Theorem fourierdlem112 46462

Description: Here abbreviations (local definitions) are introduced to prove the fourier 46469 theorem. (𝑍‘𝑚) is the m_th partial sum of the fourier series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem112.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem112.d	⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
fourierdlem112.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem112.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem112.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem112.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
fourierdlem112.v	⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
fourierdlem112.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem112.xran	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem112.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem112.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem112.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem112.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem112.u	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem112.fdvcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem112.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem112.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem112.z	⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
fourierdlem112.23	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
fourierdlem112.fbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
fourierdlem112.fdvbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
fourierdlem112.25	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem112	⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   𝑡,𝑅,𝑧   𝑧,𝑋   𝑡,𝑁,𝑤,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦   𝑖,𝑁,𝑚,𝑤   𝐶,𝑚,𝑥   𝑄,𝑓,𝑖,𝑡,𝑦   𝑓,𝑀,𝑚,𝑥   𝑡,𝐿   𝑥,𝑉   𝑤,𝐿,𝑧   𝑚,𝑍   𝑛,𝑉,𝑝   𝑅,𝑘,𝑛   𝑤,𝐹   𝑛,𝑋,𝑝   𝑡,𝑚   𝑥,𝑋   𝐷,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑥   𝑘,𝐹,𝑡,𝑧   𝑖,𝑀,𝑛,𝑝,𝑦   𝑛,𝑁,𝑝   𝑖,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐵,𝑘,𝑚,𝑛   𝑇,𝑛,𝑝,𝑦,𝑖   𝑖,𝑉,𝑤,𝑧   𝜑,𝑚,𝑛   𝑓,𝑁,𝑦   𝑡,𝐶   𝑓,𝑉,𝑘,𝑚,𝑡   𝑡,𝑀   𝜑,𝑘   𝑇,𝑘,𝑚,𝑥,𝑓   𝑡,𝑇   𝑅,𝑖,𝑚,𝑤   𝑄,𝑚,𝑛,𝑥   𝑥,𝑁   𝑓,𝑋,𝑘,𝑦   𝑄,𝑘,𝑝   𝑡,𝑈   𝑖,𝑋,𝑚,𝑡,𝑤,𝑧   𝜑,𝑖,𝑡,𝑤,𝑧   𝑖,𝐿,𝑘,𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑝)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑘,𝑛,𝑝)   𝐷(𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑄(𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑇(𝑧,𝑤)   𝑈(𝑦,𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑘,𝑛,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑝)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑓,𝑝)   𝑀(𝑧,𝑤,𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem112

Dummy variables 𝑗 𝑙 𝑎 𝑐 𝑟 𝑠 𝑒 𝑞 𝑏 𝑢 ℎ 𝑔 𝑣 𝑜 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem112.23	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
2		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑗))
3		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑗 · 𝑋))
4	3	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑗 · 𝑋)))
5	2, 4	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))))
6		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑗))
7	3	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑗 · 𝑋)))
8	6, 7	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))
9	5, 8	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
10	9	cbvmptv 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
11	1, 10	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
12		seqeq3 13929	. . . 4 ⊢ (𝑆 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))))
13	11, 12	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))))
14		nnuz 12790	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15		1zzd 12522	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
17		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
18		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(-π(,)0)
19		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))
20		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
21		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐷‘𝑚)‘𝑠)
22	19, 20, 21	nfov 7388	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠))
23	18, 22	nfitg 25732	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠
24	17, 23	nfmpt 5196	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
25		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(0(,)π)
26	25, 22	nfitg 25732	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠
27	17, 26	nfmpt 5196	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
28		fourierdlem112.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
29		fourierdlem112.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
30		nfmpt1 5197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
31	29, 30	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
32		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛0
33	31, 32	nffv 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘0)
34		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 /
35		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛2
36	33, 34, 35	nfov 7388	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐴‘0) / 2)
37		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 +
38		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(1...𝑚)
39	38	nfsum1 15613	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
40	36, 37, 39	nfov 7388	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
41	17, 40	nfmpt 5196	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
42	28, 41	nfcxfr 2896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
43		fourierdlem112.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
44		fourierdlem112.25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
45		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
46		picn 26423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
47	46	2timesi 12278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) = (π + π)
48		fourierdlem112.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
49	46, 46	subnegi 11460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π − -π) = (π + π)
50	47, 48, 49	3eqtr4i 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (π − -π)
51		fourierdlem112.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
52		fourierdlem112.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
53		fourierdlem112.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
54		pire 26422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
56	55	renegcld 11564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
57	56, 44	readdcld 11161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
58	55, 44	readdcld 11161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
59		negpilt0 45529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π < 0
60		pipos 26424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
61	54	renegcli 11442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
62		0re 11134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
63	61, 62, 54	lttri 11259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
64	59, 60, 63	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π < π
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -π < π)
66	56, 55, 44, 65	ltadd1dd 11748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) < (π + 𝑋))
67		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
68	67	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
69	68	rexbidv 3160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
70	69	cbvrabv 3409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
71	70	uneq2i 4117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
72		fourierdlem112.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = ((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
73		fourierdlem112.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
74	50, 51, 52, 53, 57, 58, 66, 45, 71, 72, 73	fourierdlem54 46404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁)) ∧ 𝑉 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
75	74	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁)))
76	75	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
77	75	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁))
78		fourierdlem112.xran	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
79	43	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
80		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘𝑗))
