Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem112 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem112 44533
Description: Here abbreviations (local definitions) are introduced to prove the fourier 44540 theorem. (π‘β€˜π‘š) is the mth partial sum of the fourier series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem112.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem112.d 𝐷 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
fourierdlem112.p 𝑃 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem112.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem112.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem112.n 𝑁 = ((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)
fourierdlem112.v 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
fourierdlem112.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem112.xran (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem112.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
fourierdlem112.fper ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourierdlem112.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem112.c ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
fourierdlem112.u ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘ˆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem112.fdvcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem112.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem112.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem112.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem112.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem112.a 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fourierdlem112.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
fourierdlem112.z 𝑍 = (π‘š ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))))
fourierdlem112.23 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
fourierdlem112.fbd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
fourierdlem112.fdvbd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
fourierdlem112.25 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem112 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,π‘š,𝑛   𝐡,π‘˜,π‘š,𝑛   𝑑,𝐢,π‘š   π‘₯,𝐢,π‘š   𝐷,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑖,𝐹,𝑑,𝑧   𝑦,𝐹,𝑑,π‘˜,π‘š   𝑧,π‘˜,π‘š   𝑛,𝐹   𝑀,𝐹,𝑖,𝑑,𝑧   π‘₯,𝐹   𝑖,𝐿,𝑑,𝑧,π‘˜,π‘š   𝑛,𝐿   𝑀,𝐿   𝑓,𝑀,𝑖,𝑑,𝑦,π‘š   𝑛,𝑀,π‘₯   𝑀,𝑝,𝑖,𝑛,𝑦   𝑖,𝑁,𝑑,𝑀,𝑧   𝑓,𝑁,𝑦,π‘š   𝑛,𝑁,𝑝   π‘₯,𝑁,𝑓   𝑄,𝑓,𝑖,𝑑,𝑦,π‘˜,π‘š   𝑄,𝑛,π‘₯   𝑄,𝑝,π‘˜   𝑅,𝑖,𝑑,𝑧,π‘˜,π‘š   𝑅,𝑛   𝑀,𝑅   𝑇,𝑓,𝑑,𝑦,𝑖,π‘˜,π‘š   𝑇,𝑛,π‘₯   𝑇,𝑝   𝑑,π‘ˆ,π‘š   π‘₯,π‘ˆ   𝑖,𝑉,𝑑,𝑀,𝑧   𝑓,𝑉,π‘˜,π‘š   𝑛,𝑉,𝑝   π‘₯,𝑉   𝑖,𝑋,𝑑,𝑧   𝑓,𝑋,𝑦,π‘˜,π‘š   𝑛,𝑋,𝑝   𝑀,𝑋   π‘₯,𝑋   π‘š,𝑍   πœ‘,𝑖,𝑑,𝑀,𝑧   πœ‘,𝑓,π‘˜,π‘š,𝑦   πœ‘,𝑛   𝑀,π‘š   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑝)   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑑,𝑓,𝑖,𝑝)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑑,𝑓,𝑖,𝑝)   𝐢(𝑦,𝑧,𝑀,𝑓,𝑖,π‘˜,𝑛,𝑝)   𝐷(𝑧,𝑀,𝑑,𝑓,𝑝)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑑,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝)   𝑄(𝑧,𝑀)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑝)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑑,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝)   𝑇(𝑧,𝑀)   π‘ˆ(𝑦,𝑧,𝑀,𝑓,𝑖,π‘˜,𝑛,𝑝)   𝐸(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑑,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑝)   𝐼(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑑,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝)   𝐿(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑝)   𝑀(𝑧,𝑀,π‘˜)   𝑁(π‘˜)   𝑉(𝑦)   𝑍(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑑,𝑓,𝑖,π‘˜,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem112
Dummy variables 𝑗 𝑙 π‘Ž 𝑠 𝑏 𝑒 𝑔 𝑐 𝑒 π‘ž π‘Ÿ 𝑣 β„Ž 𝑑 π‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem112.23 . . . . 5 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
2 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜π‘—))
3 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 β†’ (𝑛 Β· 𝑋) = (𝑗 Β· 𝑋))
43fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 β†’ (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)) = (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))
52, 4oveq12d 7380 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = ((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))
6 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 β†’ (π΅β€˜π‘›) = (π΅β€˜π‘—))
73fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)) = (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))
86, 7oveq12d 7380 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))
95, 8oveq12d 7380 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 β†’ (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) = (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))))
109cbvmptv 5223 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))))
111, 10eqtri 2765 . . . 4 𝑆 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))))
12 seqeq3 13918 . . . 4 (𝑆 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))) β†’ seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))))))
1311, 12mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))))))
14 nnuz 12813 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
15 1zzd 12541 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
16 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘›πœ‘
17 nfcv 2908 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛ℕ
18 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(-Ο€(,)0)
19 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))
20 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛 Β·
21 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )
2219, 20, 21nfov 7392 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ ))
2318, 22nfitg 25155 . . . . . . . 8 β„²π‘›βˆ«(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠
2417, 23nfmpt 5217 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛(π‘š ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)
25 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(0(,)Ο€)
2625, 22nfitg 25155 . . . . . . . 8 β„²π‘›βˆ«(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠
2717, 26nfmpt 5217 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛(π‘š ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)
28 fourierdlem112.z . . . . . . . 8 𝑍 = (π‘š ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))))
29 fourierdlem112.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
30 nfmpt1 5218 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
3129, 30nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛𝐴
32 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛0
3331, 32nffv 6857 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛(π΄β€˜0)
34 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛 /
35 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛2
3633, 34, 35nfov 7392 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛((π΄β€˜0) / 2)
37 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛 +
38 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛(1...π‘š)
3938nfsum1 15581 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))
4036, 37, 39nfov 7392 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
4117, 40nfmpt 5217 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(π‘š ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))))
4228, 41nfcxfr 2906 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛𝑍
43 fourierdlem112.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
44 fourierdlem112.25 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
45 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘›) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘›) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
46 picn 25832 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ β„‚
47462timesi 12298 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· Ο€) = (Ο€ + Ο€)
48 fourierdlem112.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (2 Β· Ο€)
4946, 46subnegi 11487 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ βˆ’ -Ο€) = (Ο€ + Ο€)
5047, 48, 493eqtr4i 2775 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (Ο€ βˆ’ -Ο€)
51 fourierdlem112.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
52 fourierdlem112.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
53 fourierdlem112.q . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
54 pire 25831 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ ∈ ℝ
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
5655renegcld 11589 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
5756, 44readdcld 11191 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
5855, 44readdcld 11191 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
59 negpilt0 43588 . . . . . . . . . . . . . 14 -Ο€ < 0
60 pipos 25833 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < Ο€
6154renegcli 11469 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ ∈ ℝ
62 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
6361, 62, 54lttri 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ < 0 ∧ 0 < Ο€) β†’ -Ο€ < Ο€)
6459, 60, 63mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ < Ο€
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ -Ο€ < Ο€)
6656, 55, 44, 65ltadd1dd 11773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-Ο€ + 𝑋) < (Ο€ + 𝑋))
67 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)))
6867eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
6968rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
7069cbvrabv 3420 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {π‘₯ ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
7170uneq2i 4125 . . . . . . . . . . 11 ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
72 fourierdlem112.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = ((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)
73 fourierdlem112.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
7450, 51, 52, 53, 57, 58, 66, 45, 71, 72, 73fourierdlem54 44475 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘›) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})β€˜π‘)) ∧ 𝑉 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
7574simpld 496 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘›) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})β€˜π‘)))
7675simpld 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7775simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘›) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})β€˜π‘))
78 fourierdlem112.xran . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
7943adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
