fourierdlem73 - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > fourierdlem73		Structured version Visualization version GIF version

Theorem fourierdlem73 46951

Description: A version of the Riemann Lebesgue lemma: as 𝑟 increases, the integral in 𝑆 goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem73.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem73.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem73.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem73.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem73.qf	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem73.q0	⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
fourierdlem73.qm	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
fourierdlem73.qilt	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
fourierdlem73.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem73.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem73.g	⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem73.gcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.gbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
fourierdlem73.s	⊢ 𝑆 = (𝑟 ∈ ℝ⁺ ↦ ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
fourierdlem73.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem73	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝐷,𝑟,𝑥,𝑦 𝑖,𝐹,𝑛,𝑥 𝑥,𝐺,𝑦 𝑥,𝐿 𝑒,𝑀,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥 𝑦,𝑀,𝑖 𝑄,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥 𝑦,𝑄 𝑥,𝑅 𝜑,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥 𝜑,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑦, 𝑒, 𝑖, 𝑛, 𝑟) 𝐵(𝑦, 𝑒, 𝑖, 𝑛, 𝑟) 𝐷(𝑒, 𝑖, 𝑛) 𝑄(𝑒) 𝑅(𝑦, 𝑒, 𝑖, 𝑛, 𝑟) 𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑒, 𝑖, 𝑛, 𝑟) 𝐹(𝑦, 𝑒, 𝑟) 𝐺(𝑒, 𝑖, 𝑛, 𝑟) 𝐿(𝑦, 𝑒, 𝑖, 𝑛, 𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem73 Dummy variables 𝑚 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem73.gcn	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
2		cncff 25103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
4		ax-resscn 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
6		fourierdlem73.qf	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
7		fourierdlem73.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		fourierdlem73.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	7, 8	iccssred 13477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
10	6, 9	fssd 6727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
12		elfzofz 13721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
14	11, 13	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
15		fzofzp1 13810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
16	15	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
17	11, 16	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
18	14, 17	iccssred 13477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
19		limccl 26085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)) ⊆ ℂ
20		fourierdlem73.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
21	19, 20	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ℂ)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑅 ∈ ℂ)
23		limccl 26085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
24		fourierdlem73.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
25	23, 24	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ℂ)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ℂ)
27		fourierdlem73.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
28	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
29	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
32	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
33		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
34		eliccre 46279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
36	7	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
38	8	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
40	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
41	40, 13	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵))
42		iccgelb 13445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖))
43	37, 39, 41, 42	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖))
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖))
45	31	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^*)
46	32	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^*)
47		iccgelb 13445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥)
48	45, 46, 33, 47	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥)
49	29, 31, 35, 44, 48	letrd 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
50		iccleub 13444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
51	45, 46, 33, 50	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
52	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
53	38	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
54	40, 16	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
56		iccleub 13444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
57	52, 53, 55, 56	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
58	35, 32, 30, 51, 57	letrd 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
59	29, 30, 35, 49, 58	eliccd 46278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
60	28, 59	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
61	26, 60	ifcld 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
62	22, 61	ifcld 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
63		fourierdlem73.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
64	62, 63	fmptd 7113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷:((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
65		tgioo4 25013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
66		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
67		iccntr 25030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
68	14, 17, 67	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
69	5, 18, 64, 65, 66, 68	dvresntr 46690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
70		ioossicc 13476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
71	70	sseli 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
72	71	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
73		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
74	72, 73	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
75	72, 62	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
76	63	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ) → (𝐷‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
77	72, 75, 76	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
78	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
79	72, 45	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^*)
80	72, 46	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^*)
81		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
82		ioogtlb 46269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
83	79, 80, 81, 82	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
84	78, 83	gtned 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
85	84	neneqd 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖))
86	85	iffalsed 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
87		elioore 13418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
88	87	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
89		iooltub 46284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
90	79, 80, 81, 89	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
91	88, 90	ltned 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
92	91	neneqd 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
93	92	iffalsed 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
94	77, 86, 93	3eqtrrd 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
95	74, 94	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
96	95	ralrimiva 3159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
97		ffn 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷:((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → 𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
98	64, 97	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
99		ffn 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
100	27, 99	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
101	100	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
102		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
103	37, 39, 40, 102	fourierdlem8 46887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
