Theorem fourierdlem112 43301

Description: Here abbreviations (local definitions) are introduced to prove the fourier 43308 theorem. (𝑍‘𝑚) is the m_th partial sum of the fourier series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem112.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem112.d	⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
fourierdlem112.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem112.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem112.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem112.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
fourierdlem112.v	⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
fourierdlem112.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem112.xran	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem112.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem112.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem112.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem112.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem112.u	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem112.fdvcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem112.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem112.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem112.z	⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
fourierdlem112.23	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
fourierdlem112.fbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
fourierdlem112.fdvbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
fourierdlem112.25	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem112	⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   𝐵,𝑘,𝑚,𝑛   𝑡,𝐶,𝑚   𝑥,𝐶,𝑚   𝐷,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑖,𝐹,𝑡,𝑧   𝑦,𝐹,𝑡,𝑘,𝑚   𝑧,𝑘,𝑚   𝑛,𝐹   𝑤,𝐹,𝑖,𝑡,𝑧   𝑥,𝐹   𝑖,𝐿,𝑡,𝑧,𝑘,𝑚   𝑛,𝐿   𝑤,𝐿   𝑓,𝑀,𝑖,𝑡,𝑦,𝑚   𝑛,𝑀,𝑥   𝑀,𝑝,𝑖,𝑛,𝑦   𝑖,𝑁,𝑡,𝑤,𝑧   𝑓,𝑁,𝑦,𝑚   𝑛,𝑁,𝑝   𝑥,𝑁,𝑓   𝑄,𝑓,𝑖,𝑡,𝑦,𝑘,𝑚   𝑄,𝑛,𝑥   𝑄,𝑝,𝑘   𝑅,𝑖,𝑡,𝑧,𝑘,𝑚   𝑅,𝑛   𝑤,𝑅   𝑇,𝑓,𝑡,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚   𝑇,𝑛,𝑥   𝑇,𝑝   𝑡,𝑈,𝑚   𝑥,𝑈   𝑖,𝑉,𝑡,𝑤,𝑧   𝑓,𝑉,𝑘,𝑚   𝑛,𝑉,𝑝   𝑥,𝑉   𝑖,𝑋,𝑡,𝑧   𝑓,𝑋,𝑦,𝑘,𝑚   𝑛,𝑋,𝑝   𝑤,𝑋   𝑥,𝑋   𝑚,𝑍   𝜑,𝑖,𝑡,𝑤,𝑧   𝜑,𝑓,𝑘,𝑚,𝑦   𝜑,𝑛   𝑤,𝑚   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑝)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑘,𝑛,𝑝)   𝐷(𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑄(𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑇(𝑧,𝑤)   𝑈(𝑦,𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑘,𝑛,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑝)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑓,𝑝)   𝑀(𝑧,𝑤,𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem112

Dummy variables 𝑗 𝑙 𝑎 𝑠 𝑏 𝑒 𝑔 𝑐 𝑢 𝑞 𝑟 𝑣 ℎ 𝑑 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem112.23	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
2		fveq2 6674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑗))
3		oveq1 7177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑗 · 𝑋))
4	3	fveq2d 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑗 · 𝑋)))
5	2, 4	oveq12d 7188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))))
6		fveq2 6674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑗))
7	3	fveq2d 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑗 · 𝑋)))
8	6, 7	oveq12d 7188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))
9	5, 8	oveq12d 7188	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
10	9	cbvmptv 5133	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
11	1, 10	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
12		seqeq3 13465	. . . 4 ⊢ (𝑆 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))))
13	11, 12	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))))
14		nnuz 12363	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15		1zzd 12094	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		nfv 1921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
17		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
18		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(-π(,)0)
19		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))
20		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
21		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐷‘𝑚)‘𝑠)
22	19, 20, 21	nfov 7200	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠))
23	18, 22	nfitg 24527	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠
24	17, 23	nfmpt 5127	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
25		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(0(,)π)
26	25, 22	nfitg 24527	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠
27	17, 26	nfmpt 5127	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
28		fourierdlem112.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
29		fourierdlem112.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
30		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
31	29, 30	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
32		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛0
33	31, 32	nffv 6684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘0)
34		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 /
35		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛2
36	33, 34, 35	nfov 7200	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐴‘0) / 2)
37		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 +
38		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(1...𝑚)
39	38	nfsum1 15139	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
40	36, 37, 39	nfov 7200	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
41	17, 40	nfmpt 5127	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
42	28, 41	nfcxfr 2897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
43		fourierdlem112.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
44		fourierdlem112.25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
45		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
46		picn 25204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
47	46	2timesi 11854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) = (π + π)
48		fourierdlem112.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
49	46, 46	subnegi 11043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π − -π) = (π + π)
50	47, 48, 49	3eqtr4i 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (π − -π)
51		fourierdlem112.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
52		fourierdlem112.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
53		fourierdlem112.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
54		pire 25203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
56	55	renegcld 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
57	56, 44	readdcld 10748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
58	55, 44	readdcld 10748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
59		negpilt0 42356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π < 0
60		pipos 25205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
61	54	renegcli 11025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
62		0re 10721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
63	61, 62, 54	lttri 10844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
64	59, 60, 63	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π < π
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -π < π)
66	56, 55, 44, 65	ltadd1dd 11329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) < (π + 𝑋))
67		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
68	67	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
