Theorem fourierdlem73 46753

Description: A version of the Riemann Lebesgue lemma: as 𝑟 increases, the integral in 𝑆 goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem73.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem73.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem73.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem73.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem73.qf	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem73.q0	⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
fourierdlem73.qm	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
fourierdlem73.qilt	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
fourierdlem73.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem73.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem73.g	⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem73.gcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem73.gbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
fourierdlem73.s	⊢ 𝑆 = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
fourierdlem73.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem73	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐷,𝑟,𝑥,𝑦   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐿   𝑒,𝑀,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥   𝑦,𝑀,𝑖   𝑄,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥   𝑦,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐷(𝑒,𝑖,𝑛)   𝑄(𝑒)   𝑅(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑦,𝑒,𝑟)   𝐺(𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)   𝐿(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem73

Dummy variables 𝑚 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem73.gcn	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
2		cncff 24955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
4		ax-resscn 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
6		fourierdlem73.qf	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
7		fourierdlem73.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		fourierdlem73.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	7, 8	iccssred 13438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
10	6, 9	fssd 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
11	10	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
12		elfzofz 13681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
13	12	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
14	11, 13	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
15		fzofzp1 13770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
16	15	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
17	11, 16	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
18	14, 17	iccssred 13438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
19		limccl 25937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) ⊆ ℂ
20		fourierdlem73.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
21	19, 20	sselid 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ℂ)
22	21	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑅 ∈ ℂ)
23		limccl 25937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
24		fourierdlem73.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
25	23, 24	sselid 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ℂ)
26	25	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ℂ)
27		fourierdlem73.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
28	27	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
29	7	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	8	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	14	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
32	17	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
33		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
34		eliccre 46081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
36	7	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
37	36	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
38	8	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
39	38	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
40	6	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
41	40, 13	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵))
42		iccgelb 13406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖))
43	37, 39, 41, 42	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖))
44	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝑖))
45	31	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
46	32	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
47		iccgelb 13406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥)
48	45, 46, 33, 47	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥)
49	29, 31, 35, 44, 48	letrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
50		iccleub 13405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
51	45, 46, 33, 50	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
52	36	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53	38	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54	40, 16	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
55	54	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
56		iccleub 13405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
57	52, 53, 55, 56	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝐵)
58	35, 32, 30, 51, 57	letrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
59	29, 30, 35, 49, 58	eliccd 46080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
60	28, 59	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
61	26, 60	ifcld 4527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
62	22, 61	ifcld 4527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
63		fourierdlem73.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
64	62, 63	fmptd 7095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷:((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
65		tgioo4 24865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
66		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
67		iccntr 24882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
68	14, 17, 67	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
69	5, 18, 64, 65, 66, 68	dvresntr 46492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
70		ioossicc 13437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
71	70	sseli 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
72	71	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
73		fvres 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
75	72, 62	syldan 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
76	63	fvmpt2 6987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ) → (𝐷‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
77	72, 75, 76	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
78	14	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
79	72, 45	syldan 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
80	72, 46	syldan 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
81		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
82		ioogtlb 46071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
83	79, 80, 81, 82	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
84	78, 83	gtned 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
85	84	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖))
86	85	iffalsed 4491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
87		elioore 13379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
88	87	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
89		iooltub 46086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
90	79, 80, 81, 89	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
91	88, 90	ltned 11319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
92	91	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
93	92	iffalsed 4491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
94	77, 86, 93	3eqtrrd 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
95	74, 94	eqtr2d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
96	95	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
97		ffn 6691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷:((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → 𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
98	64, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
99		ffn 6691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
100	27, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
101	100	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
102		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
103	37, 39, 40, 102	fourierdlem8 46689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
104		fnssres 6644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵) ∧ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
105	101, 103, 104	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
106	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
107		fvreseq 7021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) Fn ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
108	98, 105, 106, 107	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝐷‘𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
109	96, 108	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
110	106	resabs1d 5994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
111	109, 110	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
112	111	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐷 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