104		fnssres 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
105	101, 103, 104	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
106	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
107		fvreseq 7039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
108	98, 105, 106, 107	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
109	96, 108	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
110	106	resabs1d 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
111	109, 110	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
112	111	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
113	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
114	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
115	106, 18	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
116	66, 65	dvres 26121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
117	5, 113, 114, 115, 116	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
118		fourierdlem73.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
119	118	eqcomi 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℝ D 𝐹) = 𝐺
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
121		iooretop 24973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,))
122		retop 24969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
123		uniretop 24970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
124	123	isopn3 23273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
125	122, 115, 124	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
126	121, 125	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
127	120, 126	reseq12d 5981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
128	117, 127	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
129	69, 112, 128	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
130	129	feq1d 6691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ))
131	3, 130	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
132	131	feqmptd 6953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
133	132, 129	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
134		ioombl 25775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
136		fourierdlem73.qilt	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
137	14, 17, 136	ltled 11373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
138		volioo 25779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖)))
139	14, 17, 137, 138	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖)))
140	17, 14	resubcld 11657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ)
141	139, 140	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
142		fourierdlem73.gbd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
143	142	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
144		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
145		nfra1 3291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦
146	144, 145	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
147		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
148		fdm 6719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
149	3, 148	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
150	149	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
151	147, 150	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
152		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
153	151, 152	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
154	153	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
155	154	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
156		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
157		ssdmres 6014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺 ↔ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
158	149, 157	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
159	158	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
160	151, 159	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
161	160	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
162		rsp 3255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
163	156, 161, 162	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
164	163	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
165	155, 164	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
166	165	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
167	146, 166	ralrimi 3265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
168	167	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
169	168	reximdva 3180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
170	143, 169	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
171	135, 141, 1, 170	cnbdibl 46734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ 𝐿¹)
172	133, 171	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿¹)
173	172	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿¹)
174	134	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
175	141	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
176	133, 1	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
177	176	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
178		coscn 26659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
180		ioosscn 13451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
182		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℝ)
183	182	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℂ)
184		ssid 3960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ℂ ⊆ ℂ)
186	181, 183, 185	constcncfg 46644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
187	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
188	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
189	187, 188	idcncfg 46645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
190	189	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
191	186, 190	mulcncf 25656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
192	179, 191	cncfmpt1f 25124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
193	192	negcncfg 46653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
194	177, 193	mulcncf 25656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
195		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
196	195, 145	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
197	129	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
198	197, 152	sylan9eq 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
199	198	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
200	199	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
201		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
202	159	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
203	201, 202, 162	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
204	200, 203	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
205	204	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
206	196, 205	ralrimi 3265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
207	206	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
208	207	reximdv 3182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
209	143, 208	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
210	209	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
211		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))))
212		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑧))
213		eleq1w 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
214	213	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
215		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧))
216	212, 215	eqeq12d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥) ↔ ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)))
217	214, 216	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
218	217, 198	chvarvv 2022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
219	212, 218	sylan9eqr 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑧))
220		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · 𝑧))
221	220	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) = (cos‘(𝑟 · 𝑧)))
222	221	negeqd 11466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
223	222	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
224	219, 223	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
225	224	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
226		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
227		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
228	227	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