69	68	rexbidv 3207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
70	69	cbvrabv 3393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
71	70	uneq2i 4050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
72		fourierdlem112.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = ((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
73		fourierdlem112.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
74	50, 51, 52, 53, 57, 58, 66, 45, 71, 72, 73	fourierdlem54 43243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁)) ∧ 𝑉 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
75	74	simpld 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁)))
76	75	simpld 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
77	75	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁))
78		fourierdlem112.xran	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
79	43	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
80		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘𝑗))
81		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
82	81	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
83	80, 82	breq12d 5043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
84	83	cbvralvw 3349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
85	84	anbi2i 626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) → ((((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
87	86	rabbiia 3373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}
88	87	mpteq2i 5122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
89	51, 88	eqtri 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
90	52	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
91	53	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
92		fourierdlem112.fper	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
93	92	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
94		eleq1w 2815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
95	94	anbi2d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
96		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗))
97	81	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
98	96, 97	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
99	98	reseq2d 5825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
100	98	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) = (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
101	99, 100	eleq12d 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ)))
102	95, 101	imbi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))))
103		fourierdlem112.fcn	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
104	102, 103	chvarvv 2010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
105	104	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
106	57	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
107	57	rexrd 10769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ*)
108		pnfxr 10773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
110	58	ltpnfd 12599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) < +∞)
111	107, 109, 58, 66, 110	eliood 42576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
112	111	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
113		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
114	72	oveq2i 7181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1))
115	113, 114	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
116	115	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
117	72	oveq2i 7181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...𝑁) = (0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1))
118		isoeq4 7086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0...𝑁) = (0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
119	117, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
120	119	iotabii 6324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
121	73, 120	eqtri 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
122	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 106, 112, 116, 121	fourierdlem98 43287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
123		fourierdlem112.fbd	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
124	123	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
125		nfra1 3131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤
126		elioore 12851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
127		rspa 3119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
128	126, 127	sylan2 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
129	128	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
130	125, 129	ralrimi 3128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
131	130	reximi 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
132	124, 131	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
133		ssid 3899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
134		dvfre 24703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
135	43, 133, 134	sylancl 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
136	135	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
137		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
138	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ)
139	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ)
140	98	reseq2d 5825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
141	140, 100	eleq12d 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ)))
142	95, 141	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))))
143		fourierdlem112.fdvcn	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
144	142, 143	chvarvv 2010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
145	144	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
146		fourierdlem112.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
147	56, 146	readdcld 10748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
148	147	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
149	147	rexrd 10769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ*)
150	55, 146	readdcld 10748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
151	56, 55, 146, 65	ltadd1dd 11329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) < (π + 𝑋))
152	150	ltpnfd 12599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) < +∞)
153	149, 109, 150, 151, 152	eliood 42576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
154	153	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
155		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑘 · 𝑇) = (ℎ · 𝑇))
156	155	oveq2d 7186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (ℎ · 𝑇)))
157	156	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = ℎ → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
158	157	cbvrexvw 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
159	158	rgenw 3065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∀𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋))(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
160		rabbi 3286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋))(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
161	159, 160	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
162	161	uneq2i 4050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
163		isoeq5 7087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
164	162, 163	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
165	164	iotabii 6324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
166	121, 165	eqtri 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
167		eleq1w 2815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹)))
