Theorem fourierdlem112 46792

Description: Here abbreviations (local definitions) are introduced to prove the fourier 46799 theorem. (𝑍‘𝑚) is the m_th partial sum of the fourier series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem112.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem112.d	⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
fourierdlem112.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem112.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem112.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem112.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
fourierdlem112.v	⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
fourierdlem112.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem112.xran	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem112.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem112.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem112.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem112.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem112.u	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem112.fdvcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem112.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem112.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem112.z	⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
fourierdlem112.23	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
fourierdlem112.fbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
fourierdlem112.fdvbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
fourierdlem112.25	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem112	⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   𝑡,𝑅,𝑧   𝑧,𝑋   𝑡,𝑁,𝑤,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦   𝑖,𝑁,𝑚,𝑤   𝐶,𝑚,𝑥   𝑄,𝑓,𝑖,𝑡,𝑦   𝑓,𝑀,𝑚,𝑥   𝑡,𝐿   𝑥,𝑉   𝑤,𝐿,𝑧   𝑚,𝑍   𝑛,𝑉,𝑝   𝑅,𝑘,𝑛   𝑤,𝐹   𝑛,𝑋,𝑝   𝑡,𝑚   𝑥,𝑋   𝐷,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑥   𝑘,𝐹,𝑡,𝑧   𝑖,𝑀,𝑛,𝑝,𝑦   𝑛,𝑁,𝑝   𝑖,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐵,𝑘,𝑚,𝑛   𝑇,𝑛,𝑝,𝑦,𝑖   𝑖,𝑉,𝑤,𝑧   𝜑,𝑚,𝑛   𝑓,𝑁,𝑦   𝑡,𝐶   𝑓,𝑉,𝑘,𝑚,𝑡   𝑡,𝑀   𝜑,𝑘   𝑇,𝑘,𝑚,𝑥,𝑓   𝑡,𝑇   𝑅,𝑖,𝑚,𝑤   𝑄,𝑚,𝑛,𝑥   𝑥,𝑁   𝑓,𝑋,𝑘,𝑦   𝑄,𝑘,𝑝   𝑡,𝑈   𝑖,𝑋,𝑚,𝑡,𝑤,𝑧   𝜑,𝑖,𝑡,𝑤,𝑧   𝑖,𝐿,𝑘,𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑝)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑘,𝑛,𝑝)   𝐷(𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑄(𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑇(𝑧,𝑤)   𝑈(𝑦,𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑘,𝑛,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑝)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑓,𝑝)   𝑀(𝑧,𝑤,𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑖,𝑘,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem112

Dummy variables 𝑗 𝑙 𝑎 𝑐 𝑟 𝑠 𝑒 𝑞 𝑏 𝑢 ℎ 𝑔 𝑣 𝑜 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem112.23	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
2		fveq2 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑗))
3		oveq1 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑗 · 𝑋))
4	3	fveq2d 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑗 · 𝑋)))
5	2, 4	oveq12d 7414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))))
6		fveq2 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑗))
7	3	fveq2d 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑗 · 𝑋)))
8	6, 7	oveq12d 7414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))
9	5, 8	oveq12d 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
10	9	cbvmptv 5204	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
11	1, 10	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
12		seqeq3 14019	. . . 4 ⊢ (𝑆 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))))
13	11, 12	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))))
14		nnuz 12878	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15		1zzd 12602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		nfv 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
17		nfcv 2924	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
18		nfcv 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(-π(,)0)
19		nfcv 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))
20		nfcv 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
21		nfcv 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐷‘𝑚)‘𝑠)
22	19, 20, 21	nfov 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠))
23	18, 22	nfitg 25837	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠
24	17, 23	nfmpt 5198	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
25		nfcv 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(0(,)π)
26	25, 22	nfitg 25837	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠
27	17, 26	nfmpt 5198	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
28		fourierdlem112.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
29		fourierdlem112.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
30		nfmpt1 5199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
31	29, 30	nfcxfr 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
32		nfcv 2924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛0
33	31, 32	nffv 6877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘0)
34		nfcv 2924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 /
35		nfcv 2924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛2
36	33, 34, 35	nfov 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐴‘0) / 2)
37		nfcv 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 +
38		nfcv 2924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(1...𝑚)
39	38	nfsum1 15717	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
40	36, 37, 39	nfov 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
41	17, 40	nfmpt 5198	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
42	28, 41	nfcxfr 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
43		fourierdlem112.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
44		fourierdlem112.25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
45		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
46		picn 26521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
47	46	2timesi 12355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) = (π + π)
48		fourierdlem112.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
49	46, 46	subnegi 11510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π − -π) = (π + π)
50	47, 48, 49	3eqtr4i 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (π − -π)
51		fourierdlem112.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
52		fourierdlem112.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
53		fourierdlem112.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
54		pire 26519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
56	55	renegcld 11614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
57	56, 44	readdcld 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
58	55, 44	readdcld 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
59		negpilt0 45860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π < 0
60		pipos 26523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
61	54	renegcli 11492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
62		0re 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
63	61, 62, 54	lttri 11309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
64	59, 60, 63	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π < π
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -π < π)
66	56, 55, 44, 65	ltadd1dd 11798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) < (π + 𝑋))
67		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
68	67	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
69	68	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
70	69	cbvrabv 3424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
71	70	uneq2i 4118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
72		fourierdlem112.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = ((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
73		fourierdlem112.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
74	50, 51, 52, 53, 57, 58, 66, 45, 71, 72, 73	fourierdlem54 46734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁)) ∧ 𝑉 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
75	74	simpld 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁)))
76	75	simpld 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
77	75	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁))
78		fourierdlem112.xran	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