113	27	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
114	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
115	106, 18	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
116	66, 65	dvres 25973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
117	5, 113, 114, 115, 116	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
118		fourierdlem73.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
119	118	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℝ D 𝐹) = 𝐺
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
121		iooretop 24825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,))
122		retop 24821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
123		uniretop 24822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
124	123	isopn3 23126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
125	122, 115, 124	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
126	121, 125	mpbii 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
127	120, 126	reseq12d 5966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
128	117, 127	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
129	69, 112, 128	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
130	129	feq1d 6673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ))
131	3, 130	mpbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
132	131	feqmptd 6935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
133	132, 129	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
134		ioombl 25627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
136		fourierdlem73.qilt	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
137	14, 17, 136	ltled 11331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
138		volioo 25631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖)))
139	14, 17, 137, 138	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖)))
140	17, 14	resubcld 11615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ)
141	139, 140	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
142		fourierdlem73.gbd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
143	142	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
144		nfv 1934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
145		nfra1 3286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦
146	144, 145	nfan 1919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
147		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
148		fdm 6701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
149	3, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
150	149	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
151	147, 150	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
152		fvres 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
153	151, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
154	153	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
155	154	ad4ant14 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
156		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
157		ssdmres 5999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺 ↔ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
158	149, 157	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
159	158	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
160	151, 159	syldan 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
161	160	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
162		rsp 3250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
163	156, 161, 162	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
164	163	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
165	155, 164	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
166	165	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
167	146, 166	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
168	167	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
169	168	reximdva 3175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦))
170	143, 169	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))(abs‘((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) ≤ 𝑦)
171	135, 141, 1, 170	cnbdibl 46536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ 𝐿1)
172	133, 171	eqeltrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
173	172	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
174	134	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
175	141	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (vol‘((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
176	133, 1	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
177	176	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
178		coscn 26508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
180		ioosscn 13412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
182		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℝ)
183	182	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℂ)
184		ssid 3958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ℂ ⊆ ℂ)
186	181, 183, 185	constcncfg 46446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
187	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
188	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
189	187, 188	idcncfg 46447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
190	189	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
191	186, 190	mulcncf 25508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
192	179, 191	cncfmpt1f 24976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
193	192	negcncfg 46455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
194	177, 193	mulcncf 25508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
195		nfv 1934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
196	195, 145	nfan 1919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
197	129	fveq1d 6869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
198	197, 152	sylan9eq 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
199	198	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
200	199	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
201		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
202	159	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
203	201, 202, 162	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
204	200, 203	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
205	204	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
206	196, 205	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
207	206	ex 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
208	207	reximdv 3177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦))
209	143, 208	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
210	209	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
211		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))))
212		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑧))
213		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
214	213	anbi2d 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
215		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧))
216	212, 215	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥) ↔ ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)))
217	214, 216	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))))
218	217, 198	chvarvv 2009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
219	212, 218	sylan9eqr 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑧))
220		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · 𝑧))
221	220	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) = (cos‘(𝑟 · 𝑧)))
222	221	negeqd 11424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
223	222	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) = -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))
224	219, 223	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
225	224	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
226		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
227		fvres 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
228	227	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
229	3	ffvelcdmda 7065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑧) ∈ ℂ)
230	228, 229	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
231	230	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
232		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
233		elioore 13379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
234	233	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
235	232, 234	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ)
236	235	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
237	236	coscld 16163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
238	237	negcld 11529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
239	238	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℂ)
240	231, 239	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℂ)
241	211, 225, 226, 240	fvmptd 6983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
242	241	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
243	242	ad4ant14 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
244	240	abscld 15466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
245	244	ad4ant14 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
246	231	abscld 15466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
247	246	ad4ant14 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
248		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