80 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘—))
81 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
8281fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘β€˜(𝑗 + 1)))
8380, 82breq12d 5123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1))))
8483cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)) ↔ βˆ€π‘— ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1)))
8584anbi2i 624 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1))))
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) β†’ ((((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1)))))
8786rabbiia 3414 . . . . . . . . . . 11 {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1)))}
8887mpteq2i 5215 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1)))})
8951, 88eqtri 2765 . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘›) = Ο€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘—) < (π‘β€˜(𝑗 + 1)))})
9052adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
9153adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
92 fourierdlem112.fper . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
9392adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
94 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
9594anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
96 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
9781fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑗 + 1)))
9896, 97oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1))))
9998reseq2d 5942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))))
10098oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚) = (((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))
10199, 100eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))
10295, 101imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))))
103 fourierdlem112.fcn . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
104102, 103chvarvv 2003 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))
105104adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))
10657adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
10757rexrd 11212 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ*)
108 pnfxr 11216 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
11058ltpnfd 13049 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Ο€ + 𝑋) < +∞)
111107, 109, 58, 66, 110eliood 43810 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)(,)+∞))
112111adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)(,)+∞))
113 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
11472oveq2i 7373 . . . . . . . . . . 11 (0..^𝑁) = (0..^((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1))
115113, 114eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)))
116115adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)))
11772oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 (0...𝑁) = (0...((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1))
118 isoeq4 7270 . . . . . . . . . . . 12 ((0...𝑁) = (0...((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)) β†’ (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
119117, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
120119iotabii 6486 . . . . . . . . . 10 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
12173, 120eqtri 2765 . . . . . . . . 9 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
12279, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 106, 112, 116, 121fourierdlem98 44519 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
123 fourierdlem112.fbd . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
124123adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
125 nfra1 3270 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀
126 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
127 rspa 3234 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘‘ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
128126, 127sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘‘ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
129128ex 414 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 β†’ (𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
130125, 129ralrimi 3243 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
131130reximi 3088 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
132124, 131syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
133 ssid 3971 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† ℝ
134 dvfre 25331 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
13543, 133, 134sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
136135adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
137 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
13854a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
13961a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
14098reseq2d 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))))
141140, 100eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚) ↔ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))
14295, 141imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))))
143 fourierdlem112.fdvcn . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
144142, 143chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))
145144adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))
146 fourierdlem112.x . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
14756, 146readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
148147adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
149147rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ*)
15055, 146readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
15156, 55, 146, 65ltadd1dd 11773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (-Ο€ + 𝑋) < (Ο€ + 𝑋))
152150ltpnfd 13049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Ο€ + 𝑋) < +∞)
153149, 109, 150, 151, 152eliood 43810 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)(,)+∞))
154153adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)(,)+∞))
155 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = β„Ž β†’ (π‘˜ Β· 𝑇) = (β„Ž Β· 𝑇))
156155oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = β„Ž β†’ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)))
157156eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = β„Ž β†’ ((𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
158157cbvrexvw 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
159158rgenw 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆ€π‘¦ ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋))(βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
160 rabbi 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘¦ ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋))(βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
161159, 160mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
162161uneq2i 4125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
163 isoeq5 7271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) β†’ (𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
164162, 163ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
165164iotabii 6486 . . . . . . . . . . . . . 14 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
166121, 165eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(-Ο€ + 𝑋), (Ο€ + 𝑋)} βˆͺ {𝑦 ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ∣ βˆƒβ„Ž ∈ β„€ (𝑦 + (β„Ž Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
167 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑒 ∈ dom (ℝ D 𝐹)))
168 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑒 β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘£) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’))
169167, 168ifbieq1d 4515 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑒 β†’ if(𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘£), 0) = if(𝑒 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’), 0))
170169cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ℝ ↦ if(𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘£), 0)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ if(𝑒 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘’), 0))
17179, 137, 89, 138, 139, 50, 90, 91, 93, 145, 148, 154, 116, 166, 170fourierdlem97 44518 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
172 cncff 24272 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
173 fdm 6682 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
174171, 172, 1733syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
175 ssdmres 5965 . . . . . . . . . . 11 (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
176174, 175sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
177136, 176fssresd 6714 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
178 ax-resscn 11115 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
179178a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
180 cncfcdm 24277 . . . . . . . . . 10 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„))
181179, 171, 180syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„))
182177, 181mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
183 fourierdlem112.fdvbd . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
184183adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
185 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
186 nfra1 3270 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧
187185, 186nfan 1903 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑑((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
188 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
189188adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
190189fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
191190adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
192 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
193176sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑑 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
194193adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑑 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
195 rspa 3234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 ∧ 𝑑 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
196192, 194, 195syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
197191, 196eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
198197ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) β†’ (𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
199187, 198ralrimi 3243 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
200199ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