229	3	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) ∈ ℂ)
230	228, 229	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
231	230	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
232		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
233		elioore 13418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
234	233	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
235	232, 234	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ)
236	235	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
237	236	coscld 16209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
238	237	negcld 11571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
239	238	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
240	231, 239	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℂ)
241	211, 225, 226, 240	fvmptd 7001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
242	241	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
243	242	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
244	240	abscld 15514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
245	244	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
246	231	abscld 15514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
247	246	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
248		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
249	239	abscld 15514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℝ)
250		1red 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
251	231	absge0d 15522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧)))
252	237	absnegd 15527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) = (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
253		abscosbd 46056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
254	235, 253	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
255	252, 254	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
256	255	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
257	249, 250, 246, 251, 256	lemul2ad 12170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1))
258	231, 239	absmuld 15532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
259	246	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
260	259	mulridd 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1) = (abs‘(𝐺‘𝑧)))
261	260	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1))
262	257, 258, 261	3brtr4d 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧)))
263	262	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧)))
264		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
265		nfra1 3291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦
266	195, 265	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
267	199	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
268	267	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
269		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
270	268, 269	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
271	270	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
272	271	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
273	266, 272	ralimdaa 3268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
274	264, 273	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
275	215	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑧)))
276	275	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
277	276	cbvralvw 3245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
278	274, 277	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
279	278	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
280	279	r19.21bi 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
281	245, 247, 248, 263, 280	letrd 11382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ 𝑦)
282	243, 281	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
283	282	ralrimiva 3159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
284	131	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
285	284	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
286		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
287	87	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
288	286, 287	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
289	288	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
290	289	coscld 16209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
291	290	negcld 11571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
292	291	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
293	285, 292	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
294	293	ralrimiva 3159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
295		dmmptg 6245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
296	294, 295	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
297	296	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
298	283, 297	raleqtrrdv 3329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
299	298	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
300	299	reximdva 3180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
301	210, 300	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
302	174, 175, 194, 301	cnbdibl 46734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
303	302	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
304	284	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
305		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
306	180	sseli 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
307	306	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
308	305, 307	mulcld 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
309	308	coscld 16209	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
310	288	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
311		abscosbd 46056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
312	310, 311	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
313	312	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
314	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
315	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
316	136	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
317		eqcom 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
318	317	bilanri 512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥)
319	316, 318	breqtrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
320	315, 319	gtned 11360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
321	320	neneqd 2965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖))
322	321	iffalsed 4500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
323		iftrue 4495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿)
324	323	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿)
325	322, 324	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝐿)
326	17	leidd 11795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
327	14, 17, 17, 137, 326	eliccd 46278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
328	314, 325, 327, 24	fvmptd 7001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) = 𝐿)
329	328, 25	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
330	329	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
331		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
332		iftrue 4495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘𝑖) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
333	332	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
334	14	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^*)
335	17	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^*)
336		lbicc2 13507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
337	334, 335, 137, 336	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
338	314, 333, 337, 20	fvmptd 7001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) = 𝑅)
339	338, 21	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ)
340	339	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ)
341		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))
342		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
343		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
344		fourierdlem73.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
345	344	nnrpd 13074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ⁺)
346	345	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑀 ∈ ℝ⁺)
347	343, 346	rpdivcld 13093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ⁺)
348	347	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ⁺)
349		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
