Theorem fourierdlem112 46990

Description: Here abbreviations (local definitions) are introduced to prove the fourier 46997 theorem. (𝑍‘𝑚) is the m_th partial sum of the fourier series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem112.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem112.d	⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
fourierdlem112.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem112.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem112.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem112.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
fourierdlem112.v	⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
fourierdlem112.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem112.xran	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem112.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem112.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem112.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem112.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem112.u	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem112.fdvcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem112.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
fourierdlem112.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem112.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem112.z	⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
fourierdlem112.23	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
fourierdlem112.fbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
fourierdlem112.fdvbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
fourierdlem112.25	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem112	⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   𝑡,𝑅,𝑧   𝑧,𝑋   𝑡,𝑁,𝑤,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦   𝑖,𝑁,𝑚,𝑤   𝐶,𝑚,𝑥   𝑄,𝑓,𝑖,𝑡,𝑦   𝑓,𝑀,𝑚,𝑥   𝑡,𝐿   𝑥,𝑉   𝑤,𝐿,𝑧   𝑚,𝑍   𝑛,𝑉,𝑝   𝑅,𝑘,𝑛   𝑤,𝐹   𝑛,𝑋,𝑝   𝑡,𝑚   𝑥,𝑋   𝐷,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑥   𝑘,𝐹,𝑡,𝑧   𝑖,𝑀,𝑛,𝑝,𝑦   𝑛,𝑁,𝑝   𝑖,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐵,𝑘,𝑚,𝑛   𝑇,𝑛,𝑝,𝑦,𝑖   𝑖,𝑉,𝑤,𝑧   𝜑,𝑚,𝑛   𝑓,𝑁,𝑦   𝑡,𝐶   𝑓,𝑉,𝑘,𝑚,𝑡   𝑡,𝑀   𝜑,𝑘   𝑇,𝑘,𝑚,𝑥,𝑓   𝑡,𝑇   𝑅,𝑖,𝑚,𝑤   𝑄,𝑚,𝑛,𝑥   𝑥,𝑁   𝑓,𝑋,𝑘,𝑦   𝑄,𝑘,𝑝   𝑡,𝑈   𝑖,𝑋,𝑚,𝑡,𝑤,𝑧   𝜑,𝑖,𝑡,𝑤,𝑧   𝑖,𝐿,𝑘,𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑖, 𝑝)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑖, 𝑝)   𝐶(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑛, 𝑝)   𝐷(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑝)   𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝)   𝑄(𝑧, 𝑤)   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑝)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝)   𝑇(𝑧, 𝑤)   𝑈(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑛, 𝑝)   𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝)   𝐹(𝑓, 𝑝)   𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝)   𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑝)   𝑀(𝑧, 𝑤, 𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑦)   𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑛, 𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem112

Dummy variables 𝑗 𝑙 𝑎 𝑐 𝑟 𝑠 𝑒 𝑞 𝑏 𝑢 ℎ 𝑔 𝑣 𝑜 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem112.23	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
2		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑗))
3		oveq1 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑗 · 𝑋))
4	3	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑗 · 𝑋)))
5	2, 4	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))))
6		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑗))
7	3	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑗 · 𝑋)))
8	6, 7	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))
9	5, 8	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
10	9	cbvmptv 5217	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
11	1, 10	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))
12		seqeq3 14060	. . . 4 ⊢ (𝑆 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))))
13	11, 12	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))))
14		nnuz 12917	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15		1zzd 12640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
17		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
18		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(-π(,)0)
19		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))
20		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
21		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐷‘𝑚)‘𝑠)
22	19, 20, 21	nfov 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠))
23	18, 22	nfitg 25985	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠
24	17, 23	nfmpt 5211	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
25		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(0(,)π)
26	25, 22	nfitg 25985	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠
27	17, 26	nfmpt 5211	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
28		fourierdlem112.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
29		fourierdlem112.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
30		nfmpt1 5212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
31	29, 30	nfcxfr 2925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
32		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛0
33	31, 32	nffv 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘0)
34		nfcv 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 /
35		nfcv 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛2
36	33, 34, 35	nfov 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐴‘0) / 2)
37		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 +
38		nfcv 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(1...𝑚)
39	38	nfsum1 15765	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
40	36, 37, 39	nfov 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
41	17, 40	nfmpt 5211	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
42	28, 41	nfcxfr 2925	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
43		fourierdlem112.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
44		fourierdlem112.25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
45		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
46		picn 26672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
47	46	2timesi 12393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) = (π + π)
48		fourierdlem112.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
49	46, 46	subnegi 11552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π − -π) = (π + π)
50	47, 48, 49	3eqtr4i 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (π − -π)
51		fourierdlem112.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
52		fourierdlem112.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
53		fourierdlem112.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
54		pire 26670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
56	55	renegcld 11656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
57	56, 44	readdcld 11253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
58	55, 44	readdcld 11253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
59		negpilt0 46058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π < 0
60		pipos 26674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
61	54	renegcli 11534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
62		0re 11225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
63	61, 62, 54	lttri 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
64	59, 60, 63	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π < π
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -π < π)
66	56, 55, 44, 65	ltadd1dd 11840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) < (π + 𝑋))
67		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
68	67	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
