229		csbeq1a 3845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝑈 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)
230	99, 97	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
231	229, 230	eleq12d 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1)))))
232	95, 231	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))))
233		fourierdlem112.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
234	228, 232, 233	chvarfv 2252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
235	234	adantlr 721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
236	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 235, 148, 154, 116, 121	fourierdlem99 46648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖)) + 1)), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
237		eqeq1 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝑔 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
238		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑔) = (𝑋 + 𝑠))
239	238	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
240		breq2 5076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (0 < 𝑔 ↔ 0 < 𝑠))
241	240	ifbid 4478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿) = if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿))
242	239, 241	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)))
243		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → 𝑔 = 𝑠)
244	242, 243	oveq12d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠))
245	237, 244	ifbieq2d 4481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠)))
246	245	cbvmptv 5176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠)))
247		eqeq1 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
248		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → 𝑜 = 𝑠)
249		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 / 2) = (𝑠 / 2))
250	249	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (sin‘(𝑜 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
251	250	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑜 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
252	248, 251	oveq12d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
253	247, 252	ifbieq2d 4481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
254	253	cbvmptv 5176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
255		fveq2 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) = ((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠))
256		fveq2 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟) = ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠))
257	255, 256	oveq12d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)) = (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠)))
258	257	cbvmptv 5176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠)))
259		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑠 → ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
260	259	fveq2d 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑠 → (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
261	260	cbvmptv 5176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
262		fveq2 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠))
263		fveq2 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧) = ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠))
264	262, 263	oveq12d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠)))
265	264	cbvmptv 5176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠)))
266		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐷‘𝑚) = (𝐷‘𝑛))
267	266	fveq1d 6829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐷‘𝑚)‘𝑠) = ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))
268	267	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
269	268	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
270	269	itgeq2dv 25767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
271	270	cbvmptv 5176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
272		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑐 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
273	272	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))
274	273	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))
275	274	mpteq2dv 5166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑))) = (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))))
276	275	fveq1d 6829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧) = ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))
277	276	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))
278	277	mpteq2dv 5166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))))
279	278	fveq1d 6829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
280	279	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
281	280	itgeq2dv 25767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠)
282	281	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π) = (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
283	282	cbvmptv 5176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
284		fourierdlem112.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
285		fourierdlem112.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
286		fourierdlem112.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
287		fourierdlem112.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
288		fourierdlem112.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
289		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 mod (2 · π)) = (𝑠 mod (2 · π)))
290	289	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 mod (2 · π)) = 0))
291		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠))
292	291	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)))
293		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / 2) = (𝑠 / 2))
294	293	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
295	294	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
296	292, 295	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
297	290, 296	ifbieq2d 4481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
298	297	cbvmptv 5176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
299		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑚 = 𝑘)
300	299	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑘))
301	300	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
302	301	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)))
303	299	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑚 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
304	303	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
305	304	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
306	305	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
307	302, 306	ifeq12d 4476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
308	307	mpteq2dva 5165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
309	298, 308	eqtrid 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
310	309	cbvmptv 5176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
311	288, 310	eqtri 2762	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
312		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (-π[,]𝑙)) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (-π[,]𝑙))
313		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))) = ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))
314		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1) = ((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)
315		isoeq1 7261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) ↔ 𝑤 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))))))
316	315	cbviotavw 6449	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))))) = (℩𝑤𝑤 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))
317		fveq2 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑉‘𝑗) = (𝑉‘𝑖))
318	317	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑉‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
319	318	cbvmptv 5176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
