| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | fourierdlem73.gcn | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 2 |  | cncff 24919 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ) | 
| 3 | 1, 2 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ) | 
| 4 |  | ax-resscn 11212 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ℝ
⊆ ℂ | 
| 5 | 4 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆
ℂ) | 
| 6 |  | fourierdlem73.qf | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵)) | 
| 7 |  | fourierdlem73.a | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 8 |  | fourierdlem73.b | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 9 | 7, 8 | iccssred 13474 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) | 
| 10 | 6, 9 | fssd 6753 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) | 
| 11 | 10 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) | 
| 12 |  | elfzofz 13715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀)) | 
| 13 | 12 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀)) | 
| 14 | 11, 13 | ffvelcdmd 7105 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) | 
| 15 |  | fzofzp1 13803 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)) | 
| 16 | 15 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)) | 
| 17 | 11, 16 | ffvelcdmd 7105 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) | 
| 18 | 14, 17 | iccssred 13474 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) | 
| 19 |  | limccl 25910 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) ⊆ ℂ | 
| 20 |  | fourierdlem73.r | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))) | 
| 21 | 19, 20 | sselid 3981 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ℂ) | 
| 22 | 21 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑅 ∈ ℂ) | 
| 23 |  | limccl 25910 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ | 
| 24 |  | fourierdlem73.l | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 25 | 23, 24 | sselid 3981 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ℂ) | 
| 26 | 25 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ℂ) | 
| 27 |  | fourierdlem73.f | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) | 
| 28 | 27 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) | 
| 29 | 7 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 30 | 8 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 31 | 14 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) | 
| 32 | 17 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) | 
| 33 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 34 |  | eliccre 45518 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 35 | 31, 32, 33, 34 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 36 | 7 | rexrd 11311 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ*) | 
| 37 | 36 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈
ℝ*) | 
| 38 | 8 | rexrd 11311 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) | 
| 39 | 38 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈
ℝ*) | 
| 40 | 6 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵)) | 
| 41 | 40, 13 | ffvelcdmd 7105 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 42 |  | iccgelb 13443 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑄‘𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖)) | 
| 43 | 37, 39, 41, 42 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖)) | 
| 44 | 43 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖)) | 
| 45 | 31 | rexrd 11311 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈
ℝ*) | 
| 46 | 32 | rexrd 11311 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 47 |  | iccgelb 13443 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥) | 
| 48 | 45, 46, 33, 47 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥) | 
| 49 | 29, 31, 35, 44, 48 | letrd 11418 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ≤ 𝑥) | 
| 50 |  | iccleub 13442 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 51 | 45, 46, 33, 50 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 52 | 36 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈
ℝ*) | 
| 53 | 38 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈
ℝ*) | 
| 54 | 40, 16 | ffvelcdmd 7105 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 55 | 54 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 56 |  | iccleub 13442 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵) | 
| 57 | 52, 53, 55, 56 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵) | 
| 58 | 35, 32, 30, 51, 57 | letrd 11418 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ 𝐵) | 
| 59 | 29, 30, 35, 49, 58 | eliccd 45517 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 60 | 28, 59 | ffvelcdmd 7105 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 61 | 26, 60 | ifcld 4572 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ) | 
| 62 | 22, 61 | ifcld 4572 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 63 |  | fourierdlem73.d | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) | 
| 64 | 62, 63 | fmptd 7134 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷:((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ) | 
| 65 |  | tgioo4 24826 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ) | 
| 66 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) | 
| 67 |  | iccntr 24843 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 68 | 14, 17, 67 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 69 | 5, 18, 64, 65, 66, 68 | dvresntr 45933 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))) | 
| 70 |  | ioossicc 13473 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 71 | 70 | sseli 3979 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 72 | 71 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 73 |  | fvres 6925 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)) | 
| 74 | 72, 73 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)) | 
| 75 | 72, 62 | syldan 591 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 76 | 63 | fvmpt2 7027 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ) → (𝐷‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) | 
| 77 | 72, 75, 76 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) | 
| 78 | 14 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) | 
| 79 | 72, 45 | syldan 591 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈
ℝ*) | 
| 80 | 72, 46 | syldan 591 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 81 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 82 |  | ioogtlb 45508 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥) | 
| 83 | 79, 80, 81, 82 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥) | 
| 84 | 78, 83 | gtned 11396 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖)) | 
| 85 | 84 | neneqd 2945 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) | 
| 86 | 85 | iffalsed 4536 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) | 
| 87 |  | elioore 13417 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 88 | 87 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 89 |  | iooltub 45523 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 90 | 79, 80, 81, 89 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 91 | 88, 90 | ltned 11397 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 92 | 91 | neneqd 2945 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 93 | 92 | iffalsed 4536 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥)) | 
| 94 | 77, 86, 93 | 3eqtrrd 2782 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) = (𝐷‘𝑥)) | 
| 95 | 74, 94 | eqtr2d 2778 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) | 
| 96 | 95 | ralrimiva 3146 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) | 
| 97 |  | ffn 6736 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝐷:((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → 𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 98 | 64, 97 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 99 |  | ffn 6736 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵)) | 
| 100 | 27, 99 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵)) | 
| 101 | 100 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵)) | 
| 102 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) | 
| 103 | 37, 39, 40, 102 | fourierdlem8 46130 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 104 |  | fnssres 6691 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 105 | 101, 103,