79	43	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
80		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘𝑗))
81		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
82	81	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
83	80, 82	breq12d 5113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
84	83	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
85	84	anbi2i 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) → ((((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
87	86	rabbiia 3418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}
88	87	mpteq2i 5196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
89	51, 88	eqtri 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
90	52	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
91	53	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
92		fourierdlem112.fper	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
93	92	adantlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
94		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
95	94	anbi2d 639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
96		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗))
97	81	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
98	96, 97	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
99	98	reseq2d 5965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
100	98	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) = (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
101	99, 100	eleq12d 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ)))
102	95, 101	imbi12d 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))))
103		fourierdlem112.fcn	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
104	102, 103	chvarvv 2009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
105	104	adantlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
106	57	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
107	57	rexrd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ*)
108		pnfxr 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
110	58	ltpnfd 13123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) < +∞)
111	107, 109, 58, 66, 110	eliood 46074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
112	111	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
113		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
114	72	oveq2i 7407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1))
115	113, 114	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
116	115	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
117	72	oveq2i 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...𝑁) = (0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1))
118		isoeq4 7304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0...𝑁) = (0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
119	117, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
120	119	iotabii 6506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
121	73, 120	eqtri 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
122	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 106, 112, 116, 121	fourierdlem98 46778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
123		fourierdlem112.fbd	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
124	123	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
125		nfra1 3286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤
126		elioore 13379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
127		rspa 3251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
128	126, 127	sylan2 602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
129	128	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
130	125, 129	ralrimi 3260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
131	130	reximi 3100	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
132	124, 131	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
133		ssid 3958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
134		dvfre 26013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
135	43, 133, 134	sylancl 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
136	135	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
137		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
138	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ)
139	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ)
140	98	reseq2d 5965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
141	140, 100	eleq12d 2856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ)))
142	95, 141	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))))
143		fourierdlem112.fdvcn	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
144	142, 143	chvarvv 2009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
145	144	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
146		fourierdlem112.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
147	56, 146	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
148	147	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
149	147	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ*)
150	55, 146	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
151	56, 55, 146, 65	ltadd1dd 11798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) < (π + 𝑋))
152	150	ltpnfd 13123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) < +∞)
153	149, 109, 150, 151, 152	eliood 46074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
154	153	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
155		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑘 · 𝑇) = (ℎ · 𝑇))
156	155	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (ℎ · 𝑇)))
157	156	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = ℎ → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
158	157	cbvrexvw 3241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
159	158	rgenw 3080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∀𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋))(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
160		rabbi 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋))(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
161	159, 160	mpbi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
162	161	uneq2i 4118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
163		isoeq5 7305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
164	162, 163	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
165	164	iotabii 6506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
166	121, 165	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
167		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹)))
168		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑣) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑢))
169	167, 168	ifbieq1d 4505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → if(𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑣), 0) = if(𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑢), 0))
170	169	cbvmptv 5204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ if(𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑣), 0)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑢), 0))
171	79, 137, 89, 138, 139, 50, 90, 91, 93, 145, 148, 154, 116, 166, 170	fourierdlem97 46777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
172		cncff 24955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
173		fdm 6701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
174	171, 172, 173	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
175		ssdmres 5999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
176	174, 175	sylibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
177	136, 176	fssresd 6731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
178		ax-resscn 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
180		cncfcdm 24960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ))
181	179, 171, 180	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ))
182	177, 181	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
183		fourierdlem112.fdvbd	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
184	183	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
185		nfv 1934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
186		nfra1 3286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
187	185, 186	nfan 1919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
188		fvres 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
189	188	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
190	189	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
191	190	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