320		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑚 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑚)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑚 + 1)))) = (℩𝑚 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑚)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑚 + 1))))
321		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠))
322		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → ((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎) = ((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))
323	322	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎)) = (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠)))
324	321, 323	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))))
325	324	cbvitgv 25762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
326	325	fveq2i 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
327	326	breq1i 5079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2))
328	327	anbi2i 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)))
329	324	cbvitgv 25762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
330	329	fveq2i 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
331	330	breq1i 5079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2) ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2))
332	328, 331	anbi12i 634	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)))
333	43, 44, 45, 76, 77, 78, 122, 132, 182, 213, 225, 236, 246, 254, 258, 261, 265, 271, 283, 284, 285, 286, 287, 311, 312, 313, 314, 316, 319, 320, 332	fourierdlem103 46652	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ⇝ (𝐿 / 2))
334		nnex 12171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
335	334	mptex 7167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ∈ V
336	28, 335	eqeltri 2835	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
337	336	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
338	268	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
339	338	itgeq2dv 25767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
340	339	cbvmptv 5176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
341	279	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
342	341	itgeq2dv 25767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠)
343	342	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π) = (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
344	343	cbvmptv 5176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
345		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (𝑒[,]π)) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (𝑒[,]π))
346		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))) = ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))
347		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1) = ((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)
348		isoeq1 7261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) ↔ 𝑣 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))))))
349	348	cbviotavw 6449	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))))) = (℩𝑣𝑣 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))
350		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑎 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑎)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑎 + 1)))) = (℩𝑎 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑎)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑎 + 1))))
351	324	cbvitgv 25762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
352	351	fveq2i 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
353	352	breq1i 5079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2) ↔ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2))
354	353	anbi2i 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)))
355	324	cbvitgv 25762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
356	355	fveq2i 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
357	356	breq1i 5079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2))
358	354, 357	anbi12i 634	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)))
359	43, 44, 45, 76, 77, 78, 122, 132, 182, 213, 225, 236, 246, 254, 258, 261, 265, 340, 344, 284, 285, 286, 287, 311, 345, 346, 347, 349, 319, 350, 358	fourierdlem104 46653	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ⇝ (𝑅 / 2))
360		eqidd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
361	270	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
362		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
363		elioore 13319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
364	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
365	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
366		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
367	365, 366	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
368	364, 367	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
369	368	adantlr 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
370	288	dirkerre 46538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
371	370	adantll 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
372	369, 371	remulcld 11166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
373	363, 372	sylan2 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
374		ioossicc 13377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
375	61	leidi 11675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ≤ -π
376	62, 54, 60	ltleii 11260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ π
377		iccss 13358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ -π ∧ 0 ≤ π)) → (-π[,]0) ⊆ (-π[,]π))
378	61, 54, 375, 376, 377	mp4an 699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-π[,]0) ⊆ (-π[,]π)
379	374, 378	sstri 3924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π)
380	379	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π))
381		ioombl 25550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)0) ∈ dom vol
382	381	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ∈ dom vol)
383	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
384	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
385	56, 55	iccssred 13378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
386	385	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
387	384, 386	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
388	383, 387	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
389	388	adantlr 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
390		iccssre 13373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
391	61, 54, 390	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
392	391	sseli 3911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
393	392, 370	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
394	393	adantll 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
395	389, 394	remulcld 11166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
396	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
397	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
398	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
399	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
400	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
401	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁))
402	122	adantlr 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
403	225	adantlr 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝑖)))
404	236	adantlr 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖)) + 1)), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
405	288	dirkercncf 46550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
406	405	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
407		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
408	396, 397, 398, 399, 45, 400, 401, 402, 403, 404, 319, 51, 406, 407	fourierdlem84 46633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
409	380, 382, 395, 408	iblss 25790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
