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Theorem fourierdlem73 42760
Description: A version of the Riemann Lebesgue lemma: as 𝑟 increases, the integral in 𝑆 goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem73.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem73.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem73.f (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem73.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem73.qf (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem73.q0 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
fourierdlem73.qm (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
fourierdlem73.qilt ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
fourierdlem73.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem73.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem73.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem73.gcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.gbd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
fourierdlem73.s 𝑆 = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
fourierdlem73.d 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem73 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐷,𝑟,𝑥,𝑦   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐿   𝑒,𝑀,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥   𝑦,𝑀,𝑖   𝑄,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥   𝑦,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐷(𝑒,𝑖,𝑛)   𝑄(𝑒)   𝑅(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑦,𝑒,𝑟)   𝐺(𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐿(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem73
Dummy variables 𝑚 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem73.gcn . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
2 cncff 23496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
4 ax-resscn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ⊆ ℂ
54a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
6 fourierdlem73.qf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
7 fourierdlem73.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 fourierdlem73.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
97, 8iccssred 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
106, 9fssd 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
1110adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
12 elfzofz 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
1312adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
1411, 13ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
15 fzofzp1 13129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1615adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1711, 16ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
1814, 17iccssred 12812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
19 limccl 24476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ⊆ ℂ
20 fourierdlem73.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
2119, 20sseldi 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ℂ)
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑅 ∈ ℂ)
23 limccl 24476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
24 fourierdlem73.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2523, 24sseldi 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ℂ)
2625adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ℂ)
27 fourierdlem73.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
297ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
308ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3114adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
3217adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
33 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
34 eliccre 42081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
367rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3736adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
388rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3938adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
406adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
4140, 13ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵))
42 iccgelb 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄𝑖))
4337, 39, 41, 42syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ≤ (𝑄𝑖))
4443adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄𝑖))
4531rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
4632rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
47 iccgelb 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
4845, 46, 33, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
4929, 31, 35, 44, 48letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴𝑥)
50 iccleub 12780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
5145, 46, 33, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
5236ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5338ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5440, 16ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
5554adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
56 iccleub 12780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
5752, 53, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
5835, 32, 30, 51, 57letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥𝐵)
5929, 30, 35, 49, 58eliccd 42080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6028, 59ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
6126, 60ifcld 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
6222, 61ifcld 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
63 fourierdlem73.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
6462, 63fmptd 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
65 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6665tgioo2 23406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
67 iccntr 23424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
6814, 17, 67syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
695, 18, 64, 66, 65, 68dvresntr 42499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
70 ioossicc 12811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
7170sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
7271adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
73 fvres 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
7572, 62syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
7663fvmpt2 6761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ) → (𝐷𝑥) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
7772, 75, 76syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
7814adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
7972, 45syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
8072, 46syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
81 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
82 ioogtlb 42071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
8379, 80, 81, 82syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
8478, 83gtned 10764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
8584neneqd 3016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖))
8685iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
87 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
8887adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
89 iooltub 42086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9079, 80, 81, 89syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9188, 90ltned 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9291neneqd 3016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9392iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
9477, 86, 933eqtrrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) = (𝐷𝑥))
9574, 94eqtr2d 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
9695ralrimiva 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
97 ffn 6494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → 𝐷 Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
9864, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
99 ffn 6494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
10027, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
101100adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
102 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
10337, 39, 40, 102fourierdlem8 42696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
104 fnssres 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
105101, 103, 104syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
10670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
107 fvreseq 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
10898, 105, 106, 107syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
10996, 108mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
110106resabs1d 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
111109, 110eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
112111oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
11327adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
1149adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
115106, 18sstrd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
11665, 66dvres 24512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
1175, 113, 114, 115, 116syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
118 fourierdlem73.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
119118eqcomi 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℝ D 𝐹) = 𝐺
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
121 iooretop 23369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,))
122 retop 23365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
123 uniretop 23366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ = (topGen‘ran (,))
124123isopn3 21669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
125122, 115, 124sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
126121, 125mpbii 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
127120, 126reseq12d 5832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
128117, 127eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
12969, 112, 1283eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
130129feq1d 6479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ))
1313, 130mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
132131feqmptd 6715 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
133132, 129eqtr3d 2859 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
134 ioombl 24167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol
135134a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
136 fourierdlem73.qilt . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
13714, 17, 136ltled 10777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
138 volioo 24171 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (vol‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄𝑖)))
13914, 17, 137, 138syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄𝑖)))
14017, 14resubcld 11057 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄𝑖)) ∈ ℝ)
141139, 140eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
142 fourierdlem73.gbd . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
143142adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
144 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
145 nfra1 3208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦
146144, 145nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
147 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
148 fdm 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
1493, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
150149adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
151147, 150eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
152 fvres 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
154153fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
155154ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
156 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
157 ssdmres 5854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺 ↔ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
158149, 157sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
159158sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
160151, 159syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
161160adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
162 rsp 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦))
163156, 161, 162sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
164163adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
165155, 164eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
166165ex 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
167146, 166ralrimi 3205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
168167ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
169168reximdva 3260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
170143, 169mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
171135, 141, 1, 170cnbdibl 42543 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ 𝐿1)
172133, 171eqeltrd 2914 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
173172adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
174134a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
175141adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (vol‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
176133, 1eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
177176adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
178 coscn 25038 . . . . . . . . . . . . . 14 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
179178a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
180 ioosscn 12787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
182 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℝ)
183182recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℂ)
184 ssid 3964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ⊆ ℂ
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ℂ ⊆ ℂ)
186181, 183, 185constcncfg 42453 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
187180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
188184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
189187, 188idcncfg 42454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
190189ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
191186, 190mulcncf 24048 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
192179, 191cncfmpt1f 23517 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
193192negcncfg 42462 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
194177, 193mulcncf 24048 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
195 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀))
196195, 145nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
197129fveq1d 6654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
198197, 152sylan9eq 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
199198fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
200199adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
201 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
202159adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
203201, 202, 162sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
204200, 203eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
205204ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
206196, 205ralrimi 3205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
207206ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
208207reximdv 3259 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
209143, 208mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
210209adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
211 eqidd 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))))
212 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑧))
213 eleq1w 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
214213anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
215 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
216212, 215eqeq12d 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺𝑧)))
217214, 216imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺𝑧))))
218217, 198chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
219212, 218sylan9eqr 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑧))
220 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · 𝑧))
221220fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) = (cos‘(𝑟 · 𝑧)))
222221negeqd 10869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
223222adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
224219, 223oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
225224adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
226 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
227 fvres 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺𝑧))
228227adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺𝑧))
2293ffvelrnda 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) ∈ ℂ)
230228, 229eqeltrrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
231230adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
232 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
233 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
234233adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
235232, 234remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ)
236235recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
237236coscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
238237negcld 10973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
239238adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
240231, 239mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℂ)
241211, 225, 226, 240fvmptd 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧) = ((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
242241fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
243242ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
244240abscld 14787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
245244ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
246231abscld 14787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
247246ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
248 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
249239abscld 14787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℝ)
250 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
251231absge0d 14795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
252237absnegd 14800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) = (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
253 abscosbd 41848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
254235, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
255252, 254eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
256255adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
257249, 250, 246, 251, 256lemul2ad 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑧)) · 1))
258231, 239absmuld 14805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) = ((abs‘(𝐺𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
259246recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
260259mulid1d 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺𝑧)) · 1) = (abs‘(𝐺𝑧)))
261260eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) = ((abs‘(𝐺𝑧)) · 1))
262257, 258, 2613brtr4d 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
263262ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
264 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
265 nfra1 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦
266195, 265nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
267199eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
268267adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
269 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
270268, 269eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
271270ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦))
272271adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦))
273266, 272ralimdaa 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦))
274264, 273mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
275215fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝐺𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑧)))
276275breq1d 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
277276cbvralvw 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
278274, 277sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
279278ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
280279r19.21bi 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
281245, 247, 248, 263, 280letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ 𝑦)
282243, 281eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
283282ralrimiva 3174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
284131ffvelrnda 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
285284adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
286 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
28787adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
288286, 287remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
289288recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
290289coscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
291290negcld 10973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
292291adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
293285, 292mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
294293ralrimiva 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
295 dmmptg 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
296294, 295syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
297296ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
298297raleqdv 3392 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
299283, 298mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
300299ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
301300reximdva 3260 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
302210, 301mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
303174, 175, 194, 302cnbdibl 42543 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
304303adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
305284adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
306 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
307180sseli 3938 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
308307ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
309306, 308mulcld 10650 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
310309coscld 15475 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
311288ancoms 462 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