104 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 106 | 70 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 107 |  | fvreseq 7060 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) | 
| 108 | 98, 105, 106, 107 | syl21anc 838 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) | 
| 109 | 96, 108 | mpbird 257 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 110 | 106 | resabs1d 6026 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 111 | 109, 110 | eqtrd 2777 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 112 | 111 | oveq2d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))) | 
| 113 | 27 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) | 
| 114 | 9 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) | 
| 115 | 106, 18 | sstrd 3994 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) | 
| 116 | 66, 65 | dvres 25946 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D
(𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))) | 
| 117 | 5, 113, 114, 115, 116 | syl22anc 839 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))) | 
| 118 |  | fourierdlem73.g | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹) | 
| 119 | 118 | eqcomi 2746 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℝ
D 𝐹) = 𝐺 | 
| 120 | 119 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐹) = 𝐺) | 
| 121 |  | iooretop 24786 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran
(,)) | 
| 122 |  | retop 24782 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top | 
| 123 |  | uniretop 24783 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ℝ =
∪ (topGen‘ran (,)) | 
| 124 | 123 | isopn3 23074 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔
((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 125 | 122, 115,
124 | sylancr 587 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔
((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 126 | 121, 125 | mpbii 233 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 127 | 120, 126 | reseq12d 5998 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 128 | 117, 127 | eqtrd 2777 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 129 | 69, 112, 128 | 3eqtrd 2781 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 130 | 129 | feq1d 6720 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)) | 
| 131 | 3, 130 | mpbird 257 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ) | 
| 132 | 131 | feqmptd 6977 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥))) | 
| 133 | 132, 129 | eqtr3d 2779 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 134 |  | ioombl 25600 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol | 
| 135 | 134 | a1i 11 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol) | 
| 136 |  | fourierdlem73.qilt | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 137 | 14, 17, 136 | ltled 11409 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 138 |  | volioo 25604 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖))) | 
| 139 | 14, 17, 137, 138 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖))) | 
| 140 | 17, 14 | resubcld 11691 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ) | 
| 141 | 139, 140 | eqeltrd 2841 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ) | 
| 142 |  | fourierdlem73.gbd | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 143 | 142 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 144 |  | nfv 1914 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) | 
| 145 |  | nfra1 3284 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 | 
| 146 | 144, 145 | nfan 1899 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 147 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 148 |  | fdm 6745 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 149 | 3, 148 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 150 | 149 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 151 | 147, 150 | eleqtrd 2843 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 152 |  | fvres 6925 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) | 
| 153 | 151, 152 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) | 
| 154 | 153 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥))) | 
| 155 | 154 | ad4ant14 752 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥))) | 
| 156 |  | simplr 769 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 157 |  | ssdmres 6031 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺 ↔ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 158 | 149, 157 | sylibr 234 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺) | 
| 159 | 158 | sselda 3983 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺) | 
| 160 | 151, 159 | syldan 591 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺) | 
| 161 | 160 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺) | 
| 162 |  | rsp 3247 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(∀𝑥 ∈
dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)) | 
| 163 | 156, 161,
162 | sylc 65 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 164 | 163 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 165 | 155, 164 | eqbrtrd 5165 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 166 | 165 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)) | 
| 167 | 146, 166 | ralrimi 3257 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 168 | 167 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)) | 
| 169 | 168 | reximdva 3168 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)) | 
| 170 | 143, 169 | mpd 15 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 171 | 135, 141,
1, 170 | cnbdibl 45977 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈
𝐿1) | 
| 172 | 133, 171 | eqeltrd 2841 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈
𝐿1) | 
| 173 | 172 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈
𝐿1) | 
| 174 | 134 | a1i 11 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol) | 
| 175 | 141 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ) | 
| 176 | 133, 1 | eqeltrd 2841 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 177 | 176 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 178 |  | coscn 26489 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ cos
∈ (ℂ–cn→ℂ) | 
| 179 | 178 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → cos ∈
(ℂ–cn→ℂ)) | 
| 180 |  | ioosscn 13449 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ | 
| 181 | 180 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ) | 
| 182 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℝ) | 
| 183 | 182 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℂ) | 
| 184 |  | ssid 4006 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ℂ
⊆ ℂ | 
| 185 | 184 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ℂ ⊆
ℂ) | 
| 186 | 181, 183,
185 | constcncfg 45887 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 187 | 180 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ) | 
| 188 | 184 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ℂ ⊆
ℂ) | 
| 189 | 187, 188 | idcncfg 45888 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 190 | 189 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 191 | 186, 190 | mulcncf 25480 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 192 | 179, 191 | cncfmpt1f 24940 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 193 | 192 | negcncfg 45896 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 194 | 177, 193 | mulcncf 25480 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 195 |  | nfv 1914 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) | 
| 196 | 195, 145 | nfan 1899 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 197 | 129 | fveq1d 6908 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) | 
| 198 | 197, 152 | sylan9eq 2797 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) | 
| 199 | 198 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥))) | 
| 200 | 199 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥))) | 
| 201 |  | simplr 769 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 202 | 159 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺) | 
| 203 | 201, 202,
162 | sylc 65 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 204 | 200, 203 | eqbrtrd 5165 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 205 | 204 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)) | 
| 206 | 196, 205 | ralrimi 3257 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 207 | 206 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)) | 
| 208 | 207 | reximdv 3170 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)) | 