168		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑣) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑢))
169	167, 168	ifbieq1d 4438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → if(𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑣), 0) = if(𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑢), 0))
170	169	cbvmptv 5133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ if(𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑣), 0)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑢), 0))
171	79, 137, 89, 138, 139, 50, 90, 91, 93, 145, 148, 154, 116, 166, 170	fourierdlem97 43286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
172		cncff 23645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
173		fdm 6513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
174	171, 172, 173	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
175		ssdmres 5848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
176	174, 175	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
177	136, 176	fssresd 6545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
178		ax-resscn 10672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
180		cncffvrn 23650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ))
181	179, 171, 180	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ))
182	177, 181	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
183		fourierdlem112.fdvbd	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
184	183	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
185		nfv 1921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
186		nfra1 3131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
187	185, 186	nfan 1906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
188		fvres 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
189	188	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
190	189	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
191	190	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
192		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
193	176	sselda 3877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
194	193	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
195		rspa 3119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
196	192, 194, 195	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
197	191, 196	eqbrtrd 5052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
198	197	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
199	187, 198	ralrimi 3128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
200	199	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
201	200	reximdv 3183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
202	184, 201	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
203		nfra1 3131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧
204	188	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡))
205	204	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) = (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)))
206	205	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) = (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)))
207		rspa 3119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
208	206, 207	eqbrtrd 5052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
209	208	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
210	203, 209	ralrimi 3128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
212	211	reximdv 3183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
213	202, 212	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
214		nfv 1921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
215		nfcsb1v 3814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶
216	215	nfel1 2915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗))
217	214, 216	nfim 1903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
218		csbeq1a 3804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)
219	99, 96	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
220	218, 219	eleq12d 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗))))
221	95, 220	imbi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))))
222		fourierdlem112.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
223	217, 221, 222	chvarfv 2242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
224	223	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
225	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 224, 106, 112, 116, 121	fourierdlem96 43285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝑖)))
226		nfcsb1v 3814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈
227	226	nfel1 2915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
228	214, 227	nfim 1903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
229		csbeq1a 3804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝑈 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)
230	99, 97	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
231	229, 230	eleq12d 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1)))))
232	95, 231	imbi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))))
233		fourierdlem112.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
234	228, 232, 233	chvarfv 2242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
235	234	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
236	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 235, 148, 154, 116, 121	fourierdlem99 43288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖)) + 1)), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
237		eqeq1 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝑔 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
238		oveq2 7178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑔) = (𝑋 + 𝑠))
239	238	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
240		breq2 5034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (0 < 𝑔 ↔ 0 < 𝑠))
241	240	ifbid 4437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿) = if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿))
242	239, 241	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)))
243		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → 𝑔 = 𝑠)
244	242, 243	oveq12d 7188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠))
245	237, 244	ifbieq2d 4440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠)))
246	245	cbvmptv 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠)))
247		eqeq1 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
248		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → 𝑜 = 𝑠)
249		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 / 2) = (𝑠 / 2))
250	249	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (sin‘(𝑜 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
251	250	oveq2d 7186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑜 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
252	248, 251	oveq12d 7188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
253	247, 252	ifbieq2d 4440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
254	253	cbvmptv 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
255		fveq2 6674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) = ((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠))
256		fveq2 6674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟) = ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠))
257	255, 256	oveq12d 7188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)) = (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠)))
258	257	cbvmptv 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠)))