312 abscosbd 41848 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
313311, 312syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
314313adantll 713 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
31563a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))))
31614adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
317136adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
318 eqcom 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
319318biimpri 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥)
320319adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥)
321317, 320breqtrd 5068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
322316, 321gtned 10764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
323322neneqd 3016 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖))
324323iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
325 iftrue 4445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
326325adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
327324, 326eqtrd 2857 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
32817leidd 11195 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
32914, 17, 17, 137, 328eliccd 42080 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
330315, 327, 329, 24fvmptd 6757 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) = 𝐿)
331330, 25eqeltrd 2914 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
332331adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
333 eqid 2822 . . . . . . . 8 (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
334 iftrue 4445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
335334adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
33614rexrd 10680 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
33717rexrd 10680 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
338 lbicc2 12842 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
339336, 337, 137, 338syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
340315, 335, 339, 20fvmptd 6757 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) = 𝑅)
341340, 21eqeltrd 2914 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ℂ)
342341adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ℂ)
343 eqid 2822 . . . . . . . 8 (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))
344 eqid 2822 . . . . . . . 8 ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
345 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
346 fourierdlem73.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
347346nnrpd 12417 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
348347adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
349345, 348rpdivcld 12436 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ+)
350349adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ+)
351 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
35217recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
353352ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
354351, 353mulcld 10650 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
355354coscld 15475 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℂ)
35617adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
357182, 356remulcld 10660 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
358 abscosbd 41848 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
359357, 358syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
360359adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
36114recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
362361ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
363351, 362mulcld 10650 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ℂ)
364363coscld 15475 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) ∈ ℂ)
36514adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
366182, 365remulcld 10660 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ℝ)
367 abscosbd 41848 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖)))) ≤ 1)
368366, 367syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖)))) ≤ 1)
369368adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖)))) ≤ 1)
370 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑥))
371370fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
372371cbvitgv 24378 . . . . . . . . . . . . 13 ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
373372oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) = (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥)
374373oveq1i 7150 . . . . . . . . . . 11 ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) = ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀))
375374oveq1i 7150 . . . . . . . . . 10 (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1) = (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)
376375fveq2i 6655 . . . . . . . . 9 (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) = (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1))
377376oveq1i 7150 . . . . . . . 8 ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1) = ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1)
378173, 304, 305, 310, 314, 332, 333, 342, 343, 344, 350, 355, 360, 364, 369, 377fourierdlem47 42734 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀))
379 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝜑)
380 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
381 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
382381adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
383 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
384 nnre 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
385384adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
386 nngt0 11656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
387386adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑚)
388385rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ*)
389 pnfxr 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
391 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞))
392 ioogtlb 42071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
393388, 390, 391, 392syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
394383, 385, 382, 387, 393lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
395382, 394elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
396395adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
39714adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
39817adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
39964ffvelrnda 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) ∈ ℂ)
400399adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) ∈ ℂ)
401 rpcn 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℂ)
402401ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
40335recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
404403adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
405402, 404mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
406405sincld 15474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
407400, 406mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
408397, 398, 407itgioo 24417 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
409137adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
41064feqmptd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑥)))
411 iftrue 4445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
412325, 411eqtr4d 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
413412adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
414 iffalse 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
415414adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
41645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
41746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
41835ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
41914ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
42035adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
42148adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
422 neqne 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑥 = (𝑄𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
423422adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
424419, 420, 421, 423leneltd 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
425424adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
42635adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
42717ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
42851adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
429318biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
430429necon3bi 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
431430adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
432426, 427, 428, 431leneltd 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
433432adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
434416, 417, 418, 425, 433eliood 42074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
435 fvres 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
436434, 435syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
437 iffalse 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
438437eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
439438adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
440415, 436, 4393eqtrrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
441413, 440pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
442441ifeq2da 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
443442mpteq2dva 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
444315, 410, 4433eqtr3d 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
445 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
446 fourierdlem73.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
447195, 445, 14, 17, 446, 24, 20cncfiooicc 42475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
448444, 447eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
449410, 448eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
450449adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
451 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ D 𝐷) = (ℝ D 𝐷)
452129, 1eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
453452adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
454209adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
455 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
456397, 398, 409, 450, 451, 453, 454, 455fourierdlem39 42727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
457408, 456eqtr3d 2859 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
458379, 380, 396, 457syl21anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
459458fveq2d 6656 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)))
460459breq1d 5052 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
461460ralbidva 3186 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
462461rexbidva 3282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
463462adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
464378, 463mpbird 260 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
465464an32s 651 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
46694oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
467466itgeq2dv 24383 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
468467eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
469468adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
