fourierdlem73 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem73 44885

Description: A version of the Riemann Lebesgue lemma: as 𝑟 increases, the integral in 𝑆 goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem73.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem73.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem73.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem73.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem73.qf	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem73.q0	⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
fourierdlem73.qm	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
fourierdlem73.qilt	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
fourierdlem73.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem73.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem73.g	⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem73.gcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.gbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
fourierdlem73.s	⊢ 𝑆 = (𝑟 ∈ ℝ⁺ ↦ ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
fourierdlem73.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem73	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝐷,𝑟,𝑥,𝑦 𝑖,𝐹,𝑛,𝑥 𝑥,𝐺,𝑦 𝑥,𝐿 𝑒,𝑀,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥 𝑦,𝑀,𝑖 𝑄,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥 𝑦,𝑄 𝑥,𝑅 𝜑,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥 𝜑,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟) 𝐵(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟) 𝐷(𝑒,𝑖,𝑛) 𝑄(𝑒) 𝑅(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟) 𝑆(𝑥,𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟) 𝐹(𝑦,𝑒,𝑟) 𝐺(𝑒,𝑖,𝑛,𝑟) 𝐿(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem73 Dummy variables 𝑚 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem73.gcn	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
2		cncff 24408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
4		ax-resscn 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
6		fourierdlem73.qf	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
7		fourierdlem73.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		fourierdlem73.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	7, 8	iccssred 13410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
10	6, 9	fssd 6735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
12		elfzofz 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
14	11, 13	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
15		fzofzp1 13728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
17	11, 16	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
18	14, 17	iccssred 13410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
19		limccl 25391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)) ⊆ ℂ
20		fourierdlem73.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
21	19, 20	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ℂ)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑅 ∈ ℂ)
23		limccl 25391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
24		fourierdlem73.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
25	23, 24	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ℂ)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ℂ)
27		fourierdlem73.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
28	27	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
29	7	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
32	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
33		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
34		eliccre 44208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
36	7	rexrd 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
38	8	rexrd 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
40	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
41	40, 13	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵))
42		iccgelb 13379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖))
43	37, 39, 41, 42	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖))
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖))
45	31	rexrd 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^*)
46	32	rexrd 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^*)
47		iccgelb 13379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥)
48	45, 46, 33, 47	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥)
49	29, 31, 35, 44, 48	letrd 11370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
50		iccleub 13378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
51	45, 46, 33, 50	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
52	36	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
53	38	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
54	40, 16	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
56		iccleub 13378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
57	52, 53, 55, 56	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
58	35, 32, 30, 51, 57	letrd 11370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
59	29, 30, 35, 49, 58	eliccd 44207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
60	28, 59	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
61	26, 60	ifcld 4574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
62	22, 61	ifcld 4574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
63		fourierdlem73.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
64	62, 63	fmptd 7113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷:((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
65		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
66	65	tgioo2 24318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
67		iccntr 24336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
68	14, 17, 67	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
69	5, 18, 64, 66, 65, 68	dvresntr 44624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
70		ioossicc 13409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
71	70	sseli 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
73		fvres 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
75	72, 62	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
76	63	fvmpt2 7009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ) → (𝐷‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
77	72, 75, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
78	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
79	72, 45	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^*)
80	72, 46	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^*)
81		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
82		ioogtlb 44198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
83	79, 80, 81, 82	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
84	78, 83	gtned 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
85	84	neneqd 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖))
86	85	iffalsed 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
87		elioore 13353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
89		iooltub 44213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
90	79, 80, 81, 89	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
91	88, 90	ltned 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
92	91	neneqd 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
93	92	iffalsed 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
94	77, 86, 93	3eqtrrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
95	74, 94	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
96	95	ralrimiva 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
97		ffn 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷:((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → 𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
98	64, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
99		ffn 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
100	27, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
102		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
103	37, 39, 40, 102	fourierdlem8 44821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
104		fnssres 6673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
105	101, 103, 104	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
106	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
107		fvreseq 7041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
108	98, 105, 106, 107	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
109	96, 108	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
110	106	resabs1d 6012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
111	109, 110	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
112	111	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
113	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
114	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
115	106, 18	sstrd 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
116	65, 66	dvres 25427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
117	5, 113, 114, 115, 116	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
118		fourierdlem73.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
119	118	eqcomi 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℝ D 𝐹) = 𝐺
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
121		iooretop 24281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,))
122		retop 24277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
123		uniretop 24278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
124	123	isopn3 22569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
125	122, 115, 124	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
126	121, 125	mpbii 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