350	17	recnd 11252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
351	350	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
352	349, 351	mulcld 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
353	352	coscld 16209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℂ)
354	17	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
355	182, 354	remulcld 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
356		abscosbd 46056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
357	355, 356	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
358	357	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
359	14	recnd 11252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
360	359	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
361	349, 360	mulcld 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ)
362	361	coscld 16209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ℂ)
363	14	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
364	182, 363	remulcld 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ)
365		abscosbd 46056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1)
366	364, 365	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1)
367	366	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1)
368		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑥))
369	368	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
370	369	cbvitgv 25987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
371	370	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) = (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥)
372	371	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) = ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀))
373	372	oveq1i 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1) = (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)
374	373	fveq2i 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) = (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1))
375	374	oveq1i 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1) = ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1)
376	173, 303, 304, 309, 313, 330, 331, 340, 341, 342, 348, 353, 358, 362, 367, 375	fourierdlem47 46925	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀))
377		simplll 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝜑)
378		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
379		elioore 13418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
380	379	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
381		0red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
382		nnre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
383	382	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
384		nngt0 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
385	384	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑚)
386	383	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ^*)
387		pnfxr 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
388	387	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ^*)
389		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞))
390		ioogtlb 46269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
391	386, 388, 389, 390	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
392	381, 383, 380, 385, 391	lttrd 11386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
393	380, 392	elrpd 13073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
394	393	adantll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
395	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
396	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
397	64	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ)
398	397	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ)
399		rpcn 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℂ)
400	399	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
401	35	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
402	401	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
403	400, 402	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
404	403	sincld 16208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
405	398, 404	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
406	395, 396, 405	itgioo 26026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
407	137	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
408	64	feqmptd 6953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)))
409		iftrue 4495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
410	323, 409	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
411	410	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
412		iffalse 4498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
413	412	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
414	45	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^*)
415	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^*)
416	35	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
417	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
418	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
419	48	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥)
420		neqne 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
421	420	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
422	417, 418, 419, 421	leneltd 11379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
423	422	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
424	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
425	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
426	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
427	317	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥 → 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
428	427	necon3bi 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
429	428	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
430	424, 425, 426, 429	leneltd 11379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
431	430	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
432	414, 415, 416, 423, 431	eliood 46272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
433		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
434	432, 433	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
435		iffalse 4498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
436	435	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
437	436	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
438	413, 434, 437	3eqtrrd 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
439	411, 438	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
440	439	ifeq2da 4522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
441	440	mpteq2dva 5206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
442	314, 408, 441	3eqtr3d 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
443		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
444		fourierdlem73.fcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
445	195, 443, 14, 17, 444, 24, 20	cncfiooicc 46666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
446	442, 445	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
447	408, 446	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
448	447	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝐷 ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
449		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ D 𝐷) = (ℝ D 𝐷)
450	129, 1	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
451	450	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
452	209	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
453		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
454	395, 396, 407, 448, 449, 451, 452, 453	fourierdlem39 46918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
455	406, 454	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
456	377, 378, 394, 455	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
457	456	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)))
458	457	breq1d 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
459	458	ralbidva 3188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
460	459	rexbidva 3189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
461	460	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
462	376, 461	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
463	462	an32s 665	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
464	94	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
465	464	itgeq2dv 25992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