| 209 | 143, 208 | mpd 15 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 210 | 209 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 211 |  | eqidd 2738 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))) | 
| 212 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) | 
| 213 |  | eleq1w 2824 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 214 | 213 | anbi2d 630 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))) | 
| 215 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧)) | 
| 216 | 212, 215 | eqeq12d 2753 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥) ↔ ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))) | 
| 217 | 214, 216 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)))) | 
| 218 | 217, 198 | chvarvv 1998 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) | 
| 219 | 212, 218 | sylan9eqr 2799 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑧)) | 
| 220 |  | oveq2 7439 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · 𝑧)) | 
| 221 | 220 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) = (cos‘(𝑟 · 𝑧))) | 
| 222 | 221 | negeqd 11502 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑧 → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧))) | 
| 223 | 222 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧))) | 
| 224 | 219, 223 | oveq12d 7449 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) | 
| 225 | 224 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) | 
| 226 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 227 |  | fvres 6925 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) | 
| 228 | 227 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) | 
| 229 | 3 | ffvelcdmda 7104 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) ∈ ℂ) | 
| 230 | 228, 229 | eqeltrrd 2842 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) | 
| 231 | 230 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) | 
| 232 |  | simpl 482 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ) | 
| 233 |  | elioore 13417 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ) | 
| 234 | 233 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ) | 
| 235 | 232, 234 | remulcld 11291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ) | 
| 236 | 235 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ) | 
| 237 | 236 | coscld 16167 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ) | 
| 238 | 237 | negcld 11607 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ) | 
| 239 | 238 | adantll 714 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ) | 
| 240 | 231, 239 | mulcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℂ) | 
| 241 | 211, 225,
226, 240 | fvmptd 7023 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) | 
| 242 | 241 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))) | 
| 243 | 242 | ad4ant14 752 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))) | 
| 244 | 240 | abscld 15475 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ) | 
| 245 | 244 | ad4ant14 752 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ) | 
| 246 | 231 | abscld 15475 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ) | 
| 247 | 246 | ad4ant14 752 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ) | 
| 248 |  | simpllr 776 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ) | 
| 249 | 239 | abscld 15475 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℝ) | 
| 250 |  | 1red 11262 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 1 ∈
ℝ) | 
| 251 | 231 | absge0d 15483 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧))) | 
| 252 | 237 | absnegd 15488 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) = (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) | 
| 253 |  | abscosbd 45290 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ →
(abs‘(cos‘(𝑟
· 𝑧))) ≤
1) | 
| 254 | 235, 253 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1) | 
| 255 | 252, 254 | eqbrtrd 5165 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1) | 
| 256 | 255 | adantll 714 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1) | 
| 257 | 249, 250,
246, 251, 256 | lemul2ad 12208 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1)) | 
| 258 | 231, 239 | absmuld 15493 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))))) | 
| 259 | 246 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ) | 
| 260 | 259 | mulridd 11278 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1) = (abs‘(𝐺‘𝑧))) | 
| 261 | 260 | eqcomd 2743 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1)) | 
| 262 | 257, 258,
261 | 3brtr4d 5175 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧))) | 
| 263 | 262 | ad4ant14 752 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧))) | 
| 264 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 265 |  | nfra1 3284 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 | 
| 266 | 195, 265 | nfan 1899 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 267 | 199 | eqcomd 2743 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥))) | 
| 268 | 267 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥))) | 
| 269 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 270 | 268, 269 | eqbrtrd 5165 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 271 | 270 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)) | 
| 272 | 271 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)) | 
| 273 | 266, 272 | ralimdaa 3260 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)) | 
| 274 | 264, 273 | mpd 15 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 275 | 215 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑧))) | 
| 276 | 275 | breq1d 5153 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)) | 
| 277 | 276 | cbvralvw 3237 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(∀𝑥 ∈
((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 278 | 274, 277 | sylib 218 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 279 | 278 | ad4ant14 752 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 280 | 279 | r19.21bi 3251 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 281 | 245, 247,
248, 263, 280 | letrd 11418 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ 𝑦) | 
| 282 | 243, 281 | eqbrtrd 5165 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 283 | 282 | ralrimiva 3146 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 284 | 131 | ffvelcdmda 7104 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 285 | 284 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 286 |  | simpl 482 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ) | 
| 287 | 87 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 288 | 286, 287 | remulcld 11291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ) | 
| 289 | 288 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ) | 
| 290 | 289 | coscld 16167 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ) | 
| 291 | 290 | negcld 11607 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ) | 
| 292 | 291 | adantll 714 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ) | 
| 293 | 285, 292 | mulcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 294 | 293 | ralrimiva 3146 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 295 |  | dmmptg 6262 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∀𝑥 ∈
((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 296 | 294, 295 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 297 | 296 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 298 | 283, 297 | raleqtrrdv 3330 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 299 | 298 | ex 412 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)) | 
| 300 | 299 | reximdva 3168 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)) | 
| 301 | 210, 300 | mpd 15 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 302 | 174, 175,
194, 301 | cnbdibl 45977 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈
𝐿1) | 
| 303 | 302 | adantlr 715 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈
𝐿1) | 
| 304 | 284 | adantlr 715 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 305 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ) | 
| 306 | 180 | sseli 3979 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ) | 
| 307 | 306 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ) | 
| 308 | 305, 307 | mulcld 11281 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ) | 
| 309 | 308 | coscld 16167 | . . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ) | 
