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Theorem fourierdlem73 46194
Description: A version of the Riemann Lebesgue lemma: as 𝑟 increases, the integral in 𝑆 goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem73.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem73.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem73.f (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem73.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem73.qf (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem73.q0 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
fourierdlem73.qm (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
fourierdlem73.qilt ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
fourierdlem73.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem73.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem73.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem73.gcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.gbd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
fourierdlem73.s 𝑆 = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
fourierdlem73.d 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem73 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐷,𝑟,𝑥,𝑦   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐿   𝑒,𝑀,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥   𝑦,𝑀,𝑖   𝑄,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥   𝑦,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐷(𝑒,𝑖,𝑛)   𝑄(𝑒)   𝑅(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑦,𝑒,𝑟)   𝐺(𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐿(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem73
Dummy variables 𝑚 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem73.gcn . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
2 cncff 24919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
4 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ⊆ ℂ
54a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
6 fourierdlem73.qf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
7 fourierdlem73.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 fourierdlem73.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
97, 8iccssred 13474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
106, 9fssd 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
12 elfzofz 13715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
1411, 13ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
15 fzofzp1 13803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1711, 16ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
1814, 17iccssred 13474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
19 limccl 25910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ⊆ ℂ
20 fourierdlem73.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
2119, 20sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ℂ)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑅 ∈ ℂ)
23 limccl 25910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
24 fourierdlem73.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2523, 24sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ℂ)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ℂ)
27 fourierdlem73.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2827ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
297ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
308ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3114adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
3217adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
33 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
34 eliccre 45518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
367rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
388rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
406adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
4140, 13ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵))
42 iccgelb 13443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄𝑖))
4337, 39, 41, 42syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ≤ (𝑄𝑖))
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄𝑖))
4531rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
4632rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
47 iccgelb 13443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
4845, 46, 33, 47syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
4929, 31, 35, 44, 48letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴𝑥)
50 iccleub 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
5145, 46, 33, 50syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
5236ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5338ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5440, 16ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
56 iccleub 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
5752, 53, 55, 56syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
5835, 32, 30, 51, 57letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥𝐵)
5929, 30, 35, 49, 58eliccd 45517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6028, 59ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
6126, 60ifcld 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
6222, 61ifcld 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
63 fourierdlem73.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
6462, 63fmptd 7134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
65 tgioo4 24826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
67 iccntr 24843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
6814, 17, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
695, 18, 64, 65, 66, 68dvresntr 45933 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
70 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
7170sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
73 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
7572, 62syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
7663fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ) → (𝐷𝑥) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
7772, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
7814adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
7972, 45syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
8072, 46syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
81 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
82 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
8379, 80, 81, 82syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
8478, 83gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
8584neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖))
8685iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
87 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
89 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9079, 80, 81, 89syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9188, 90ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9291neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9392iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
9477, 86, 933eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) = (𝐷𝑥))
9574, 94eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
9695ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
97 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → 𝐷 Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
9864, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
99 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
10027, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
10337, 39, 40, 102fourierdlem8 46130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
104 fnssres 6691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
105101, 103, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
10670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
107 fvreseq 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
10898, 105, 106, 107syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
10996, 108mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
110106resabs1d 6026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
111109, 110eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
112111oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
11327adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
1149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
115106, 18sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
11666, 65dvres 25946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
1175, 113, 114, 115, 116syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
118 fourierdlem73.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
119118eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℝ D 𝐹) = 𝐺
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
121 iooretop 24786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,))
122 retop 24782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
123 uniretop 24783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ = (topGen‘ran (,))
124123isopn3 23074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
125122, 115, 124sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
126121, 125mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
127120, 126reseq12d 5998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
128117, 127eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
12969, 112, 1283eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
130129feq1d 6720 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ))
1313, 130mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
132131feqmptd 6977 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
133132, 129eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
134 ioombl 25600 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol
135134a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
136 fourierdlem73.qilt . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
13714, 17, 136ltled 11409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
138 volioo 25604 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (vol‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄𝑖)))
13914, 17, 137, 138syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄𝑖)))
14017, 14resubcld 11691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄𝑖)) ∈ ℝ)
141139, 140eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
142 fourierdlem73.gbd . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
143142adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
144 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
145 nfra1 3284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦
146144, 145nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
147 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
148 fdm 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
1493, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
150149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
