fourierdlem73 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem73 46150

Description: A version of the Riemann Lebesgue lemma: as 𝑟 increases, the integral in 𝑆 goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem73.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem73.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem73.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem73.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem73.qf	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem73.q0	⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
fourierdlem73.qm	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
fourierdlem73.qilt	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
fourierdlem73.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem73.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem73.g	⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem73.gcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.gbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
fourierdlem73.s	⊢ 𝑆 = (𝑟 ∈ ℝ⁺ ↦ ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
fourierdlem73.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem73	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝐷,𝑟,𝑥,𝑦 𝑖,𝐹,𝑛,𝑥 𝑥,𝐺,𝑦 𝑥,𝐿 𝑒,𝑀,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥 𝑦,𝑀,𝑖 𝑄,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥 𝑦,𝑄 𝑥,𝑅 𝜑,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥 𝜑,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟) 𝐵(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟) 𝐷(𝑒,𝑖,𝑛) 𝑄(𝑒) 𝑅(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟) 𝑆(𝑥,𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟) 𝐹(𝑦,𝑒,𝑟) 𝐺(𝑒,𝑖,𝑛,𝑟) 𝐿(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem73 Dummy variables 𝑚 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem73.gcn	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
2		cncff 24762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
4		ax-resscn 11101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
6		fourierdlem73.qf	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
7		fourierdlem73.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		fourierdlem73.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	7, 8	iccssred 13371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
10	6, 9	fssd 6687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
12		elfzofz 13612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
14	11, 13	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
15		fzofzp1 13701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
17	11, 16	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
18	14, 17	iccssred 13371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
19		limccl 25752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)) ⊆ ℂ
20		fourierdlem73.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
21	19, 20	sselid 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ℂ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑅 ∈ ℂ)
23		limccl 25752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
24		fourierdlem73.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
25	23, 24	sselid 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ℂ)
27		fourierdlem73.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
29	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
32	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
33		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
34		eliccre 45476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
36	7	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
38	8	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
40	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
41	40, 13	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵))
42		iccgelb 13339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖))
43	37, 39, 41, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖))
45	31	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^*)
46	32	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^*)
47		iccgelb 13339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥)
48	45, 46, 33, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥)
49	29, 31, 35, 44, 48	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
50		iccleub 13338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
51	45, 46, 33, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
52	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
53	38	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
54	40, 16	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
56		iccleub 13338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
57	52, 53, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
58	35, 32, 30, 51, 57	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
59	29, 30, 35, 49, 58	eliccd 45475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
60	28, 59	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
61	26, 60	ifcld 4531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
62	22, 61	ifcld 4531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
63		fourierdlem73.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
64	62, 63	fmptd 7068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷:((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
65		tgioo4 24669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
66		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
67		iccntr 24686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
68	14, 17, 67	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
69	5, 18, 64, 65, 66, 68	dvresntr 45889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
70		ioossicc 13370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
71	70	sseli 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
73		fvres 6859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
75	72, 62	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
76	63	fvmpt2 6961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ) → (𝐷‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
77	72, 75, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
78	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
79	72, 45	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^*)
80	72, 46	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^*)
81		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
82		ioogtlb 45466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
83	79, 80, 81, 82	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
84	78, 83	gtned 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
85	84	neneqd 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖))
86	85	iffalsed 4495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
87		elioore 13312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
88	87	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
89		iooltub 45481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
90	79, 80, 81, 89	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
91	88, 90	ltned 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
92	91	neneqd 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
93	92	iffalsed 4495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
94	77, 86, 93	3eqtrrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
95	74, 94	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
96	95	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
97		ffn 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷:((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → 𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
98	64, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
99		ffn 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
100	27, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
103	37, 39, 40, 102	fourierdlem8 46086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
104		fnssres 6623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
105	101, 103, 104	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
106	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
107		fvreseq 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
108	98, 105, 106, 107	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
109	96, 108	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
110	106	resabs1d 5968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
111	109, 110	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
112	111	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
113	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
114	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
115	106, 18	sstrd 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
116	66, 65	dvres 25788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
117	5, 113, 114, 115, 116	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
118		fourierdlem73.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
119	118	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℝ D 𝐹) = 𝐺
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
121		iooretop 24629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,))
122		retop 24625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
123		uniretop 24626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
124	123	isopn3 22929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
125	122, 115, 124	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
126	121, 125	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
127	120, 126	reseq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
128	117, 127	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