47014adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
47117adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
472399adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) ∈ ℂ)
473381recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
474473ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
475403adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
476474, 475mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
477476sincld 15474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
478472, 477mulcld 10650 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
479470, 471, 478itgioo 24417 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
48060adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
481480, 477mulcld 10650 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
482470, 471, 481itgioo 24417 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
483469, 479, 4823eqtr3d 2865 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
484483fveq2d 6656 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
485484breq1d 5052 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
486485ralbidva 3186 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
487486adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
488487rexbidv 3283 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
489465, 488mpbid 235 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
490489ralrimiva 3174 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
491490ralrimiva 3174 . 2 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
492 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
493 nfra1 3208 . . . . . . 7 𝑖𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
494492, 493nfan 1900 . . . . . 6 𝑖((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
495 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑟(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
496 nfcv 2979 . . . . . . . 8 𝑟(0..^𝑀)
497 nfcv 2979 . . . . . . . . 9 𝑟
498 nfra1 3208 . . . . . . . . 9 𝑟𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
499497, 498nfrex 3295 . . . . . . . 8 𝑟𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
500496, 499nfralw 3214 . . . . . . 7 𝑟𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
501495, 500nfan 1900 . . . . . 6 𝑟((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
502 nfmpt1 5140 . . . . . 6 𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
503 fzofi 13337 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ∈ Fin
504503a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
505 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
506 eqid 2822 . . . . . 6 {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)} = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}
507 eqid 2822 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
508 eqid 2822 . . . . . 6 sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < ) = sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < )
509494, 501, 502, 504, 505, 506, 507, 508fourierdlem31 42719 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
510 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
511 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
512 nfre1 3292 . . . . . . . 8 𝑛𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
513511, 512nfan 1900 . . . . . . 7 𝑛((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
514 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 𝑟 𝑛 ∈ ℕ
515 nfra1 3208 . . . . . . . . . . 11 𝑟𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
516495, 514, 515nf3an 1902 . . . . . . . . . 10 𝑟((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
517 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝜑)
518 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
519518adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
520 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
521 nnre 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
522521adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
523 nngt0 11656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
524523adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑛)
525522rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
526389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
527 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
528 ioogtlb 42071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
529525, 526, 527, 528syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
530520, 522, 519, 524, 529lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
531519, 530elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
532531adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
5337adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
5348adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
53527ffvelrnda 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
536535adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
537401ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑟 ∈ ℂ)
5389sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
539538recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
540539adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
541537, 540mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
542541sincld 15474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
543536, 542mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
544533, 534, 543itgioo 24417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
545 fourierdlem73.q0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
546545eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
547 fourierdlem73.qm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
548547eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
549546, 548oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
550549adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
551550itgeq1d 42538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
552 0zd 11981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
553 nnuz 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℕ = (ℤ‘1)
554 0p1e1 11747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 + 1) = 1
555554fveq2i 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
556553, 555eqtr4i 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
557346, 556eleqtrdi 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
558557adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
55910adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
560136adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
561 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
562549eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
563562adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
564561, 563eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
565564adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
566565, 543syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
56714adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
56817adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
569106, 103sstrd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
570113, 569feqresmpt 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
571570, 446eqeltrrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
572571adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
573 sincn 25037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
574573a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
575180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
576401adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℂ)
577184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ℂ ⊆ ℂ)
578575, 576, 577constcncfg 42453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
579189adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
580578, 579mulcncf 24048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
581580adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
582574, 581cncfmpt1f 23517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
583572, 582mulcncf 24048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
584 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥))
585 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
586 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
58727ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
58836ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
58938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5906ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
591 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
592588, 589, 590, 591, 72fourierdlem1 42689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
593587, 592ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
594593adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
595576ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
596307adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
597595, 596mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
598597sincld 15474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
599570oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
60024, 599eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
601600adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
602 rpre 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
603602adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
60487adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
605603, 604remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
606605adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
607606ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
608 recn 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
609608sincld 15474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
610609adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
611 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟)
612 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥)
613 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥))
614180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
615576adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℂ)
616568recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
617611, 614, 615, 616constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
618614, 612, 616idlimc 42207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
619611, 612, 613, 595, 596, 617, 618mullimc 42197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
620 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦))
621 sinf 15468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 sin:ℂ⟶ℂ
622621a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⊤ → sin:ℂ⟶ℂ)
623622feqmptd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⊤ → sin = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)))
624623, 573eqeltrrdi 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
626 resincl 15484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
627626adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
628620, 624, 625, 625, 627cncfmptssg 42452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
629628mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
630629a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
631602ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ)
632631, 568remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
633 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
634630, 632, 633cnmptlimc 24491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) lim (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
635 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑟 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
636 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
637636ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
638607, 610, 619, 634, 635, 637limcco 24494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
639584, 585, 586, 594, 598, 601, 638mullimc 42197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
640570oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
64120, 640eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
642641adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
643606ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄𝑖)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
644567recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
645611, 614, 615, 644constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) lim (𝑄𝑖)))
646614, 612, 644idlimc 42207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) lim (𝑄𝑖)))
647611, 612, 613, 595, 596, 645, 646mullimc 42197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
648631, 567remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ℝ)
649 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑟 · (𝑄𝑖)) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))))
650630, 648, 649cnmptlimc 24491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) lim (𝑟 · (𝑄𝑖))))
651 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄𝑖)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))))
652651ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄𝑖)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))))
653643, 610, 647, 650, 635, 652limcco 24494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) lim (𝑄𝑖)))
654584, 585, 586, 594, 598, 642, 653mullimc 42197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) lim (𝑄𝑖)))
655567, 568, 583, 639, 654iblcncfioo 42559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
656 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝜑𝑟 ∈ ℝ+))
65759adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
658656, 657, 543syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
659567, 568, 655, 658ibliooicc 42552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
660552, 558, 559, 560, 566, 659itgspltprt 42560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
661544, 551, 6603eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
662517, 532, 661syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
663503a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
66460adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
665518recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
666665adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
667666ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
668403adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
669667, 668mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
670669sincld 15474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
671664, 670mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
672671adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
673 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
674532adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
675 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
676673, 674, 675, 659syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
677672, 676itgcl 24385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
678663, 677fsumcl 15081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
679662, 678eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
680679adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
6816803adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
682681abscld 14787 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
683677abscld 14787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
684663, 683fsumrecl 15082 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
685684adantllr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
6866853adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
687 rpre 12385 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
688687ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
6896883ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
690662fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
691663, 677fsumabs 15147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
692690, 691eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
693692adantllr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
6946933adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
695503a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
696 0zd 11981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
697346nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
698346nngt0d 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < 𝑀)
699 fzolb 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
700696, 697, 698, 699syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
701 ne0i 4272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ (0..^𝑀) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
702700, 701syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0..^𝑀) ≠ ∅)
703702ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
7047033ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
705 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → 𝜑)
706705ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
707 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ)
708706, 707jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝜑𝑛 ∈ ℕ))
709 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
710 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
711 eleq1w 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
712711anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
713 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑗))
714 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
715714fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
716713, 715oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
717716itgeq1d 42538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
718717eleq1d 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → (∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ ↔ ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ))
719712, 718imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 → (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)))
720719, 677chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
721708, 709, 710, 720syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
722721abscld 14787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
723349rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
7247233ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
725724ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
726 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
727 rspa 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
728727adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
729717fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
730729breq1d 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
731730cbvralvw 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
732728, 731sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
733 rspa 3196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
734732, 733sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
735726, 709, 710, 734syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
736695, 704, 722, 725, 735fsumlt 15146 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀))
737 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
738 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
739738fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
740737, 739oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
741740itgeq1d 42538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 → ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
742741fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
743742cbvsumv 15044 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
744743a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
745349rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ)
746 fsumconst 15136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
747503, 745, 746sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
748346nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
749 hashfzo0 13787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
750748, 749syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
751750oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
752751adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
753345rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℂ)
754348rpcnd 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ)
755348rpne0d 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
756753, 754, 755divcan2d 11407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)) = 𝑒)
757747, 752, 7563eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
758757adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
7597583ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
760736, 744, 7593brtr3d 5073 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
761682, 686, 689, 694, 760lelttrd 10787 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
762761ex 416 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
763516, 762ralrimi 3205 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
7647633exp 1116 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
765764adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
766513, 765reximdai 3297 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
767510, 766mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
768509, 767syldan 594 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
769768ex 416 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
770769ralimdva 3169 . 2 (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
771491, 770mpd 15 1 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2114  wne 3011  wral 3130  wrex 3131  {crab 3134  wss 3908  c0 4265  ifcif 4439   class class class wbr 5042  cmpt 5122  dom cdm 5532  ran crn 5533  cres 5534   Fn wfn 6329  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  supcsup 8892  infcinf 8893  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11625  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  cfl 13155  chash 13686  abscabs 14584  Σcsu 15033  sincsin 15408  cosccos 15409  TopOpenctopn 16686  topGenctg 16702  fldccnfld 20089  Topctop 21496  intcnt 21620  cnccncf 23479  volcvol 24065  𝐿1cibl 24219  citg 24220   lim climc 24463   D cdv 24464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-symdif 4193  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-ofr 7395  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-sin 15414  df-cos 15415  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-ovol 24066  df-vol 24067  df-mbf 24221  df-itg1 24222  df-itg2 24223  df-ibl 24224  df-itg 24225  df-0p 24272  df-limc 24467  df-dv 24468
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  42790  fourierdlem104  42791
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