192		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
193	176	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
194	193	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
195		rspa 3251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
196	192, 194, 195	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
197	191, 196	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
198	197	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
199	187, 198	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
200	199	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
201	200	reximdv 3177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
202	184, 201	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
203		nfra1 3286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧
204	188	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡))
205	204	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) = (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)))
206	205	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) = (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)))
207		rspa 3251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
208	206, 207	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
209	208	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
210	203, 209	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
212	211	reximdv 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
213	202, 212	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
214		nfv 1934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
215		nfcsb1v 3876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶
216	215	nfel1 2940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗))
217	214, 216	nfim 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
218		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)
219	99, 96	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
220	218, 219	eleq12d 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗))))
221	95, 220	imbi12d 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))))
222		fourierdlem112.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
223	217, 221, 222	chvarfv 2275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
224	223	adantlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
225	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 224, 106, 112, 116, 121	fourierdlem96 46776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝑖)))
226		nfcsb1v 3876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈
227	226	nfel1 2940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
228	214, 227	nfim 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
229		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝑈 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)
230	99, 97	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
231	229, 230	eleq12d 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1)))))
232	95, 231	imbi12d 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))))
233		fourierdlem112.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
234	228, 232, 233	chvarfv 2275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
235	234	adantlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
236	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 235, 148, 154, 116, 121	fourierdlem99 46779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖)) + 1)), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
237		eqeq1 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝑔 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
238		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑔) = (𝑋 + 𝑠))
239	238	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
240		breq2 5104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (0 < 𝑔 ↔ 0 < 𝑠))
241	240	ifbid 4504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿) = if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿))
242	239, 241	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)))
243		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → 𝑔 = 𝑠)
244	242, 243	oveq12d 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠))
245	237, 244	ifbieq2d 4507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠)))
246	245	cbvmptv 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠)))
247		eqeq1 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
248		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → 𝑜 = 𝑠)
249		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 / 2) = (𝑠 / 2))
250	249	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (sin‘(𝑜 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
251	250	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑜 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
252	248, 251	oveq12d 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
253	247, 252	ifbieq2d 4507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
254	253	cbvmptv 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
255		fveq2 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) = ((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠))
256		fveq2 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟) = ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠))
257	255, 256	oveq12d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)) = (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠)))
258	257	cbvmptv 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠)))
259		oveq2 7404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑠 → ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
260	259	fveq2d 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑠 → (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
261	260	cbvmptv 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
262		fveq2 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠))
263		fveq2 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧) = ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠))
264	262, 263	oveq12d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠)))
265	264	cbvmptv 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠)))
266		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐷‘𝑚) = (𝐷‘𝑛))
267	266	fveq1d 6869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐷‘𝑚)‘𝑠) = ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))
268	267	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
269	268	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
270	269	itgeq2dv 25844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
271	270	cbvmptv 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
272		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑐 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
273	272	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))
274	273	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))
275	274	mpteq2dv 5194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑))) = (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))))
276	275	fveq1d 6869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧) = ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))
277	276	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))
278	277	mpteq2dv 5194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))))
279	278	fveq1d 6869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
280	279	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
281	280	itgeq2dv 25844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠)
282	281	oveq1d 7411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π) = (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
283	282	cbvmptv 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
284		fourierdlem112.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
285		fourierdlem112.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
286		fourierdlem112.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
287		fourierdlem112.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
288		fourierdlem112.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
289		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 mod (2 · π)) = (𝑠 mod (2 · π)))
290	289	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 mod (2 · π)) = 0))
291		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠))
292	291	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)))
293		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / 2) = (𝑠 / 2))
294	293	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
295	294	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