249	239	abscld 15466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ∈ ℝ)
250		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
251	231	absge0d 15474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧)))
252	237	absnegd 15479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) = (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))))
253		abscosbd 45858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 · 𝑧) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
254	235, 253	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
255	252, 254	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
256	255	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧))) ≤ 1)
257	249, 250, 246, 251, 256	lemul2ad 12132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1))
258	231, 239	absmuld 15484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-(cos‘(𝑟 · 𝑧)))))
259	246	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
260	259	mulridd 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1) = (abs‘(𝐺‘𝑧)))
261	260	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · 1))
262	257, 258, 261	3brtr4d 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧)))
263	262	ad4ant14 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧)))
264		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
265		nfra1 3286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦
266	195, 265	nfan 1919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
267	199	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
268	267	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
269		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
270	268, 269	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
271	270	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
272	271	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
273	266, 272	ralimdaa 3263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦))
274	264, 273	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
275	215	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑧)))
276	275	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
277	276	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
278	274, 277	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
279	278	ad4ant14 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
280	279	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
281	245, 247, 248, 263, 280	letrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -(cos‘(𝑟 · 𝑧)))) ≤ 𝑦)
282	243, 281	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
283	282	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
284	131	ffvelcdmda 7065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
285	284	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
286		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
287	87	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
288	286, 287	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
289	288	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
290	289	coscld 16163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
291	290	negcld 11529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
292	291	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -(cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
293	285, 292	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
294	293	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
295		dmmptg 6229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
296	294, 295	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
297	296	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
298	283, 297	raleqtrrdv 3324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
299	298	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
300	299	reximdva 3175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
301	210, 300	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
302	174, 175, 194, 301	cnbdibl 46536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
303	302	adantlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -(cos‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
304	284	adantlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑥) ∈ ℂ)
305		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
306	180	sseli 3932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
307	306	ad2antlr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
308	305, 307	mulcld 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
309	308	coscld 16163	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
310	288	ancoms 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
311		abscosbd 45858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
312	310, 311	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
313	312	adantll 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · 𝑥))) ≤ 1)
314	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
315	14	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
316	136	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
317		eqcom 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
318	317	bilanri 510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥)
319	316, 318	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
320	315, 319	gtned 11318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
321	320	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖))
322	321	iffalsed 4491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
323		iftrue 4486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿)
324	323	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿)
325	322, 324	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝐿)
326	17	leidd 11753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
327	14, 17, 17, 137, 326	eliccd 46080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
328	314, 325, 327, 24	fvmptd 6983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) = 𝐿)
329	328, 25	eqeltrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
330	329	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
331		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
332		iftrue 4486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘𝑖) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
333	332	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
334	14	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
335	17	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
336		lbicc2 13468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
337	334, 335, 137, 336	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
338	314, 333, 337, 20	fvmptd 6983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) = 𝑅)
339	338, 21	eqeltrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ)
340	339	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐷‘(𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ)
341		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖))) = (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))
342		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
343		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
344		fourierdlem73.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
345	344	nnrpd 13035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
346	345	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
347	343, 346	rpdivcld 13054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ+)
348	347	adantlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ+)
349		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℂ)
350	17	recnd 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
351	350	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
352	349, 351	mulcld 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
353	352	coscld 16163	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ℂ)
354	17	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
355	182, 354	remulcld 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
356		abscosbd 45858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
357	355, 356	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
358	357	adantlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ≤ 1)
359	14	recnd 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
360	359	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
361	349, 360	mulcld 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℂ)
362	361	coscld 16163	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ℂ)
363	14	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
364	182, 363	remulcld 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ)
365		abscosbd 45858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1)
366	364, 365	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1)
367	366	adantlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘(cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ≤ 1)
368		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐷)‘𝑥))
369	368	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) = (abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)))
370	369	cbvitgv 25839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥
371	370	oveq2i 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) = (((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥)
372	371	oveq1i 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) = ((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀))
373	372	oveq1i 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1) = (((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)