129	69, 112, 128	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
130	129	feq1d 6652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ))
131	3, 130	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
132	131	feqmptd 6911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
133	132, 129	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
134		ioombl 25442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
136		fourierdlem73.qilt	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
137	14, 17, 136	ltled 11298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
138		volioo 25446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖)))
139	14, 17, 137, 138	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖)))
140	17, 14	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ)
141	139, 140	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
142		fourierdlem73.gbd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
143	142	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
144		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
145		nfra1 3259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦
146	144, 145	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
147		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
148		fdm 6679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
149	3, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
150	149	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
151	147, 150	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
152		fvres 6859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
153	151, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
154	153	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
155	154	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
156		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
157		ssdmres 5973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺 ↔ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
158	149, 157	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
159	158	sselda 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
160	151, 159	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
161	160	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
162		rsp 3223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
163	156, 161, 162	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
164	163	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
165	155, 164	eqbrtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
166	165	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
167	146, 166	ralrimi 3233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
168	167	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
169	168	reximdva 3146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
170	143, 169	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
171	135, 141, 1, 170	cnbdibl 45933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ 𝐿¹)
172	133, 171	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿¹)
173	172	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿¹)
174	134	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
175	141	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
176	133, 1	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
177	176	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
178		coscn 26331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
180		ioosscn 13345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
182		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℝ)
183	182	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℂ)
184		ssid 3966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ℂ ⊆ ℂ)
186	181, 183, 185	constcncfg 45843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
187	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
188	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
189	187, 188	idcncfg 45844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
190	189	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
191	186, 190	mulcncf 25322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
192	179, 191	cncfmpt1f 24783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
193	192	negcncfg 45852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
194	177, 193	mulcncf 25322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
195		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
196	195, 145	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
197	129	fveq1d 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
198	197, 152	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
199	198	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
200	199	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
201		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
202	159	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
203	201, 202, 162	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
204	200, 203	eqbrtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
205	204	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
206	196, 205	ralrimi 3233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
207	206	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
208	207	reximdv 3148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
209	143, 208	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
210	209	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
211		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))))
212		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑧))
213		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
214	213	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
215		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧))
216	212, 215	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥) ↔ ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)))
217	214, 216	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
218	217, 198	chvarvv 1989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
219	212, 218	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑧))
220		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · 𝑧))
221	220	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) = (cos‘(𝑟 · 𝑧)))
222	221	negeqd 11391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
223	222	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
224	219, 223	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
225	224	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
226		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
227		fvres 6859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
228	227	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
229	3	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) ∈ ℂ)
230	228, 229	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
231	230	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
232		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
233		elioore 13312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
234	233	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
235	232, 234	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ)
236	235	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
237	236	coscld 16075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
238	237	negcld 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
239	238	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
240	231, 239	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℂ)
241	211, 225, 226, 240	fvmptd 6957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
242	241	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
243	242	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
244	240	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
245	244	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
246	231	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
247	246	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
248		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
249	239	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℝ)
250		1red 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
251	231	absge0d 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧)))
252	237	absnegd 15394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) = (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
253		abscosbd 45250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
254	235, 253	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
255	252, 254	eqbrtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
256	255	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
257	249, 250, 246, 251, 256	lemul2ad 12099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1))
258	231, 239	absmuld 15399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
259	246	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
260	259	mulridd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1) = (abs‘(𝐺‘𝑧)))
261	260	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1))
262	257, 258, 261	3brtr4d 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧)))
263	262	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧)))
264		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
265		nfra1 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦
266	195, 265	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
267	199	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
268	267	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
269		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
270	268, 269	eqbrtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
271	270	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
272	271	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