| 310 | 288 | ancoms 458 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ) | 
| 311 |  | abscosbd 45290 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ →
(abs‘(cos‘(𝑟
· 𝑥))) ≤
1) | 
| 312 | 310, 311 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) →
(abs‘(cos‘(𝑟
· 𝑥))) ≤
1) | 
| 313 | 312 | adantll 714 | . . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) →
(abs‘(cos‘(𝑟
· 𝑥))) ≤
1) | 
| 314 | 63 | a1i 11 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))) | 
| 315 | 14 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) | 
| 316 | 136 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 317 |  | eqcom 2744 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 318 | 317 | biimpri 228 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥) | 
| 319 | 318 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥) | 
| 320 | 316, 319 | breqtrd 5169 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥) | 
| 321 | 315, 320 | gtned 11396 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖)) | 
| 322 | 321 | neneqd 2945 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) | 
| 323 | 322 | iffalsed 4536 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) | 
| 324 |  | iftrue 4531 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿) | 
| 325 | 324 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿) | 
| 326 | 323, 325 | eqtrd 2777 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝐿) | 
| 327 | 17 | leidd 11829 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 328 | 14, 17, 17, 137, 327 | eliccd 45517 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 329 | 314, 326,
328, 24 | fvmptd 7023 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) = 𝐿) | 
| 330 | 329, 25 | eqeltrd 2841 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ) | 
| 331 | 330 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ) | 
| 332 |  | eqid 2737 | . . . . . . . 8
⊢
(abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 333 |  | iftrue 4531 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (𝑄‘𝑖) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅) | 
| 334 | 333 | adantl 481 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅) | 
| 335 | 14 | rexrd 11311 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈
ℝ*) | 
| 336 | 17 | rexrd 11311 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 337 |  | lbicc2 13504 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧
(𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 338 | 335, 336,
137, 337 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 339 | 314, 334,
338, 20 | fvmptd 7023 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) = 𝑅) | 
| 340 | 339, 21 | eqeltrd 2841 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ) | 
| 341 | 340 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ) | 
| 342 |  | eqid 2737 | . . . . . . . 8
⊢
(abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖))) | 
| 343 |  | eqid 2737 | . . . . . . . 8
⊢
∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥 | 
| 344 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈
ℝ+) | 
| 345 |  | fourierdlem73.m | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ) | 
| 346 | 345 | nnrpd 13075 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
ℝ+) | 
| 347 | 346 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈
ℝ+) | 
| 348 | 344, 347 | rpdivcld 13094 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈
ℝ+) | 
| 349 | 348 | adantlr 715 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈
ℝ+) | 
| 350 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈
ℂ) | 
| 351 | 17 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ) | 
| 352 | 351 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ) | 
| 353 | 350, 352 | mulcld 11281 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ) | 
| 354 | 353 | coscld 16167 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) →
(cos‘(𝑟 ·
(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈
ℂ) | 
| 355 | 17 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) | 
| 356 | 182, 355 | remulcld 11291 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ) | 
| 357 |  | abscosbd 45290 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ →
(abs‘(cos‘(𝑟
· (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤
1) | 
| 358 | 356, 357 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) →
(abs‘(cos‘(𝑟
· (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤
1) | 
| 359 | 358 | adantlr 715 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) →
(abs‘(cos‘(𝑟
· (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤
1) | 
| 360 | 14 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ) | 
| 361 | 360 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ) | 
| 362 | 350, 361 | mulcld 11281 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ) | 
| 363 | 362 | coscld 16167 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) →
(cos‘(𝑟 ·
(𝑄‘𝑖))) ∈ ℂ) | 
| 364 | 14 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) | 
| 365 | 182, 364 | remulcld 11291 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ) | 
| 366 |  | abscosbd 45290 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ →
(abs‘(cos‘(𝑟
· (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1) | 
| 367 | 365, 366 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) →
(abs‘(cos‘(𝑟
· (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1) | 
| 368 | 367 | adantlr 715 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) →
(abs‘(cos‘(𝑟
· (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1) | 
| 369 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) | 
| 370 | 369 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥))) | 
| 371 | 370 | cbvitgv 25812 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥 | 
| 372 | 371 | oveq2i 7442 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) = (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) | 
| 373 | 372 | oveq1i 7441 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) = ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) | 
| 374 | 373 | oveq1i 7441 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1) = (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1) | 
| 375 | 374 | fveq2i 6909 | . . . . . . . . 9
⊢
(⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) =
(⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) | 
| 376 | 375 | oveq1i 7441 | . . . . . . . 8
⊢
((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1) =
((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1) | 
| 377 | 173, 303,
304, 309, 313, 331, 332, 341, 342, 343, 349, 354, 359, 363, 368, 376 | fourierdlem47 46168 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) →
∃𝑚 ∈ ℕ
∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 378 |  | simplll 775 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝜑) | 
| 379 |  | simpllr 776 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) | 
| 380 |  | elioore 13417 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ) | 
| 381 | 380 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ) | 
| 382 |  | 0red 11264 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 ∈
ℝ) | 
| 383 |  | nnre 12273 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈
ℝ) | 
| 384 | 383 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ) | 
| 385 |  | nngt0 12297 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 <
𝑚) | 
| 386 | 385 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑚) | 
| 387 | 384 | rexrd 11311 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ*) | 
| 388 |  | pnfxr 11315 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ +∞
∈ ℝ* | 
| 389 | 388 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → +∞ ∈
ℝ*) | 
| 390 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) | 
| 391 |  | ioogtlb 45508 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑚 ∈ ℝ*
∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟) | 
| 392 | 387, 389,
390, 391 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟) | 
| 393 | 382, 384,
381, 386, 392 | lttrd 11422 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑟) | 
| 394 | 381, 393 | elrpd 13074 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+) | 
| 395 | 394 | adantll 714 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+) | 
| 396 | 14 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) | 
| 397 | 17 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) | 