69	68	rexbidv 3191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
70	69	cbvrabv 3428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
71	70	uneq2i 4119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
72		fourierdlem112.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = ((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
73		fourierdlem112.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
74	50, 51, 52, 53, 57, 58, 66, 45, 71, 72, 73	fourierdlem54 46932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁)) ∧ 𝑉 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
75	74	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁)))
76	75	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
77	75	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁))
78		fourierdlem112.xran	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
79	43	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
80		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘𝑗))
81		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
82	81	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
83	80, 82	breq12d 5124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
84	83	cbvralvw 3245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
85	84	anbi2i 635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) → ((((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
87	86	rabbiia 3422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}
88	87	mpteq2i 5209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
89	51, 88	eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑛) = π) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
90	52	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
91	53	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
92		fourierdlem112.fper	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
93	92	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
94		eleq1w 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
95	94	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
96		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗))
97	81	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
98	96, 97	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
99	98	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
100	98	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) = (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
101	99, 100	eleq12d 2859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ)))
102	95, 101	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))))
103		fourierdlem112.fcn	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
104	102, 103	chvarvv 2022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
105	104	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
106	57	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
107	57	rexrd 11274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ*)
108		pnfxr 11278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
110	58	ltpnfd 13162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) < +∞)
111	107, 109, 58, 66, 110	eliood 46272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
112	111	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
113		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
114	72	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1))
115	113, 114	eleqtrdi 2875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
116	115	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
117	72	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...𝑁) = (0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1))
118		isoeq4 7327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0...𝑁) = (0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
119	117, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
120	119	iotabii 6525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
121	73, 120	eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
122	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 106, 112, 116, 121	fourierdlem98 46976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
123		fourierdlem112.fbd	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
124	123	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
125		nfra1 3291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤
126		elioore 13418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
127		rspa 3256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
128	126, 127	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
129	128	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
130	125, 129	ralrimi 3265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
131	130	reximi 3105	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
132	124, 131	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
133		ssid 3960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
134		dvfre 26161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
135	43, 133, 134	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
136	135	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
137		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
138	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ)
139	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ)
140	98	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
141	140, 100	eleq12d 2859	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ)))
142	95, 141	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))))
143		fourierdlem112.fdvcn	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
144	142, 143	chvarvv 2022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
145	144	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
146		fourierdlem112.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
147	56, 146	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
148	147	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
149	147	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ*)
150	55, 146	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
151	56, 55, 146, 65	ltadd1dd 11840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) < (π + 𝑋))
152	150	ltpnfd 13162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) < +∞)
153	149, 109, 150, 151, 152	eliood 46272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
154	153	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (π + 𝑋) ∈ ((-π + 𝑋)(,)+∞))
155		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑘 · 𝑇) = (ℎ · 𝑇))
156	155	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (ℎ · 𝑇)))
157	156	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = ℎ → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
158	157	cbvrexvw 3246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
159	158	rgenw 3085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∀𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋))(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
160		rabbi 3448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋))(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
161	159, 160	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
162	161	uneq2i 4119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
163		isoeq5 7328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
164	162, 163	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
165	164	iotabii 6525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
166	121, 165	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(-π + 𝑋), (π + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
167		eleq1w 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹)))
168		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑣) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑢))
169	167, 168	ifbieq1d 4514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → if(𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑣), 0) = if(𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑢), 0))