127	120, 126	reseq12d 5982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
128	117, 127	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
129	69, 112, 128	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
130	129	feq1d 6702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ))
131	3, 130	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
132	131	feqmptd 6960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
133	132, 129	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
134		ioombl 25081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
136		fourierdlem73.qilt	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
137	14, 17, 136	ltled 11361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
138		volioo 25085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖)))
139	14, 17, 137, 138	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖)))
140	17, 14	resubcld 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ)
141	139, 140	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
142		fourierdlem73.gbd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
143	142	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
144		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
145		nfra1 3281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦
146	144, 145	nfan 1902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
147		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
148		fdm 6726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
149	3, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
151	147, 150	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
152		fvres 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
153	151, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
154	153	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
155	154	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
156		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
157		ssdmres 6004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺 ↔ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
158	149, 157	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
159	158	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
160	151, 159	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
161	160	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
162		rsp 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
163	156, 161, 162	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
164	163	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
165	155, 164	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
166	165	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
167	146, 166	ralrimi 3254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
168	167	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
169	168	reximdva 3168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
170	143, 169	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
171	135, 141, 1, 170	cnbdibl 44668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ 𝐿¹)
172	133, 171	eqeltrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿¹)
173	172	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿¹)
174	134	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
175	141	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
176	133, 1	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
177	176	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
178		coscn 25956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
180		ioosscn 13385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
182		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℝ)
183	182	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℂ)
184		ssid 4004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ℂ ⊆ ℂ)
186	181, 183, 185	constcncfg 44578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
187	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
188	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
189	187, 188	idcncfg 44579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
190	189	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
191	186, 190	mulcncf 24962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
192	179, 191	cncfmpt1f 24429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
193	192	negcncfg 44587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
194	177, 193	mulcncf 24962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
195		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
196	195, 145	nfan 1902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
197	129	fveq1d 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
198	197, 152	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
199	198	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
200	199	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
201		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
202	159	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
203	201, 202, 162	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
204	200, 203	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
205	204	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
206	196, 205	ralrimi 3254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
207	206	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
208	207	reximdv 3170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
209	143, 208	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
210	209	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
211		eqidd 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))))
212		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑧))
213		eleq1w 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
214	213	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
215		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧))
216	212, 215	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥) ↔ ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)))
217	214, 216	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
218	217, 198	chvarvv 2002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
219	212, 218	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑧))
220		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · 𝑧))
221	220	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) = (cos‘(𝑟 · 𝑧)))
222	221	negeqd 11453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
223	222	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
224	219, 223	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
225	224	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
226		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
227		fvres 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
228	227	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
229	3	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) ∈ ℂ)
230	228, 229	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
231	230	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
232		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
233		elioore 13353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
234	233	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
235	232, 234	remulcld 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ)
236	235	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
237	236	coscld 16073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
238	237	negcld 11557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
239	238	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
240	231, 239	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℂ)
241	211, 225, 226, 240	fvmptd 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
242	241	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
243	242	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
244	240	abscld 15382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
245	244	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
246	231	abscld 15382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
247	246	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
248		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
249	239	abscld 15382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℝ)
250		1red 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
251	231	absge0d 15390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧)))
252	237	absnegd 15395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) = (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
253		abscosbd 43978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
254	235, 253	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
255	252, 254	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
256	255	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
257	249, 250, 246, 251, 256	lemul2ad 12153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1))
258	231, 239	absmuld 15400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
259	246	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
260	259	mulridd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1) = (abs‘(𝐺‘𝑧)))
261	260	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1))
262	257, 258, 261	3brtr4d 5180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧)))
263	262	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧)))
264		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
265		nfra1 3281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦
266	195, 265	nfan 1902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
267	199	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
268	267	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
269		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
270	268, 269	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