| 398 | 64 | ffvelcdmda 7104 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 399 | 398 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 400 |  | rpcn 13045 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ 𝑟 ∈
ℂ) | 
| 401 | 400 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ) | 
| 402 | 35 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ) | 
| 403 | 402 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ) | 
| 404 | 401, 403 | mulcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ) | 
| 405 | 404 | sincld 16166 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ) | 
| 406 | 399, 405 | mulcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 407 | 396, 397,
406 | itgioo 25851 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 408 | 137 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 409 | 64 | feqmptd 6977 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥))) | 
| 410 |  | iftrue 4531 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿) | 
| 411 | 324, 410 | eqtr4d 2780 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) | 
| 412 | 411 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) | 
| 413 |  | iffalse 4534 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (¬
𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) | 
| 414 | 413 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) | 
| 415 | 45 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈
ℝ*) | 
| 416 | 46 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 417 | 35 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 418 | 14 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) | 
| 419 | 35 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 420 | 48 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥) | 
| 421 |  | neqne 2948 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (¬
𝑥 = (𝑄‘𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖)) | 
| 422 | 421 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖)) | 
| 423 | 418, 419,
420, 422 | leneltd 11415 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥) | 
| 424 | 423 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥) | 
| 425 | 35 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 426 | 17 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) | 
| 427 | 51 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 428 | 317 | biimpi 216 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥 → 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 429 | 428 | necon3bi 2967 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (¬
𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥) | 
| 430 | 429 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥) | 
| 431 | 425, 426,
427, 430 | leneltd 11415 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 432 | 431 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 433 | 415, 416,
417, 424, 432 | eliood 45511 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 434 |  | fvres 6925 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)) | 
| 435 | 433, 434 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)) | 
| 436 |  | iffalse 4534 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (¬
𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥)) | 
| 437 | 436 | eqcomd 2743 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (¬
𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) | 
| 438 | 437 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) | 
| 439 | 414, 435,
438 | 3eqtrrd 2782 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) | 
| 440 | 412, 439 | pm2.61dan 813 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))) | 
| 441 | 440 | ifeq2da 4558 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) | 
| 442 | 441 | mpteq2dva 5242 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))) | 
| 443 | 314, 409,
442 | 3eqtr3d 2785 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))) | 
| 444 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) | 
| 445 |  | fourierdlem73.fcn | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 446 | 195, 444,
14, 17, 445, 24, 20 | cncfiooicc 45909 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 447 | 443, 446 | eqeltrd 2841 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 448 | 409, 447 | eqeltrd 2841 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 449 | 448 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 450 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℝ
D 𝐷) = (ℝ D 𝐷) | 
| 451 | 129, 1 | eqeltrd 2841 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 452 | 451 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (ℝ
D 𝐷) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 453 | 209 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
∃𝑦 ∈ ℝ
∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 454 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈
ℝ+) | 
| 455 | 396, 397,
408, 449, 450, 452, 453, 454 | fourierdlem39 46161 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) | 
| 456 | 407, 455 | eqtr3d 2779 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) | 
| 457 | 378, 379,
395, 456 | syl21anc 838 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) | 
| 458 | 457 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))) | 
| 459 | 458 | breq1d 5153 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀))) | 
| 460 | 459 | ralbidva 3176 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀))) | 
| 461 | 460 | rexbidva 3177 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀))) | 
| 462 | 461 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) →
(∃𝑚 ∈ ℕ
∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀))) | 
| 463 | 377, 462 | mpbird 257 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) →
∃𝑚 ∈ ℕ
∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 464 | 463 | an32s 652 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 465 | 94 | oveq1d 7446 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) | 
| 466 | 465 | itgeq2dv 25817 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 467 | 466 | eqcomd 2743 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 468 | 467 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 469 | 14 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) | 
| 470 | 17 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) | 
| 471 | 398 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 472 | 380 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ) | 
| 473 | 472 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ) | 
| 474 | 402 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ) | 
| 475 | 473, 474 | mulcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ) | 
| 476 | 475 | sincld 16166 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ) | 
| 477 | 471, 476 | mulcld 11281 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 478 | 469, 470,
477 | itgioo 25851 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 479 | 60 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 480 | 479, 476 | mulcld 11281 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 481 | 469, 470,
480 | itgioo 25851 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 482 | 468, 478,
481 | 3eqtr3d 2785 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 483 | 482 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)) | 
| 484 | 483 | breq1d 5153 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))) | 
| 485 | 484 | ralbidva 3176 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))) | 
| 486 | 485 | adantlr 715 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))) | 
| 487 | 486 | rexbidv 3179 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))) | 
| 488 | 464, 487 | mpbid 232 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 489 | 488 | ralrimiva 3146 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) →
∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 490 | 489 | ralrimiva 3146 | . 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 491 |  | nfv 1914 | . . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) | 
| 492 |  | nfra1 3284 | . . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) | 
| 493 | 491, 492 | nfan 1899 | . . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 494 |  | nfv 1914 | . . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑟(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) | 
| 495 |  | nfcv 2905 | . . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑟(0..^𝑀) | 
| 496 |  | nfcv 2905 | . . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑟ℕ | 
| 497 |  | nfra1 3284 | . . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑟∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) | 
| 498 | 496, 497 | nfrexw 3313 | . . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑟∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) | 
| 499 | 495, 498 | nfralw 3311 | . . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑟∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) | 
| 500 | 494, 499 | nfan 1899 | . . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑟((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 501 |  | nfmpt1 5250 | . . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )) | 
| 502 |  | fzofi 14015 | . . . . . . 7
⊢
(0..^𝑀) ∈
Fin | 
| 503 | 502 | a1i 11 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (0..^𝑀) ∈ Fin) | 
| 504 |  | simpr 484 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 505 |  | eqid 2737 | . . . . . 6
⊢ {𝑚 ∈ ℕ ∣
∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)} = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)} | 
| 506 |  | eqid 2737 | . . . . . 6
⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )) | 
| 507 |  | eqid 2737 | . . . . . 6
⊢ sup(ran
(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣
∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < ) =
sup(ran (𝑖 ∈
(0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣
∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, <
) | 
| 508 | 493, 500,
501, 503, 504, 505, 506, 507 | fourierdlem31 46153 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 509 |  | simpr 484 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧
∃𝑛 ∈ ℕ
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 510 |  | nfv 1914 | . . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) | 
| 511 |  | nfre1 3285 | . . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑛∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) | 
| 512 | 510, 511 | nfan 1899 | . . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧
∃𝑛 ∈ ℕ
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 513 |  | nfv 1914 | . . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑟 𝑛 ∈ ℕ | 
| 514 |  | nfra1 3284 | . . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑟∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) | 
| 515 | 494, 513,
514 | nf3an 1901 | . . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑟((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 516 |  | simpll 767 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝜑) | 
| 517 |  | elioore 13417 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ) | 
| 518 | 517 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ) | 
| 519 |  | 0red 11264 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 ∈
ℝ) | 
| 520 |  | nnre 12273 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℝ) | 
| 521 | 520 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ) | 
| 522 |  | nngt0 12297 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 <
𝑛) | 
| 523 | 522 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑛) | 
| 524 | 521 | rexrd 11311 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ*) | 
| 525 | 388 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → +∞ ∈
ℝ*) | 
| 526 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) | 
| 527 |  | ioogtlb 45508 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑛 ∈ ℝ*
∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟) | 
| 528 | 524, 525,
526, 527 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟) | 
| 529 | 519, 521,
518, 523, 528 | lttrd 11422 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑟) | 
| 530 | 518, 529 | elrpd 13074 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+) | 
| 531 | 530 | adantll 714 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+) | 
| 532 | 7 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈
ℝ) | 
| 533 | 8 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈
ℝ) | 
| 534 | 27 | ffvelcdmda 7104 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 535 | 534 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 536 | 400 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑟 ∈ ℂ) | 
| 537 | 9 | sselda 3983 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 538 | 537 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ) | 
| 539 | 538 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ) | 
| 540 | 536, 539 | mulcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ) | 
| 541 | 540 | sincld 16166 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ) | 
| 542 | 535, 541 | mulcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 543 | 532, 533,
542 | itgioo 25851 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 544 |  | fourierdlem73.q0 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴) | 
| 545 | 544 | eqcomd 2743 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0)) | 
| 546 |  | fourierdlem73.qm | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵) | 
| 547 | 546 | eqcomd 2743 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀)) | 
| 548 | 545, 547 | oveq12d 7449 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) | 
| 549 | 548 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) | 
| 550 | 549 | itgeq1d 45972 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 551 |  | 0zd 12625 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ∈
ℤ) | 
| 552 |  | nnuz 12921 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) | 
| 553 |  | 0p1e1 12388 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (0 + 1) =
1 | 
| 554 | 553 | fveq2i 6909 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(ℤ≥‘(0 + 1)) =
(ℤ≥‘1) | 
| 555 | 552, 554 | eqtr4i 2768 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘(0 + 1)) | 
| 556 | 345, 555 | eleqtrdi 2851 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(0 +
1))) | 
| 557 | 556 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))) | 
| 558 | 10 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) | 
| 559 | 136 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 560 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) | 
| 561 | 548 | eqcomd 2743 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) = (𝐴[,]𝐵)) | 
| 562 | 561 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) = (𝐴[,]𝐵)) | 
| 563 | 560, 562 | eleqtrd 2843 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 564 | 563 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 565 | 564, 542 | syldan 591 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 566 | 14 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) | 
| 567 | 17 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) | 
| 568 | 106, 103 | sstrd 3994 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 569 | 113, 568 | feqresmpt 6978 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥))) | 
| 570 | 569, 445 | eqeltrrd 2842 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 571 | 570 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 572 |  | sincn 26488 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ sin
∈ (ℂ–cn→ℂ) | 
| 573 | 572 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)) | 
| 574 | 180 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ) | 
| 575 | 400 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈
ℂ) | 
| 576 | 184 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ℂ
⊆ ℂ) | 
| 577 | 574, 575,
576 | constcncfg 45887 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 578 | 189 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 579 | 577, 578 | mulcncf 25480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 580 | 579 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 581 | 573, 580 | cncfmpt1f 24940 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 582 | 571, 581 | mulcncf 25480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 583 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) | 
| 584 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) | 
| 585 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) | 
| 586 | 27 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) | 
| 587 | 36 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈
ℝ*) | 
| 588 | 38 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈
ℝ*) | 
| 589 | 6 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵)) | 
| 590 |  | simplr 769 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) | 
| 591 | 587, 588,
589, 590, 72 | fourierdlem1 46123 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 592 | 586, 591 | ffvelcdmd 7105 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 593 | 592 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 594 | 575 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ) | 