151147, 150eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
152 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
154153fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
155154ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
156 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
157 ssdmres 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺 ↔ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
158149, 157sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
159158sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
160151, 159syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
161160adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
162 rsp 3247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦))
163156, 161, 162sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
164163adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
165155, 164eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
166165ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
167146, 166ralrimi 3257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
168167ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
169168reximdva 3168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
170143, 169mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
171135, 141, 1, 170cnbdibl 45977 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ 𝐿1)
172133, 171eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
173172adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
174134a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
175141adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (vol‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
176133, 1eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
177176adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
178 coscn 26489 . . . . . . . . . . . . . 14 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
179178a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
180 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
182 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℝ)
183182recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℂ)
184 ssid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ⊆ ℂ
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ℂ ⊆ ℂ)
186181, 183, 185constcncfg 45887 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
187180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
188184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
189187, 188idcncfg 45888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
190189ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
191186, 190mulcncf 25480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
192179, 191cncfmpt1f 24940 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
193192negcncfg 45896 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
194177, 193mulcncf 25480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
195 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀))
196195, 145nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
197129fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
198197, 152sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
199198fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
200199adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
201 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
202159adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
203201, 202, 162sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
204200, 203eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
205204ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
206196, 205ralrimi 3257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
207206ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
208207reximdv 3170 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
209143, 208mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
210209adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
211 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))))
212 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑧))
213 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
214213anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
215 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
216212, 215eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺𝑧)))
217214, 216imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺𝑧))))
218217, 198chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
219212, 218sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑧))
220 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · 𝑧))
221220fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) = (cos‘(𝑟 · 𝑧)))
222221negeqd 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
223222adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
224219, 223oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
225224adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
226 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
227 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺𝑧))
228227adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺𝑧))
2293ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) ∈ ℂ)
230228, 229eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
231230adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
232 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
233 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
234233adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
235232, 234remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ)
236235recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
237236coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
238237negcld 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
239238adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
240231, 239mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℂ)
241211, 225, 226, 240fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧) = ((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
242241fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
243242ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
244240abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
245244ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
246231abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
247246ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
248 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
249239abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℝ)
250 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
251231absge0d 15483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
252237absnegd 15488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) = (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
253 abscosbd 45290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
254235, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
255252, 254eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
256255adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
257249, 250, 246, 251, 256lemul2ad 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑧)) · 1))
258231, 239absmuld 15493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) = ((abs‘(𝐺𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
259246recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
260259mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺𝑧)) · 1) = (abs‘(𝐺𝑧)))
261260eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) = ((abs‘(𝐺𝑧)) · 1))
262257, 258, 2613brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
263262ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
264 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
265 nfra1 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦
266195, 265nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
267199eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
268267adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
269 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
270268, 269eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
271270ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦))
272271adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦))
273266, 272ralimdaa 3260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦))
274264, 273mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
275215fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝐺𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑧)))
276275breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
277276cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
278274, 277sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
279278ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
280279r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
281245, 247, 248, 263, 280letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ 𝑦)
282243, 281eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
283282ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
284131ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
285284adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
286 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
28787adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
288286, 287remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
289288recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
290289coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
291290negcld 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
292291adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
293285, 292mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
294293ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
295 dmmptg 6262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
296294, 295syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
297296ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
298283, 297raleqtrrdv 3330 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
299298ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
300299reximdva 3168 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
301210, 300mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
302174, 175, 194, 301cnbdibl 45977 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
303302adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
304284adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
305 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
306180sseli 3979 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
307306ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
308305, 307mulcld 11281 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
309308coscld 16167 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
310288ancoms 458 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
311 abscosbd 45290 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
312310, 311syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