170	169	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ if(𝑣 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑣), 0)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ dom (ℝ D 𝐹), ((ℝ D 𝐹)‘𝑢), 0))
171	79, 137, 89, 138, 139, 50, 90, 91, 93, 145, 148, 154, 116, 166, 170	fourierdlem97 46975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
172		cncff 25103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
173		fdm 6719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
174	171, 172, 173	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
175		ssdmres 6014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
176	174, 175	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
177	136, 176	fssresd 6749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
178		ax-resscn 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
180		cncfcdm 25108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ))
181	179, 171, 180	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ))
182	177, 181	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
183		fourierdlem112.fdvbd	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
184	183	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
185		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
186		nfra1 3291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
187	185, 186	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
188		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
189	188	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
190	189	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
191	190	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
192		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
193	176	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
194	193	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
195		rspa 3256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
196	192, 194, 195	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
197	191, 196	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
198	197	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
199	187, 198	ralrimi 3265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
200	199	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
201	200	reximdv 3182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
202	184, 201	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
203		nfra1 3291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧
204	188	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡))
205	204	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) = (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)))
206	205	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) = (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)))
207		rspa 3256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
208	206, 207	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
209	208	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → (𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
210	203, 209	ralrimi 3265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
212	211	reximdv 3182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
213	202, 212	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
214		nfv 1947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
215		nfcsb1v 3878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶
216	215	nfel1 2943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗))
217	214, 216	nfim 1929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
218		csbeq1a 3868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)
219	99, 96	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
220	218, 219	eleq12d 2859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗))))
221	95, 220	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))))
222		fourierdlem112.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
223	217, 221, 222	chvarfv 2279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
224	223	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑗)))
225	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 224, 106, 112, 116, 121	fourierdlem96 46974	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝑖)))
226		nfcsb1v 3878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈
227	226	nfel1 2943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
228	214, 227	nfim 1929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
229		csbeq1a 3868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → 𝑈 = ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)
230	99, 97	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
231	229, 230	eleq12d 2859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1)))))
232	95, 231	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))))
233		fourierdlem112.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
234	228, 232, 233	chvarfv 2279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
235	234	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑗 + 1))))
236	79, 89, 50, 90, 91, 93, 105, 235, 148, 154, 116, 121	fourierdlem99 46977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖)) + 1)), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
237		eqeq1 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝑔 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
238		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑔) = (𝑋 + 𝑠))
239	238	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
240		breq2 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (0 < 𝑔 ↔ 0 < 𝑠))
241	240	ifbid 4513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿) = if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿))
242	239, 241	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)))
243		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → 𝑔 = 𝑠)
244	242, 243	oveq12d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠))
245	237, 244	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑠 → if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠)))
246	245	cbvmptv 5217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑅, 𝐿)) / 𝑠)))
247		eqeq1 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
248		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → 𝑜 = 𝑠)
249		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 / 2) = (𝑠 / 2))
250	249	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (sin‘(𝑜 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
251	250	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑜 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
252	248, 251	oveq12d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
253	247, 252	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = 𝑠 → if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
254	253	cbvmptv 5217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
255		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) = ((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠))
256		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟) = ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠))
257	255, 256	oveq12d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)) = (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠)))
258	257	cbvmptv 5217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑠) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑠)))
259		oveq2 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑠 → ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
260	259	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑠 → (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
261	260	cbvmptv 5217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
262		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠))
263		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧) = ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠))
264	262, 263	oveq12d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠)))