81		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
82	81	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
83	80, 82	breq12d 5111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
84	83	cbvralvw 3214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
85	84	anbi2i 623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) → ((((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
87	86	rabbiia 3403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}
88	87	mpteq2i 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
89	51, 88	eqtri 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
90	52	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
91	53	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
92		fourierdlem112.fper	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
93	92	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
94		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
95	94	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
96		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗))
97	81	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
98	96, 97	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
99	98	reseq2d 5938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
100	98	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) = (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
101	99, 100	eleq12d 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ)))
102	95, 101	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))))
103		fourierdlem112.fcn	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
104	102, 103	chvarvv 1990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
105	104	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
106	57	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
107	57	rexrd 11182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ*)
108		pnfxr 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
110	58	ltpnfd 13035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) < +∞)
111	107, 109, 58, 66, 110	eliood 45744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
112	111	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
113		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
114	72	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1))
115	113, 114	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
116	115	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
117	72	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...𝑁) = (0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1))
118		isoeq4 7266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0...𝑁) = (0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
119	117, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
120	119	iotabii 6477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
121	73, 120	eqtri 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
122	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 106, 112, 116, 121	fourierdlem98 46448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
123		fourierdlem112.fbd	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
124	123	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
125		nfra1 3260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤
126		elioore 13291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
127		rspa 3225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
128	126, 127	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
129	128	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
130	125, 129	ralrimi 3234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
131	130	reximi 3074	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
132	124, 131	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
133		ssid 3956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
134		dvfre 25911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
135	43, 133, 134	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
136	135	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
137		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
138	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ)
139	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ)
140	98	reseq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
141	140, 100	eleq12d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ)))
142	95, 141	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))))
143		fourierdlem112.fdvcn	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
144	142, 143	chvarvv 1990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
145	144	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
146		fourierdlem112.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
147	56, 146	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
148	147	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
149	147	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ*)
150	55, 146	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
151	56, 55, 146, 65	ltadd1dd 11748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) < (π + 𝑋))
152	150	ltpnfd 13035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) < +∞)
153	149, 109, 150, 151, 152	eliood 45744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
154	153	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
155		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑘 · 𝑇) = (ℎ · 𝑇))
156	155	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (ℎ · 𝑇)))
157	156	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = ℎ → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
158	157	cbvrexvw 3215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
159	158	rgenw 3055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∀𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋))(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
160		rabbi 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋))(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
161	159, 160	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
162	161	uneq2i 4117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
163		isoeq5 7267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
164	162, 163	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
165	164	iotabii 6477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
166	121, 165	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
167		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹)))
168		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑣) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑢))
169	167, 168	ifbieq1d 4504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → if(𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑣), 0) = if(𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑢), 0))
170	169	cbvmptv 5202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ if(𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑣), 0)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑢), 0))
171	79, 137, 89, 138, 139, 50, 90, 91, 93, 145, 148, 154, 116, 166, 170	fourierdlem97 46447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
172		cncff 24842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
173		fdm 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
174	171, 172, 173	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
175		ssdmres 5972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
176	174, 175	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
177	136, 176	fssresd 6701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
178		ax-resscn 11083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
180		cncfcdm 24847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ))
181	179, 171, 180	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ))
182	177, 181	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
183		fourierdlem112.fdvbd	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
184	183	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
185		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
186		nfra1 3260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
187	185, 186	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
188		fvres 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
189	188	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
190	189	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
191	190	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