273	266, 272	ralimdaa 3236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
274	264, 273	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
275	215	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑧)))
276	275	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
277	276	cbvralvw 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
278	274, 277	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
279	278	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
280	279	r19.21bi 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
281	245, 247, 248, 263, 280	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ 𝑦)
282	243, 281	eqbrtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
283	282	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
284	131	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
285	284	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
286		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
287	87	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
288	286, 287	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
289	288	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
290	289	coscld 16075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
291	290	negcld 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
292	291	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
293	285, 292	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
294	293	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
295		dmmptg 6203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
296	294, 295	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
297	296	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
298	283, 297	raleqtrrdv 3300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
299	298	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
300	299	reximdva 3146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
301	210, 300	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
302	174, 175, 194, 301	cnbdibl 45933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
303	302	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
304	284	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
305		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
306	180	sseli 3939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
307	306	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
308	305, 307	mulcld 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
309	308	coscld 16075	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
310	288	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
311		abscosbd 45250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
312	310, 311	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
313	312	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
314	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
315	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
316	136	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
317		eqcom 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
318	317	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥)
319	318	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥)
320	316, 319	breqtrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
321	315, 320	gtned 11285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
322	321	neneqd 2930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖))
323	322	iffalsed 4495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
324		iftrue 4490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿)
325	324	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿)
326	323, 325	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝐿)
327	17	leidd 11720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
328	14, 17, 17, 137, 327	eliccd 45475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
329	314, 326, 328, 24	fvmptd 6957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) = 𝐿)
330	329, 25	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
331	330	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
332		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
333		iftrue 4490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘𝑖) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
334	333	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
335	14	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^*)
336	17	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^*)
337		lbicc2 13401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
338	335, 336, 137, 337	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
339	314, 334, 338, 20	fvmptd 6957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) = 𝑅)
340	339, 21	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ)
341	340	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ)
342		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))
343		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
344		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
345		fourierdlem73.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
346	345	nnrpd 12969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ⁺)
347	346	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑀 ∈ ℝ⁺)
348	344, 347	rpdivcld 12988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ⁺)
349	348	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ⁺)
350		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
351	17	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
352	351	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
353	350, 352	mulcld 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
354	353	coscld 16075	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℂ)
355	17	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
356	182, 355	remulcld 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
357		abscosbd 45250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
358	356, 357	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
359	358	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
360	14	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
361	360	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
362	350, 361	mulcld 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ)
363	362	coscld 16075	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ℂ)
364	14	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
365	182, 364	remulcld 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ)
366		abscosbd 45250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1)
367	365, 366	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1)
368	367	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1)
369		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑥))
370	369	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
371	370	cbvitgv 25654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
372	371	oveq2i 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) = (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥)
373	372	oveq1i 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) = ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀))
374	373	oveq1i 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1) = (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)
375	374	fveq2i 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) = (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1))
376	375	oveq1i 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1) = ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1)
377	173, 303, 304, 309, 313, 331, 332, 341, 342, 343, 349, 354, 359, 363, 368, 376	fourierdlem47 46124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀))
378		simplll 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝜑)
379		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
380		elioore 13312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
381	380	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
382		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
383		nnre 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
384	383	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
385		nngt0 12193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
386	385	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑚)
387	384	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ^*)
388		pnfxr 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
389	388	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ^*)
390		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞))
391		ioogtlb 45466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
392	387, 389, 390, 391	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
393	382, 384, 381, 386, 392	lttrd 11311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
394	381, 393	elrpd 12968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
395	394	adantll 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
396	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
397	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
398	64	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ)
399	398	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ)
400		rpcn 12938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℂ)
401	400	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
402	35	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
403	402	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
404	401, 403	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
405	404	sincld 16074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
406	399, 405	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
407	396, 397, 406	itgioo 25693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