201200reximdv 3168 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ dom (ℝ D 𝐹)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
202184, 201mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
203 nfra1 3270 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧
204188eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘))
205204fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) = (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)))
206205adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) = (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)))
207 rspa 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
208206, 207eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
209208ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 β†’ (𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
210203, 209ralrimi 3243 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
211210a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
212211reximdv 3168 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
213202, 212mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
214 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
215 nfcsb1v 3885 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖⦋𝑗 / π‘–β¦ŒπΆ
216215nfel1 2924 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖⦋𝑗 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘—))
217214, 216nfim 1900 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ⦋𝑗 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘—)))
218 csbeq1a 3874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ 𝐢 = ⦋𝑗 / π‘–β¦ŒπΆ)
21999, 96oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘—)))
220218, 219eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) ↔ ⦋𝑗 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘—))))
22195, 220imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ⦋𝑗 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘—)))))
222 fourierdlem112.c . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
223217, 221, 222chvarfv 2234 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ⦋𝑗 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘—)))
224223adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ⦋𝑗 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘—)))
22579, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 224, 106, 112, 116, 121fourierdlem96 44517 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ if(((𝑑 ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↦ if(𝑑 = Ο€, -Ο€, 𝑑))β€˜((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑐) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜π‘–))) = (π‘„β€˜((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘“) ≀ ((𝑑 ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↦ if(𝑑 = Ο€, -Ο€, 𝑑))β€˜((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑐) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘¦))}, ℝ, < ))β€˜(π‘‰β€˜π‘–))), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦ŒπΆ)β€˜((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘“) ≀ ((𝑑 ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↦ if(𝑑 = Ο€, -Ο€, 𝑑))β€˜((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑐) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘¦))}, ℝ, < ))β€˜(π‘‰β€˜π‘–))), (πΉβ€˜((𝑑 ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↦ if(𝑑 = Ο€, -Ο€, 𝑑))β€˜((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑐) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜π‘–))))) ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
226 nfcsb1v 3885 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ‘ˆ
227226nfel1 2924 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ‘ˆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑗 + 1)))
228214, 227nfim 1900 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ‘ˆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑗 + 1))))
229 csbeq1a 3874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ π‘ˆ = ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ‘ˆ)
23099, 97oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑗 + 1))))
231229, 230eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘ˆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ‘ˆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑗 + 1)))))
23295, 231imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘ˆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ‘ˆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑗 + 1))))))
233 fourierdlem112.u . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘ˆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
234228, 232, 233chvarfv 2234 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ‘ˆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑗 + 1))))
235234adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ‘ˆ ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑗 + 1))))
23679, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 235, 148, 154, 116, 121fourierdlem99 44520 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ if(((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑒) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) = (π‘„β€˜(((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({β„Ž ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜β„Ž) ≀ ((𝑔 ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↦ if(𝑔 = Ο€, -Ο€, 𝑔))β€˜((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑒) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘¦))}, ℝ, < ))β€˜(π‘‰β€˜π‘–)) + 1)), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ‘ˆ)β€˜((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({β„Ž ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜β„Ž) ≀ ((𝑔 ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↦ if(𝑔 = Ο€, -Ο€, 𝑔))β€˜((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑒) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘¦))}, ℝ, < ))β€˜(π‘‰β€˜π‘–))), (πΉβ€˜((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑒) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
237 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑠 β†’ (𝑔 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
238 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑠 β†’ (𝑋 + 𝑔) = (𝑋 + 𝑠))
239238fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑠 β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
240 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑠 β†’ (0 < 𝑔 ↔ 0 < 𝑠))
241240ifbid 4514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑠 β†’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿) = if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿))
242239, 241oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)))
243 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑠 β†’ 𝑔 = 𝑠)
244242, 243oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑠 β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠))
245237, 244ifbieq2d 4517 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑠 β†’ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)) = if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠)))
246245cbvmptv 5223 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠)))
247 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (π‘œ = 𝑠 β†’ (π‘œ = 0 ↔ 𝑠 = 0))
248 id 22 . . . . . . . . . . 11 (π‘œ = 𝑠 β†’ π‘œ = 𝑠)
249 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘œ = 𝑠 β†’ (π‘œ / 2) = (𝑠 / 2))
250249fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ = 𝑠 β†’ (sinβ€˜(π‘œ / 2)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
251250oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (π‘œ = 𝑠 β†’ (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))) = (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
252248, 251oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (π‘œ = 𝑠 β†’ (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2)))) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
253247, 252ifbieq2d 4517 . . . . . . . . 9 (π‘œ = 𝑠 β†’ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
254253cbvmptv 5223 . . . . . . . 8 (π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
255 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ ((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) = ((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘ ))
256 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ) = ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘ ))
257255, 256oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)) = (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘ ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘ )))
258257cbvmptv 5223 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘ ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘ )))
259 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑) = ((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))
260259fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑠 β†’ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
261260cbvmptv 5223 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
262 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑠 β†’ ((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) = ((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ))
263 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑠 β†’ ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§) = ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘ ))
264262, 263oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑠 β†’ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)) = (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘ )))
265264cbvmptv 5223 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘ )))
266 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘š) = (π·β€˜π‘›))
267266fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ ) = ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))
268267oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
269268adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
270269itgeq2dv 25162 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠 = ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
271270cbvmptv 5223 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
272 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = π‘˜ β†’ (𝑐 + (1 / 2)) = (π‘˜ + (1 / 2)))
273272oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = π‘˜ β†’ ((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑) = ((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑))
274273fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = π‘˜ β†’ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑)) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))