374	373	fveq2i 6870	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) = (⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1))
375	374	oveq1i 7406	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑧)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1) = ((⌊‘(((((abs‘(𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) + (abs‘(𝐷‘(𝑄‘𝑖)))) + ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) d𝑥) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1)
376	173, 303, 304, 309, 313, 330, 331, 340, 341, 342, 348, 353, 358, 362, 367, 375	fourierdlem47 46727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀))
377		simplll 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝜑)
378		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
379		elioore 13379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
380	379	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
381		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
382		nnre 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
383	382	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
384		nngt0 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
385	384	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑚)
386	383	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ*)
387		pnfxr 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
388	387	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
389		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞))
390		ioogtlb 46071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
391	386, 388, 389, 390	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑚 < 𝑟)
392	381, 383, 380, 385, 391	lttrd 11344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
393	380, 392	elrpd 13034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
394	393	adantll 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
395	14	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
396	17	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
397	64	ffvelcdmda 7065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ)
398	397	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ)
399		rpcn 13004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℂ)
400	399	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
401	35	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
402	401	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
403	400, 402	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
404	403	sincld 16162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
405	398, 404	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
406	395, 396, 405	itgioo 25878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
407	137	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
408	64	feqmptd 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)))
409		iftrue 4486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = 𝐿)
410	323, 409	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
411	410	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
412		iffalse 4489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
413	412	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))
414	45	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
415	46	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
416	35	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
417	14	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
418	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → 𝑥 ∈ ℝ)
419	48	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑥)
420		neqne 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
421	420	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → 𝑥 ≠ (𝑄‘𝑖))
422	417, 418, 419, 421	leneltd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
423	422	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
424	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
425	17	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
426	51	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
427	317	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) = 𝑥 → 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
428	427	necon3bi 2983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
429	428	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≠ 𝑥)
430	424, 425, 426, 429	leneltd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
431	430	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
432	414, 415, 416, 423, 431	eliood 46074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
433		fvres 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
434	432, 433	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
435		iffalse 4489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
436	435	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
437	436	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
438	413, 434, 437	3eqtrrd 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
439	411, 438	pm2.61dan 822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘𝑖)) → if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))
440	439	ifeq2da 4513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
441	440	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
442	314, 408, 441	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))))
443		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥))))
444		fourierdlem73.fcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
445	195, 443, 14, 17, 444, 24, 20	cncfiooicc 46468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑥 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, if(𝑥 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
446	442, 445	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
447	408, 446	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
448	447	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
449		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ D 𝐷) = (ℝ D 𝐷)
450	129, 1	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
451	450	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (ℝ D 𝐷) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
452	209	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐷)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
453		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
454	395, 396, 407, 448, 449, 451, 452, 453	fourierdlem39 46720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
455	406, 454	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
456	377, 378, 394, 455	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥))
457	456	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)))
458	457	breq1d 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
459	458	ralbidva 3183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
460	459	rexbidva 3184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
461	460	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘((((𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) / 𝑟)) − ((𝐷‘(𝑄‘𝑖)) · -((cos‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) / 𝑟))) − ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)‘𝑥) · -((cos‘(𝑟 · 𝑥)) / 𝑟)) d𝑥)) < (𝑒 / 𝑀)))
462	376, 461	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
463	462	an32s 662	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
464	94	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
465	464	itgeq2dv 25844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
466	465	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
467	466	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
468	14	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
469	17	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
470	397	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℂ)
471	379	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
472	471	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
473	401	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
474	472, 473	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
475	474	sincld 16162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
476	470, 475	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
477	468, 469, 476	itgioo 25878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
478	60	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
479	478, 475	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
480	468, 469, 479	itgioo 25878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
481	467, 477, 480	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
482	481	fveq2d 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
483	482	breq1d 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)) → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
484	483	ralbidva 3183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
485	484	adantlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
486	485	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐷‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
487	463, 486	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
488	487	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
489	488	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
490		nfv 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
491		nfra1 3286	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
492	490, 491	nfan 1919	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
493		nfv 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
494		nfcv 2924	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟(0..^𝑀)