259		oveq2 7178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑠 → ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
260	259	fveq2d 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑠 → (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
261	260	cbvmptv 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
262		fveq2 6674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠))
263		fveq2 6674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧) = ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠))
264	262, 263	oveq12d 7188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠)))
265	264	cbvmptv 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠)))
266		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐷‘𝑚) = (𝐷‘𝑛))
267	266	fveq1d 6676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐷‘𝑚)‘𝑠) = ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))
268	267	oveq2d 7186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
269	268	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
270	269	itgeq2dv 24534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
271	270	cbvmptv 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
272		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑐 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
273	272	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))
274	273	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))
275	274	mpteq2dv 5126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑))) = (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))))
276	275	fveq1d 6676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧) = ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))
277	276	oveq2d 7186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))
278	277	mpteq2dv 5126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))))
279	278	fveq1d 6676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
280	279	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
281	280	itgeq2dv 24534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠)
282	281	oveq1d 7185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π) = (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
283	282	cbvmptv 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
284		fourierdlem112.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
285		fourierdlem112.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
286		fourierdlem112.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
287		fourierdlem112.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
288		fourierdlem112.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
289		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 mod (2 · π)) = (𝑠 mod (2 · π)))
290	289	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 mod (2 · π)) = 0))
291		oveq2 7178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠))
292	291	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)))
293		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / 2) = (𝑠 / 2))
294	293	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
295	294	oveq2d 7186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
296	292, 295	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
297	290, 296	ifbieq2d 4440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
298	297	cbvmptv 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
299		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑚 = 𝑘)
300	299	oveq2d 7186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑘))
301	300	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
302	301	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)))
303	299	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑚 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
304	303	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
305	304	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
306	305	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
307	302, 306	ifeq12d 4435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
308	307	mpteq2dva 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
309	298, 308	syl5eq 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
310	309	cbvmptv 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
311	288, 310	eqtri 2761	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
312		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (-π[,]𝑙)) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (-π[,]𝑙))
313		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))) = ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))
314		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1) = ((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)
315		isoeq1 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) ↔ 𝑤 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))))))
316	315	cbviotavw 6305	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))))) = (℩𝑤𝑤 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))
317		fveq2 6674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑉‘𝑗) = (𝑉‘𝑖))
318	317	oveq1d 7185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑉‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
319	318	cbvmptv 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
320		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑚 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑚)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑚 + 1)))) = (℩𝑚 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑚)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑚 + 1))))
321		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠))
322		oveq2 7178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → ((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎) = ((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))
323	322	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎)) = (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠)))
324	321, 323	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))))
325	324	cbvitgv 24529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
326	325	fveq2i 6677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
327	326	breq1i 5037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2))
328	327	anbi2i 626	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)))
329	324	cbvitgv 24529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
330	329	fveq2i 6677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
331	330	breq1i 5037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2) ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2))
332	328, 331	anbi12i 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)))
333	43, 44, 45, 76, 77, 78, 122, 132, 182, 213, 225, 236, 246, 254, 258, 261, 265, 271, 283, 284, 285, 286, 287, 311, 312, 313, 314, 316, 319, 320, 332	fourierdlem103 43292	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ⇝ (𝐿 / 2))
334		nnex 11722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
335	334	mptex 6996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ∈ V
336	28, 335	eqeltri 2829	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
337	336	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
338	268	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
339	338	itgeq2dv 24534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
340	339	cbvmptv 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
341	279	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
342	341	itgeq2dv 24534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠)