275274mpteq2dv 5212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = π‘˜ β†’ (𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑))) = (𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑))))
276275fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = π‘˜ β†’ ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§) = ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§))
277276oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = π‘˜ β†’ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)) = (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))
278277mpteq2dv 5212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = π‘˜ β†’ (𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§))))
279278fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = π‘˜ β†’ ((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = ((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ))
280279adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = ((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ))
281280itgeq2dv 25162 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘˜ β†’ ∫(-Ο€(,)0)((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) d𝑠 = ∫(-Ο€(,)0)((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) d𝑠)
282281oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘˜ β†’ (∫(-Ο€(,)0)((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) = (∫(-Ο€(,)0)((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
283282cbvmptv 5223 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)0)((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)0)((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
284 fourierdlem112.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
285 fourierdlem112.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
286 fourierdlem112.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
287 fourierdlem112.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
288 fourierdlem112.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
289 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑠 β†’ (𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = (𝑠 mod (2 Β· Ο€)))
290289eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑠 β†’ ((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0))
291 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑠 β†’ ((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦) = ((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑠))
292291fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑠 β†’ (sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)) = (sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
293 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑠 β†’ (𝑦 / 2) = (𝑠 / 2))
294293fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑠 β†’ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
295294oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑠 β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))) = ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
296292, 295oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑠 β†’ ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))) = ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
297290, 296ifbieq2d 4517 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑠 β†’ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
298297cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
299 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ π‘š = π‘˜)
300299oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (2 Β· π‘š) = (2 Β· π‘˜))
301300oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((2 Β· π‘š) + 1) = ((2 Β· π‘˜) + 1))
302301oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)) = (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· Ο€)))
303299oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (π‘š + (1 / 2)) = (π‘˜ + (1 / 2)))
304303oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑠) = ((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))
305304fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑠)) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
306305oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = ((sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
307302, 306ifeq12d 4512 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
308307mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = π‘˜ β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
309298, 308eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘˜ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
310309cbvmptv 5223 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
311288, 310eqtri 2765 . . . . . . . 8 𝐷 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
312 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ))) β†Ύ (-Ο€[,]𝑙)) = ((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ))) β†Ύ (-Ο€[,]𝑙))
313 eqid 2737 . . . . . . . 8 ({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙))) = ({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))
314 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))) βˆ’ 1)
315 isoeq1 7267 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑀 β†’ (𝑒 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))) βˆ’ 1)), ({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))) ↔ 𝑀 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))) βˆ’ 1)), ({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙))))))
316315cbviotavw 6461 . . . . . . . 8 (℩𝑒𝑒 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))) βˆ’ 1)), ({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙))))) = (℩𝑀𝑀 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))) βˆ’ 1)), ({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))))
317 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘‰β€˜π‘—) = (π‘‰β€˜π‘–))
318317oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
319318cbvmptv 5223 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
320 eqid 2737 . . . . . . . 8 (β„©π‘š ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑒𝑒 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))) βˆ’ 1)), ({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))))β€˜π‘)(,)((℩𝑒𝑒 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))) βˆ’ 1)), ({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))))β€˜(𝑏 + 1))) βŠ† (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))β€˜π‘š)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))β€˜(π‘š + 1)))) = (β„©π‘š ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑒𝑒 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))) βˆ’ 1)), ({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))))β€˜π‘)(,)((℩𝑒𝑒 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))) βˆ’ 1)), ({-Ο€, 𝑙} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (-Ο€(,)𝑙)))))β€˜(𝑏 + 1))) βŠ† (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))β€˜π‘š)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))β€˜(π‘š + 1))))
321 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑠 β†’ ((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) = ((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ))
322 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑠 β†’ ((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž) = ((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))
323322fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑠 β†’ (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž)) = (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
324321, 323oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑠 β†’ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) = (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
325324cbvitgv 25157 . . . . . . . . . . . 12 ∫(𝑙(,)0)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž = ∫(𝑙(,)0)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠
326325fveq2i 6850 . . . . . . . . . . 11 (absβ€˜βˆ«(𝑙(,)0)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) = (absβ€˜βˆ«(𝑙(,)0)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
327326breq1i 5117 . . . . . . . . . 10 ((absβ€˜βˆ«(𝑙(,)0)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) < (𝑖 / 2) ↔ (absβ€˜βˆ«(𝑙(,)0)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2))
328327anbi2i 624 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑙(,)0)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) < (𝑖 / 2)) ↔ ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑙(,)0)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)))
329324cbvitgv 25157 . . . . . . . . . . 11 ∫(-Ο€(,)𝑙)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž = ∫(-Ο€(,)𝑙)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠
330329fveq2i 6850 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑙)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) = (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑙)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
331330breq1i 5117 . . . . . . . . 9 ((absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑙)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) < (𝑖 / 2) ↔ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑙)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2))
332328, 331anbi12i 628 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑙(,)0)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) < (𝑖 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑙)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) < (𝑖 / 2)) ↔ (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑙(,)0)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑙)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)))
33343, 44, 45, 76, 77, 78, 122, 132, 182, 213, 225, 236, 246, 254, 258, 261, 265, 271, 283, 284, 285, 286, 287, 311, 312, 313, 314, 316, 319, 320, 332fourierdlem103 44524 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠) ⇝ (𝐿 / 2))
334 nnex 12166 . . . . . . . . . 10 β„• ∈ V
335334mptex 7178 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))) ∈ V
33628, 335eqeltri 2834 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
337336a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
338268adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
339338itgeq2dv 25162 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠 = ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
340339cbvmptv 5223 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
341279adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = ((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ))
342341itgeq2dv 25162 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘˜ β†’ ∫(0(,)Ο€)((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) d𝑠 = ∫(0(,)Ο€)((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) d𝑠)