408	137	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
409	64	feqmptd 6911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)))
410		iftrue 4490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
411	324, 410	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
412	411	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
413		iffalse 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
414	413	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
415	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ^*)
416	46	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ^*)
417	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
418	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
419	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
420	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥)
421		neqne 2933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
422	421	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
423	418, 419, 420, 422	leneltd 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
424	423	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
425	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
426	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
427	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
428	317	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥 → 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
429	428	necon3bi 2951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
430	429	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
431	425, 426, 427, 430	leneltd 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
432	431	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
433	415, 416, 417, 424, 432	eliood 45469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
434		fvres 6859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
435	433, 434	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
436		iffalse 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
437	436	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
438	437	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
439	414, 435, 438	3eqtrrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
440	412, 439	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
441	440	ifeq2da 4517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
442	441	mpteq2dva 5195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
443	314, 409, 442	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
444		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
445		fourierdlem73.fcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
446	195, 444, 14, 17, 445, 24, 20	cncfiooicc 45865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
447	443, 446	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
448	409, 447	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
449	448	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝐷 ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
450		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ D 𝐷) = (ℝ D 𝐷)
451	129, 1	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
452	451	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
453	209	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
454		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
455	396, 397, 408, 449, 450, 452, 453, 454	fourierdlem39 46117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
456	407, 455	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
457	378, 379, 395, 456	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
458	457	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)))
459	458	breq1d 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
460	459	ralbidva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
461	460	rexbidva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
462	461	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
463	377, 462	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
464	463	an32s 652	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
465	94	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
466	465	itgeq2dv 25659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
467	466	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
468	467	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
469	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
470	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
471	398	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ)
472	380	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
473	472	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
474	402	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
475	473, 474	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
476	475	sincld 16074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
477	471, 476	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
478	469, 470, 477	itgioo 25693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
479	60	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
480	479, 476	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
481	469, 470, 480	itgioo 25693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
482	468, 478, 481	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
483	482	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
484	483	breq1d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
485	484	ralbidva 3154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
486	485	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
487	486	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
488	464, 487	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
489	488	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
490	489	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
491		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)
492		nfra1 3259	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
493	491, 492	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
494		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)
495		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟(0..^𝑀)
496		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟ℕ
497		nfra1 3259	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
498	496, 497	nfrexw 3284	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
499	495, 498	nfralw 3283	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
500	494, 499	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑟((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
501		nfmpt1 5201	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
502		fzofi 13915	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
503	502	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
504		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
505		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)} = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}
506		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
507		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < ) = sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < )
508	493, 500, 501, 503, 504, 505, 506, 507	fourierdlem31 46109	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
509		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
510		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺)
511		nfre1 3260	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
512	510, 511	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
513		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟 𝑛 ∈ ℕ
514		nfra1 3259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
515	494, 513, 514	nf3an 1901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
516		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝜑)
517		elioore 13312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
518	517	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
519		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
520		nnre 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
521	520	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
522		nngt0 12193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
523	522	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑛)
524	521	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ^*)
525	388	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ^*)
526		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
527		ioogtlb 45466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
528	524, 525, 526, 527	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
529	519, 521, 518, 523, 528	lttrd 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
530	518, 529	elrpd 12968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
531	530	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
532	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
533	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ)
534	27	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
535	534	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
536	400	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑟 ∈ ℂ)
537	9	sselda 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
538	537	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
539	538	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
540	536, 539	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
541	540	sincld 16074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
542	535, 541	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
543	532, 533, 542	itgioo 25693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
544		fourierdlem73.q0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
545	544	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