271	270	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
272	271	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
273	266, 272	ralimdaa 3257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
274	264, 273	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
275	215	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑧)))
276	275	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
277	276	cbvralvw 3234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
278	274, 277	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
279	278	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
280	279	r19.21bi 3248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
281	245, 247, 248, 263, 280	letrd 11370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ 𝑦)
282	243, 281	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
283	282	ralrimiva 3146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
284	131	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
285	284	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
286		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
287	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
288	286, 287	remulcld 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
289	288	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
290	289	coscld 16073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
291	290	negcld 11557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
292	291	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
293	285, 292	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
294	293	ralrimiva 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
295		dmmptg 6241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
296	294, 295	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
297	296	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
298	297	raleqdv 3325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
299	283, 298	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
300	299	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
301	300	reximdva 3168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
302	210, 301	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
303	174, 175, 194, 302	cnbdibl 44668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
304	303	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
305	284	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
306		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
307	180	sseli 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
308	307	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
309	306, 308	mulcld 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
310	309	coscld 16073	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
311	288	ancoms 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
312		abscosbd 43978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
313	311, 312	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
314	313	adantll 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
315	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
316	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
317	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
318		eqcom 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
319	318	biimpri 227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥)
320	319	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥)
321	317, 320	breqtrd 5174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
322	316, 321	gtned 11348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
323	322	neneqd 2945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖))
324	323	iffalsed 4539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
325		iftrue 4534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿)
326	325	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿)
327	324, 326	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝐿)
328	17	leidd 11779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
329	14, 17, 17, 137, 328	eliccd 44207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
330	315, 327, 329, 24	fvmptd 7005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) = 𝐿)
331	330, 25	eqeltrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
332	331	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
333		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
334		iftrue 4534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘𝑖) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
335	334	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
336	14	rexrd 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^*)
337	17	rexrd 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^*)
338		lbicc2 13440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
339	336, 337, 137, 338	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
340	315, 335, 339, 20	fvmptd 7005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) = 𝑅)
341	340, 21	eqeltrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ)
342	341	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ)
343		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))
344		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
345		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
346		fourierdlem73.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
347	346	nnrpd 13013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ⁺)
348	347	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑀 ∈ ℝ⁺)
349	345, 348	rpdivcld 13032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ⁺)
350	349	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ⁺)
351		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
352	17	recnd 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
353	352	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
354	351, 353	mulcld 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
355	354	coscld 16073	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℂ)
356	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
357	182, 356	remulcld 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
358		abscosbd 43978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
359	357, 358	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
360	359	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
361	14	recnd 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
362	361	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
363	351, 362	mulcld 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ)
364	363	coscld 16073	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ℂ)
365	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
366	182, 365	remulcld 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ)
367		abscosbd 43978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1)
368	366, 367	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1)
369	368	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1)
370		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑥))
371	370	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
372	371	cbvitgv 25293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
373	372	oveq2i 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) = (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥)
374	373	oveq1i 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) = ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀))
375	374	oveq1i 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1) = (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)
376	375	fveq2i 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) = (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1))
377	376	oveq1i 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1) = ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1)
378	173, 304, 305, 310, 314, 332, 333, 342, 343, 344, 350, 355, 360, 364, 369, 377	fourierdlem47 44859	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀))
379		simplll 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝜑)
380		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
381		elioore 13353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
382	381	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
383		0red 11216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
384		nnre 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
385	384	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
386		nngt0 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
387	386	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑚)
388	385	rexrd 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ^*)
389		pnfxr 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
390	389	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ^*)
391		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞))
392		ioogtlb 44198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
393	388, 390, 391, 392	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
394	383, 385, 382, 387, 393	lttrd 11374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
395	382, 394	elrpd 13012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
396	395	adantll 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
397	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
398	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
399	64	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ)
400	399	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ)
401		rpcn 12983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℂ)
402	401	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
403	35	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
404	403	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