466	465	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
467	466	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
468	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
469	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
470	397	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ)
471	379	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
472	471	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
473	401	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
474	472, 473	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
475	474	sincld 16208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
476	470, 475	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
477	468, 469, 476	itgioo 26026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
478	60	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
479	478, 475	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
480	468, 469, 479	itgioo 26026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
481	467, 477, 480	3eqtr3d 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
482	481	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
483	482	breq1d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
484	483	ralbidva 3188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
485	484	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
486	485	rexbidv 3191	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
487	463, 486	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
488	487	ralrimiva 3159	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
489	488	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
490		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)
491		nfra1 3291	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
492	490, 491	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
493		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)
494		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟(0..^𝑀)
495		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟ℕ
496		nfra1 3291	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
497	495, 496	nfrexw 3315	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
498	494, 497	nfralw 3314	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
499	493, 498	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑟((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
500		nfmpt1 5212	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
501		fzofi 14028	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
502	501	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
503		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
504		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)} = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}
505		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
506		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < ) = sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < )
507	492, 499, 500, 502, 503, 504, 505, 506	fourierdlem31 46910	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
508		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
509		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)
510		nfre1 3292	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
511	509, 510	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
512		nfv 1947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟 𝑛 ∈ ℕ
513		nfra1 3291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
514	493, 512, 513	nf3an 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
515		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝜑)
516		elioore 13418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
517	516	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
518		0red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
519		nnre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
520	519	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
521		nngt0 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
522	521	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑛)
523	520	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ^*)
524	387	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ^*)
525		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
526		ioogtlb 46269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
527	523, 524, 525, 526	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
528	518, 520, 517, 522, 527	lttrd 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
529	517, 528	elrpd 13073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
530	529	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
531	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
532	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
533	27	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
534	533	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
535	399	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑟 ∈ ℂ)
536	9	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
537	536	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
538	537	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
539	535, 538	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
540	539	sincld 16208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
541	534, 540	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
542	531, 532, 541	itgioo 26026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
543		fourierdlem73.q0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
544	543	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
545		fourierdlem73.qm	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
546	545	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀))
547	544, 546	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
548	547	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
549	548	itgeq1d 46729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
550		0zd 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 0 ∈ ℤ)
551		nnuz 12917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
552		0p1e1 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0 + 1) = 1
553	552	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℤ_≥‘(0 + 1)) = (ℤ_≥‘1)
554	551, 553	eqtr4i 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘(0 + 1))
555	344, 554	eleqtrdi 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
556	555	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
557	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
558	136	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
559		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
560	547	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
561	560	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
562	559, 561	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
563	562	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
564	563, 541	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
565	14	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
566	17	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
567	106, 103	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
568	113, 567	feqresmpt 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)))
569	568, 444	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
570	569	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
571		sincn 26658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
572	571	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
573	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
574	399	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑟 ∈ ℂ)
575	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ℂ ⊆ ℂ)
576	573, 574, 575	constcncfg 46644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
577	189	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
578	576, 577	mulcncf 25656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
579	578	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
580	572, 579	cncfmpt1f 25124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
581	570, 580	mulcncf 25656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
582		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥))
583		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
584		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
585	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
586	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
587	38	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