410	373, 409	itgcl 25769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℂ)
411	360, 361, 362, 410	fvmptd 6943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
412	411, 410	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
413		eqidd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
414	339	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
415	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
416	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
417		elioore 13319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
418	417	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
419	416, 418	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
420	415, 419	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
421	420	adantlr 721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
422	417, 370	sylan2 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
423	422	adantll 720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
424	421, 423	remulcld 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
425		ioossicc 13377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
426	61, 62, 59	ltleii 11260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ≤ 0
427	54	leidi 11675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ≤ π
428		iccss 13358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 0 ∧ π ≤ π)) → (0[,]π) ⊆ (-π[,]π))
429	61, 54, 426, 427, 428	mp4an 699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0[,]π) ⊆ (-π[,]π)
430	425, 429	sstri 3924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)π) ⊆ (-π[,]π)
431	430	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ⊆ (-π[,]π))
432		ioombl 25550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)π) ∈ dom vol
433	432	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ∈ dom vol)
434	431, 433, 395, 408	iblss 25790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
435	424, 434	itgcl 25769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℂ)
436	413, 414, 362, 435	fvmptd 6943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
437	436, 435	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
438		eleq1w 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ))
439	438	anbi2d 636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)))
440		fveq2 6827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑍‘𝑚) = (𝑍‘𝑛))
441	270, 339	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
442	440, 441	eqeq12d 2755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ↔ (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)))
443	439, 442	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))))
444		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑥))
445	444	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑚 · 𝑥)))
446	445	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))))
447	446	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))))
448	447	itgeq2dv 25767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥)
449	448	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
450	449	cbvmptv 5176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
451	29, 450	eqtri 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
452		fourierdlem112.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
453	444	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑚 · 𝑥)))
454	453	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))))
455	454	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))))
456	455	itgeq2dv 25767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥)
457	456	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
458	457	cbvmptv 5176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
459	452, 458	eqtri 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
460		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑘))
461		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
462	461	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
463	460, 462	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
464		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑘))
465	461	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
466	464, 465	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
467	463, 466	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
468	467	cbvsumv 15649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
469	468	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
470	469	mpteq2i 5168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
471		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1...𝑚) = (1...𝑛))
472	471	sumeq1d 15653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
473	472	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
474	473	cbvmptv 5176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
475		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑚))
476		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
477	476	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) = (cos‘(𝑚 · 𝑋)))
478	475, 477	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))))
479		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
480	476	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) = (sin‘(𝑚 · 𝑋)))
481	479, 480	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))
482	478, 481	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋)))))
483	482	cbvsumv 15649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))
484	483	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋)))))
485	484	mpteq2i 5168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
486	474, 485	eqtri 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
487	28, 470, 486	3eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
488		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑦) = (𝑋 + 𝑥))
489	488	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
490		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐷‘𝑚)‘𝑦) = ((𝐷‘𝑚)‘𝑥))
491	489, 490	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑥)))
492	491	cbvmptv 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑥)))
493		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
494		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
495	494	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑄‘𝑖) − 𝑋))
496	495	cbvmptv 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑖) − 𝑋))
497	451, 459, 487, 288, 51, 52, 53, 146, 43, 92, 492, 103, 222, 233, 48, 493, 496	fourierdlem111 46660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
498	443, 497	chvarvv 1996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
499	411, 436	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛)) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
500	498, 499	eqtr4d 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛)))
501	16, 24, 27, 42, 14, 15, 333, 337, 359, 412, 437, 500	climaddf 46060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ ((𝐿 / 2) + (𝑅 / 2)))
502		limccl 25860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ⊆ ℂ
503	502, 285	sselid 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
504		limccl 25860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ⊆ ℂ
505	504, 284	sselid 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
506		2cnd 12250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
507		2pos 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
508	507	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
509	508	gt0ne0d 11705	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
510	503, 505, 506, 509	divdird 11960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 + 𝑅) / 2) = ((𝐿 / 2) + (𝑅 / 2)))
511	501, 510	breqtrrd 5100	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ ((𝐿 + 𝑅) / 2))
512		0nn0 12443	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
513	43	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
514		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-π(,)π) = (-π(,)π)
515		ioossre 13351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