| 595 | 306 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ) | 
| 596 | 594, 595 | mulcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ) | 
| 597 | 596 | sincld 16166 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ) | 
| 598 | 569 | oveq1d 7446 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 599 | 24, 598 | eleqtrd 2843 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 600 | 599 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 601 |  | rpre 13043 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ 𝑟 ∈
ℝ) | 
| 602 | 601 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+
∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ) | 
| 603 | 87 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+
∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 604 | 602, 603 | remulcld 11291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+
∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ) | 
| 605 | 604 | adantll 714 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ) | 
| 606 | 605 | ad2ant2r 747 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ) | 
| 607 |  | recn 11245 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈
ℂ) | 
| 608 | 607 | sincld 16166 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑦 ∈ ℝ →
(sin‘𝑦) ∈
ℂ) | 
| 609 | 608 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈
ℂ) | 
| 610 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) | 
| 611 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) | 
| 612 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) | 
| 613 | 180 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ) | 
| 614 | 575 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℂ) | 
| 615 | 567 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ) | 
| 616 | 610, 613,
614, 615 | constlimc 45639 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 617 | 613, 611,
615 | idlimc 45641 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 618 | 610, 611,
612, 594, 595, 616, 617 | mullimc 45631 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 619 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦
(sin‘𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦
(sin‘𝑦)) | 
| 620 |  | sinf 16160 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
sin:ℂ⟶ℂ | 
| 621 | 620 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (⊤
→ sin:ℂ⟶ℂ) | 
| 622 | 621 | feqmptd 6977 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (⊤
→ sin = (𝑦 ∈
ℂ ↦ (sin‘𝑦))) | 
| 623 | 622, 572 | eqeltrrdi 2850 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (⊤
→ (𝑦 ∈ ℂ
↦ (sin‘𝑦))
∈ (ℂ–cn→ℂ)) | 
| 624 | 4 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (⊤
→ ℝ ⊆ ℂ) | 
| 625 |  | resincl 16176 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑦 ∈ ℝ →
(sin‘𝑦) ∈
ℝ) | 
| 626 | 625 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
((⊤ ∧ 𝑦
∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ) | 
| 627 | 619, 623,
624, 624, 626 | cncfmptssg 45886 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⊤
→ (𝑦 ∈ ℝ
↦ (sin‘𝑦))
∈ (ℝ–cn→ℝ)) | 
| 628 | 627 | mptru 1547 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦
(sin‘𝑦)) ∈
(ℝ–cn→ℝ) | 
| 629 | 628 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ)) | 
| 630 | 601 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ) | 
| 631 | 630, 567 | remulcld 11291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ) | 
| 632 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑦 = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 633 | 629, 631,
632 | cnmptlimc 25925 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) limℂ (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 634 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑦 = (𝑟 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · 𝑥))) | 
| 635 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 636 | 635 | ad2antll 729 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 637 | 606, 609,
618, 633, 634, 636 | limcco 25928 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 638 | 583, 584,
585, 593, 597, 600, 637 | mullimc 45631 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 639 | 569 | oveq1d 7446 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘𝑖))) | 
| 640 | 20, 639 | eleqtrd 2843 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘𝑖))) | 
| 641 | 640 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘𝑖))) | 
| 642 | 605 | ad2ant2r 747 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ) | 
| 643 | 566 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ) | 
| 644 | 610, 613,
614, 643 | constlimc 45639 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) limℂ (𝑄‘𝑖))) | 
| 645 | 613, 611,
643 | idlimc 45641 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) limℂ (𝑄‘𝑖))) | 
| 646 | 610, 611,
612, 594, 595, 644, 645 | mullimc 45631 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) limℂ (𝑄‘𝑖))) | 
| 647 | 630, 566 | remulcld 11291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ) | 
| 648 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑦 = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) | 
| 649 | 629, 647,
648 | cnmptlimc 25925 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) limℂ (𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) | 
| 650 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) | 
| 651 | 650 | ad2antll 729 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) | 
| 652 | 642, 609,
646, 649, 634, 651 | limcco 25928 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) limℂ (𝑄‘𝑖))) | 
| 653 | 583, 584,
585, 593, 597, 641, 652 | mullimc 45631 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) limℂ (𝑄‘𝑖))) | 
| 654 | 566, 567,
582, 638, 653 | iblcncfioo 45993 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈
𝐿1) | 
| 655 |  | simpll 767 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑟 ∈
ℝ+)) | 
| 656 | 59 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 657 | 655, 656,
542 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 658 | 566, 567,
654, 657 | ibliooicc 45986 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈
𝐿1) | 
| 659 | 551, 557,
558, 559, 565, 658 | itgspltprt 45994 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
∫((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 660 | 543, 550,
659 | 3eqtrd 2781 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 661 | 516, 531,
660 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 662 | 502 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin) | 
| 663 | 60 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 664 | 517 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ) | 
| 665 | 664 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ) | 
| 666 | 665 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ) | 
| 667 | 402 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ) | 
| 668 | 666, 667 | mulcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ) | 
| 669 | 668 | sincld 16166 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ) | 
| 670 | 663, 669 | mulcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 671 | 670 | adantl3r 750 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 672 |  | simplll 775 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑) | 
| 673 | 531 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ+) | 
| 674 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) | 
| 675 | 672, 673,
674, 658 | syl21anc 838 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈
𝐿1) | 
| 676 | 671, 675 | itgcl 25819 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) | 
| 677 | 662, 676 | fsumcl 15769 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) | 
| 678 | 661, 677 | eqeltrd 2841 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) | 
| 679 | 678 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) | 
| 680 | 679 | 3adantl3 1169 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) | 
| 681 | 680 | abscld 15475 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ) | 
| 682 | 676 | abscld 15475 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ) | 
| 683 | 662, 682 | fsumrecl 15770 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ) | 
| 684 | 683 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ) | 
| 685 | 684 | 3adantl3 1169 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ) | 
| 686 |  | rpre 13043 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑒 ∈ ℝ+