588	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
589		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
590	586, 587, 588, 589, 72	fourierdlem1 46880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
591	585, 590	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
592	591	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
593	574	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
594	306	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
595	593, 594	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
596	595	sincld 16208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
597	568	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
598	24, 597	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
599	598	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
600		rpre 13041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℝ)
601	600	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
602	87	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
603	601, 602	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
604	603	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
605	604	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
606		recn 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
607	606	sincld 16208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
608	607	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
609		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟)
610		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥)
611		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥))
612	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
613	574	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℂ)
614	566	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
615	609, 612, 613, 614	constlimc 46398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
616	612, 610, 614	idlimc 46400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
617	609, 610, 611, 593, 594, 615, 616	mullimc 46390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
618		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦))
619		sinf 16202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
620	619	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⊤ → sin:ℂ⟶ℂ)
621	620	feqmptd 6953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⊤ → sin = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)))
622	621, 571	eqeltrrdi 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
623	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
624		resincl 16218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
625	624	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
626	618, 622, 623, 623, 625	cncfmptssg 46643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
627	626	mptru 1577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
628	627	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
629	600	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ)
630	629, 566	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
631		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
632	628, 630, 631	cnmptlimc 26100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) lim_ℂ (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
633		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = (𝑟 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
634		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
635	634	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
636	605, 608, 617, 632, 633, 635	limcco 26103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
637	582, 583, 584, 592, 596, 599, 636	mullimc 46390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
638	568	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
639	20, 638	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
640	639	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
641	604	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
642	565	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
643	609, 612, 613, 642	constlimc 46398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
644	612, 610, 642	idlimc 46400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
645	609, 610, 611, 593, 594, 643, 644	mullimc 46390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
646	629, 565	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ)
647		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
648	628, 646, 647	cnmptlimc 26100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) lim_ℂ (𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
649		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
650	649	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
651	641, 608, 645, 648, 633, 650	limcco 26103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
652	582, 583, 584, 592, 596, 640, 651	mullimc 46390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
653	565, 566, 581, 637, 652	iblcncfioo 46750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
654		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺))
655	59	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
656	654, 655, 541	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
657	565, 566, 653, 656	ibliooicc 46743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
658	550, 556, 557, 558, 564, 657	itgspltprt 46751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
659	542, 549, 658	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
660	515, 530, 659	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
661	501	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
662	60	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
663	516	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
664	663	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
665	664	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
666	401	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
667	665, 666	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
668	667	sincld 16208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
669	662, 668	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
670	669	adantl3r 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
671		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
672	530	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
673		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
674	671, 672, 673, 657	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
675	670, 674	itgcl 25994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
676	661, 675	fsumcl 15807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
677	660, 676	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
678	677	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
679	678	3adantl3 1187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
680	679	abscld 15514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
681	675	abscld 15514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
682	661, 681	fsumrecl 15808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
683	682	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
684	683	3adantl3 1187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
685		rpre 13041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ)
686	685	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
687	686	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
688	660	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
689	661, 675	fsumabs 15876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
690	688, 689	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
691	690	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
692	691	3adantl3 1187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
693	501	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
694		0zd 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
695	344	nnzd 12632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
696	344	nngt0d 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
697		fzolb 13711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
698	694, 695, 696, 697	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
699		ne0i 4294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
700	698, 699	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ≠ ∅)
701	700	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
702	701	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
703		simp1l 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → 𝜑)