343	342	oveq1d 7185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π) = (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
344	343	cbvmptv 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
345		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (𝑒[,]π)) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (𝑒[,]π))
346		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))) = ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))
347		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1) = ((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)
348		isoeq1 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) ↔ 𝑣 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))))))
349	348	cbviotavw 6305	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))))) = (℩𝑣𝑣 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))
350		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑎 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑎)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑎 + 1)))) = (℩𝑎 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑎)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑎 + 1))))
351	324	cbvitgv 24529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
352	351	fveq2i 6677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
353	352	breq1i 5037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2) ↔ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2))
354	353	anbi2i 626	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)))
355	324	cbvitgv 24529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
356	355	fveq2i 6677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
357	356	breq1i 5037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2))
358	354, 357	anbi12i 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)))
359	43, 44, 45, 76, 77, 78, 122, 132, 182, 213, 225, 236, 246, 254, 258, 261, 265, 340, 344, 284, 285, 286, 287, 311, 345, 346, 347, 349, 319, 350, 358	fourierdlem104 43293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ⇝ (𝑅 / 2))
360		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
361	270	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
362		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
363		elioore 12851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
364	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
365	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
366		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
367	365, 366	readdcld 10748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
368	364, 367	ffvelrnd 6862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
369	368	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
370	288	dirkerre 43178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
371	370	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
372	369, 371	remulcld 10749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
373	363, 372	sylan2 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
374		ioossicc 12907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
375	61	leidi 11252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ≤ -π
376	62, 54, 60	ltleii 10841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ π
377		iccss 12889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ -π ∧ 0 ≤ π)) → (-π[,]0) ⊆ (-π[,]π))
378	61, 54, 375, 376, 377	mp4an 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-π[,]0) ⊆ (-π[,]π)
379	374, 378	sstri 3886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π)
380	379	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π))
381		ioombl 24317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)0) ∈ dom vol
382	381	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ∈ dom vol)
383	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
384	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
385	56, 55	iccssred 12908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
386	385	sselda 3877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
387	384, 386	readdcld 10748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
388	383, 387	ffvelrnd 6862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
389	388	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
390		iccssre 12903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
391	61, 54, 390	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
392	391	sseli 3873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
393	392, 370	sylan2 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
394	393	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
395	389, 394	remulcld 10749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
396	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
397	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
398	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
399	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
400	76	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
401	77	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁))
402	122	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
403	225	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝑖)))
404	236	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖)) + 1)), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
405	288	dirkercncf 43190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
406	405	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
407		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
408	396, 397, 398, 399, 45, 400, 401, 402, 403, 404, 319, 51, 406, 407	fourierdlem84 43273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
409	380, 382, 395, 408	iblss 24557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
410	373, 409	itgcl 24536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℂ)
411	360, 361, 362, 410	fvmptd 6782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
412	411, 410	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
413		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
414	339	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
415	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
416	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
417		elioore 12851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
418	417	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
419	416, 418	readdcld 10748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
420	415, 419	ffvelrnd 6862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
421	420	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
422	417, 370	sylan2 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
423	422	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
424	421, 423	remulcld 10749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
425		ioossicc 12907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
426	61, 62, 59	ltleii 10841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ≤ 0
427	54	leidi 11252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ≤ π
428		iccss 12889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 0 ∧ π ≤ π)) → (0[,]π) ⊆ (-π[,]π))
429	61, 54, 426, 427, 428	mp4an 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0[,]π) ⊆ (-π[,]π)
430	425, 429	sstri 3886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)π) ⊆ (-π[,]π)
431	430	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ⊆ (-π[,]π))
432		ioombl 24317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)π) ∈ dom vol
433	432	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ∈ dom vol)
434	431, 433, 395, 408	iblss 24557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