343342oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘˜ β†’ (∫(0(,)Ο€)((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) = (∫(0(,)Ο€)((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
344343cbvmptv 5223 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ β„• ↦ (∫(0(,)Ο€)((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑐 + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫(0(,)Ο€)((𝑧 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘§) Β· ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑑)))β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
345 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ))) β†Ύ (𝑒[,]Ο€)) = ((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ))) β†Ύ (𝑒[,]Ο€))
346 eqid 2737 . . . . . . . 8 ({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€))) = ({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))
347 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))) βˆ’ 1)
348 isoeq1 7267 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑣 β†’ (𝑒 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))) βˆ’ 1)), ({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))) ↔ 𝑣 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))) βˆ’ 1)), ({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€))))))
349348cbviotavw 6461 . . . . . . . 8 (℩𝑒𝑒 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))) βˆ’ 1)), ({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€))))) = (℩𝑣𝑣 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))) βˆ’ 1)), ({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))))
350 eqid 2737 . . . . . . . 8 (β„©π‘Ž ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑒𝑒 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))) βˆ’ 1)), ({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))))β€˜π‘)(,)((℩𝑒𝑒 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))) βˆ’ 1)), ({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))))β€˜(𝑏 + 1))) βŠ† (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))β€˜π‘Ž)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))β€˜(π‘Ž + 1)))) = (β„©π‘Ž ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑒𝑒 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))) βˆ’ 1)), ({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))))β€˜π‘)(,)((℩𝑒𝑒 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))) βˆ’ 1)), ({𝑒, Ο€} βˆͺ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) ∩ (𝑒(,)Ο€)))))β€˜(𝑏 + 1))) βŠ† (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))β€˜π‘Ž)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))β€˜(π‘Ž + 1))))
351324cbvitgv 25157 . . . . . . . . . . . 12 ∫(0(,)𝑒)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž = ∫(0(,)𝑒)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠
352351fveq2i 6850 . . . . . . . . . . 11 (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑒)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) = (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑒)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
353352breq1i 5117 . . . . . . . . . 10 ((absβ€˜βˆ«(0(,)𝑒)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) < (π‘ž / 2) ↔ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑒)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (π‘ž / 2))
354353anbi2i 624 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑒)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) < (π‘ž / 2)) ↔ ((((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑒)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (π‘ž / 2)))
355324cbvitgv 25157 . . . . . . . . . . 11 ∫(𝑒(,)Ο€)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž = ∫(𝑒(,)Ο€)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠
356355fveq2i 6850 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜βˆ«(𝑒(,)Ο€)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) = (absβ€˜βˆ«(𝑒(,)Ο€)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
357356breq1i 5117 . . . . . . . . 9 ((absβ€˜βˆ«(𝑒(,)Ο€)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) < (π‘ž / 2) ↔ (absβ€˜βˆ«(𝑒(,)Ο€)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (π‘ž / 2))
358354, 357anbi12i 628 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑒)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) < (π‘ž / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑒(,)Ο€)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘Ž) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· π‘Ž))) dπ‘Ž) < (π‘ž / 2)) ↔ (((((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑏 ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑒)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (π‘ž / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑒(,)Ο€)(((π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝑔 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑔)) βˆ’ if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))β€˜π‘Ÿ) Β· ((π‘œ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(π‘œ = 0, 1, (π‘œ / (2 Β· (sinβ€˜(π‘œ / 2))))))β€˜π‘Ÿ)))β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑏 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (π‘ž / 2)))
35943, 44, 45, 76, 77, 78, 122, 132, 182, 213, 225, 236, 246, 254, 258, 261, 265, 340, 344, 284, 285, 286, 287, 311, 345, 346, 347, 349, 319, 350, 358fourierdlem104 44525 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠) ⇝ (𝑅 / 2))
360 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠) = (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠))
361270adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š = 𝑛) β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠 = ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
362 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
363 elioore 13301 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
36443adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
36544adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
366 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
367365, 366readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
368364, 367ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
369368adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
370288dirkerre 44410 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
371370adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
372369, 371remulcld 11192 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
373363, 372sylan2 594 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
374 ioossicc 13357 . . . . . . . . . . . . 13 (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]0)
37561leidi 11696 . . . . . . . . . . . . . 14 -Ο€ ≀ -Ο€
37662, 54, 60ltleii 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≀ Ο€
377 iccss 13339 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) ∧ (-Ο€ ≀ -Ο€ ∧ 0 ≀ Ο€)) β†’ (-Ο€[,]0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
37861, 54, 375, 376, 377mp4an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (-Ο€[,]0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
379374, 378sstri 3958 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
380379a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
381 ioombl 24945 . . . . . . . . . . . 12 (-Ο€(,)0) ∈ dom vol
382381a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (-Ο€(,)0) ∈ dom vol)
38343adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
38444adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
38556, 55iccssred 13358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
386385sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
387384, 386readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
388383, 387ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
389388adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
390 iccssre 13353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
39161, 54, 390mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ
392391sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
393392, 370sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
394393adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
395389, 394remulcld 11192 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
39661a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
39754a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
39843adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
39944adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
40076adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
40177adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘›) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})β€˜π‘))
402122adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
403225adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ if(((𝑑 ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↦ if(𝑑 = Ο€, -Ο€, 𝑑))β€˜((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑐) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜π‘–))) = (π‘„β€˜((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘“) ≀ ((𝑑 ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↦ if(𝑑 = Ο€, -Ο€, 𝑑))β€˜((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑐) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘¦))}, ℝ, < ))β€˜(π‘‰β€˜π‘–))), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦ŒπΆ)β€˜((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘“) ≀ ((𝑑 ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↦ if(𝑑 = Ο€, -Ο€, 𝑑))β€˜((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑐) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘¦))}, ℝ, < ))β€˜(π‘‰β€˜π‘–))), (πΉβ€˜((𝑑 ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↦ if(𝑑 = Ο€, -Ο€, 𝑑))β€˜((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑐) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜π‘–))))) ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
404236adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ if(((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑒) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) = (π‘„β€˜(((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({β„Ž ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜β„Ž) ≀ ((𝑔 ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↦ if(𝑔 = Ο€, -Ο€, 𝑔))β€˜((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑒) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘¦))}, ℝ, < ))β€˜(π‘‰β€˜π‘–)) + 1)), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / π‘–β¦Œπ‘ˆ)β€˜((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({β„Ž ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜β„Ž) ≀ ((𝑔 ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↦ if(𝑔 = Ο€, -Ο€, 𝑔))β€˜((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑒) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘¦))}, ℝ, < ))β€˜(π‘‰β€˜π‘–))), (πΉβ€˜((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((βŒŠβ€˜((Ο€ βˆ’ 𝑒) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