265	264	cbvmptv 5217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑠)))
266		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐷‘𝑚) = (𝐷‘𝑛))
267	266	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐷‘𝑚)‘𝑠) = ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))
268	267	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
269	268	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
270	269	itgeq2dv 25992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
271	270	cbvmptv 5217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
272		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑐 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
273	272	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))
274	273	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))
275	274	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑))) = (𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑))))
276	275	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧) = ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))
277	276	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))
278	277	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧))))
279	278	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
280	279	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
281	280	itgeq2dv 25992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠)
282	281	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π) = (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
283	282	cbvmptv 5217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
284		fourierdlem112.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
285		fourierdlem112.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
286		fourierdlem112.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
287		fourierdlem112.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
288		fourierdlem112.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
289		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 mod (2 · π)) = (𝑠 mod (2 · π)))
290	289	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 mod (2 · π)) = 0))
291		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠))
292	291	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)))
293		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / 2) = (𝑠 / 2))
294	293	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
295	294	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
296	292, 295	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
297	290, 296	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
298	297	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
299		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑚 = 𝑘)
300	299	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑘))
301	300	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
302	301	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)))
303	299	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑚 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
304	303	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
305	304	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
306	305	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
307	302, 306	ifeq12d 4511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
308	307	mpteq2dva 5206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
309	298, 308	eqtrid 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
310	309	cbvmptv 5217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
311	288, 310	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
312		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (-π[,]𝑙)) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (-π[,]𝑙))
313		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))) = ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))
314		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1) = ((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)
315		isoeq1 7324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) ↔ 𝑤 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))))))
316	315	cbviotavw 6504	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙))))) = (℩𝑤𝑤 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))
317		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑉‘𝑗) = (𝑉‘𝑖))
318	317	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑉‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
319	318	cbvmptv 5217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
320		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑚 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑚)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑚 + 1)))) = (℩𝑚 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))) − 1)), ({-π, 𝑙} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (-π(,)𝑙)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑚)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑚 + 1))))
321		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠))
322		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → ((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎) = ((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))
323	322	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎)) = (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠)))
324	321, 323	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑠 → (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) = (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))))
325	324	cbvitgv 25987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
326	325	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
327	326	breq1i 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2))
328	327	anbi2i 635	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)))
329	324	cbvitgv 25987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
330	329	fveq2i 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
331	330	breq1i 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2) ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2))
332	328, 331	anbi12i 640	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑖 / 2)) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ 𝑙 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑙(,)0)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑙)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑖 / 2)))
333	43, 44, 45, 76, 77, 78, 122, 132, 182, 213, 225, 236, 246, 254, 258, 261, 265, 271, 283, 284, 285, 286, 287, 311, 312, 313, 314, 316, 319, 320, 332	fourierdlem103 46981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ⇝ (𝐿 / 2))
334		nnex 12254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
335	334	mptex 7228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ∈ V
336	28, 335	eqeltri 2861	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
337	336	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
338	268	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
339	338	itgeq2dv 25992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
340	339	cbvmptv 5217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
341	279	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) = ((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠))
342	341	itgeq2dv 25992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → ∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠)
343	342	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑘 → (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π) = (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
344	343	cbvmptv 5217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑐 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)((𝑧 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑧) · ((𝑑 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑑)))‘𝑧)))‘𝑠) d𝑠 / π))
345		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (𝑒[,]π)) = ((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟))) ↾ (𝑒[,]π))