192		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
193	176	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
194	193	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
195		rspa 3225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
196	192, 194, 195	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
197	191, 196	eqbrtrd 5120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
198	197	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
199	187, 198	ralrimi 3234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
200	199	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
201	200	reximdv 3151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
202	184, 201	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
203		nfra1 3260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧
204	188	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡))
205	204	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) = (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)))
206	205	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) = (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)))
207		rspa 3225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
208	206, 207	eqbrtrd 5120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
209	208	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
210	203, 209	ralrimi 3234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
212	211	reximdv 3151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
213	202, 212	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
214		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
215		nfcsb1v 3873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶
216	215	nfel1 2915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗))
217	214, 216	nfim 1897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
218		csbeq1a 3863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)
219	99, 96	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
220	218, 219	eleq12d 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗))))
221	95, 220	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))))
222		fourierdlem112.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
223	217, 221, 222	chvarfv 2247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
224	223	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
225	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 224, 106, 112, 116, 121	fourierdlem96 46446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝑖)))
226		nfcsb1v 3873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈
227	226	nfel1 2915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
228	214, 227	nfim 1897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
229		csbeq1a 3863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝑈 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)
230	99, 97	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
231	229, 230	eleq12d 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1)))))
232	95, 231	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))))
233		fourierdlem112.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
234	228, 232, 233	chvarfv 2247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
235	234	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
236	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 235, 148, 154, 116, 121	fourierdlem99 46449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖)) + 1)), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
237		eqeq1 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝑔 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
238		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑔) = (𝑋 + 𝑠))
239	238	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
240		breq2 5102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (0 < 𝑔 ↔ 0 < 𝑠))
241	240	ifbid 4503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿) = if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿))
242	239, 241	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)))
243		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → 𝑔 = 𝑠)
244	242, 243	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠))
245	237, 244	ifbieq2d 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠)))
246	245	cbvmptv 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠)))
247		eqeq1 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
248		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → 𝑜 = 𝑠)
249		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 / 2) = (𝑠 / 2))
250	249	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (sin‘(𝑜 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
251	250	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑜 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
252	248, 251	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
253	247, 252	ifbieq2d 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
254	253	cbvmptv 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
255		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) = ((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠))
256		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟) = ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠))
257	255, 256	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)) = (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠)))
258	257	cbvmptv 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠)))
259		oveq2 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑠 → ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
260	259	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑠 → (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
261	260	cbvmptv 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
262		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠))
263		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧) = ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠))
264	262, 263	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠)))
265	264	cbvmptv 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠)))
266		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐷‘𝑚) = (𝐷‘𝑛))
267	266	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐷‘𝑚)‘𝑠) = ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))
268	267	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
269	268	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
270	269	itgeq2dv 25739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
271	270	cbvmptv 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
272		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑐 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
273	272	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))
274	273	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))
275	274	mpteq2dv 5192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑))) = (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))))
276	275	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧) = ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))
277	276	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))
278	277	mpteq2dv 5192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))))
279	278	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
280	279	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
281	280	itgeq2dv 25739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠)
282	281	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π) = (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
283	282	cbvmptv 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
284		fourierdlem112.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
285		fourierdlem112.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
286		fourierdlem112.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
287		fourierdlem112.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
288		fourierdlem112.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
289		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 mod (2 · π)) = (𝑠 mod (2 · π)))
290	289	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 mod (2 · π)) = 0))
291		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠))
292	291	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)))
293		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / 2) = (𝑠 / 2))