546		fourierdlem73.qm	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
547	546	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀))
548	545, 547	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
549	548	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
550	549	itgeq1d 45928	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
551		0zd 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 0 ∈ ℤ)
552		nnuz 12812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
553		0p1e1 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0 + 1) = 1
554	553	fveq2i 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℤ_≥‘(0 + 1)) = (ℤ_≥‘1)
555	552, 554	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘(0 + 1))
556	345, 555	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
557	556	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
558	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
559	136	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
560		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
561	548	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
562	561	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
563	560, 562	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
564	563	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
565	564, 542	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
566	14	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
567	17	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
568	106, 103	sstrd 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
569	113, 568	feqresmpt 6912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)))
570	569, 445	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
571	570	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
572		sincn 26330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
573	572	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
574	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
575	400	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑟 ∈ ℂ)
576	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ℂ ⊆ ℂ)
577	574, 575, 576	constcncfg 45843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
578	189	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
579	577, 578	mulcncf 25322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
580	579	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
581	573, 580	cncfmpt1f 24783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
582	571, 581	mulcncf 25322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
583		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥))
584		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
585		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
586	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
587	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
588	38	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
589	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
590		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
591	587, 588, 589, 590, 72	fourierdlem1 46079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
592	586, 591	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
593	592	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
594	575	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
595	306	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
596	594, 595	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
597	596	sincld 16074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
598	569	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
599	24, 598	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
600	599	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
601		rpre 12936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℝ)
602	601	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
603	87	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
604	602, 603	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
605	604	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
606	605	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
607		recn 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
608	607	sincld 16074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
609	608	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
610		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟)
611		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥)
612		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥))
613	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
614	575	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℂ)
615	567	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
616	610, 613, 614, 615	constlimc 45595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
617	613, 611, 615	idlimc 45597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
618	610, 611, 612, 594, 595, 616, 617	mullimc 45587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
619		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦))
620		sinf 16068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
621	620	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⊤ → sin:ℂ⟶ℂ)
622	621	feqmptd 6911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⊤ → sin = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)))
623	622, 572	eqeltrrdi 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
624	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
625		resincl 16084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
626	625	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
627	619, 623, 624, 624, 626	cncfmptssg 45842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
628	627	mptru 1547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
629	628	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
630	601	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ)
631	630, 567	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
632		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
633	629, 631, 632	cnmptlimc 25767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) lim_ℂ (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
634		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = (𝑟 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
635		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
636	635	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
637	606, 609, 618, 633, 634, 636	limcco 25770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
638	583, 584, 585, 593, 597, 600, 637	mullimc 45587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
639	569	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
640	20, 639	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
641	640	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
642	605	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
643	566	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
644	610, 613, 614, 643	constlimc 45595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
645	613, 611, 643	idlimc 45597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
646	610, 611, 612, 594, 595, 644, 645	mullimc 45587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
647	630, 566	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ)
648		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
649	629, 647, 648	cnmptlimc 25767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) lim_ℂ (𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
650		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
651	650	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
652	642, 609, 646, 649, 634, 651	limcco 25770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
653	583, 584, 585, 593, 597, 641, 652	mullimc 45587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
654	566, 567, 582, 638, 653	iblcncfioo 45949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
655		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺))
656	59	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
657	655, 656, 542	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
658	566, 567, 654, 657	ibliooicc 45942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
659	551, 557, 558, 559, 565, 658	itgspltprt 45950	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
660	543, 550, 659	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
661	516, 531, 660	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
662	502	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
663	60	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
664	517	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
665	664	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
666	665	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
667	402	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
668	666, 667	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
669	668	sincld 16074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
670	663, 669	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
671	670	adantl3r 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
672		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
673	531	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
674		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
675	672, 673, 674, 658	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
676	671, 675	itgcl 25661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
677	662, 676	fsumcl 15675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
678	661, 677	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
679	678	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
680	679	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