405	402, 404	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
406	405	sincld 16072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
407	400, 406	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
408	397, 398, 407	itgioo 25332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
409	137	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
410	64	feqmptd 6960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)))
411		iftrue 4534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
412	325, 411	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
413	412	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
414		iffalse 4537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
415	414	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
416	45	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^*)
417	46	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^*)
418	35	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
419	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
420	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
421	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥)
422		neqne 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
423	422	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
424	419, 420, 421, 423	leneltd 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
425	424	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
426	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
427	17	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
428	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
429	318	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥 → 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
430	429	necon3bi 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
431	430	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
432	426, 427, 428, 431	leneltd 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
433	432	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
434	416, 417, 418, 425, 433	eliood 44201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
435		fvres 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
436	434, 435	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
437		iffalse 4537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
438	437	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
439	438	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
440	415, 436, 439	3eqtrrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
441	413, 440	pm2.61dan 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
442	441	ifeq2da 4560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
443	442	mpteq2dva 5248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
444	315, 410, 443	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
445		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
446		fourierdlem73.fcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
447	195, 445, 14, 17, 446, 24, 20	cncfiooicc 44600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
448	444, 447	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
449	410, 448	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
450	449	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝐷 ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
451		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ D 𝐷) = (ℝ D 𝐷)
452	129, 1	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
453	452	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
454	209	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
455		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
456	397, 398, 409, 450, 451, 453, 454, 455	fourierdlem39 44852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
457	408, 456	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
458	379, 380, 396, 457	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
459	458	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)))
460	459	breq1d 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
461	460	ralbidva 3175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
462	461	rexbidva 3176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
463	462	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
464	378, 463	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
465	464	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
466	94	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
467	466	itgeq2dv 25298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
468	467	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
469	468	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
470	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
471	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
472	399	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ)
473	381	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
474	473	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
475	403	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
476	474, 475	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
477	476	sincld 16072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
478	472, 477	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
479	470, 471, 478	itgioo 25332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
480	60	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
481	480, 477	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
482	470, 471, 481	itgioo 25332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
483	469, 479, 482	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
484	483	fveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
485	484	breq1d 5158	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
486	485	ralbidva 3175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
487	486	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
488	487	rexbidv 3178	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
489	465, 488	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
490	489	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
491	490	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
492		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)
493		nfra1 3281	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
494	492, 493	nfan 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
495		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)
496		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟(0..^𝑀)
497		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟ℕ
498		nfra1 3281	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
499	497, 498	nfrexw 3310	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
500	496, 499	nfralw 3308	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
501	495, 500	nfan 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑟((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
502		nfmpt1 5256	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
503		fzofi 13938	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
504	503	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
505		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
506		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)} = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}
507		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
508		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < ) = sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < )
509	494, 501, 502, 504, 505, 506, 507, 508	fourierdlem31 44844	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
510		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
511		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)
512		nfre1 3282	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
513	511, 512	nfan 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
514		nfv 1917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟 𝑛 ∈ ℕ
515		nfra1 3281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
516	495, 514, 515	nf3an 1904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
517		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝜑)
518		elioore 13353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
519	518	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
520		0red 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
521		nnre 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
522	521	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
523		nngt0 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
524	523	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑛)
525	522	rexrd 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ^*)
526	389	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ^*)
527		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
528		ioogtlb 44198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
529	525, 526, 527, 528	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
530	520, 522, 519, 524, 529	lttrd 11374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
531	519, 530	elrpd 13012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
532	531	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
533	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
534	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
535	27	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
536	535	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
537	401	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑟 ∈ ℂ)
538	9	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
539	538	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
540	539	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
541	537, 540	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
542	541	sincld 16072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