313312adantll 714 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
31463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))))
31514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
316136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
317 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
318317biimpri 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥)
319318adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥)
320316, 319breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
321315, 320gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
322321neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖))
323322iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
324 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
325324adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
326323, 325eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
32717leidd 11829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
32814, 17, 17, 137, 327eliccd 45517 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
329314, 326, 328, 24fvmptd 7023 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) = 𝐿)
330329, 25eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
331330adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
332 eqid 2737 . . . . . . . 8 (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
333 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
334333adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
33514rexrd 11311 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
33617rexrd 11311 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
337 lbicc2 13504 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
338335, 336, 137, 337syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
339314, 334, 338, 20fvmptd 7023 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) = 𝑅)
340339, 21eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ℂ)
341340adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ℂ)
342 eqid 2737 . . . . . . . 8 (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))
343 eqid 2737 . . . . . . . 8 ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
344 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
345 fourierdlem73.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
346345nnrpd 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
347346adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
348344, 347rpdivcld 13094 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ+)
349348adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ+)
350 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
35117recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
352351ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
353350, 352mulcld 11281 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
354353coscld 16167 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℂ)
35517adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
356182, 355remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
357 abscosbd 45290 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
358356, 357syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
359358adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
36014recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
361360ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
362350, 361mulcld 11281 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ℂ)
363362coscld 16167 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) ∈ ℂ)
36414adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
365182, 364remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ℝ)
366 abscosbd 45290 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖)))) ≤ 1)
367365, 366syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖)))) ≤ 1)
368367adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖)))) ≤ 1)
369 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑥))
370369fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
371370cbvitgv 25812 . . . . . . . . . . . . 13 ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
372371oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) = (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥)
373372oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) = ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀))
374373oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1) = (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)
375374fveq2i 6909 . . . . . . . . 9 (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) = (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1))
376375oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1) = ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1)
377173, 303, 304, 309, 313, 331, 332, 341, 342, 343, 349, 354, 359, 363, 368, 376fourierdlem47 46168 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀))
378 simplll 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝜑)
379 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
380 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
381380adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
382 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
383 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
384383adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
385 nngt0 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
386385adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑚)
387384rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ*)
388 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
389388a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
390 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞))
391 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
392387, 389, 390, 391syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
393382, 384, 381, 386, 392lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
394381, 393elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
395394adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
39614adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
39717adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
39864ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) ∈ ℂ)
399398adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) ∈ ℂ)
400 rpcn 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℂ)
401400ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
40235recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
403402adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
404401, 403mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
405404sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
406399, 405mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
407396, 397, 406itgioo 25851 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
408137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
40964feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑥)))
410 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
411324, 410eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
412411adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
413 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
414413adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
41545ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
41646ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
41735ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
41814ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
41935adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
42048adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
421 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑥 = (𝑄𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
422421adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
423418, 419, 420, 422leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
424423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
42535adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
42617ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
42751adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
428317biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
429428necon3bi 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
430429adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
431425, 426, 427, 430leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
432431adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
433415, 416, 417, 424, 432eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
434 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
435433, 434syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
436 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
437436eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
438437adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
439414, 435, 4383eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
440412, 439pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
441440ifeq2da 4558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
442441mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
443314, 409, 4423eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
444 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
445 fourierdlem73.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
446195, 444, 14, 17, 445, 24, 20cncfiooicc 45909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
447443, 446eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
448409, 447eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
449448adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
450 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ D 𝐷) = (ℝ D 𝐷)
451129, 1eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
452451adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
453209adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
454 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
455396, 397, 408, 449, 450, 452, 453, 454fourierdlem39 46161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
456407, 455eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
457378, 379, 395, 456syl21anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
458457fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)))
459458breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
460459ralbidva 3176 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
461460rexbidva 3177 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
462461adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
463377, 462mpbird 257 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
464463an32s 652 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
46594oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
466465itgeq2dv 25817 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
467466eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
468467adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