681	680	abscld 15381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
682	676	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
683	662, 682	fsumrecl 15676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
684	683	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
685	684	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
686		rpre 12936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ)
687	686	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
688	687	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
689	661	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
690	662, 676	fsumabs 15743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
691	689, 690	eqbrtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
692	691	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
693	692	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
694	502	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
695		0zd 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
696	345	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
697	345	nngt0d 12211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
698		fzolb 13602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
699	695, 696, 697, 698	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
700		ne0i 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
701	699, 700	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ≠ ∅)
702	701	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
703	702	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
704		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → 𝜑)
705	704	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
706		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ)
707	705, 706	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
708		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
709		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
710		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
711	710	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
712		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗))
713		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
714	713	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
715	712, 714	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
716	715	itgeq1d 45928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
717	716	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ ↔ ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ))
718	711, 717	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)))
719	718, 676	chvarvv 1989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
720	707, 708, 709, 719	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
721	720	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
722	348	rpred 12971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
723	722	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
724	723	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
725		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
726		rspa 3224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
727	726	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
728	716	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
729	728	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
730	729	cbvralvw 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
731	727, 730	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
732		rspa 3224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
733	731, 732	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
734	725, 708, 709, 733	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
735	694, 703, 721, 724, 734	fsumlt 15742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀))
736		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
737		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
738	737	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
739	736, 738	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
740	739	itgeq1d 45928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
741	740	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
742	741	cbvsumv 15638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
743	742	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
744	348	rpcnd 12973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ)
745		fsumconst 15732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
746	502, 744, 745	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
747	345	nnnn0d 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
748		hashfzo0 14371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
749	747, 748	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
750	749	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
751	750	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
752	344	rpcnd 12973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℂ)
753	347	rpcnd 12973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑀 ∈ ℂ)
754	347	rpne0d 12976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑀 ≠ 0)
755	752, 753, 754	divcan2d 11936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)) = 𝑒)
756	746, 751, 755	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
757	756	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
758	757	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
759	735, 743, 758	3brtr3d 5133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
760	681, 685, 688, 693, 759	lelttrd 11308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
761	760	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
762	515, 761	ralrimi 3233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
763	762	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
764	763	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
765	512, 764	reximdai 3237	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
766	509, 765	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
767	508, 766	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
768	767	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
769	768	ralimdva 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
770	490, 769	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ⊤wtru 1541 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∀wral 3044 ∃wrex 3053 {crab 3402 ⊆ wss 3911 ∅c0 4292 ifcif 4484 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5183 dom cdm 5631 ran crn 5632 ↾ cres 5633 Fn wfn 6494 ⟶wf 6495 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 Fincfn 8895 supcsup 9367 infcinf 9368 ℂcc 11042 ℝcr 11043 0cc0 11044 1c1 11045 + caddc 11047 · cmul 11049 +∞cpnf 11181 ℝ^*cxr 11183 < clt 11184 ≤ cle 11185 − cmin 11381 -cneg 11382 / cdiv 11811 ℕcn 12162 ℕ₀cn0 12418 ℤcz 12505 ℤ_≥cuz 12769 ℝ⁺crp 12927 (,)cioo 13282 [,]cicc 13285 ...cfz 13444 ..^cfzo 13591 ⌊cfl 13728 ♯chash 14271 abscabs 15176 Σcsu 15628 sincsin 16005 cosccos 16006 TopOpenctopn 17360 topGenctg 17376 ℂ_fldccnfld 21240 Topctop 22756 intcnt 22880 –cn→ccncf 24745 volcvol 25340 𝐿¹cibl 25494 ∫citg 25495 lim_ℂ climc 25739 D cdv 25740

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-inf2 9570 ax-cc 10364 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121 ax-pre-sup 11122 ax-addf 11123

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-symdif 4212 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-tp 4590 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4907 df-iun 4953 df-iin 4954 df-disj 5070 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-isom 6508 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-of 7633 df-ofr 7634 df-om 7823 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-supp 8117 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-1o 8411 df-2o 8412 df-oadd 8415 df-omul 8416 df-er 8648 df-map 8778 df-pm 8779 df-ixp 8848 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-fsupp 9289 df-fi 9338 df-sup 9369 df-inf 9370 df-oi 9439 df-dju 9830 df-card 9868 df-acn 9871 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11812 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-4 12227 df-5 12228 df-6 12229 df-7 12230 df-8 12231 df-9 12232 df-n0 12419 df-z 12506 df-dec 12626 df-uz 12770 df-q 12884 df-rp 12928 df-xneg 13048 df-xadd 13049 df-xmul 13050 df-ioo 13286 df-ioc 13287 df-ico 13288 df-icc 13289 df-fz 13445 df-fzo 13592 df-fl 13730 df-mod 13808 df-seq 13943 df-exp 14003 df-fac 14215 df-bc 14244 df-hash 14272 df-shft 15009 df-cj 15041 df-re 15042 df-im 15043 df-sqrt 15177 df-abs 15178 df-limsup 15413 df-clim 15430 df-rlim 15431 df-sum 15629 df-ef 16009 df-sin 16011 df-cos 16012 df-struct 17093 df-sets 17110 df-slot 17128 df-ndx 17140 df-base 17156 df-ress 17177 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-rest 17361 df-topn 17362 df-0g 17380 df-gsum 17381 df-topgen 17382 df-pt 17383 df-prds 17386 df-xrs 17441 df-qtop 17446 df-imas 17447 df-xps 17449 df-mre 17523 df-mrc 17524 df-acs 17526 df-mgm 18543 df-sgrp 18622 df-mnd 18638 df-submnd 18687 df-mulg 18976 df-cntz 19225 df-cmn 19688 df-psmet 21232 df-xmet 21233 df-met 21234 df-bl 21235 df-mopn 21236 df-fbas 21237 df-fg 21238 df-cnfld 21241 df-top 22757 df-topon 22774 df-topsp 22796 df-bases 22809 df-cld 22882 df-ntr 22883 df-cls 22884 df-nei 22961 df-lp 22999 df-perf 23000 df-cn 23090 df-cnp 23091 df-haus 23178 df-cmp 23250 df-tx 23425 df-hmeo 23618 df-fil 23709 df-fm 23801 df-flim 23802 df-flf 23803 df-xms 24184 df-ms 24185 df-tms 24186 df-cncf 24747 df-ovol 25341 df-vol 25342 df-mbf 25496 df-itg1 25497 df-itg2 25498 df-ibl 25499 df-itg 25500 df-0p 25547 df-limc 25743 df-dv 25744

This theorem is referenced by: fourierdlem103 46180 fourierdlem104 46181

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