435	424, 434	itgcl 24536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℂ)
436	413, 414, 362, 435	fvmptd 6782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
437	436, 435	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
438		eleq1w 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ))
439	438	anbi2d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)))
440		fveq2 6674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑍‘𝑚) = (𝑍‘𝑛))
441	270, 339	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
442	440, 441	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ↔ (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)))
443	439, 442	imbi12d 348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))))
444		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑥))
445	444	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑚 · 𝑥)))
446	445	oveq2d 7186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))))
447	446	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))))
448	447	itgeq2dv 24534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥)
449	448	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
450	449	cbvmptv 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
451	29, 450	eqtri 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
452		fourierdlem112.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
453	444	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑚 · 𝑥)))
454	453	oveq2d 7186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))))
455	454	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))))
456	455	itgeq2dv 24534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥)
457	456	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
458	457	cbvmptv 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
459	452, 458	eqtri 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
460		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑘))
461		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
462	461	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
463	460, 462	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
464		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑘))
465	461	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
466	464, 465	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
467	463, 466	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
468	467	cbvsumv 15146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
469	468	oveq2i 7181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
470	469	mpteq2i 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
471		oveq2 7178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1...𝑚) = (1...𝑛))
472	471	sumeq1d 15151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
473	472	oveq2d 7186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
474	473	cbvmptv 5133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
475		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑚))
476		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
477	476	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) = (cos‘(𝑚 · 𝑋)))
478	475, 477	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))))
479		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
480	476	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) = (sin‘(𝑚 · 𝑋)))
481	479, 480	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))
482	478, 481	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋)))))
483	482	cbvsumv 15146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))
484	483	oveq2i 7181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋)))))
485	484	mpteq2i 5122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
486	474, 485	eqtri 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
487	28, 470, 486	3eqtri 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
488		oveq2 7178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑦) = (𝑋 + 𝑥))
489	488	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
490		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐷‘𝑚)‘𝑦) = ((𝐷‘𝑚)‘𝑥))
491	489, 490	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑥)))
492	491	cbvmptv 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑥)))
493		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
494		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
495	494	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑄‘𝑖) − 𝑋))
496	495	cbvmptv 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑖) − 𝑋))
497	451, 459, 487, 288, 51, 52, 53, 146, 43, 92, 492, 103, 222, 233, 48, 493, 496	fourierdlem111 43300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
498	443, 497	chvarvv 2010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
499	411, 436	oveq12d 7188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛)) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
500	498, 499	eqtr4d 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛)))
501	16, 24, 27, 42, 14, 15, 333, 337, 359, 412, 437, 500	climaddf 42698	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ ((𝐿 / 2) + (𝑅 / 2)))
502		limccl 24627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ⊆ ℂ
503	502, 285	sseldi 3875	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
504		limccl 24627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ⊆ ℂ
505	504, 284	sseldi 3875	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
506		2cnd 11794	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
507		2pos 11819	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
508	507	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
509	508	gt0ne0d 11282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
510	503, 505, 506, 509	divdird 11532	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 + 𝑅) / 2) = ((𝐿 / 2) + (𝑅 / 2)))
511	501, 510	breqtrrd 5058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ ((𝐿 + 𝑅) / 2))
512		0nn0 11991	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
513	43	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
514		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-π(,)π) = (-π(,)π)
515		ioossre 12882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
516	515	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ ℝ)
517	43, 516	feqresmpt 6738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)))
518		ioossicc 12907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
519	518	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π))
520		ioombl 24317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ∈ dom vol
521	520	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ∈ dom vol)
522	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
523	385	sselda 3877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
524	522, 523	ffvelrnd 6862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
525	43, 385	feqresmpt 6738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹‘𝑥)))
526	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
527	43, 526	fssd 6522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
528	527, 385	fssresd 6545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)):(-π[,]π)⟶ℂ)
529		ioossicc 12907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
530	61	rexri 10777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -π ∈ ℝ*
531	530	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
532	54	rexri 10777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π ∈ ℝ*
533	532	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
534	51, 52, 53	fourierdlem15 43205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