516	515	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ ℝ)
517	43, 516	feqresmpt 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)))
518		ioossicc 13377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
519	518	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π))
520		ioombl 25550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ∈ dom vol
521	520	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ∈ dom vol)
522	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
523	385	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
524	522, 523	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
525	43, 385	feqresmpt 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹‘𝑥)))
526	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
527	43, 526	fssd 6672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
528	527, 385	fssresd 6694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)):(-π[,]π)⟶ℂ)
529		ioossicc 13377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
530	61	rexri 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -π ∈ ℝ*
531	530	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
532	54	rexri 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π ∈ ℝ*
533	532	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
534	51, 52, 53	fourierdlem15 46565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
535	534	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
536		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
537	531, 533, 535, 536	fourierdlem8 46558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
538	529, 537	sstrid 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
539	538	resabs1d 5960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
540	539, 103	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
541	539	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
542	541	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
543	222, 542	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
544	541	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
545	233, 544	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
546	51, 52, 53, 528, 540, 543, 545	fourierdlem69 46618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) ∈ 𝐿1)
547	525, 546	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
548	519, 521, 524, 547	iblss 25790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
549	517, 548	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
550	549	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
551		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
552	513, 514, 550, 29, 551	fourierdlem16 46566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((𝐴‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
553	552	simplld 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℝ)
554	512, 553	mpan2 697	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℝ)
555	554	rehalfcld 12415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℝ)
556	555	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℂ)
557	334	mptex 7167	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ∈ V
558	557	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ∈ V)
559		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
560	555	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℝ)
561		fzfid 13926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1...𝑚) ∈ Fin)
562		simpll 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → 𝜑)
563		elfznn 13498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
564	563	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
565		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
566	362	nnnn0d 12489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
567		eleq1w 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑛 ∈ ℕ0))
568	567	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))
569		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
570	569	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ))
571	568, 570	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)))
572	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
573	549	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
574		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
575	572, 514, 573, 29, 574	fourierdlem16 46566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
576	575	simplld 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
577	571, 576	chvarvv 1996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)
578	565, 566, 577	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)
579	362	nnred 12180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
580	579, 399	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℝ)
581	580	recoscld 16102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
582	578, 581	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
583		eleq1w 2822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ))
584	583	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)))
585		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑛))
586	585	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐵‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ))
587	584, 586	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)))
588	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
589	549	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
590		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
591	588, 514, 589, 452, 590	fourierdlem21 46571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐵‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
592	591	simplld 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
593	587, 592	chvarvv 1996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)
594	580	resincld 16101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
595	593, 594	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
596	582, 595	readdcld 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
597	562, 564, 596	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
598	561, 597	fsumrecl 15687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
599	560, 598	readdcld 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ ℝ)
600	28	fvmpt2 6947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ ℝ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
601	559, 599, 600	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
602	601, 599	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) ∈ ℝ)
603	602	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) ∈ ℂ)
604		eqidd 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
605		oveq2 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1...𝑛) = (1...𝑚))
606	605	sumeq1d 15653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
607	606	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑚) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
608		sumex 15641	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V
609	608	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V)
610	604, 607, 559, 609	fvmptd 6943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
611	560	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℂ)
612	598	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
613	611, 612	pncan2d 11498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
614	613, 468	eqtr2di 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)))
615		ovex 7389	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ V
616	28	fvmpt2 6947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ V) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
617	559, 615, 616	sylancl 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
618	617	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑍‘𝑚))
619	618	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)) = ((𝑍‘𝑚) − ((𝐴‘0) / 2)))
620	610, 614, 619	3eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑚) = ((𝑍‘𝑚) − ((𝐴‘0) / 2)))