46914adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
47017adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
471398adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) ∈ ℂ)
472380recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
473472ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
474402adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
475473, 474mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
476475sincld 16166 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
477471, 476mulcld 11281 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
478469, 470, 477itgioo 25851 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
47960adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
480479, 476mulcld 11281 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
481469, 470, 480itgioo 25851 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
482468, 478, 4813eqtr3d 2785 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
483482fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
484483breq1d 5153 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
485484ralbidva 3176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
486485adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
487486rexbidv 3179 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
488464, 487mpbid 232 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
489488ralrimiva 3146 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
490489ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
491 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
492 nfra1 3284 . . . . . . 7 𝑖𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
493491, 492nfan 1899 . . . . . 6 𝑖((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
494 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑟(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
495 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑟(0..^𝑀)
496 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑟
497 nfra1 3284 . . . . . . . . 9 𝑟𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
498496, 497nfrexw 3313 . . . . . . . 8 𝑟𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
499495, 498nfralw 3311 . . . . . . 7 𝑟𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
500494, 499nfan 1899 . . . . . 6 𝑟((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
501 nfmpt1 5250 . . . . . 6 𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
502 fzofi 14015 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ∈ Fin
503502a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
504 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
505 eqid 2737 . . . . . 6 {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)} = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}
506 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
507 eqid 2737 . . . . . 6 sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < ) = sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < )
508493, 500, 501, 503, 504, 505, 506, 507fourierdlem31 46153 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
509 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
510 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
511 nfre1 3285 . . . . . . . 8 𝑛𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
512510, 511nfan 1899 . . . . . . 7 𝑛((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
513 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑟 𝑛 ∈ ℕ
514 nfra1 3284 . . . . . . . . . . 11 𝑟𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
515494, 513, 514nf3an 1901 . . . . . . . . . 10 𝑟((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
516 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝜑)
517 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
518517adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
519 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
520 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
521520adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
522 nngt0 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
523522adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑛)
524521rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
525388a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
526 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
527 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
528524, 525, 526, 527syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
529519, 521, 518, 523, 528lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
530518, 529elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
531530adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
5327adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
5338adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
53427ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
535534adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
536400ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑟 ∈ ℂ)
5379sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
538537recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
539538adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
540536, 539mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
541540sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
542535, 541mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
543532, 533, 542itgioo 25851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
544 fourierdlem73.q0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
545544eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
546 fourierdlem73.qm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
547546eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
548545, 547oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
549548adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
550549itgeq1d 45972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
551 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
552 nnuz 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℕ = (ℤ‘1)
553 0p1e1 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 + 1) = 1
554553fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
555552, 554eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
556345, 555eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
557556adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
55810adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
559136adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
560 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
561548eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
562561adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
563560, 562eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
564563adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
565564, 542syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
56614adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
56717adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
568106, 103sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
569113, 568feqresmpt 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
570569, 445eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
571570adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
572 sincn 26488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
573572a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
574180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
575400adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℂ)
576184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ℂ ⊆ ℂ)
577574, 575, 576constcncfg 45887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
578189adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
579577, 578mulcncf 25480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
580579adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
581573, 580cncfmpt1f 24940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
582571, 581mulcncf 25480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
583 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥))
584 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
585 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
58627ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
58736ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
58838ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5896ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
590 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
591587, 588, 589, 590, 72fourierdlem1 46123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
592586, 591ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
593592adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
594575ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
595306adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
596594, 595mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
597596sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
598569oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
59924, 598eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
600599adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
601 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
602601adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
60387adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
604602, 603remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
605604adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
606605ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
607 recn 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
608607sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
609608adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
610 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟)
611 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥)
612 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥))
613180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
614575adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℂ)
615567recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
616610, 613, 614, 615constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
617613, 611, 615idlimc 45641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
618610, 611, 612, 594, 595, 616, 617mullimc 45631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
619 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦))
620 sinf 16160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 sin:ℂ⟶ℂ
621620a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⊤ → sin:ℂ⟶ℂ)
622621feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⊤ → sin = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)))
623622, 572eqeltrrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
625 resincl 16176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
626625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