405288dirkercncf 44422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
406405adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
407 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
408396, 397, 398, 399, 45, 400, 401, 402, 403, 404, 319, 51, 406, 407fourierdlem84 44505 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
409380, 382, 395, 408iblss 25185 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
410373, 409itgcl 25164 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 ∈ β„‚)
411360, 361, 362, 410fvmptd 6960 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)β€˜π‘›) = ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
412411, 410eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
413 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠) = (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠))
414339adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š = 𝑛) β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠 = ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
41543adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
41644adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
417 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
418417adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
419416, 418readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
420415, 419ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
421420adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
422417, 370sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
423422adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
424421, 423remulcld 11192 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
425 ioossicc 13357 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€)
42661, 62, 59ltleii 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 -Ο€ ≀ 0
42754leidi 11696 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ ≀ Ο€
428 iccss 13339 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) ∧ (-Ο€ ≀ 0 ∧ Ο€ ≀ Ο€)) β†’ (0[,]Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
42961, 54, 426, 427, 428mp4an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
430425, 429sstri 3958 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
431430a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
432 ioombl 24945 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)Ο€) ∈ dom vol
433432a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0(,)Ο€) ∈ dom vol)
434431, 433, 395, 408iblss 25185 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
435424, 434itgcl 25164 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 ∈ β„‚)
436413, 414, 362, 435fvmptd 6960 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)β€˜π‘›) = ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
437436, 435eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
438 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š ∈ β„• ↔ 𝑛 ∈ β„•))
439438anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•)))
440 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘β€˜π‘š) = (π‘β€˜π‘›))
441270, 339oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠) = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠))
442440, 441eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘β€˜π‘š) = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠) ↔ (π‘β€˜π‘›) = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)))
443439, 442imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘š) = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘›) = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠))))
444 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛 Β· π‘₯) = (π‘š Β· π‘₯))
445444fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = π‘š β†’ (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) = (cosβ€˜(π‘š Β· π‘₯)))
446445oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(π‘š Β· π‘₯))))
447446adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 = π‘š ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(π‘š Β· π‘₯))))
448447itgeq2dv 25162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(π‘š Β· π‘₯))) dπ‘₯)
449448oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(π‘š Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
450449cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€)) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(π‘š Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
45129, 450eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(π‘š Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
452 fourierdlem112.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
453444fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = π‘š β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(π‘š Β· π‘₯)))
454453oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘š Β· π‘₯))))
455454adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 = π‘š ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘š Β· π‘₯))))
456455itgeq2dv 25162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘š Β· π‘₯))) dπ‘₯)
457456oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘š Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
458457cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€)) = (π‘š ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘š Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
459452, 458eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 𝐡 = (π‘š ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘š Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
460 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜π‘˜))
461 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 Β· 𝑋) = (π‘˜ Β· 𝑋))
462461fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = π‘˜ β†’ (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)) = (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))
463460, 462oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))
464 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π΅β€˜π‘›) = (π΅β€˜π‘˜))
465461fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = π‘˜ β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)) = (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))
466464, 465oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))
467463, 466oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) = (((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
468467cbvsumv 15588 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))
469468oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (((π΄β€˜0) / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
470469mpteq2i 5215 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))))
471 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 𝑛 β†’ (1...π‘š) = (1...𝑛))
472471sumeq1d 15593 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑛 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
473472oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))) = (((π΄β€˜0) / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))))
474473cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))))
475 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = π‘š β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘š))
476 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋))
477476fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = π‘š β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)) = (cosβ€˜(π‘š Β· 𝑋)))
478475, 477oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) = ((π΄β€˜π‘š) Β· (cosβ€˜(π‘š Β· 𝑋))))
479 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = π‘š β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘š))
480476fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = π‘š β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)) = (sinβ€˜(π‘š Β· 𝑋)))
481479, 480oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) = ((π΅β€˜π‘š) Β· (sinβ€˜(π‘š Β· 𝑋))))
482478, 481oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = (((π΄β€˜π‘š) Β· (cosβ€˜(π‘š Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘š) Β· (sinβ€˜(π‘š Β· 𝑋)))))
483482cbvsumv 15588 . . . . . . . . . . . . . 14 Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘š) Β· (cosβ€˜(π‘š Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘š) Β· (sinβ€˜(π‘š Β· 𝑋))))
484483oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (((π΄β€˜0) / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))) = (((π΄β€˜0) / 2) + Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘š) Β· (cosβ€˜(π‘š Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘š) Β· (sinβ€˜(π‘š Β· 𝑋)))))
485484mpteq2i 5215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘š) Β· (cosβ€˜(π‘š Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘š) Β· (sinβ€˜(π‘š Β· 𝑋))))))
486474, 485eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘š) Β· (cosβ€˜(π‘š Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘š) Β· (sinβ€˜(π‘š Β· 𝑋))))))
48728, 470, 4863eqtri 2769 . . . . . . . . . 10 𝑍 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘š) Β· (cosβ€˜(π‘š Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘š) Β· (sinβ€˜(π‘š Β· 𝑋))))))
488 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑋 + 𝑦) = (𝑋 + π‘₯))
489488fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) = (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))
490 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘¦) = ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
491489, 490oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
492491cbvmptv 5223 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘¦))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
493 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘›) = (Ο€ βˆ’ 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘›) = (Ο€ βˆ’ 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑛)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
494 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–))
495494oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘„β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
496495cbvmptv 5223 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
497451, 459, 487, 288, 51, 52, 53, 146, 43, 92, 492, 103, 222, 233, 48, 493, 496fourierdlem111 44532 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘š) = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠))