621	14, 15, 511, 556, 558, 603, 620	climsubc1 15591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
622		seqex 13956	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ∈ V
623	622	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ∈ V)
624		eqidd 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
625		oveq2 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (1...𝑛) = (1...𝑙))
626	625	sumeq1d 15653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
627	626	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑙) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
628		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ)
629		fzfid 13926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (1...𝑙) ∈ Fin)
630		elfznn 13498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ)
631	630	nnnn0d 12489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ0)
632	631, 576	sylan2 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
633	630	nnred 12180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℝ)
634	633	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑘 ∈ ℝ)
635	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑋 ∈ ℝ)
636	634, 635	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
637	636	recoscld 16102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
638	632, 637	remulcld 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
639	630, 592	sylan2 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
640	636	resincld 16101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
641	639, 640	remulcld 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
642	638, 641	readdcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
643	642	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
644	629, 643	fsumrecl 15687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
645	624, 627, 628, 644	fvmptd 6943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑙) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
646		eleq1w 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑙 ∈ ℕ))
647	646	anbi2d 636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ)))
648		fveq2 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
649	626, 648	eqeq12d 2755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛) ↔ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙)))
650	647, 649	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))))
651		eqidd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))
652		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑘))
653		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
654	653	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (cos‘(𝑗 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
655	652, 654	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
656		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑘))
657	653	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (sin‘(𝑗 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
658	656, 657	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
659	655, 658	oveq12d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
660	659	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
661		elfznn 13498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
662	661	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
663		simpll 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
664		nnnn0 12435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
665		nn0re 12437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
666	665	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
667	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
668	666, 667	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
669	668	recoscld 16102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
670	576, 669	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
671	664, 670	sylan2 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
672	664, 668	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
673	672	resincld 16101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
674	592, 673	remulcld 11166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
675	671, 674	readdcld 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
676	663, 662, 675	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
677	651, 660, 662, 676	fvmptd 6943	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))‘𝑘) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
678	362, 14	eleqtrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
679	676	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
680	677, 678, 679	fsumser 15683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛))
681	650, 680	chvarvv 1996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
682	645, 681	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑙) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
683	14, 558, 623, 15, 682	climeq 15520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ↔ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))))
684	621, 683	mpbid 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
685	13, 684	eqbrtrd 5094	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
686		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))
687		fveq2 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑛))
688		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
689	688	fveq2d 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (cos‘(𝑗 · 𝑋)) = (cos‘(𝑛 · 𝑋)))
690	687, 689	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))
691		fveq2 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑛))
692	688	fveq2d 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (sin‘(𝑗 · 𝑋)) = (sin‘(𝑛 · 𝑋)))
693	691, 692	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
694	690, 693	oveq12d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
695	694	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑛) → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
696	686, 695, 362, 596	fvmptd 6943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))‘𝑛) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
697	596	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
698	14, 15, 696, 697, 684	isumclim 15710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
699	698	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))))
700	503, 505	addcld 11155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 + 𝑅) ∈ ℂ)
701	700	halfcld 12413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 + 𝑅) / 2) ∈ ℂ)
702	556, 701	pncan3d 11499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
703	699, 702	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
704	685, 703	jca 516	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391  Vcvv 3431  ⦋csb 3831   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ifcif 4454  {cpr 4557   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ran crn 5619   ↾ cres 5620  ℩cio 6439  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485   Isom wiso 6486  ℩crio 7312  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763  supcsup 9343  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  +∞cpnf 11167  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  (,)cioo 13289  (,]cioc 13290  [,]cicc 13292  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ⌊cfl 13740   mod cmo 13819  seqcseq 13954  ♯chash 14283  abscabs 15187   ⇝ cli 15437  Σcsu 15639  sincsin 16019  cosccos 16020  πcpi 16022  –cn→ccncf 24861  volcvol 25448  𝐿¹cibl 25602  ∫citg 25603   lim_ℂ climc 25847   D cdv 25848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-symdif 4181  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5040  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-t1 23297  df-haus 23298  df-cmp 23370  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-ovol 25449  df-vol 25450  df-mbf 25604  df-itg1 25605  df-itg2 25606  df-ibl 25607  df-itg 25608  df-0p 25655  df-ditg 25832  df-limc 25851  df-dv 25852

This theorem is referenced by:  fourierdlem113  46662