296	292, 295	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
297	290, 296	ifbieq2d 4507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
298	297	cbvmptv 5204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
299		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑚 = 𝑘)
300	299	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑘))
301	300	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
302	301	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)))
303	299	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑚 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
304	303	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
305	304	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
306	305	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
307	302, 306	ifeq12d 4502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
308	307	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
309	298, 308	eqtrid 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
310	309	cbvmptv 5204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
311	288, 310	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
312		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (-π[,]𝑙)) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (-π[,]𝑙))
313		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))) = ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))
314		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1) = ((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)
315		isoeq1 7301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) ↔ 𝑤 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))))))
316	315	cbviotavw 6485	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))))) = (℩𝑤𝑤 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))
317		fveq2 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑉‘𝑗) = (𝑉‘𝑖))
318	317	oveq1d 7411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑉‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
319	318	cbvmptv 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
320		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑚 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑚)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑚 + 1)))) = (℩𝑚 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑚)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑚 + 1))))
321		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠))
322		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → ((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎) = ((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))
323	322	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎)) = (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠)))
324	321, 323	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))))
325	324	cbvitgv 25839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
326	325	fveq2i 6870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
327	326	breq1i 5107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2))
328	327	anbi2i 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)))
329	324	cbvitgv 25839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
330	329	fveq2i 6870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
331	330	breq1i 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2) ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2))
332	328, 331	anbi12i 637	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)))
333	43, 44, 45, 76, 77, 78, 122, 132, 182, 213, 225, 236, 246, 254, 258, 261, 265, 271, 283, 284, 285, 286, 287, 311, 312, 313, 314, 316, 319, 320, 332	fourierdlem103 46783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ⇝ (𝐿 / 2))
334		nnex 12216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
335	334	mptex 7207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ∈ V
336	28, 335	eqeltri 2858	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
337	336	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
338	268	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
339	338	itgeq2dv 25844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
340	339	cbvmptv 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
341	279	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
342	341	itgeq2dv 25844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠)
343	342	oveq1d 7411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π) = (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
344	343	cbvmptv 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
345		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (𝑒[,]π)) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (𝑒[,]π))
346		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))) = ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))
347		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1) = ((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)
348		isoeq1 7301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) ↔ 𝑣 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))))))
349	348	cbviotavw 6485	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))))) = (℩𝑣𝑣 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))
350		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑎 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑎)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑎 + 1)))) = (℩𝑎 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑎)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑎 + 1))))
351	324	cbvitgv 25839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
352	351	fveq2i 6870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
353	352	breq1i 5107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2) ↔ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2))
354	353	anbi2i 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)))
355	324	cbvitgv 25839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
356	355	fveq2i 6870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
357	356	breq1i 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2))
358	354, 357	anbi12i 637	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)))
359	43, 44, 45, 76, 77, 78, 122, 132, 182, 213, 225, 236, 246, 254, 258, 261, 265, 340, 344, 284, 285, 286, 287, 311, 345, 346, 347, 349, 319, 350, 358	fourierdlem104 46784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ⇝ (𝑅 / 2))
360		eqidd 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
361	270	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
362		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
363		elioore 13379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
364	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
365	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
366		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
367	365, 366	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
368	364, 367	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
369	368	adantlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
370	288	dirkerre 46669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
371	370	adantll 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
372	369, 371	remulcld 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
373	363, 372	sylan2 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
374		ioossicc 13437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
375	61	leidi 11721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ≤ -π
376	62, 54, 60	ltleii 11306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ π
377		iccss 13418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ -π ∧ 0 ≤ π)) → (-π[,]0) ⊆ (-π[,]π))
378	61, 54, 375, 376, 377	mp4an 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-π[,]0) ⊆ (-π[,]π)
379	374, 378	sstri 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π)
380	379	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π))
381		ioombl 25627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)0) ∈ dom vol
382	381	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ∈ dom vol)
383	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
384	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
385	56, 55	iccssred 13438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
386	385	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
387	384, 386	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
388	383, 387	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
389	388	adantlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
390		iccssre 13433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