627619, 623, 624, 624, 626cncfmptssg 45886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
628627mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
629628a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
630601ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ)
631630, 567remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
632 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
633629, 631, 632cnmptlimc 25925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) lim (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
634 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑟 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
635 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
636635ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
637606, 609, 618, 633, 634, 636limcco 25928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
638583, 584, 585, 593, 597, 600, 637mullimc 45631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
639569oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
64020, 639eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
641640adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
642605ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄𝑖)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
643566recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
644610, 613, 614, 643constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) lim (𝑄𝑖)))
645613, 611, 643idlimc 45641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) lim (𝑄𝑖)))
646610, 611, 612, 594, 595, 644, 645mullimc 45631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
647630, 566remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ℝ)
648 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑟 · (𝑄𝑖)) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))))
649629, 647, 648cnmptlimc 25925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) lim (𝑟 · (𝑄𝑖))))
650 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄𝑖)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))))
651650ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄𝑖)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))))
652642, 609, 646, 649, 634, 651limcco 25928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) lim (𝑄𝑖)))
653583, 584, 585, 593, 597, 641, 652mullimc 45631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) lim (𝑄𝑖)))
654566, 567, 582, 638, 653iblcncfioo 45993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
655 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝜑𝑟 ∈ ℝ+))
65659adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
657655, 656, 542syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
658566, 567, 654, 657ibliooicc 45986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
659551, 557, 558, 559, 565, 658itgspltprt 45994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
660543, 550, 6593eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
661516, 531, 660syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
662502a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
66360adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
664517recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
665664adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
666665ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
667402adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
668666, 667mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
669668sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
670663, 669mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
671670adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
672 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
673531adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
674 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
675672, 673, 674, 658syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
676671, 675itgcl 25819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
677662, 676fsumcl 15769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
678661, 677eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
679678adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
6806793adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
681680abscld 15475 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
682676abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
683662, 682fsumrecl 15770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
684683adantllr 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
6856843adantl3 1169 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
686 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
687686ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
6886873ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
689661fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
690662, 676fsumabs 15837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
691689, 690eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
692691adantllr 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
6936923adantl3 1169 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
694502a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
695 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
696345nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
697345nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < 𝑀)
698 fzolb 13705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
699695, 696, 697, 698syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
700 ne0i 4341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ (0..^𝑀) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
701699, 700syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0..^𝑀) ≠ ∅)
702701ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
7037023ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
704 simp1l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → 𝜑)
705704ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
706 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ)
707705, 706jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝜑𝑛 ∈ ℕ))
708 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
709 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
710 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
711710anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
712 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑗))
713 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
714713fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
715712, 714oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
716715itgeq1d 45972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
717716eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → (∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ ↔ ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ))
718711, 717imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 → (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)))
719718, 676chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
720707, 708, 709, 719syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
721720abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
722348rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
7237223ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
724723ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
725 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
726 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
727726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
728716fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
729728breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
730729cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
731727, 730sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
732 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
733731, 732sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
734725, 708, 709, 733syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
735694, 703, 721, 724, 734fsumlt 15836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀))
736 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
737 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
738737fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
739736, 738oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
740739itgeq1d 45972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 → ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
741740fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
742741cbvsumv 15732 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
743742a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
744348rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ)
745 fsumconst 15826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
746502, 744, 745sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
747345nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
748 hashfzo0 14469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
749747, 748syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
750749oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
751750adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
752344rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℂ)
753347rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ)
754347rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
755752, 753, 754divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)) = 𝑒)
756746, 751, 7553eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
757756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
7587573ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
759735, 743, 7583brtr3d 5174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
760681, 685, 688, 693, 759lelttrd 11419 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
761760ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
762515, 761ralrimi 3257 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
7637623exp 1120 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
764763adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
765512, 764reximdai 3261 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
766509, 765mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
767508, 766syldan 591 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
768767ex 412 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
769768ralimdva 3167 . 2 (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
770490, 769mpd 15 1 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  supcsup 9480  infcinf 9481  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  cfl 13830  chash 14369  abscabs 15273  Σcsu 15722  sincsin 16099  cosccos 16100  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  Topctop 22899  intcnt 23025  cnccncf 24902  volcvol 25498  𝐿1cibl 25652  citg 25653   lim climc 25897   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225
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