535	534	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
536		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
537	531, 533, 535, 536	fourierdlem8 43198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
538	529, 537	sstrid 3888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
539	538	resabs1d 5856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
540	539, 103	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
541	539	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
542	541	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
543	222, 542	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
544	541	oveq1d 7185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
545	233, 544	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
546	51, 52, 53, 528, 540, 543, 545	fourierdlem69 43258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) ∈ 𝐿1)
547	525, 546	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
548	519, 521, 524, 547	iblss 24557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
549	517, 548	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
550	549	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
551		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
552	513, 514, 550, 29, 551	fourierdlem16 43206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((𝐴‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
553	552	simplld 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℝ)
554	512, 553	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℝ)
555	554	rehalfcld 11963	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℝ)
556	555	recnd 10747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℂ)
557	334	mptex 6996	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ∈ V
558	557	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ∈ V)
559		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
560	555	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℝ)
561		fzfid 13432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1...𝑚) ∈ Fin)
562		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → 𝜑)
563		elfznn 13027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
564	563	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
565		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
566	362	nnnn0d 12036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
567		eleq1w 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑛 ∈ ℕ0))
568	567	anbi2d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))
569		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
570	569	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ))
571	568, 570	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)))
572	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
573	549	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
574		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
575	572, 514, 573, 29, 574	fourierdlem16 43206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
576	575	simplld 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
577	571, 576	chvarvv 2010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)
578	565, 566, 577	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)
579	362	nnred 11731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
580	579, 399	remulcld 10749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℝ)
581	580	recoscld 15589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
582	578, 581	remulcld 10749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
583		eleq1w 2815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ))
584	583	anbi2d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)))
585		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑛))
586	585	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐵‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ))
587	584, 586	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)))
588	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
589	549	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
590		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
591	588, 514, 589, 452, 590	fourierdlem21 43211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐵‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
592	591	simplld 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
593	587, 592	chvarvv 2010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)
594	580	resincld 15588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
595	593, 594	remulcld 10749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
596	582, 595	readdcld 10748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
597	562, 564, 596	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
598	561, 597	fsumrecl 15184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
599	560, 598	readdcld 10748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ ℝ)
600	28	fvmpt2 6786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ ℝ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
601	559, 599, 600	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
602	601, 599	eqeltrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) ∈ ℝ)
603	602	recnd 10747	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) ∈ ℂ)
604		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
605		oveq2 7178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1...𝑛) = (1...𝑚))
606	605	sumeq1d 15151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
607	606	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑚) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
608		sumex 15137	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V
609	608	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V)
610	604, 607, 559, 609	fvmptd 6782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
611	560	recnd 10747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℂ)
612	598	recnd 10747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
613	611, 612	pncan2d 11077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
614	613, 468	eqtr2di 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)))
615		ovex 7203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ V
616	28	fvmpt2 6786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ V) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
617	559, 615, 616	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
618	617	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑍‘𝑚))
619	618	oveq1d 7185	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)) = ((𝑍‘𝑚) − ((𝐴‘0) / 2)))
620	610, 614, 619	3eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑚) = ((𝑍‘𝑚) − ((𝐴‘0) / 2)))
621	14, 15, 511, 556, 558, 603, 620	climsubc1 15085	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
622		seqex 13462	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ∈ V
623	622	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ∈ V)
624		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
625		oveq2 7178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (1...𝑛) = (1...𝑙))
626	625	sumeq1d 15151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
627	626	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑙) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
628		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ)
629		fzfid 13432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (1...𝑙) ∈ Fin)
630		elfznn 13027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ)
631	630	nnnn0d 12036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ0)
632	631, 576	sylan2 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