391	61, 54, 390	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
392	391	sseli 3932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
393	392, 370	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
394	393	adantll 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
395	389, 394	remulcld 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
396	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
397	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
398	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
399	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
400	76	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
401	77	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁))
402	122	adantlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
403	225	adantlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝑖)))
404	236	adantlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖)) + 1)), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
405	288	dirkercncf 46681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
406	405	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
407		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
408	396, 397, 398, 399, 45, 400, 401, 402, 403, 404, 319, 51, 406, 407	fourierdlem84 46764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
409	380, 382, 395, 408	iblss 25867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
410	373, 409	itgcl 25846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℂ)
411	360, 361, 362, 410	fvmptd 6983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
412	411, 410	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
413		eqidd 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
414	339	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
415	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
416	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
417		elioore 13379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
418	417	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
419	416, 418	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
420	415, 419	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
421	420	adantlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
422	417, 370	sylan2 602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
423	422	adantll 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
424	421, 423	remulcld 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
425		ioossicc 13437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
426	61, 62, 59	ltleii 11306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ≤ 0
427	54	leidi 11721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ≤ π
428		iccss 13418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 0 ∧ π ≤ π)) → (0[,]π) ⊆ (-π[,]π))
429	61, 54, 426, 427, 428	mp4an 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0[,]π) ⊆ (-π[,]π)
430	425, 429	sstri 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)π) ⊆ (-π[,]π)
431	430	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ⊆ (-π[,]π))
432		ioombl 25627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)π) ∈ dom vol
433	432	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ∈ dom vol)
434	431, 433, 395, 408	iblss 25867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
435	424, 434	itgcl 25846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℂ)
436	413, 414, 362, 435	fvmptd 6983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
437	436, 435	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
438		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ))
439	438	anbi2d 639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)))
440		fveq2 6867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑍‘𝑚) = (𝑍‘𝑛))
441	270, 339	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
442	440, 441	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ↔ (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)))
443	439, 442	imbi12d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))))
444		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑥))
445	444	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑚 · 𝑥)))
446	445	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))))
447	446	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))))
448	447	itgeq2dv 25844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥)
449	448	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
450	449	cbvmptv 5204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
451	29, 450	eqtri 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
452		fourierdlem112.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
453	444	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑚 · 𝑥)))
454	453	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))))
455	454	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))))
456	455	itgeq2dv 25844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥)
457	456	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
458	457	cbvmptv 5204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
459	452, 458	eqtri 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
460		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑘))
461		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
462	461	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
463	460, 462	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
464		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑘))
465	461	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
466	464, 465	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
467	463, 466	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
468	467	cbvsumv 15723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
469	468	oveq2i 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
470	469	mpteq2i 5196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
471		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1...𝑚) = (1...𝑛))
472	471	sumeq1d 15727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
473	472	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
474	473	cbvmptv 5204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
475		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑚))
476		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
477	476	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) = (cos‘(𝑚 · 𝑋)))
478	475, 477	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))))
479		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
480	476	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) = (sin‘(𝑚 · 𝑋)))
481	479, 480	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))
482	478, 481	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋)))))
483	482	cbvsumv 15723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))
484	483	oveq2i 7407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋)))))
485	484	mpteq2i 5196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
486	474, 485	eqtri 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
487	28, 470, 486	3eqtri 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
488		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑦) = (𝑋 + 𝑥))
489	488	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
490		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐷‘𝑚)‘𝑦) = ((𝐷‘𝑚)‘𝑥))
491	489, 490	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑥)))
492	491	cbvmptv 5204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑥)))
493		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
494		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
495	494	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑄‘𝑖) − 𝑋))
496	495	cbvmptv 5204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑖) − 𝑋))
497	451, 459, 487, 288, 51, 52, 53, 146, 43, 92, 492, 103, 222, 233, 48, 493, 496	fourierdlem111 46791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
498	443, 497	chvarvv 2009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
499	411, 436	oveq12d 7414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛)) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
500	498, 499	eqtr4d 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛)))
501	16, 24, 27, 42, 14, 15, 333, 337, 359, 412, 437, 500	climaddf 46191	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ ((𝐿 / 2) + (𝑅 / 2)))
502		limccl 25937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ⊆ ℂ
503	502, 285	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
504		limccl 25937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ⊆ ℂ