495		nfcv 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟ℕ
496		nfra1 3286	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
497	495, 496	nfrexw 3310	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
498	494, 497	nfralw 3309	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
499	493, 498	nfan 1919	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑟((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
500		nfmpt1 5199	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
501		fzofi 13987	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
502	501	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
503		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
504		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)} = {𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}
505		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
506		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < ) = sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < )
507	492, 499, 500, 502, 503, 504, 505, 506	fourierdlem31 46712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
508		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
509		nfv 1934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
510		nfre1 3287	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
511	509, 510	nfan 1919	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
512		nfv 1934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟 𝑛 ∈ ℕ
513		nfra1 3286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)
514	493, 512, 513	nf3an 1921	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
515		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝜑)
516		elioore 13379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
517	516	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
518		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
519		nnre 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
520	519	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
521		nngt0 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
522	521	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑛)
523	520	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
524	387	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
525		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
526		ioogtlb 46071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
527	523, 524, 525, 526	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑛 < 𝑟)
528	518, 520, 517, 522, 527	lttrd 11344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 0 < 𝑟)
529	517, 528	elrpd 13034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
530	529	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
531	7	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
532	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
533	27	ffvelcdmda 7065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
534	533	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
535	399	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑟 ∈ ℂ)
536	9	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
537	536	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
538	537	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
539	535, 538	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
540	539	sincld 16162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
541	534, 540	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
542	531, 532, 541	itgioo 25878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
543		fourierdlem73.q0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
544	543	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
545		fourierdlem73.qm	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
546	545	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀))
547	544, 546	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
548	547	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
549	548	itgeq1d 46531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
550		0zd 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
551		nnuz 12878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
552		0p1e1 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0 + 1) = 1
553	552	fveq2i 6870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
554	551, 553	eqtr4i 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
555	344, 554	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
556	555	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
557	10	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
558	136	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
559		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
560	547	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
561	560	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
562	559, 561	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
563	562	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
564	563, 541	syldan 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
565	14	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
566	17	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
567	106, 103	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
568	113, 567	feqresmpt 6936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)))
569	568, 444	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
570	569	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
571		sincn 26507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
572	571	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
573	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
574	399	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℂ)
575	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ℂ ⊆ ℂ)
576	573, 574, 575	constcncfg 46446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
577	189	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
578	576, 577	mulcncf 25508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
579	578	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
580	572, 579	cncfmpt1f 24976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
581	570, 580	mulcncf 25508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
582		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥))
583		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
584		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))))
585	27	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
586	36	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
587	38	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
588	6	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
589		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
590	586, 587, 588, 589, 72	fourierdlem1 46682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
591	585, 590	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
592	591	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
593	574	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
594	306	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
595	593, 594	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
596	595	sincld 16162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
597	568	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
598	24, 597	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
599	598	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
600		rpre 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
601	600	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
602	87	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
603	601, 602	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
604	603	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
605	604	ad2ant2r 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
606		recn 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
607	606	sincld 16162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
608	607	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
609		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟)
610		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥)
611		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥))
612	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
613	574	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℂ)
614	566	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
615	609, 612, 613, 614	constlimc 46200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
616	612, 610, 614	idlimc 46202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
617	609, 610, 611, 593, 594, 615, 616	mullimc 46192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
618		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦))
619		sinf 16156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
620	619	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⊤ → sin:ℂ⟶ℂ)
621	620	feqmptd 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⊤ → sin = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)))
622	621, 571	eqeltrrdi 2871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
623	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
624		resincl 16172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
625	624	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
626	618, 622, 623, 623, 625	cncfmptssg 46445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
627	626	mptru 1567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
628	627	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
629	600	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ)