→ 𝑒 ∈
ℝ) | 
| 687 | 686 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ) | 
| 688 | 687 | 3ad2antl1 1186 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ) | 
| 689 | 661 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)) | 
| 690 | 662, 676 | fsumabs 15837 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)) | 
| 691 | 689, 690 | eqbrtrd 5165 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)) | 
| 692 | 691 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)) | 
| 693 | 692 | 3adantl3 1169 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)) | 
| 694 | 502 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin) | 
| 695 |  | 0zd 12625 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℤ) | 
| 696 | 345 | nnzd 12640 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) | 
| 697 | 345 | nngt0d 12315 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀) | 
| 698 |  | fzolb 13705 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
(0..^𝑀) ↔ (0 ∈
ℤ ∧ 𝑀 ∈
ℤ ∧ 0 < 𝑀)) | 
| 699 | 695, 696,
697, 698 | syl3anbrc 1344 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀)) | 
| 700 |  | ne0i 4341 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (0 ∈
(0..^𝑀) → (0..^𝑀) ≠ ∅) | 
| 701 | 699, 700 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ≠ ∅) | 
| 702 | 701 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅) | 
| 703 | 702 | 3ad2antl1 1186 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅) | 
| 704 |  | simp1l 1198 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → 𝜑) | 
| 705 | 704 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ
∧ ∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑) | 
| 706 |  | simpll2 1214 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ
∧ ∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ) | 
| 707 | 705, 706 | jca 511 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ
∧ ∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) | 
| 708 |  | simplr 769 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ
∧ ∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) | 
| 709 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ
∧ ∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) | 
| 710 |  | eleq1w 2824 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) | 
| 711 | 710 | anbi2d 630 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))) | 
| 712 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗)) | 
| 713 |  | oveq1 7438 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1)) | 
| 714 | 713 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 715 | 712, 714 | oveq12d 7449 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) | 
| 716 | 715 | itgeq1d 45972 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 717 | 716 | eleq1d 2826 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ ↔ ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)) | 
| 718 | 711, 717 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ))) | 
| 719 | 718, 676 | chvarvv 1998 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) | 
| 720 | 707, 708,
709, 719 | syl21anc 838 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ
∧ ∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) | 
| 721 | 720 | abscld 15475 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ
∧ ∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ) | 
| 722 | 348 | rpred 13077 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ) | 
| 723 | 722 | 3ad2ant1 1134 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ) | 
| 724 | 723 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ
∧ ∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ) | 
| 725 |  | simpll3 1215 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ
∧ ∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 726 |  | rspa 3248 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 727 | 726 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 728 | 716 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)) | 
| 729 | 728 | breq1d 5153 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))) | 
| 730 | 729 | cbvralvw 3237 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(∀𝑖 ∈
(0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 731 | 727, 730 | sylib 218 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 732 |  | rspa 3248 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((∀𝑗 ∈
(0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 733 | 731, 732 | sylancom 588 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 734 | 725, 708,
709, 733 | syl21anc 838 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ
∧ ∀𝑟 ∈
(𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) | 
| 735 | 694, 703,
721, 724, 734 | fsumlt 15836 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀)) | 
| 736 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖)) | 
| 737 |  | oveq1 7438 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1)) | 
| 738 | 737 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 739 | 736, 738 | oveq12d 7449 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 740 | 739 | itgeq1d 45972 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑗 = 𝑖 → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 741 | 740 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)) | 
| 742 | 741 | cbvsumv 15732 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Σ𝑗 ∈
(0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) | 
| 743 | 742 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)) | 
| 744 | 348 | rpcnd 13079 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ) | 
| 745 |  | fsumconst 15826 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((0..^𝑀) ∈ Fin
∧ (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ) →
Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀))) | 
| 746 | 502, 744,
745 | sylancr 587 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) →
Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀))) | 
| 747 | 345 | nnnn0d 12587 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
ℕ0) | 
| 748 |  | hashfzo0 14469 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀) | 
| 749 | 747, 748 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀) | 
| 750 | 749 | oveq1d 7446 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀))) | 
| 751 | 750 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) →
((♯‘(0..^𝑀))
· (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀))) | 
| 752 | 344 | rpcnd 13079 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈
ℂ) | 
| 753 | 347 | rpcnd 13079 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈
ℂ) | 
| 754 | 347 | rpne0d 13082 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0) | 
| 755 | 752, 753,
754 | divcan2d 12045 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)) = 𝑒) | 
| 756 | 746, 751,
755 | 3eqtrd 2781 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) →
Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒) | 
| 757 | 756 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒) | 
| 758 | 757 | 3ad2antl1 1186 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒) | 
| 759 | 735, 743,
758 | 3brtr3d 5174 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒) | 
| 760 | 681, 685,
688, 693, 759 | lelttrd 11419 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒) | 
| 761 | 760 | ex 412 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)) | 
| 762 | 515, 761 | ralrimi 3257 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒) | 
| 763 | 762 | 3exp 1120 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ →
(∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))) | 
| 764 | 763 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧
∃𝑛 ∈ ℕ
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))) | 
| 765 | 512, 764 | reximdai 3261 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧
∃𝑛 ∈ ℕ
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)) | 
| 766 | 509, 765 | mpd 15 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧
∃𝑛 ∈ ℕ
∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒) | 
| 767 | 508, 766 | syldan 591 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒) | 
| 768 | 767 | ex 412 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) →
(∀𝑖 ∈
(0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)) | 
| 769 | 768 | ralimdva 3167 | . 2
⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+
∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)) | 
| 770 | 490, 769 | mpd 15 | 1
⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒) |