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Theorem fourierdlem73 41333
Description: A version of the Riemann Lebesgue lemma: as 𝑟 increases, the integral in 𝑆 goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem73.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem73.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem73.f (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem73.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem73.qf (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem73.q0 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
fourierdlem73.qm (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
fourierdlem73.qilt ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
fourierdlem73.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem73.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem73.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem73.gcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.gbd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
fourierdlem73.s 𝑆 = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
fourierdlem73.d 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem73 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐷,𝑟,𝑥,𝑦   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐿   𝑒,𝑀,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥   𝑦,𝑀,𝑖   𝑄,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥   𝑦,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐷(𝑒,𝑖,𝑛)   𝑄(𝑒)   𝑅(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑦,𝑒,𝑟)   𝐺(𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐿(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem73
Dummy variables 𝑚 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem73.gcn . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
2 cncff 23108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
4 ax-resscn 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ⊆ ℂ
54a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
6 fourierdlem73.qf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
7 fourierdlem73.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 fourierdlem73.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
97, 8iccssred 40649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
106, 9fssd 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
1110adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
12 elfzofz 12808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
1312adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
1411, 13ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
15 fzofzp1 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1615adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1711, 16ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
1814, 17iccssred 40649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
19 limccl 24080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ⊆ ℂ
20 fourierdlem73.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
2119, 20sseldi 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ℂ)
2221adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑅 ∈ ℂ)
23 limccl 24080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
24 fourierdlem73.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2523, 24sseldi 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ℂ)
2625adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ℂ)
27 fourierdlem73.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2827ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
297ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
308ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3114adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
3217adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
33 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
34 eliccre 40650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
367rexrd 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3736adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
388rexrd 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3938adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
406adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
4140, 13ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵))
42 iccgelb 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄𝑖))
4337, 39, 41, 42syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ≤ (𝑄𝑖))
4443adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄𝑖))
4531rexrd 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
4632rexrd 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
47 iccgelb 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
4845, 46, 33, 47syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
4929, 31, 35, 44, 48letrd 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴𝑥)
50 iccleub 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
5145, 46, 33, 50syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
5236ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5338ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5440, 16ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
5554adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
56 iccleub 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
5752, 53, 55, 56syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
5835, 32, 30, 51, 57letrd 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥𝐵)
5929, 30, 35, 49, 58eliccd 40648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6028, 59ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
6126, 60ifcld 4352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
6222, 61ifcld 4352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
63 fourierdlem73.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
6462, 63fmptd 6650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
65 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6665tgioo2 23018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
67 iccntr 23036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
6814, 17, 67syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
695, 18, 64, 66, 65, 68dvresntr 41070 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
70 ioossicc 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
7170sseli 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
7271adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
73 fvres 6467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
7572, 62syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
7663fvmpt2 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ) → (𝐷𝑥) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
7772, 75, 76syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))))
7814adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
7972, 45syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
8072, 46syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
81 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
82 ioogtlb 40639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
8379, 80, 81, 82syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
8478, 83gtned 10513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
8584neneqd 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖))
8685iffalsed 4318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
87 elioore 12521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
8887adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
89 iooltub 40655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9079, 80, 81, 89syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9188, 90ltned 10514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9291neneqd 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9392iffalsed 4318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
9477, 86, 933eqtrrd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) = (𝐷𝑥))
9574, 94eqtr2d 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
9695ralrimiva 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
97 ffn 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷:((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → 𝐷 Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
9864, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
99 ffn 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
10027, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
101100adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
102 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
10337, 39, 40, 102fourierdlem8 41269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
104 fnssres 6252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
105101, 103, 104syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
10670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
107 fvreseq 6584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
10898, 105, 106, 107syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
10996, 108mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
110106resabs1d 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
111109, 110eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
112111oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
11327adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
1149adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
115106, 18sstrd 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
11665, 66dvres 24116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
1175, 113, 114, 115, 116syl22anc 829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
118 fourierdlem73.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
119118eqcomi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℝ D 𝐹) = 𝐺
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
121 iooretop 22981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,))
122 retop 22977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
123 uniretop 22978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ = (topGen‘ran (,))
124123isopn3 21282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
125122, 115, 124sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
126121, 125mpbii 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
127120, 126reseq12d 5645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
128117, 127eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
12969, 112, 1283eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
130129feq1d 6278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ))
1313, 130mpbird 249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
132131feqmptd 6511 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
133132, 129eqtr3d 2816 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
134 ioombl 23773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol
135134a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
136 fourierdlem73.qilt . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
13714, 17, 136ltled 10526 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
138 volioo 23777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (vol‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄𝑖)))
13914, 17, 137, 138syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄𝑖)))
14017, 14resubcld 10805 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄𝑖)) ∈ ℝ)
141139, 140eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
142 fourierdlem73.gbd . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
143142adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
144 nfv 1957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
145 nfra1 3123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦
146144, 145nfan 1946 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
147 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
148 fdm 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
1493, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
150149adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
151147, 150eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
152 fvres 6467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
154153fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
155154ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
156 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
157 ssdmres 5671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺 ↔ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
158149, 157sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
159158sselda 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
160151, 159syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
161160adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
162 rsp 3111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦))
163156, 161, 162sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
164163adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
165155, 164eqbrtrd 4910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
166165ex 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
167146, 166ralrimi 3139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
168167ex 403 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
169168reximdva 3198 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
170143, 169mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
171135, 141, 1, 170cnbdibl 41115 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ 𝐿1)
172133, 171eqeltrd 2859 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
173172adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
174134a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
175141adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (vol‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
176133, 1eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
177176adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
178 coscn 24640 . . . . . . . . . . . . . 14 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
179178a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
180 ioosscn 40638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
182 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℝ)
183182recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℂ)
184 ssid 3842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ⊆ ℂ
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ℂ ⊆ ℂ)
186181, 183, 185constcncfg 41022 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
187180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
188184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
189187, 188idcncfg 41023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
190189ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
191186, 190mulcncf 23654 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
192179, 191cncfmpt1f 23128 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
193192negcncfg 41032 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
194177, 193mulcncf 23654 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
195 nfv 1957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀))
196195, 145nfan 1946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
197129fveq1d 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
198197, 152sylan9eq 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
199198fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
200199adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
201 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
202159adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
203201, 202, 162sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
204200, 203eqbrtrd 4910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
205204ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
206196, 205ralrimi 3139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
207206ex 403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
208207reximdv 3197 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
209143, 208mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
210209adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
211 eqidd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))))
212 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑧))
213 eleq1w 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
214213anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
215 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
216212, 215eqeq12d 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺𝑧)))
217214, 216imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺𝑧))))
218217, 198chvarv 2361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
219212, 218sylan9eqr 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑧))
220 oveq2 6932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · 𝑧))
221220fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) = (cos‘(𝑟 · 𝑧)))
222221negeqd 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
223222adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
224219, 223oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
225224adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
226 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
227 fvres 6467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺𝑧))
228227adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺𝑧))
2293ffvelrnda 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) ∈ ℂ)
230228, 229eqeltrrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
231230adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
232 simpl 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
233 elioore 12521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
234233adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
235232, 234remulcld 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ)
236235recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
237236coscld 15267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
238237negcld 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
239238adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
240231, 239mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℂ)
241211, 225, 226, 240fvmptd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧) = ((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
242241fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
243242ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
244240abscld 14587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
245244ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
246231abscld 14587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
247246ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
248 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
249239abscld 14587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℝ)
250 1red 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
251231absge0d 14595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
252237absnegd 14600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) = (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
253 abscosbd 40410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
254235, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
255252, 254eqbrtrd 4910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
256255adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
257249, 250, 246, 251, 256lemul2ad 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑧)) · 1))
258231, 239absmuld 14605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) = ((abs‘(𝐺𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
259246recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
260259mulid1d 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺𝑧)) · 1) = (abs‘(𝐺𝑧)))
261260eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) = ((abs‘(𝐺𝑧)) · 1))
262257, 258, 2613brtr4d 4920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
263262ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
264 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
265 nfra1 3123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦
266195, 265nfan 1946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
267199eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
268267adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
269 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
270268, 269eqbrtrd 4910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
271270ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦))
272271adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦))
273266, 272ralimdaa 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦))
274264, 273mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
275215fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝐺𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑧)))
276275breq1d 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
277276cbvralv 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
278274, 277sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
279278ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
280279r19.21bi 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
281245, 247, 248, 263, 280letrd 10535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ 𝑦)
282243, 281eqbrtrd 4910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
283282ralrimiva 3148 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
284131ffvelrnda 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
285284adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
286 simpl 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
28787adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
288286, 287remulcld 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
289288recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
290289coscld 15267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
291290negcld 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
292291adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
293285, 292mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
294293ralrimiva 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
295 dmmptg 5888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
296294, 295syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
297296ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
298297raleqdv 3340 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
299283, 298mpbird 249 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
300299ex 403 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
301300reximdva 3198 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
302210, 301mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
303174, 175, 194, 302cnbdibl 41115 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
304303adantlr 705 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
305284adantlr 705 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
306 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
307180sseli 3817 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
308307ad2antlr 717 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
309306, 308mulcld 10399 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
310309coscld 15267 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
311288ancoms 452 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
312 abscosbd 40410 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
313311, 312syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
314313adantll 704 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
31563a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))))
31614adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
317136adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
318 eqcom 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
319318biimpri 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥)
320319adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥)
321317, 320breqtrd 4914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
322316, 321gtned 10513 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
323322neneqd 2974 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖))
324323iffalsed 4318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
325 iftrue 4313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
326325adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
327324, 326eqtrd 2814 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
32817leidd 10943 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
32914, 17, 17, 137, 328eliccd 40648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
330315, 327, 329, 24fvmptd 6550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) = 𝐿)
331330, 25eqeltrd 2859 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
332331adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
333 eqid 2778 . . . . . . . 8 (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
334 iftrue 4313 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑄𝑖) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
335334adantl 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
33614rexrd 10428 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
33717rexrd 10428 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
338 lbicc2 12606 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
339336, 337, 137, 338syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
340315, 335, 339, 20fvmptd 6550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) = 𝑅)
341340, 21eqeltrd 2859 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ℂ)
342341adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ℂ)
343 eqid 2778 . . . . . . . 8 (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))
344 eqid 2778 . . . . . . . 8 ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
345 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
346 fourierdlem73.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
347346nnrpd 12183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
348347adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
349345, 348rpdivcld 12202 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ+)
350349adantlr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ+)
351 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
35217recnd 10407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
353352ad2antrr 716 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
354351, 353mulcld 10399 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
355354coscld 15267 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℂ)
35617adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
357182, 356remulcld 10409 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
358 abscosbd 40410 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
359357, 358syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
360359adantlr 705 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
36114recnd 10407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
362361ad2antrr 716 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
363351, 362mulcld 10399 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ℂ)
364363coscld 15267 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) ∈ ℂ)
36514adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
366182, 365remulcld 10409 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ℝ)
367 abscosbd 40410 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖)))) ≤ 1)
368366, 367syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖)))) ≤ 1)
369368adantlr 705 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖)))) ≤ 1)
370 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑥))
371370fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
372371cbvitgv 23984 . . . . . . . . . . . . 13 ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
373372oveq2i 6935 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) = (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥)
374373oveq1i 6934 . . . . . . . . . . 11 ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) = ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀))
375374oveq1i 6934 . . . . . . . . . 10 (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1) = (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)
376375fveq2i 6451 . . . . . . . . 9 (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) = (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1))
377376oveq1i 6934 . . . . . . . 8 ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1) = ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄𝑖)))) + ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1)
378173, 304, 305, 310, 314, 332, 333, 342, 343, 344, 350, 355, 360, 364, 369, 377fourierdlem47 41307 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀))
379 simplll 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝜑)
380 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
381 elioore 12521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
382381adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
383 0red 10382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
384 nnre 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
385384adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
386 nngt0 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
387386adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑚)
388385rexrd 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ*)
389 pnfxr 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
391 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞))
392 ioogtlb 40639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
393388, 390, 391, 392syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
394383, 385, 382, 387, 393lttrd 10539 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
395382, 394elrpd 12182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
396395adantll 704 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
39714adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
39817adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
39964ffvelrnda 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) ∈ ℂ)
400399adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) ∈ ℂ)
401 rpcn 12153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℂ)
402401ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
40335recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
404403adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
405402, 404mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
406405sincld 15266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
407400, 406mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
408397, 398, 407itgioo 24023 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
409137adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
41064feqmptd 6511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑥)))
411 iftrue 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
412325, 411eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
413412adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
414 iffalse 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
415414adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
41645ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
41746ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
41835ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
41914ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
42035adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
42148adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑥)
422 neqne 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑥 = (𝑄𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
423422adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑄𝑖))
424419, 420, 421, 423leneltd 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
425424adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
42635adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
42717ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
42851adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
429318biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
430429necon3bi 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
431430adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
432426, 427, 428, 431leneltd 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
433432adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
434416, 417, 418, 425, 433eliood 40642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
435 fvres 6467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
436434, 435syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
437 iffalse 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
438437eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
439438adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))
440415, 436, 4393eqtrrd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
441413, 440pm2.61dan 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
442441ifeq2da 4338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
443442mpteq2dva 4981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
444315, 410, 4433eqtr3d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
445 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
446 fourierdlem73.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
447195, 445, 14, 17, 446, 24, 20cncfiooicc 41045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
448444, 447eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
449410, 448eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
450449adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
451 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ D 𝐷) = (ℝ D 𝐷)
452129, 1eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
453452adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
454209adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
455 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
456397, 398, 409, 450, 451, 453, 454, 455fourierdlem39 41300 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
457408, 456eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
458379, 380, 396, 457syl21anc 828 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
459458fveq2d 6452 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)))
460459breq1d 4898 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
461460ralbidva 3167 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
462461rexbidva 3234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
463462adantr 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
464378, 463mpbird 249 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
465464an32s 642 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
46694oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
467466itgeq2dv 23989 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
468467eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
469468adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
47014adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
47117adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
472399adantlr 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑥) ∈ ℂ)
473381recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
474473ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
475403adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
476474, 475mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
477476sincld 15266 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
478472, 477mulcld 10399 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
479470, 471, 478itgioo 24023 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
48060adantlr 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
481480, 477mulcld 10399 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
482470, 471, 481itgioo 24023 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
483469, 479, 4823eqtr3d 2822 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
484483fveq2d 6452 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
485484breq1d 4898 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
486485ralbidva 3167 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
487486adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
488487rexbidv 3237 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
489465, 488mpbid 224 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
490489ralrimiva 3148 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
491490ralrimiva 3148 . 2 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
492 nfv 1957 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
493 nfra1 3123 . . . . . . 7 𝑖𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
494492, 493nfan 1946 . . . . . 6 𝑖((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
495 nfv 1957 . . . . . . 7 𝑟(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
496 nfcv 2934 . . . . . . . 8 𝑟(0..^𝑀)
497 nfcv 2934 . . . . . . . . 9 𝑟
498 nfra1 3123 . . . . . . . . 9 𝑟𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
499497, 498nfrex 3188 . . . . . . . 8 𝑟𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
500496, 499nfral 3127 . . . . . . 7 𝑟𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
501495, 500nfan 1946 . . . . . 6 𝑟((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
502 nfmpt1 4984 . . . . . 6 𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
503 fzofi 13096 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ∈ Fin
504503a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
505 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
506 eqid 2778 . . . . . 6 {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)} = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}
507 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
508 eqid 2778 . . . . . 6 sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < ) = sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < )
509494, 501, 502, 504, 505, 506, 507, 508fourierdlem31 41292 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
510 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
511 nfv 1957 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
512 nfre1 3186 . . . . . . . 8 𝑛𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
513511, 512nfan 1946 . . . . . . 7 𝑛((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
514 nfv 1957 . . . . . . . . . . 11 𝑟 𝑛 ∈ ℕ
515 nfra1 3123 . . . . . . . . . . 11 𝑟𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
516495, 514, 515nf3an 1948 . . . . . . . . . 10 𝑟((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
517 simpll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝜑)
518 elioore 12521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
519518adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
520 0red 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
521 nnre 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
522521adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
523 nngt0 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
524523adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑛)
525522rexrd 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
526389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
527 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
528 ioogtlb 40639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
529525, 526, 527, 528syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
530520, 522, 519, 524, 529lttrd 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
531519, 530elrpd 12182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
532531adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
5337adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
5348adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
53527ffvelrnda 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
536535adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
537401ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑟 ∈ ℂ)
5389sselda 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
539538recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
540539adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
541537, 540mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
542541sincld 15266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
543536, 542mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
544533, 534, 543itgioo 24023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
545 fourierdlem73.q0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
546545eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
547 fourierdlem73.qm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
548547eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
549546, 548oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
550549adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
551550itgeq1d 41110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
552 0zd 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
553 nnuz 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℕ = (ℤ‘1)
554 0p1e1 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 + 1) = 1
555554fveq2i 6451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
556553, 555eqtr4i 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
557346, 556syl6eleq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
558557adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
55910adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
560136adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
561 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
562549eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
563562adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
564561, 563eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
565564adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
566565, 543syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
56714adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
56817adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
569106, 103sstrd 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
570113, 569feqresmpt 6512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
571570, 446eqeltrrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
572571adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
573 sincn 24639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
574573a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
575180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
576401adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℂ)
577184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ℂ ⊆ ℂ)
578575, 576, 577constcncfg 41022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
579189adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
580578, 579mulcncf 23654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
581580adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
582574, 581cncfmpt1f 23128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
583572, 582mulcncf 23654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
584 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥))
585 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
586 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
58727ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
58836ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
58938ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5906ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
591 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
592588, 589, 590, 591, 72fourierdlem1 41262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
593587, 592ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
594593adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
595576ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
596307adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
597595, 596mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
598597sincld 15266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
599570oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
60024, 599eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
601600adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
602 rpre 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
603602adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
60487adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
605603, 604remulcld 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
606605adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
607606ad2ant2r 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
608 recn 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
609608sincld 15266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
610609adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
611 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟)
612 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥)
613 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥))
614180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
615576adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℂ)
616568recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
617611, 614, 615, 616constlimc 40774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
618614, 612, 616idlimc 40776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
619611, 612, 613, 595, 596, 617, 618mullimc 40766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
620 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦))
621 sinf 15260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 sin:ℂ⟶ℂ
622621a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⊤ → sin:ℂ⟶ℂ)
623622feqmptd 6511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⊤ → sin = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)))
624623, 573syl6eqelr 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
626 resincl 15276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
627626adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
628620, 624, 625, 625, 627cncfmptssg 41021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
629628mptru 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
630629a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
631602ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ)
632631, 568remulcld 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
633 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
634630, 632, 633cnmptlimc 24095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) lim (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
635 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑟 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
636 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
637636ad2antll 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
638607, 610, 619, 634, 635, 637limcco 24098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
639584, 585, 586, 594, 598, 601, 638mullimc 40766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
640570oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
64120, 640eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
642641adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
643606ad2ant2r 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄𝑖)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
644567recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
645611, 614, 615, 644constlimc 40774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) lim (𝑄𝑖)))
646614, 612, 644idlimc 40776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) lim (𝑄𝑖)))
647611, 612, 613, 595, 596, 645, 646mullimc 40766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
648631, 567remulcld 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄𝑖)) ∈ ℝ)
649 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑟 · (𝑄𝑖)) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))))
650630, 648, 649cnmptlimc 24095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) lim (𝑟 · (𝑄𝑖))))
651 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄𝑖)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))))
652651ad2antll 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄𝑖)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))))
653643, 610, 647, 650, 635, 652limcco 24098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) lim (𝑄𝑖)))
654584, 585, 586, 594, 598, 642, 653mullimc 40766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (sin‘(𝑟 · (𝑄𝑖)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) lim (𝑄𝑖)))
655567, 568, 583, 639, 654iblcncfioo 41131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
656 simpll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝜑𝑟 ∈ ℝ+))
65759adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
658656, 657, 543syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
659567, 568, 655, 658ibliooicc 41124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
660552, 558, 559, 560, 566, 659itgspltprt 41132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
661544, 551, 6603eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
662517, 532, 661syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
663503a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
66460adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
665518recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
666665adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
667666ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
668403adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
669667, 668mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
670669sincld 15266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
671664, 670mulcld 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
672671adantl3r 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
673 simplll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
674532adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
675 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
676673, 674, 675, 659syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
677672, 676itgcl 23991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
678663, 677fsumcl 14875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
679662, 678eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
680679adantllr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
6816803adantl3 1170 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
682681abscld 14587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
683677abscld 14587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
684663, 683fsumrecl 14876 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
685684adantllr 709 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
6866853adantl3 1170 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
687 rpre 12149 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
688687ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
6896883ad2antl1 1193 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
690662fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
691663, 677fsumabs 14941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
692690, 691eqbrtrd 4910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
693692adantllr 709 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
6946933adantl3 1170 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
695503a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
696 0zd 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
697346nnzd 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
698346nngt0d 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < 𝑀)
699 fzolb 12799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
700696, 697, 698, 699syl3anbrc 1400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
701 ne0i 4149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ (0..^𝑀) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
702700, 701syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0..^𝑀) ≠ ∅)
703702ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
7047033ad2antl1 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
705 simp1l 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → 𝜑)
706705ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
707 simpll2 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ)
708706, 707jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝜑𝑛 ∈ ℕ))
709 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
710 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
711 eleq1w 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
712711anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
713 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑗))
714 oveq1 6931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
715714fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
716713, 715oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
717716itgeq1d 41110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
718717eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → (∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ ↔ ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ))
719712, 718imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 → (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)))
720719, 677chvarv 2361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
721708, 709, 710, 720syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
722721abscld 14587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
723349rpred 12185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
7247233ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
725724ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
726 simpll3 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
727 rspa 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
728727adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
729717fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
730729breq1d 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
731730cbvralv 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
732728, 731sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
733 rspa 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
734732, 733sylancom 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
735726, 709, 710, 734syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
736695, 704, 722, 725, 735fsumlt 14940 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀))
737 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
738 oveq1 6931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
739738fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
740737, 739oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
741740itgeq1d 41110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 → ∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
742741fveq2d 6452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
743742cbvsumv 14838 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
744743a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
745349rpcnd 12187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ)
746 fsumconst 14930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
747503, 745, 746sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
748346nnnn0d 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
749 hashfzo0 13535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
750748, 749syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
751750oveq1d 6939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
752751adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
753345rpcnd 12187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℂ)
754348rpcnd 12187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ)
755348rpne0d 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
756753, 754, 755divcan2d 11155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)) = 𝑒)
757747, 752, 7563eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
758757adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
7597583ad2antl1 1193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
760736, 744, 7593brtr3d 4919 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
761682, 686, 689, 694, 760lelttrd 10536 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
762761ex 403 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
763516, 762ralrimi 3139 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
7647633exp 1109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
765764adantr 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
766513, 765reximdai 3193 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
767510, 766mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
768509, 767syldan 585 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
769768ex 403 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
770769ralimdva 3144 . 2 (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
771491, 770mpd 15 1 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wtru 1602  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  {crab 3094  wss 3792  c0 4141  ifcif 4307   class class class wbr 4888  cmpt 4967  dom cdm 5357  ran crn 5358  cres 5359   Fn wfn 6132  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  supcsup 8636  infcinf 8637  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279  +∞cpnf 10410  *cxr 10412   < clt 10413  cle 10414  cmin 10608  -cneg 10609   / cdiv 11034  cn 11378  0cn0 11646  cz 11732  cuz 11996  +crp 12141  (,)cioo 12491  [,]cicc 12494  ...cfz 12647  ..^cfzo 12788  cfl 12914  chash 13439  abscabs 14385  Σcsu 14828  sincsin 15200  cosccos 15201  TopOpenctopn 16472  topGenctg 16488  fldccnfld 20146  Topctop 21109  intcnt 21233  cnccncf 23091  volcvol 23671  𝐿1cibl 23825  citg 23826   lim climc 24067   D cdv 24068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cc 9594  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-symdif 4067  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-disj 4857  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-acn 9103  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ioc 12496  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-mod 12992  df-seq 13124  df-exp 13183  df-fac 13383  df-bc 13412  df-hash 13440  df-shft 14218  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-limsup 14614  df-clim 14631  df-rlim 14632  df-sum 14829  df-ef 15204  df-sin 15206  df-cos 15207  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-lp 21352  df-perf 21353  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-haus 21531  df-cmp 21603  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-cncf 23093  df-ovol 23672  df-vol 23673  df-mbf 23827  df-itg1 23828  df-itg2 23829  df-ibl 23830  df-itg 23831  df-0p 23878  df-limc 24071  df-dv 24072
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  41363  fourierdlem104  41364
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