346		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))) = ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))
347		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1) = ((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)
348		isoeq1 7324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) ↔ 𝑣 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))))))
349	348	cbviotavw 6504	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π))))) = (℩𝑣𝑣 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))
350		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑎 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑎)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑎 + 1)))) = (℩𝑎 ∈ (0..^𝑁)(((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘𝑏)(,)((℩𝑢𝑢 Isom < , < ((0...((♯‘({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))) − 1)), ({𝑒, π} ∪ (ran (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) ∩ (𝑒(,)π)))))‘(𝑏 + 1))) ⊆ (((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘𝑎)(,)((𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))‘(𝑎 + 1))))
351	324	cbvitgv 25987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
352	351	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
353	352	breq1i 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2) ↔ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2))
354	353	anbi2i 635	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)))
355	324	cbvitgv 25987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎 = ∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠
356	355	fveq2i 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) = (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
357	356	breq1i 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2))
358	354, 357	anbi12i 640	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑎) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑎))) d𝑎) < (𝑞 / 2)) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑒)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑒(,)π)(((𝑟 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝑔 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑔 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑔)) − if(0 < 𝑔, 𝑅, 𝐿)) / 𝑔)))‘𝑟) · ((𝑜 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑜 = 0, 1, (𝑜 / (2 · (sin‘(𝑜 / 2))))))‘𝑟)))‘𝑠) · (sin‘((𝑏 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑞 / 2)))
359	43, 44, 45, 76, 77, 78, 122, 132, 182, 213, 225, 236, 246, 254, 258, 261, 265, 340, 344, 284, 285, 286, 287, 311, 345, 346, 347, 349, 319, 350, 358	fourierdlem104 46982	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ⇝ (𝑅 / 2))
360		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
361	270	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
362		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
363		elioore 13418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
364	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
365	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
366		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
367	365, 366	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
368	364, 367	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
369	368	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
370	288	dirkerre 46867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
371	370	adantll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
372	369, 371	remulcld 11254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
373	363, 372	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
374		ioossicc 13476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
375	61	leidi 11763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ≤ -π
376	62, 54, 60	ltleii 11348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ π
377		iccss 13457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ -π ∧ 0 ≤ π)) → (-π[,]0) ⊆ (-π[,]π))
378	61, 54, 375, 376, 377	mp4an 706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-π[,]0) ⊆ (-π[,]π)
379	374, 378	sstri 3947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π)
380	379	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π))
381		ioombl 25775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π(,)0) ∈ dom vol
382	381	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ∈ dom vol)
383	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
384	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
385	56, 55	iccssred 13477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
386	385	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
387	384, 386	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
388	383, 387	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
389	388	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
390		iccssre 13472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
391	61, 54, 390	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
392	391	sseli 3934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
393	392, 370	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
394	393	adantll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
395	389, 394	remulcld 11254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
396	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
397	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
398	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
399	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
400	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
401	77	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁))
402	122	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
403	225	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝐶)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑓 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑓) ≤ ((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑑 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑑 = π, -π, 𝑑))‘((𝑐 ∈ ℝ ↦ (𝑐 + ((⌊‘((π − 𝑐) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝑖))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝑖)))
404	236	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → if(((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖)) + 1)), ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ⦋𝑗 / 𝑖⦌𝑈)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({ℎ ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘ℎ) ≤ ((𝑔 ∈ (-π(,]π) ↦ if(𝑔 = π, -π, 𝑔))‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝑖))), (𝐹‘((𝑒 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + ((⌊‘((π − 𝑒) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
405	288	dirkercncf 46879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
406	405	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
407		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
408	396, 397, 398, 399, 45, 400, 401, 402, 403, 404, 319, 51, 406, 407	fourierdlem84 46962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
409	380, 382, 395, 408	iblss 26015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
410	373, 409	itgcl 25994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℂ)
411	360, 361, 362, 410	fvmptd 7001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
412	411, 410	eqeltrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
413		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
414	339	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
415	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
416	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
417		elioore 13418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
418	417	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
419	416, 418	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
420	415, 419	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
421	420	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