704	703	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
705		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ)
706	704, 705	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
707		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
708		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
709		eleq1w 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
710	709	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
711		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗))
712		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
713	712	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
714	711, 713	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
715	714	itgeq1d 46729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
716	715	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ ↔ ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ))
717	710, 716	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)))
718	717, 675	chvarvv 2022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
719	706, 707, 708, 718	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
720	719	abscld 15514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
721	347	rpred 13076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
722	721	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
723	722	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
724		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
725		rspa 3256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
726	725	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
727	715	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
728	727	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
729	728	cbvralvw 3245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
730	726, 729	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
731		rspa 3256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
732	730, 731	sylancom 600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
733	724, 707, 708, 732	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
734	693, 702, 720, 723, 733	fsumlt 15875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀))
735		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
736		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
737	736	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
738	735, 737	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
739	738	itgeq1d 46729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
740	739	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
741	740	cbvsumv 15771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
742	741	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
743	347	rpcnd 13078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ)
744		fsumconst 15864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
745	501, 743, 744	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
746	344	nnnn0d 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
747		hashfzo0 14485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
748	746, 747	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
749	748	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
750	749	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
751	343	rpcnd 13078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℂ)
752	346	rpcnd 13078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑀 ∈ ℂ)
753	346	rpne0d 13081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑀 ≠ 0)
754	751, 752, 753	divcan2d 12008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)) = 𝑒)
755	745, 750, 754	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
756	755	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
757	756	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
758	734, 742, 757	3brtr3d 5144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
759	680, 684, 687, 692, 758	lelttrd 11383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
760	759	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
761	514, 760	ralrimi 3265	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
762	761	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
763	762	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
764	511, 763	reximdai 3269	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
765	508, 764	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
766	507, 765	syldan 603	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
767	766	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
768	767	ralimdva 3179	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
769	489, 768	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ⊤wtru 1571 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2960 ∀wral 3081 ∃wrex 3091 {crab 3418 ⊆ wss 3906 ∅c0 4286 ifcif 4489 class class class wbr 5111 ↦ cmpt 5194 dom cdm 5663 ran crn 5664 ↾ cres 5665 Fn wfn 6535 ⟶wf 6536 ‘cfv 6540 (class class class)co 7419 Fincfn 8949 supcsup 9407 infcinf 9408 ℂcc 11113 ℝcr 11114 0cc0 11115 1c1 11116 + caddc 11118 · cmul 11120 +∞cpnf 11255 ℝ^*cxr 11257 < clt 11258 ≤ cle 11259 − cmin 11456 -cneg 11457 / cdiv 11886 ℕcn 12248 ℕ₀cn0 12519 ℤcz 12606 ℤ_≥cuz 12878 ℝ⁺crp 13032 (,)cioo 13388 [,]cicc 13391 ...cfz 13551 ..^cfzo 13699 ⌊cfl 13841 ♯chash 14384 abscabs 15309 Σcsu 15761 sincsin 16139 cosccos 16140 TopOpenctopn 17496 topGenctg 17512 ℂ_fldccnfld 21572 Topctop 23100 intcnt 23224 –cn→ccncf 25086 volcvol 25673 𝐿¹cibl 25827 ∫citg 25828 lim_ℂ climc 26072 D cdv 26073

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7742 ax-inf2 9617 ax-cc 10434 ax-cnex 11171 ax-resscn 11172 ax-1cn 11173 ax-icn 11174 ax-addcl 11175 ax-addrcl 11176 ax-mulcl 11177 ax-mulrcl 11178 ax-mulcom 11179 ax-addass 11180 ax-mulass 11181 ax-distr 11182 ax-i2m1 11183 ax-1ne0 11184 ax-1rid 11185 ax-rnegex 11186 ax-rrecex 11187 ax-cnre 11188 ax-pre-lttri 11189 ax-pre-lttrn 11190 ax-pre-ltadd 11191 ax-pre-mulgt0 11192 ax-pre-sup 11193 ax-addf 11194

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-symdif 4206 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-iin 4961 df-disj 5079 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-se 5617 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7376 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-of 7684 df-ofr 7685 df-om 7869 df-1st 7992 df-2nd 7993 df-supp 8163 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-1o 8459 df-2o 8460 df-oadd 8463 df-omul 8464 df-er 8700 df-map 8832 df-pm 8833 df-ixp 8902 df-en 8950 df-dom 8951 df-sdom 8952 df-fin 8953 df-fsupp 9329 df-fi 9378 df-sup 9409 df-inf 9410 df-oi 9479 df-dju 9903 df-card 9941 df-acn 9944 df-pnf 11260 df-mnf 11261 df-xr 11262 df-ltxr 11263 df-le 11264 df-sub 11458 df-neg 11459 df-div 11887 df-nn 12249 df-2 12318 df-3 12319 df-4 12320 df-5 12321 df-6 12322 df-7 12323 df-8 12324 df-9 12325 df-n0 12520 df-z 12607 df-dec 12728 df-uz 12879 df-q 12989 df-rp 13033 df-xneg 13153 df-xadd 13154 df-xmul 13155 df-ioo 13392 df-ioc 13393 df-ico 13394 df-icc 13395 df-fz 13552 df-fzo 13700 df-fl 13843 df-mod 13921 df-seq 14056 df-exp 14116 df-fac 14328 df-bc 14357 df-hash 14385 df-shft 15128 df-cj 15174 df-re 15175 df-im 15176 df-sqrt 15310 df-abs 15311 df-limsup 15546 df-clim 15563 df-rlim 15564 df-sum 15762 df-ef 16143 df-sin 16145 df-cos 16146 df-struct 17229 df-sets 17246 df-slot 17264 df-ndx 17276 df-base 17292 df-ress 17313 df-plusg 17345 df-mulr 17346 df-starv 17347 df-sca 17348 df-vsca 17349 df-ip 17350 df-tset 17351 df-ple 17352 df-ds 17354 df-unif 17355 df-hom 17356 df-cco 17357 df-rest 17497 df-topn 17498 df-0g 17516 df-gsum 17517 df-topgen 17518 df-pt 17519 df-prds 17522 df-xrs 17578 df-qtop 17583 df-imas 17584 df-xps 17586 df-mre 17660 df-mrc 17661 df-acs 17663 df-mgm 18720 df-sgrp 18809 df-mnd 18825 df-submnd 18879 df-mulg 19178 df-cntz 19431 df-cmn 19896 df-psmet 21564 df-xmet 21565 df-met 21566 df-bl 21567 df-mopn 21568 df-fbas 21569 df-fg 21570 df-cnfld 21573 df-top 23101 df-topon 23118 df-topsp 23140 df-bases 23153 df-cld 23226 df-ntr 23227 df-cls 23228 df-nei 23305 df-lp 23343 df-perf 23344 df-cn 23434 df-cnp 23435 df-haus 23522 df-cmp 23594 df-tx 23770 df-hmeo 23963 df-fil 24054 df-fm 24146 df-flim 24147 df-flf 24148 df-xms 24528 df-ms 24529 df-tms 24530 df-cncf 25088 df-ovol 25674 df-vol 25675 df-mbf 25829 df-itg1 25830 df-itg2 25831 df-ibl 25832 df-itg 25833 df-0p 25880 df-limc 26076 df-dv 26077

This theorem is used by: fourierdlem103 46981 fourierdlem104 46982

W3C validator