543	536, 542	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
544	533, 534, 543	itgioo 25332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
545		fourierdlem73.q0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
546	545	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
547		fourierdlem73.qm	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
548	547	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀))
549	546, 548	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
550	549	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
551	550	itgeq1d 44663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
552		0zd 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 0 ∈ ℤ)
553		nnuz 12864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
554		0p1e1 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0 + 1) = 1
555	554	fveq2i 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℤ_≥‘(0 + 1)) = (ℤ_≥‘1)
556	553, 555	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘(0 + 1))
557	346, 556	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
558	557	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
559	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
560	136	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
561		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
562	549	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
563	562	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
564	561, 563	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
565	564	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
566	565, 543	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
567	14	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
568	17	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
569	106, 103	sstrd 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
570	113, 569	feqresmpt 6961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)))
571	570, 446	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
572	571	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
573		sincn 25955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
574	573	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
575	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
576	401	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑟 ∈ ℂ)
577	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ℂ ⊆ ℂ)
578	575, 576, 577	constcncfg 44578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
579	189	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
580	578, 579	mulcncf 24962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
581	580	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
582	574, 581	cncfmpt1f 24429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
583	572, 582	mulcncf 24962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
584		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥))
585		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
586		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
587	27	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
588	36	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
589	38	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
590	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
591		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
592	588, 589, 590, 591, 72	fourierdlem1 44814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
593	587, 592	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
594	593	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
595	576	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
596	307	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
597	595, 596	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
598	597	sincld 16072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
599	570	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
600	24, 599	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
601	600	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
602		rpre 12981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℝ)
603	602	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
604	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
605	603, 604	remulcld 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
606	605	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
607	606	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
608		recn 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
609	608	sincld 16072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
610	609	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
611		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟)
612		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥)
613		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥))
614	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
615	576	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℂ)
616	568	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
617	611, 614, 615, 616	constlimc 44330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
618	614, 612, 616	idlimc 44332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
619	611, 612, 613, 595, 596, 617, 618	mullimc 44322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
620		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦))
621		sinf 16066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
622	621	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⊤ → sin:ℂ⟶ℂ)
623	622	feqmptd 6960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⊤ → sin = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)))
624	623, 573	eqeltrrdi 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
625	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
626		resincl 16082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
627	626	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
628	620, 624, 625, 625, 627	cncfmptssg 44577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
629	628	mptru 1548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
630	629	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
631	602	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ)
632	631, 568	remulcld 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
633		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
634	630, 632, 633	cnmptlimc 25406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) lim_ℂ (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
635		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = (𝑟 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
636		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
637	636	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
638	607, 610, 619, 634, 635, 637	limcco 25409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
639	584, 585, 586, 594, 598, 601, 638	mullimc 44322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
640	570	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
641	20, 640	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
642	641	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
643	606	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
644	567	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
645	611, 614, 615, 644	constlimc 44330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
646	614, 612, 644	idlimc 44332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
647	611, 612, 613, 595, 596, 645, 646	mullimc 44322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
648	631, 567	remulcld 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ)
649		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
650	630, 648, 649	cnmptlimc 25406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) lim_ℂ (𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
651		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
652	651	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
653	643, 610, 647, 650, 635, 652	limcco 25409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
654	584, 585, 586, 594, 598, 642, 653	mullimc 44322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
655	567, 568, 583, 639, 654	iblcncfioo 44684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
656		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺))
657	59	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
658	656, 657, 543	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
659	567, 568, 655, 658	ibliooicc 44677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
660	552, 558, 559, 560, 566, 659	itgspltprt 44685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
661	544, 551, 660	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
662	517, 532, 661	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
663	503	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
664	60	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
665	518	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
666	665	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
667	666	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
668	403	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
669	667, 668	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
670	669	sincld 16072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
671	664, 670	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
672	671	adantl3r 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
673		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
674	532	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
675		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
676	673, 674, 675, 659	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
677	672, 676	itgcl 25300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
678	663, 677	fsumcl 15678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