422	417, 370	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
423	422	adantll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
424	421, 423	remulcld 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
425		ioossicc 13476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
426	61, 62, 59	ltleii 11348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π ≤ 0
427	54	leidi 11763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ≤ π
428		iccss 13457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 0 ∧ π ≤ π)) → (0[,]π) ⊆ (-π[,]π))
429	61, 54, 426, 427, 428	mp4an 706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0[,]π) ⊆ (-π[,]π)
430	425, 429	sstri 3947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)π) ⊆ (-π[,]π)
431	430	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ⊆ (-π[,]π))
432		ioombl 25775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)π) ∈ dom vol
433	432	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ∈ dom vol)
434	431, 433, 395, 408	iblss 26015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
435	424, 434	itgcl 25994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℂ)
436	413, 414, 362, 435	fvmptd 7001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
437	436, 435	eqeltrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
438		eleq1w 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ))
439	438	anbi2d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)))
440		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑍‘𝑚) = (𝑍‘𝑛))
441	270, 339	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
442	440, 441	eqeq12d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ↔ (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)))
443	439, 442	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))))
444		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑥))
445	444	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑚 · 𝑥)))
446	445	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))))
447	446	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))))
448	447	itgeq2dv 25992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥)
449	448	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
450	449	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
451	29, 450	eqtri 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
452		fourierdlem112.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
453	444	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑚 · 𝑥)))
454	453	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))))
455	454	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))))
456	455	itgeq2dv 25992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥)
457	456	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
458	457	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
459	452, 458	eqtri 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑚 · 𝑥))) d𝑥 / π))
460		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑘))
461		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
462	461	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
463	460, 462	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
464		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑘))
465	461	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
466	464, 465	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
467	463, 466	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
468	467	cbvsumv 15771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
469	468	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
470	469	mpteq2i 5209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
471		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1...𝑚) = (1...𝑛))
472	471	sumeq1d 15775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
473	472	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
474	473	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
475		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑚))
476		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
477	476	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) = (cos‘(𝑚 · 𝑋)))
478	475, 477	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))))
479		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
480	476	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) = (sin‘(𝑚 · 𝑋)))
481	479, 480	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))
482	478, 481	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋)))))
483	482	cbvsumv 15771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))
484	483	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋)))))
485	484	mpteq2i 5209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
486	474, 485	eqtri 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
487	28, 470, 486	3eqtri 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑚) · (cos‘(𝑚 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑚) · (sin‘(𝑚 · 𝑋))))))
488		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑦) = (𝑋 + 𝑥))
489	488	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
490		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐷‘𝑚)‘𝑦) = ((𝐷‘𝑚)‘𝑥))
491	489, 490	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑥)))
492	491	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑥)))
493		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑛) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
494		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
495	494	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑄‘𝑖) − 𝑋))
496	495	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑖) − 𝑋))
497	451, 459, 487, 288, 51, 52, 53, 146, 43, 92, 492, 103, 222, 233, 48, 493, 496	fourierdlem111 46989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
498	443, 497	chvarvv 2022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
499	411, 436	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛)) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
500	498, 499	eqtr4d 2803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)‘𝑛)))
501	16, 24, 27, 42, 14, 15, 333, 337, 359, 412, 437, 500	climaddf 46389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ ((𝐿 / 2) + (𝑅 / 2)))
502		limccl 26085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ⊆ ℂ
503	502, 285	sselid 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
504		limccl 26085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ⊆ ℂ
505	504, 284	sselid 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
506		2cnd 12334	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
507		2pos 12360	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
508	507	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
509	508	gt0ne0d 11793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
510	503, 505, 506, 509	divdird 12044	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 + 𝑅) / 2) = ((𝐿 / 2) + (𝑅 / 2)))
511	501, 510	breqtrrd 5141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ ((𝐿 + 𝑅) / 2))
512		0nn0 12534	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
513	43	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
514		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-π(,)π) = (-π(,)π)
515		ioossre 13450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
516	515	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ ℝ)
517	43, 516	feqresmpt 6954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)))
518		ioossicc 13476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
519	518	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π))
520		ioombl 25775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π(,)π) ∈ dom vol
521	520	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π(,)π) ∈ dom vol)
522	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
523	385	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
524	522, 523	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
525	43, 385	feqresmpt 6954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹‘𝑥)))