294	293	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
295	294	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
296	292, 295	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
297	290, 296	ifbieq2d 4506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
298	297	cbvmptv 5202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
299		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑚 = 𝑘)
300	299	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑘))
301	300	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
302	301	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)))
303	299	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑚 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
304	303	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
305	304	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
306	305	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
307	302, 306	ifeq12d 4501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
308	307	mpteq2dva 5191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
309	298, 308	eqtrid 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
310	309	cbvmptv 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
311	288, 310	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
312		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (-π[,]𝑙)) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (-π[,]𝑙))
313		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))) = ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))
314		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1) = ((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)
315		isoeq1 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) ↔ 𝑤 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))))))
316	315	cbviotavw 6456	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))))) = (℩𝑤𝑤 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))
317		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑉‘𝑗) = (𝑉‘𝑖))
318	317	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑉‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
319	318	cbvmptv 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
320		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑚 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑚)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑚 + 1)))) = (℩𝑚 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑚)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑚 + 1))))
321		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠))
322		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → ((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎) = ((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))
323	322	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎)) = (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠)))
324	321, 323	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))))
325	324	cbvitgv 25734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
326	325	fveq2i 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
327	326	breq1i 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2))
328	327	anbi2i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)))
329	324	cbvitgv 25734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
330	329	fveq2i 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
331	330	breq1i 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2) ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2))
332	328, 331	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)))
333	43, 44, 45, 76, 77, 78, 122, 132, 182, 213, 225, 236, 246, 254, 258, 261, 265, 271, 283, 284, 285, 286, 287, 311, 312, 313, 314, 316, 319, 320, 332	fourierdlem103 46453	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ⇝ (𝐿 / 2))
334		nnex 12151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
335	334	mptex 7169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ∈ V
336	28, 335	eqeltri 2832	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
337	336	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
338	268	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
339	338	itgeq2dv 25739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
340	339	cbvmptv 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
341	279	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
342	341	itgeq2dv 25739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠)
343	342	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π) = (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
344	343	cbvmptv 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
345		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (𝑒[,]π)) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (𝑒[,]π))
346		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))) = ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))
347		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1) = ((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)
348		isoeq1 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) ↔ 𝑣 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))))))
349	348	cbviotavw 6456	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))))) = (℩𝑣𝑣 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))
350		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑎 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑎)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑎 + 1)))) = (℩𝑎 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑎)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑎 + 1))))
351	324	cbvitgv 25734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
352	351	fveq2i 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
353	352	breq1i 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2) ↔ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2))
354	353	anbi2i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)))
355	324	cbvitgv 25734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
356	355	fveq2i 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
357	356	breq1i 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2))
358	354, 357	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)))
359	43, 44, 45, 76, 77, 78, 122, 132, 182, 213, 225, 236, 246, 254, 258, 261, 265, 340, 344, 284, 285, 286, 287, 311, 345, 346, 347, 349, 319, 350, 358	fourierdlem104 46454	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ⇝ (𝑅 / 2))
360		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
361	270	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
362		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
363		elioore 13291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
364	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
365	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
366		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
367	365, 366	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
368	364, 367	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
369	368	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
370	288	dirkerre 46339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
371	370	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
372	369, 371	remulcld 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
373	363, 372	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
374		ioossicc 13349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
375	61	leidi 11671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ≤ -π
376	62, 54, 60	ltleii 11256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ π
377		iccss 13330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ -π ∧ 0 ≤ π)) → (-π[,]0) ⊆ (-π[,]π))
378	61, 54, 375, 376, 377	mp4an 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-π[,]0) ⊆ (-π[,]π)
379	374, 378	sstri 3943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π)
380	379	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π))
381		ioombl 25522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)0) ∈ dom vol
382	381	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ∈ dom vol)
383	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
384	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
385	56, 55	iccssred 13350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
386	385	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
387	384, 386	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
388	383, 387	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
389	388	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
390		iccssre 13345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
391	61, 54, 390	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
392	391	sseli 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
393	392, 370	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
394	393	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
395	389, 394	remulcld 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
396	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
397	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
398	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
399	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
400	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
401	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁))
402	122	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
403	225	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝑖)))
404	236	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖)) + 1)), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
405	288	dirkercncf 46351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
406	405	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
407		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
408	396, 397, 398, 399, 45, 400, 401, 402, 403, 404, 319, 51, 406, 407	fourierdlem84 46434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
409	380, 382, 395, 408	iblss 25762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
410	373, 409	itgcl 25741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℂ)
411	360, 361, 362, 410	fvmptd 6948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
412	411, 410	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
413		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
414	339	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
415	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
416	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
417		elioore 13291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
418	417	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
419	416, 418	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
420	415, 419	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
421	420	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
422	417, 370	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
423	422	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
424	421, 423	remulcld 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
425		ioossicc 13349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
426	61, 62, 59	ltleii 11256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ≤ 0
427	54	leidi 11671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ≤ π
428		iccss 13330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 0 ∧ π ≤ π)) → (0[,]π) ⊆ (-π[,]π))
429	61, 54, 426, 427, 428	mp4an 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0[,]π) ⊆ (-π[,]π)
430	425, 429	sstri 3943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)π) ⊆ (-π[,]π)
431	430	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ⊆ (-π[,]π))
432		ioombl 25522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)π) ∈ dom vol
433	432	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ∈ dom vol)
434	431, 433, 395, 408	iblss 25762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
435	424, 434	itgcl 25741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℂ)
436	413, 414, 362, 435	fvmptd 6948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
437	436, 435	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
438		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ))
439	438	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)))
440		fveq2 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑍‘𝑚) = (𝑍‘𝑛))
441	270, 339	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
442	440, 441	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ↔ (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)))
443	439, 442	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))))
444		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑥))
445	444	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑚 · 𝑥)))
446	445	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))))
447	446	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))))
448	447	itgeq2dv 25739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥)
449	448	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
450	449	cbvmptv 5202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
451	29, 450	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
452		fourierdlem112.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
453	444	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑚 · 𝑥)))
454	453	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))))
455	454	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))))
456	455	itgeq2dv 25739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥)
457	456	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
458	457	cbvmptv 5202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
459	452, 458	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
460		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑘))
461		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
462	461	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
463	460, 462	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
464		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑘))
465	461	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
466	464, 465	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
467	463, 466	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
468	467	cbvsumv 15619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
469	468	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
470	469	mpteq2i 5194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
471		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1...𝑚) = (1...𝑛))
472	471	sumeq1d 15623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
473	472	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
474	473	cbvmptv 5202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
475		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑚))
476		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
477	476	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) = (cos‘(𝑚 · 𝑋)))
478	475, 477	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))))
479		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
480	476	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) = (sin‘(𝑚 · 𝑋)))
481	479, 480	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))
482	478, 481	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋)))))
483	482	cbvsumv 15619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))
484	483	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋)))))
485	484	mpteq2i 5194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
486	474, 485	eqtri 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
487	28, 470, 486	3eqtri 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
488		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑦) = (𝑋 + 𝑥))
489	488	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
490		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐷‘𝑚)‘𝑦) = ((𝐷‘𝑚)‘𝑥))
491	489, 490	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑥)))
492	491	cbvmptv 5202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑥)))
493		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
494		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
495	494	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑄‘𝑖) − 𝑋))
496	495	cbvmptv 5202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑖) − 𝑋))
497	451, 459, 487, 288, 51, 52, 53, 146, 43, 92, 492, 103, 222, 233, 48, 493, 496	fourierdlem111 46461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
498	443, 497	chvarvv 1990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
499	411, 436	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛)) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
500	498, 499	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛)))
501	16, 24, 27, 42, 14, 15, 333, 337, 359, 412, 437, 500	climaddf 45861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ ((𝐿 / 2) + (𝑅 / 2)))
502		limccl 25832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ⊆ ℂ
503	502, 285	sselid 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
504		limccl 25832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ⊆ ℂ
505	504, 284	sselid 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
506		2cnd 12223	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
507		2pos 12248	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
508	507	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
509	508	gt0ne0d 11701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
510	503, 505, 506, 509	divdird 11955	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 + 𝑅) / 2) = ((𝐿 / 2) + (𝑅 / 2)))
511	501, 510	breqtrrd 5126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ ((𝐿 + 𝑅) / 2))
512		0nn0 12416	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
513	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
514		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-π(,)π) = (-π(,)π)
515		ioossre 13323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
516	515	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ ℝ)
517	43, 516	feqresmpt 6903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)))
518		ioossicc 13349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
519	518	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π))
520		ioombl 25522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ∈ dom vol
521	520	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ∈ dom vol)
522	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
523	385	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
524	522, 523	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
525	43, 385	feqresmpt 6903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹‘𝑥)))
526	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
527	43, 526	fssd 6679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
528	527, 385	fssresd 6701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)):(-π[,]π)⟶ℂ)
529		ioossicc 13349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
530	61	rexri 11190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -π ∈ ℝ*
531	530	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
532	54	rexri 11190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π ∈ ℝ*
533	532	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
534	51, 52, 53	fourierdlem15 46366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
535	534	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
536		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
537	531, 533, 535, 536	fourierdlem8 46359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
538	529, 537	sstrid 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
539	538	resabs1d 5967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
540	539, 103	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
541	539	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
542	541	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
543	222, 542	eleqtrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
544	541	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
545	233, 544	eleqtrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
546	51, 52, 53, 528, 540, 543, 545	fourierdlem69 46419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) ∈ 𝐿1)
547	525, 546	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
548	519, 521, 524, 547	iblss 25762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
549	517, 548	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
550	549	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
551		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
552	513, 514, 550, 29, 551	fourierdlem16 46367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((𝐴‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
553	552	simplld 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℝ)
554	512, 553	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℝ)
555	554	rehalfcld 12388	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℝ)
556	555	recnd 11160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℂ)
557	334	mptex 7169	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ∈ V
558	557	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ∈ V)
559		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
560	555	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℝ)
561		fzfid 13896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1...𝑚) ∈ Fin)
562		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → 𝜑)
563		elfznn 13469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
564	563	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
565		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
566	362	nnnn0d 12462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
567		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑛 ∈ ℕ0))
568	567	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))
569		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
570	569	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ))
571	568, 570	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)))
572	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
573	549	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
574		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
575	572, 514, 573, 29, 574	fourierdlem16 46367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
576	575	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
577	571, 576	chvarvv 1990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)
578	565, 566, 577	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)
579	362	nnred 12160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
580	579, 399	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℝ)
581	580	recoscld 16069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
582	578, 581	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
583		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ))
584	583	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)))
585		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑛))
586	585	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐵‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ))
587	584, 586	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)))
588	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
589	549	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
590		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
591	588, 514, 589, 452, 590	fourierdlem21 46372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐵‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
592	591	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
593	587, 592	chvarvv 1990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)
594	580	resincld 16068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
595	593, 594	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
596	582, 595	readdcld 11161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
597	562, 564, 596	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
598	561, 597	fsumrecl 15657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
599	560, 598	readdcld 11161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ ℝ)
600	28	fvmpt2 6952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ ℝ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
601	559, 599, 600	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
602	601, 599	eqeltrd 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) ∈ ℝ)
603	602	recnd 11160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) ∈ ℂ)
604		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
605		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1...𝑛) = (1...𝑚))
606	605	sumeq1d 15623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
607	606	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑚) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
608		sumex 15611	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V
609	608	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V)
610	604, 607, 559, 609	fvmptd 6948	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
611	560	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℂ)
612	598	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
613	611, 612	pncan2d 11494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
614	613, 468	eqtr2di 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)))