679	662, 678	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
680	679	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
681	680	3adantl3 1168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
682	681	abscld 15382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
683	677	abscld 15382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
684	663, 683	fsumrecl 15679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
685	684	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
686	685	3adantl3 1168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
687		rpre 12981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ)
688	687	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
689	688	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
690	662	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
691	663, 677	fsumabs 15746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
692	690, 691	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
693	692	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
694	693	3adantl3 1168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
695	503	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
696		0zd 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
697	346	nnzd 12584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
698	346	nngt0d 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
699		fzolb 13637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
700	696, 697, 698, 699	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
701		ne0i 4334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
702	700, 701	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ≠ ∅)
703	702	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
704	703	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
705		simp1l 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → 𝜑)
706	705	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
707		simpll2 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ)
708	706, 707	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
709		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
710		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
711		eleq1w 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
712	711	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
713		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗))
714		oveq1 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
715	714	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
716	713, 715	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
717	716	itgeq1d 44663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
718	717	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ ↔ ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ))
719	712, 718	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)))
720	719, 677	chvarvv 2002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
721	708, 709, 710, 720	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
722	721	abscld 15382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
723	349	rpred 13015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
724	723	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
725	724	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
726		simpll3 1214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
727		rspa 3245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
728	727	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
729	717	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
730	729	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
731	730	cbvralvw 3234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
732	728, 731	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
733		rspa 3245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
734	732, 733	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
735	726, 709, 710, 734	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
736	695, 704, 722, 725, 735	fsumlt 15745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀))
737		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
738		oveq1 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
739	738	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
740	737, 739	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
741	740	itgeq1d 44663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
742	741	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
743	742	cbvsumv 15641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
744	743	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
745	349	rpcnd 13017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ)
746		fsumconst 15735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
747	503, 745, 746	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
748	346	nnnn0d 12531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
749		hashfzo0 14389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
750	748, 749	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
751	750	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
752	751	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
753	345	rpcnd 13017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℂ)
754	348	rpcnd 13017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑀 ∈ ℂ)
755	348	rpne0d 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑀 ≠ 0)
756	753, 754, 755	divcan2d 11991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)) = 𝑒)
757	747, 752, 756	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
758	757	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
759	758	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
760	736, 744, 759	3brtr3d 5179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
761	682, 686, 689, 694, 760	lelttrd 11371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
762	761	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
763	516, 762	ralrimi 3254	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
764	763	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
765	764	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
766	513, 765	reximdai 3258	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
767	510, 766	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
768	509, 767	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
769	768	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
770	769	ralimdva 3167	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
771	491, 770	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ⊤wtru 1542 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 ∃wrex 3070 {crab 3432 ⊆ wss 3948 ∅c0 4322 ifcif 4528 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 dom cdm 5676 ran crn 5677 ↾ cres 5678 Fn wfn 6538 ⟶wf 6539 ‘cfv 6543 (class class class)co 7408 Fincfn 8938 supcsup 9434 infcinf 9435 ℂcc 11107 ℝcr 11108 0cc0 11109 1c1 11110 + caddc 11112 · cmul 11114 +∞cpnf 11244 ℝ^*cxr 11246 < clt 11247 ≤ cle 11248 − cmin 11443 -cneg 11444 / cdiv 11870 ℕcn 12211 ℕ₀cn0 12471 ℤcz 12557 ℤ_≥cuz 12821 ℝ⁺crp 12973 (,)cioo 13323 [,]cicc 13326 ...cfz 13483 ..^cfzo 13626 ⌊cfl 13754 ♯chash 14289 abscabs 15180 Σcsu 15631 sincsin 16006 cosccos 16007 TopOpenctopn 17366 topGenctg 17382 ℂ_fldccnfld 20943 Topctop 22394 intcnt 22520 –cn→ccncf 24391 volcvol 24979 𝐿¹cibl 25133 ∫citg 25134 lim_ℂ climc 25378 D cdv 25379

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-inf2 9635 ax-cc 10429 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 ax-addf 11188 ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-symdif 4242 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-disj 5114 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-of 7669 df-ofr 7670 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8146 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-2o 8466 df-oadd 8469 df-omul 8470 df-er 8702 df-map 8821 df-pm 8822 df-ixp 8891 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-fsupp 9361 df-fi 9405 df-sup 9436 df-inf 9437 df-oi 9504 df-dju 9895 df-card 9933 df-acn 9936 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-5 12277 df-6 12278 df-7 12279 df-8 12280 df-9 12281 df-n0 12472 df-z 12558 df-dec 12677 df-uz 12822 df-q 12932 df-rp 12974 df-xneg 13091 df-xadd 13092 df-xmul 13093 df-ioo 13327 df-ioc 13328 df-ico 13329 df-icc 13330 df-fz 13484 df-fzo 13627 df-fl 13756 df-mod 13834 df-seq 13966 df-exp 14027 df-fac 14233 df-bc 14262 df-hash 14290 df-shft 15013 df-cj 15045 df-re 15046 df-im 15047 df-sqrt 15181 df-abs 15182 df-limsup 15414 df-clim 15431 df-rlim 15432 df-sum 15632 df-ef 16010 df-sin 16012 df-cos 16013 df-struct 17079 df-sets 17096 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-ress 17173 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-rest 17367 df-topn 17368 df-0g 17386 df-gsum 17387 df-topgen 17388 df-pt 17389 df-prds 17392 df-xrs 17447 df-qtop 17452 df-imas 17453 df-xps 17455 df-mre 17529 df-mrc 17530 df-acs 17532 df-mgm 18560 df-sgrp 18609 df-mnd 18625 df-submnd 18671 df-mulg 18950 df-cntz 19180 df-cmn 19649 df-psmet 20935 df-xmet 20936 df-met 20937 df-bl 20938 df-mopn 20939 df-fbas 20940 df-fg 20941 df-cnfld 20944 df-top 22395 df-topon 22412 df-topsp 22434 df-bases 22448 df-cld 22522 df-ntr 22523 df-cls 22524 df-nei 22601 df-lp 22639 df-perf 22640 df-cn 22730 df-cnp 22731 df-haus 22818 df-cmp 22890 df-tx 23065 df-hmeo 23258 df-fil 23349 df-fm 23441 df-flim 23442 df-flf 23443 df-xms 23825 df-ms 23826 df-tms 23827 df-cncf 24393 df-ovol 24980 df-vol 24981 df-mbf 25135 df-itg1 25136 df-itg2 25137 df-ibl 25138 df-itg 25139 df-0p 25186 df-limc 25382 df-dv 25383

This theorem is referenced by: fourierdlem103 44915 fourierdlem104 44916

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