526	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
527	43, 526	fssd 6727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
528	527, 385	fssresd 6749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)):(-π[,]π)⟶ℂ)
529		ioossicc 13476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
530	61	rexri 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -π ∈ ℝ*
531	530	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
532	54	rexri 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π ∈ ℝ*
533	532	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
534	51, 52, 53	fourierdlem15 46894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
535	534	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
536		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
537	531, 533, 535, 536	fourierdlem8 46887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
538	529, 537	sstrid 3949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
539	538	resabs1d 6009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
540	539, 103	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
541	539	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
542	541	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
543	222, 542	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
544	541	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
545	233, 544	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
546	51, 52, 53, 528, 540, 543, 545	fourierdlem69 46947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) ∈ 𝐿1)
547	525, 546	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
548	519, 521, 524, 547	iblss 26015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
549	517, 548	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
550	549	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
551		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
552	513, 514, 550, 29, 551	fourierdlem16 46895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((𝐴‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(0 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
553	552	simplld 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℝ)
554	512, 553	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℝ)
555	554	rehalfcld 12506	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℝ)
556	555	recnd 11252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℂ)
557	334	mptex 7228	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ∈ V
558	557	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ∈ V)
559		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
560	555	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℝ)
561		fzfid 14027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1...𝑚) ∈ Fin)
562		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → 𝜑)
563		elfznn 13598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
564	563	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
565		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
566	362	nnnn0d 12580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
567		eleq1w 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑛 ∈ ℕ0))
568	567	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))
569		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
570	569	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ))
571	568, 570	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)))
572	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
573	549	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
574		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
575	572, 514, 573, 29, 574	fourierdlem16 46895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
576	575	simplld 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
577	571, 576	chvarvv 2022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)
578	565, 566, 577	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ)
579	362	nnred 12263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
580	579, 399	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℝ)
581	580	recoscld 16222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
582	578, 581	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
583		eleq1w 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ))
584	583	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)))
585		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑛))
586	585	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐵‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ))
587	584, 586	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)))
588	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
589	549	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
590		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
591	588, 514, 589, 452, 590	fourierdlem21 46900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐵‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
592	591	simplld 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
593	587, 592	chvarvv 2022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵‘𝑛) ∈ ℝ)
594	580	resincld 16221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℝ)
595	593, 594	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℝ)
596	582, 595	readdcld 11253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
597	562, 564, 596	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
598	561, 597	fsumrecl 15808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
599	560, 598	readdcld 11253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ ℝ)
600	28	fvmpt2 7005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ ℝ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
601	559, 599, 600	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
602	601, 599	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) ∈ ℝ)
603	602	recnd 11252	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) ∈ ℂ)
604		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
605		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1...𝑛) = (1...𝑚))
606	605	sumeq1d 15775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
607	606	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑚) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
608		sumex 15763	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V
609	608	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V)
610	604, 607, 559, 609	fvmptd 7001	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
611	560	recnd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴‘0) / 2) ∈ ℂ)
612	598	recnd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
613	611, 612	pncan2d 11586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
614	613, 468	eqtr2di 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)))
615		ovex 7452	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ V
616	28	fvmpt2 7005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) ∈ V) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
617	559, 615, 616	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑚) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
618	617	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑍‘𝑚))
619	618	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) − ((𝐴‘0) / 2)) = ((𝑍‘𝑚) − ((𝐴‘0) / 2)))
620	610, 614, 619	3eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑚) = ((𝑍‘𝑚) − ((𝐴‘0) / 2)))
621	14, 15, 511, 556, 558, 603, 620	climsubc1 15713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
622		seqex 14057	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ∈ V
623	622	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ∈ V)
624		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))))
625		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (1...𝑛) = (1...𝑙))
626	625	sumeq1d 15775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
627	626	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑙) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
628		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ)
629		fzfid 14027	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (1...𝑙) ∈ Fin)
630		elfznn 13598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ)
631	630	nnnn0d 12580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ0)
632	631, 576	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
633	630	nnred 12263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℝ)
634	633	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑘 ∈ ℝ)
635	146	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑋 ∈ ℝ)
636	634, 635	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
637	636	recoscld 16222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
638	632, 637	remulcld 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
639	630, 592	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
640	636	resincld 16221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
641	639, 640	remulcld 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
642	638, 641	readdcld 11253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
643	642	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
644	629, 643	fsumrecl 15808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
645	624, 627, 628, 644	fvmptd 7001	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑙) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
646		eleq1w 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑙 ∈ ℕ))
647	646	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ)))
648		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
649	626, 648	eqeq12d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛) ↔ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙)))
650	647, 649	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))))
651		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))
652		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑘))
653		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
654	653	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (cos‘(𝑗 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
655	652, 654	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
656		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑘))
657	653	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (sin‘(𝑗 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
658	656, 657	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
659	655, 658	oveq12d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
660	659	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
661		elfznn 13598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
662	661	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
663		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
664		nnnn0 12526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
665		nn0re 12528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
666	665	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
667	146	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
668	666, 667	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
669	668	recoscld 16222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (cos‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
670	576, 669	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
671	664, 670	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
672	664, 668	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑋) ∈ ℝ)
673	672	resincld 16221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(𝑘 · 𝑋)) ∈ ℝ)
674	592, 673	remulcld 11254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ ℝ)
675	671, 674	readdcld 11253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
676	663, 662, 675	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
677	651, 660, 662, 676	fvmptd 7001	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))‘𝑘) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
678	362, 14	eleqtrdi 2875	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
679	676	recnd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
680	677, 678, 679	fsumser 15804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑛))
681	650, 680	chvarvv 2022	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
682	645, 681	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))‘𝑙) = (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))‘𝑙))
683	14, 558, 623, 15, 682	climeq 15642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ↔ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))))
684	621, 683	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
685	13, 684	eqbrtrd 5135	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
686		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))))))
687		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑛))
688		oveq1 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
689	688	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (cos‘(𝑗 · 𝑋)) = (cos‘(𝑛 · 𝑋)))
690	687, 689	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))
691		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑛))
692	688	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (sin‘(𝑗 · 𝑋)) = (sin‘(𝑛 · 𝑋)))
693	691, 692	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
694	690, 693	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
695	694	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑛) → (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
696	686, 695, 362, 596	fvmptd 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑗) · (cos‘(𝑗 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑗) · (sin‘(𝑗 · 𝑋)))))‘𝑛) = (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
697	596	recnd 11252	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
698	14, 15, 696, 697, 684	isumclim 15831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
699	698	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))))
700	503, 505	addcld 11243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 + 𝑅) ∈ ℂ)
701	700	halfcld 12504	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 + 𝑅) / 2) ∈ ℂ)
702	556, 701	pncan3d 11587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
703	699, 702	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
704	685, 703	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418  Vcvv 3457  ⦋csb 3854   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ifcif 4489  {cpr 4593   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ran crn 5664   ↾ cres 5665  ℩cio 6494  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540   Isom wiso 6541  ℩crio 7375  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  supcsup 9407  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120  +∞cpnf 11255  -∞cmnf 11256  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258   ≤ cle 11259   − cmin 11456  -cneg 11457   / cdiv 11886  ℕcn 12248  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13032  (,)cioo 13388  (,]cioc 13389  [,]cicc 13391  ...cfz 13551  ..^cfzo 13699  ⌊cfl 13841   mod cmo 13920  seqcseq 14055  ♯chash 14384  abscabs 15309   ⇝ cli 15559  Σcsu 15761  sincsin 16139  cosccos 16140  πcpi 16142  –cn→ccncf 25086  volcvol 25673  𝐿¹cibl 25827  ∫citg 25828   lim_ℂ climc 26072   D cdv 26073

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-bc 14357  df-hash 14385  df-shft 15128  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-limsup 15546  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-ef 16143  df-sin 16145  df-cos 16146  df-pi 16148  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-lp 23343  df-perf 23344  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-t1 23521  df-haus 23522  df-cmp 23594  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-cncf 25088  df-ovol 25674  df-vol 25675  df-mbf 25829  df-itg1 25830  df-itg2 25831  df-ibl 25832  df-itg 25833  df-0p 25880  df-ditg 26057  df-limc 26076  df-dv 26077

This theorem is used by:  fourierdlem113  46991