505	504, 284	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
506		2cnd 12296	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
507		2pos 12322	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
508	507	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
509	508	gt0ne0d 11751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
510	503, 505, 506, 509	divdird 12005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 + 𝑅) / 2) = ((𝐿 / 2) + (𝑅 / 2)))
511	501, 510	breqtrrd 5128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ ((𝐿 + 𝑅) / 2))
512		0nn0 12496	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
513	43	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
514		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-π(,)π) = (-π(,)π)
515		ioossre 13411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
516	515	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ ℝ)
517	43, 516	feqresmpt 6936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)))
518		ioossicc 13437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
519	518	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π))
520		ioombl 25627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ∈ dom vol
521	520	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ∈ dom vol)
522	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
523	385	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
524	522, 523	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
525	43, 385	feqresmpt 6936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹‘𝑥)))
526	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
527	43, 526	fssd 6709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
528	527, 385	fssresd 6731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)):(-π[,]π)⟶ℂ)
529		ioossicc 13437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
530	61	rexri 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -π ∈ ℝ*
531	530	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
532	54	rexri 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π ∈ ℝ*
533	532	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
534	51, 52, 53	fourierdlem15 46696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
535	534	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
536		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
537	531, 533, 535, 536	fourierdlem8 46689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
538	529, 537	sstrid 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
539	538	resabs1d 5994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
540	539, 103	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
541	539	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
542	541	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
543	222, 542	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
544	541	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
545	233, 544	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
546	51, 52, 53, 528, 540, 543, 545	fourierdlem69 46749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) ∈ 𝐿1)
547	525, 546	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
548	519, 521, 524, 547	iblss 25867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
549	517, 548	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
550	549	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
551		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
552	513, 514, 550, 29, 551	fourierdlem16 46697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((𝐴‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
553	552	simplld 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℝ)
554	512, 553	mpan2 701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℝ)
555	554	rehalfcld 12468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℝ)
556	555	recnd 11210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℂ)
557	334	mptex 7207	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ∈ V
558	557	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ∈ V)
559		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
560	555	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℝ)
561		fzfid 13986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1...𝑚) ∈ Fin)
562		simpll 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → 𝜑)
563		elfznn 13558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
564	563	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
565		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
566	362	nnnn0d 12542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
567		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑛 ∈ ℕ0))
568	567	anbi2d 639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))
569		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
570	569	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ))
571	568, 570	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)))
572	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
573	549	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
574		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
575	572, 514, 573, 29, 574	fourierdlem16 46697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
576	575	simplld 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
577	571, 576	chvarvv 2009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)
578	565, 566, 577	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)
579	362	nnred 12225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
580	579, 399	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℝ)
581	580	recoscld 16176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
582	578, 581	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
583		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ))
584	583	anbi2d 639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)))
585		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑛))
586	585	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐵‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ))
587	584, 586	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)))
588	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
589	549	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
590		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
591	588, 514, 589, 452, 590	fourierdlem21 46702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐵‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
592	591	simplld 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
593	587, 592	chvarvv 2009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)
594	580	resincld 16175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
595	593, 594	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
596	582, 595	readdcld 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
597	562, 564, 596	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
598	561, 597	fsumrecl 15761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
599	560, 598	readdcld 11211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ ℝ)
600	28	fvmpt2 6987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ ℝ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
601	559, 599, 600	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
602	601, 599	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) ∈ ℝ)
603	602	recnd 11210	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) ∈ ℂ)
604		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
605		oveq2 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1...𝑛) = (1...𝑚))
606	605	sumeq1d 15727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
607	606	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑚) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
608		sumex 15715	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V
609	608	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V)
610	604, 607, 559, 609	fvmptd 6983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
611	560	recnd 11210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℂ)
612	598	recnd 11210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
613	611, 612	pncan2d 11544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
614	613, 468	eqtr2di 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)))
615		ovex 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ V
616	28	fvmpt2 6987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ V) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
617	559, 615, 616	sylancl 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
618	617	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑍‘𝑚))
619	618	oveq1d 7411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)) = ((𝑍‘𝑚) − ((𝐴‘0) / 2)))
620	610, 614, 619	3eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑚) = ((𝑍‘𝑚) − ((𝐴‘0) / 2)))
621	14, 15, 511, 556, 558, 603, 620	climsubc1 15665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
622		seqex 14016	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ∈ V
623	622	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ∈ V)
624		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
625		oveq2 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (1...𝑛) = (1...𝑙))
626	625	sumeq1d 15727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
627	626	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑙) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
628		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ)
629		fzfid 13986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (1...𝑙) ∈ Fin)
630		elfznn 13558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ)
631	630	nnnn0d 12542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ0)
632	631, 576	sylan2 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
633	630	nnred 12225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℝ)
634	633	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑘 ∈ ℝ)
635	146	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑋 ∈ ℝ)
636	634, 635	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
637	636	recoscld 16176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
638	632, 637	remulcld 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
639	630, 592	sylan2 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
640	636	resincld 16175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
641	639, 640	remulcld 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
642	638, 641	readdcld 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
643	642	adantlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
644	629, 643	fsumrecl 15761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
645	624, 627, 628, 644	fvmptd 6983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑙) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
646		eleq1w 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑙 ∈ ℕ))
647	646	anbi2d 639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ)))
648		fveq2 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
649	626, 648	eqeq12d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛) ↔ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙)))
650	647, 649	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))))
651		eqidd 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))
652		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑘))
653		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
654	653	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (cos‘(𝑗 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
655	652, 654	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
656		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑘))
657	653	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (sin‘(𝑗 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
658	656, 657	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
659	655, 658	oveq12d 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
660	659	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
661		elfznn 13558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
662	661	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
663		simpll 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
664		nnnn0 12488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
665		nn0re 12490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
666	665	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
667	146	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
668	666, 667	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
669	668	recoscld 16176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
670	576, 669	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
671	664, 670	sylan2 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
672	664, 668	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
673	672	resincld 16175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
674	592, 673	remulcld 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
675	671, 674	readdcld 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
676	663, 662, 675	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
677	651, 660, 662, 676	fvmptd 6983	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))‘𝑘) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
678	362, 14	eleqtrdi 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
679	676	recnd 11210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
680	677, 678, 679	fsumser 15757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛))
681	650, 680	chvarvv 2009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
682	645, 681	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑙) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
683	14, 558, 623, 15, 682	climeq 15594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ↔ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))))
684	621, 683	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
685	13, 684	eqbrtrd 5122	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
686		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))
687		fveq2 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑛))
688		oveq1 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
689	688	fveq2d 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (cos‘(𝑗 · 𝑋)) = (cos‘(𝑛 · 𝑋)))
690	687, 689	oveq12d 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))
691		fveq2 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑛))
692	688	fveq2d 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (sin‘(𝑗 · 𝑋)) = (sin‘(𝑛 · 𝑋)))
693	691, 692	oveq12d 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
694	690, 693	oveq12d 7414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
695	694	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑛) → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
696	686, 695, 362, 596	fvmptd 6983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))‘𝑛) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
697	596	recnd 11210	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
698	14, 15, 696, 697, 684	isumclim 15784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
699	698	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))))
700	503, 505	addcld 11201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 + 𝑅) ∈ ℂ)
701	700	halfcld 12466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 + 𝑅) / 2) ∈ ℂ)
702	556, 701	pncan3d 11545	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
703	699, 702	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
704	685, 703	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3414  Vcvv 3454  ⦋csb 3852   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ifcif 4480  {cpr 4584   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5647  ran crn 5648   ↾ cres 5649  ℩cio 6475  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521   Isom wiso 6522  ℩crio 7352  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  supcsup 9386  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  +∞cpnf 11213  -∞cmnf 11214  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217   − cmin 11414  -cneg 11415   / cdiv 11844  ℕcn 12210  2c2 12272  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ℝ⁺crp 12993  (,)cioo 13349  (,]cioc 13350  [,]cicc 13352  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659  ⌊cfl 13800   mod cmo 13879  seqcseq 14014  ♯chash 14343  abscabs 15261   ⇝ cli 15511  Σcsu 15713  sincsin 16093  cosccos 16094  πcpi 16096  –cn→ccncf 24938  volcvol 25525  𝐿¹cibl 25679  ∫citg 25680   lim_ℂ climc 25924   D cdv 25925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cc 10392  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-symdif 4205  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-acn 9900  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-lp 23196  df-perf 23197  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-t1 23374  df-haus 23375  df-cmp 23447  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cncf 24940  df-ovol 25526  df-vol 25527  df-mbf 25681  df-itg1 25682  df-itg2 25683  df-ibl 25684  df-itg 25685  df-0p 25732  df-ditg 25909  df-limc 25928  df-dv 25929

This theorem is referenced by:  fourierdlem113  46793