615		ovex 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ V
616	28	fvmpt2 6952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ V) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
617	559, 615, 616	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
618	617	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑍‘𝑚))
619	618	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)) = ((𝑍‘𝑚) − ((𝐴‘0) / 2)))
620	610, 614, 619	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑚) = ((𝑍‘𝑚) − ((𝐴‘0) / 2)))
621	14, 15, 511, 556, 558, 603, 620	climsubc1 15561	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
622		seqex 13926	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ∈ V
623	622	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ∈ V)
624		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
625		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (1...𝑛) = (1...𝑙))
626	625	sumeq1d 15623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
627	626	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑙) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
628		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ)
629		fzfid 13896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (1...𝑙) ∈ Fin)
630		elfznn 13469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ)
631	630	nnnn0d 12462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ0)
632	631, 576	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
633	630	nnred 12160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℝ)
634	633	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑘 ∈ ℝ)
635	146	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑋 ∈ ℝ)
636	634, 635	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
637	636	recoscld 16069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
638	632, 637	remulcld 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
639	630, 592	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
640	636	resincld 16068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
641	639, 640	remulcld 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
642	638, 641	readdcld 11161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
643	642	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
644	629, 643	fsumrecl 15657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
645	624, 627, 628, 644	fvmptd 6948	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑙) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
646		eleq1w 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑙 ∈ ℕ))
647	646	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ)))
648		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
649	626, 648	eqeq12d 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛) ↔ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙)))
650	647, 649	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))))
651		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))
652		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑘))
653		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
654	653	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (cos‘(𝑗 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
655	652, 654	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
656		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑘))
657	653	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (sin‘(𝑗 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
658	656, 657	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
659	655, 658	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
660	659	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
661		elfznn 13469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
662	661	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
663		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
664		nnnn0 12408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
665		nn0re 12410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
666	665	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
667	146	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
668	666, 667	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
669	668	recoscld 16069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
670	576, 669	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
671	664, 670	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
672	664, 668	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
673	672	resincld 16068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
674	592, 673	remulcld 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
675	671, 674	readdcld 11161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
676	663, 662, 675	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
677	651, 660, 662, 676	fvmptd 6948	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))‘𝑘) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
678	362, 14	eleqtrdi 2846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
679	676	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
680	677, 678, 679	fsumser 15653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛))
681	650, 680	chvarvv 1990	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
682	645, 681	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑙) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
683	14, 558, 623, 15, 682	climeq 15490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ↔ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))))
684	621, 683	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
685	13, 684	eqbrtrd 5120	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
686		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))
687		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑛))
688		oveq1 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
689	688	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (cos‘(𝑗 · 𝑋)) = (cos‘(𝑛 · 𝑋)))
690	687, 689	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))
691		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑛))
692	688	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (sin‘(𝑗 · 𝑋)) = (sin‘(𝑛 · 𝑋)))
693	691, 692	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
694	690, 693	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
695	694	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑛) → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
696	686, 695, 362, 596	fvmptd 6948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))‘𝑛) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
697	596	recnd 11160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
698	14, 15, 696, 697, 684	isumclim 15680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
699	698	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))))
700	503, 505	addcld 11151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 + 𝑅) ∈ ℂ)
701	700	halfcld 12386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 + 𝑅) / 2) ∈ ℂ)
702	556, 701	pncan3d 11495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
703	699, 702	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
704	685, 703	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440  ⦋csb 3849   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ifcif 4479  {cpr 4582   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626  ℩cio 6446  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492   Isom wiso 6493  ℩crio 7314  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  supcsup 9343  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  +∞cpnf 11163  -∞cmnf 11164  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  -cneg 11365   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905  (,)cioo 13261  (,]cioc 13262  [,]cicc 13264  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  ⌊cfl 13710   mod cmo 13789  seqcseq 13924  ♯chash 14253  abscabs 15157   ⇝ cli 15407  Σcsu 15609  sincsin 15986  cosccos 15987  πcpi 15989  –cn→ccncf 24825  volcvol 25420  𝐿¹cibl 25574  ∫citg 25575   lim_ℂ climc 25819   D cdv 25820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-symdif 4205  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-t1 23258  df-haus 23259  df-cmp 23331  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576  df-itg1 25577  df-itg2 25578  df-ibl 25579  df-itg 25580  df-0p 25627  df-ditg 25804  df-limc 25823  df-dv 25824

This theorem is referenced by:  fourierdlem113  46463