498443, 497chvarvv 2003 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘›) = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠))
499411, 436oveq12d 7380 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘š ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)β€˜π‘›) + ((π‘š ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)β€˜π‘›)) = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠))
500498, 499eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘›) = (((π‘š ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)β€˜π‘›) + ((π‘š ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)β€˜π‘›)))
50116, 24, 27, 42, 14, 15, 333, 337, 359, 412, 437, 500climaddf 43930 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ⇝ ((𝐿 / 2) + (𝑅 / 2)))
502 limccl 25255 . . . . . . . 8 ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) βŠ† β„‚
503502, 285sselid 3947 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
504 limccl 25255 . . . . . . . 8 ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) βŠ† β„‚
505504, 284sselid 3947 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
506 2cnd 12238 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
507 2pos 12263 . . . . . . . . 9 0 < 2
508507a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
509508gt0ne0d 11726 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
510503, 505, 506, 509divdird 11976 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐿 + 𝑅) / 2) = ((𝐿 / 2) + (𝑅 / 2)))
511501, 510breqtrrd 5138 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ⇝ ((𝐿 + 𝑅) / 2))
512 0nn0 12435 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
51343adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
514 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (-Ο€(,)Ο€) = (-Ο€(,)Ο€)
515 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . 14 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† ℝ
516515a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)Ο€) βŠ† ℝ)
51743, 516feqresmpt 6916 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
518 ioossicc 13357 . . . . . . . . . . . . . 14 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
519518a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
520 ioombl 24945 . . . . . . . . . . . . . 14 (-Ο€(,)Ο€) ∈ dom vol
521520a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)Ο€) ∈ dom vol)
52243adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
523385sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
524522, 523ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
52543, 385feqresmpt 6916 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) = (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
526178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
52743, 526fssd 6691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
528527, 385fssresd 6714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)):(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
529 ioossicc 13357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
53061rexri 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -Ο€ ∈ ℝ*
531530a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
53254rexri 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ο€ ∈ ℝ*
533532a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
53451, 52, 53fourierdlem15 44437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
535534adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
536 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
537531, 533, 535, 536fourierdlem8 44430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
538529, 537sstrid 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
539538resabs1d 5973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
540539, 103eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
541539eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
542541oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
543222, 542eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐢 ∈ (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
544541oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
545233, 544eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘ˆ ∈ (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
54651, 52, 53, 528, 540, 543, 545fourierdlem69 44490 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) ∈ 𝐿1)
547525, 546eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
548519, 521, 524, 547iblss 25185 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
549517, 548eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ 𝐿1)
550549adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ 𝐿1)
551 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„•0)
552513, 514, 550, 29, 551fourierdlem16 44438 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (((π΄β€˜0) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(0 Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ))
553552simplld 767 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜0) ∈ ℝ)
554512, 553mpan2 690 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) ∈ ℝ)
555554rehalfcld 12407 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜0) / 2) ∈ ℝ)
556555recnd 11190 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜0) / 2) ∈ β„‚)
557334mptex 7178 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))) ∈ V
558557a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))) ∈ V)
559 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
560555adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜0) / 2) ∈ ℝ)
561 fzfid 13885 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (1...π‘š) ∈ Fin)
562 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘š)) β†’ πœ‘)
563 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...π‘š) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
564563adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
565 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ πœ‘)
566362nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
567 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ 𝑛 ∈ β„•0))
568567anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0)))
569 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘›))
570569eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ))
571568, 570imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ)))
57243adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
573549adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ 𝐿1)
574 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
575572, 514, 573, 29, 574fourierdlem16 44438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ))
576575simplld 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
577571, 576chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ)
578565, 566, 577syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ)
579362nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
580579, 399remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ ℝ)
581580recoscld 16033 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)) ∈ ℝ)
582578, 581remulcld 11192 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) ∈ ℝ)
583 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↔ 𝑛 ∈ β„•))
584583anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•)))
585 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘›))
586585eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (π΅β€˜π‘›) ∈ ℝ))
587584, 586imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜π‘›) ∈ ℝ)))
58843adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
589549adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ 𝐿1)
590 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
591588, 514, 589, 452, 590fourierdlem21 44443 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ ℝ))
592591simplld 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
593587, 592chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜π‘›) ∈ ℝ)
594580resincld 16032 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)) ∈ ℝ)
595593, 594remulcld 11192 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) ∈ ℝ)
596582, 595readdcld 11191 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) ∈ ℝ)
597562, 564, 596syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘š)) β†’ (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) ∈ ℝ)
598561, 597fsumrecl 15626 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) ∈ ℝ)
599560, 598readdcld 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) ∈ ℝ)
60028fvmpt2 6964 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ β„• ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜π‘š) = (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))))
601559, 599, 600syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘š) = (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))))
602601, 599eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘š) ∈ ℝ)
603602recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘š) ∈ β„‚)
604 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))))
605 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ (1...𝑛) = (1...π‘š))
606605sumeq1d 15593 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
607606adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘š) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
608 sumex 15579 . . . . . . . 8 Ξ£π‘˜ ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) ∈ V
609608a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) ∈ V)
610604, 607, 559, 609fvmptd 6960 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
611560recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜0) / 2) ∈ β„‚)
612598recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) ∈ β„‚)
613611, 612pncan2d 11521 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)) = Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
614613, 468eqtr2di 2794 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = ((((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)))
615 ovex 7395 . . . . . . . . 9 (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) ∈ V
61628fvmpt2 6964 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ β„• ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) ∈ V) β†’ (π‘β€˜π‘š) = (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))))
617559, 615, 616sylancl 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘š) = (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))))
618617eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (π‘β€˜π‘š))
619618oveq1d 7377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)) = ((π‘β€˜π‘š) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)))
620610, 614, 6193eqtrd 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))β€˜π‘š) = ((π‘β€˜π‘š) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)))