633	630	nnred 11731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℝ)
634	633	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑘 ∈ ℝ)
635	146	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑋 ∈ ℝ)
636	634, 635	remulcld 10749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
637	636	recoscld 15589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
638	632, 637	remulcld 10749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
639	630, 592	sylan2 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
640	636	resincld 15588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
641	639, 640	remulcld 10749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
642	638, 641	readdcld 10748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
643	642	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
644	629, 643	fsumrecl 15184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
645	624, 627, 628, 644	fvmptd 6782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑙) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
646		eleq1w 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑙 ∈ ℕ))
647	646	anbi2d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ)))
648		fveq2 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
649	626, 648	eqeq12d 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛) ↔ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙)))
650	647, 649	imbi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))))
651		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))
652		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑘))
653		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
654	653	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (cos‘(𝑗 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
655	652, 654	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
656		fveq2 6674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑘))
657	653	fveq2d 6678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (sin‘(𝑗 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
658	656, 657	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
659	655, 658	oveq12d 7188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
660	659	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
661		elfznn 13027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
662	661	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
663		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
664		nnnn0 11983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
665		nn0re 11985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
666	665	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
667	146	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
668	666, 667	remulcld 10749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
669	668	recoscld 15589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
670	576, 669	remulcld 10749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
671	664, 670	sylan2 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
672	664, 668	sylan2 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
673	672	resincld 15588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
674	592, 673	remulcld 10749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
675	671, 674	readdcld 10748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
676	663, 662, 675	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
677	651, 660, 662, 676	fvmptd 6782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))‘𝑘) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
678	362, 14	eleqtrdi 2843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
679	676	recnd 10747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
680	677, 678, 679	fsumser 15180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛))
681	650, 680	chvarvv 2010	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
682	645, 681	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑙) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
683	14, 558, 623, 15, 682	climeq 15014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ↔ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))))
684	621, 683	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
685	13, 684	eqbrtrd 5052	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
686		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))
687		fveq2 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑛))
688		oveq1 7177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
689	688	fveq2d 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (cos‘(𝑗 · 𝑋)) = (cos‘(𝑛 · 𝑋)))
690	687, 689	oveq12d 7188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))
691		fveq2 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑛))
692	688	fveq2d 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (sin‘(𝑗 · 𝑋)) = (sin‘(𝑛 · 𝑋)))
693	691, 692	oveq12d 7188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
694	690, 693	oveq12d 7188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
695	694	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑛) → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
696	686, 695, 362, 596	fvmptd 6782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))‘𝑛) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
697	596	recnd 10747	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
698	14, 15, 696, 697, 684	isumclim 15205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
699	698	oveq2d 7186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))))
700	503, 505	addcld 10738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 + 𝑅) ∈ ℂ)
701	700	halfcld 11961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 + 𝑅) / 2) ∈ ℂ)
702	556, 701	pncan3d 11078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
703	699, 702	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
704	685, 703	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3053  ∃wrex 3054  {crab 3057  Vcvv 3398  ⦋csb 3790   ∪ cun 3841   ∩ cin 3842   ⊆ wss 3843  ifcif 4414  {cpr 4518   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5525  ran crn 5526   ↾ cres 5527  ℩cio 6295  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339   Isom wiso 6340  ℩crio 7126  (class class class)co 7170   ↑_m cmap 8437  supcsup 8977  ℂcc 10613  ℝcr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620  +∞cpnf 10750  -∞cmnf 10751  ℝ^*cxr 10752   < clt 10753   ≤ cle 10754   − cmin 10948  -cneg 10949   / cdiv 11375  ℕcn 11716  2c2 11771  ℕ₀cn0 11976  ℤcz 12062  ℤ_≥cuz 12324  ℝ⁺crp 12472  (,)cioo 12821  (,]cioc 12822  [,]cicc 12824  ...cfz 12981  ..^cfzo 13124  ⌊cfl 13251   mod cmo 13328  seqcseq 13460  ♯chash 13782  abscabs 14683   ⇝ cli 14931  Σcsu 15135  sincsin 15509  cosccos 15510  πcpi 15512  –cn→ccncf 23628  volcvol 24215  𝐿¹cibl 24369  ∫citg 24370   lim_ℂ climc 24614   D cdv 24615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cc 9935  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-symdif 4133  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-omul 8136  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-dju 9403  df-card 9441  df-acn 9444  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-pi 15518  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-t1 22065  df-haus 22066  df-cmp 22138  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-ovol 24216  df-vol 24217  df-mbf 24371  df-itg1 24372  df-itg2 24373  df-ibl 24374  df-itg 24375  df-0p 24422  df-ditg 24599  df-limc 24618  df-dv 24619

This theorem is referenced by:  fourierdlem113  43302