62114, 15, 511, 556, 558, 603, 620climsubc1 15527 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)))
622 seqex 13915 . . . . . 6 seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))))) ∈ V
623622a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))))) ∈ V)
624 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))))
625 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑙 β†’ (1...𝑛) = (1...𝑙))
626625sumeq1d 15593 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑙 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑙)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
627626adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ 𝑛 = 𝑙) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑙)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
628 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ 𝑙 ∈ β„•)
629 fzfid 13885 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (1...𝑙) ∈ Fin)
630 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (1...𝑙) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
631630nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...𝑙) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
632631, 576sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑙)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
633630nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (1...𝑙) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
634633adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑙)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
635146adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑙)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
636634, 635remulcld 11192 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑙)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ ℝ)
637636recoscld 16033 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑙)) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)) ∈ ℝ)
638632, 637remulcld 11192 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑙)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) ∈ ℝ)
639630, 592sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑙)) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
640636resincld 16032 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑙)) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)) ∈ ℝ)
641639, 640remulcld 11192 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑙)) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) ∈ ℝ)
642638, 641readdcld 11191 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑙)) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) ∈ ℝ)
643642adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑙)) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) ∈ ℝ)
644629, 643fsumrecl 15626 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑙)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) ∈ ℝ)
645624, 627, 628, 644fvmptd 6960 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))β€˜π‘™) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑙)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
646 eleq1w 2821 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑙 β†’ (𝑛 ∈ β„• ↔ 𝑙 ∈ β„•))
647646anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑙 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ β„•)))
648 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑙 β†’ (seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))))β€˜π‘›) = (seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))))β€˜π‘™))
649626, 648eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑙 β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))))β€˜π‘›) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑙)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))))β€˜π‘™)))
650647, 649imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑙 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))))β€˜π‘›)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑙)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))))β€˜π‘™))))
651 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))))
652 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘˜))
653 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 Β· 𝑋) = (π‘˜ Β· 𝑋))
654653fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)) = (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))
655652, 654oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))
656 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π΅β€˜π‘˜))
657653fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)) = (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))
658656, 657oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) = ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))
659655, 658oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))) = (((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
660659adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))) = (((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
661 elfznn 13477 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
662661adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
663 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ πœ‘)
664 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
665 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
666665adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
667146adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
668666, 667remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ ℝ)
669668recoscld 16033 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)) ∈ ℝ)
670576, 669remulcld 11192 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) ∈ ℝ)
671664, 670sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) ∈ ℝ)
672664, 668sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ ℝ)
673672resincld 16032 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)) ∈ ℝ)
674592, 673remulcld 11192 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) ∈ ℝ)
675671, 674readdcld 11191 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) ∈ ℝ)
676663, 662, 675syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) ∈ ℝ)
677651, 660, 662, 676fvmptd 6960 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))))β€˜π‘˜) = (((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
678362, 14eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
679676recnd 11190 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) ∈ β„‚)
680677, 678, 679fsumser 15622 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))))β€˜π‘›))
681650, 680chvarvv 2003 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑙)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))))β€˜π‘™))
682645, 681eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))β€˜π‘™) = (seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))))β€˜π‘™))
68314, 558, 623, 15, 682climeq 15456 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (cosβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘˜) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)) ↔ seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2))))
684621, 683mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)))
68513, 684eqbrtrd 5132 . 2 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)))
686 eqidd 2738 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))))))
687 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘›))
688 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑛 β†’ (𝑗 Β· 𝑋) = (𝑛 Β· 𝑋))
689688fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 β†’ (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)) = (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))
690687, 689oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 β†’ ((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) = ((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))
691 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π΅β€˜π‘›))
692688fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑛 β†’ (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)) = (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))
693691, 692oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 β†’ ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) = ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))
694690, 693oveq12d 7380 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑛 β†’ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))) = (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
695694adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 = 𝑛) β†’ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))) = (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
696686, 695, 362, 596fvmptd 6960 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜π‘—) Β· (cosβ€˜(𝑗 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘—) Β· (sinβ€˜(𝑗 Β· 𝑋)))))β€˜π‘›) = (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
697596recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) ∈ β„‚)
69814, 15, 696, 697, 684isumclim 15649 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) = (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)))
699698oveq2d 7378 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (((π΄β€˜0) / 2) + (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2))))
700503, 505addcld 11181 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐿 + 𝑅) ∈ β„‚)
701700halfcld 12405 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐿 + 𝑅) / 2) ∈ β„‚)
702556, 701pncan3d 11522 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
703699, 702eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
704685, 703jca 513 1 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) βˆ’ ((π΄β€˜0) / 2)) ∧ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448  β¦‹csb 3860   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  β„©cio 6451  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501   Isom wiso 6502  β„©crio 7317  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  (,]cioc 13272  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  βŒŠcfl 13702   mod cmo 13781  seqcseq 13913  β™―chash 14237  abscabs 15126   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577  sincsin 15953  cosccos 15954  Ο€cpi 15956  β€“cnβ†’ccncf 24255  volcvol 24843  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998   limβ„‚ climc 25242   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-t1 22681  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-ditg 25227  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  fourierdlem113  44534
  Copyright terms: Public domain W3C validator