630	629, 566	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
631		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
632	628, 630, 631	cnmptlimc 25952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) limℂ (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
633		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = (𝑟 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · 𝑥)))
634		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
635	634	ad2antll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
636	605, 608, 617, 632, 633, 635	limcco 25955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
637	582, 583, 584, 592, 596, 599, 636	mullimc 46192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (sin‘(𝑟 · (𝑄‘(𝑖 + 1))))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
638	568	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
639	20, 638	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
640	639	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
641	604	ad2ant2r 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) ≠ (𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℝ)
642	565	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
643	609, 612, 613, 642	constlimc 46200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑟) limℂ (𝑄‘𝑖)))
644	612, 610, 642	idlimc 46202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑥) limℂ (𝑄‘𝑖)))
645	609, 610, 611, 593, 594, 643, 644	mullimc 46192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑟 · 𝑥)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
646	629, 565	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) ∈ ℝ)
647		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
648	628, 646, 647	cnmptlimc 25952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑦)) limℂ (𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
649		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
650	649	ad2antll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝑟 · 𝑥) = (𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) = (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))))
651	641, 608, 645, 648, 633, 650	limcco 25955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (sin‘(𝑟 · 𝑥))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
652	582, 583, 584, 592, 596, 640, 651	mullimc 46192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (sin‘(𝑟 · (𝑄‘𝑖)))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
653	565, 566, 581, 637, 652	iblcncfioo 46552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
654		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+))
655	59	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
656	654, 655, 541	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
657	565, 566, 653, 656	ibliooicc 46545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
658	550, 556, 557, 558, 564, 657	itgspltprt 46553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
659	542, 549, 658	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
660	515, 530, 659	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
661	501	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
662	60	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
663	516	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℂ)
664	663	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
665	664	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
666	401	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
667	665, 666	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟 · 𝑥) ∈ ℂ)
668	667	sincld 16162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (sin‘(𝑟 · 𝑥)) ∈ ℂ)
669	662, 668	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
670	669	adantl3r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) ∈ ℂ)
671		simplll 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
672	530	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
673		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
674	671, 672, 673, 657	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
675	670, 674	itgcl 25846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
676	661, 675	fsumcl 15760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
677	660, 676	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
678	677	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
679	678	3adantl3 1182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
680	679	abscld 15466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
681	675	abscld 15466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
682	661, 681	fsumrecl 15761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
683	682	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
684	683	3adantl3 1182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
685		rpre 13002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ ℝ)
686	685	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
687	686	3ad2antl1 1199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → 𝑒 ∈ ℝ)
688	660	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
689	661, 675	fsumabs 15829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
690	688, 689	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
691	690	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
692	691	3adantl3 1182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ≤ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
693	501	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
694		0zd 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
695	344	nnzd 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
696	344	nngt0d 12262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
697		fzolb 13671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
698	694, 695, 696, 697	syl3anbrc 1357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
699		ne0i 4293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
700	698, 699	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ≠ ∅)
701	700	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
702	701	3ad2antl1 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (0..^𝑀) ≠ ∅)
703		simp1l 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → 𝜑)
704	703	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
705		simpll2 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ)
706	704, 705	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
707		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞))
708		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
709		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
710	709	anbi2d 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
711		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗))
712		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
713	712	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
714	711, 713	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
715	714	itgeq1d 46531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
716	715	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ ↔ ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ))
717	710, 716	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)))
718	717, 675	chvarvv 2009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
719	706, 707, 708, 718	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℂ)
720	719	abscld 15466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) ∈ ℝ)
721	347	rpred 13037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
722	721	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
723	722	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
724		simpll3 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
725		rspa 3251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
726	725	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
727	715	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
728	727	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)))
729	728	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
730	726, 729	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
731		rspa 3251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
732	730, 731	sylancom 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
733	724, 707, 708, 732	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀))
734	693, 702, 720, 723, 733	fsumlt 15828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀))
735		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
736		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
737	736	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
738	735, 737	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
739	738	itgeq1d 46531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥 = ∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
740	739	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = (abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
741	740	cbvsumv 15723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥)
742	741	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑗)[,](𝑄‘(𝑗 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥))
743	347	rpcnd 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ)
744		fsumconst 15817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑒 / 𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
745	501, 743, 744	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)))
746	344	nnnn0d 12542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
747		hashfzo0 14443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
748	746, 747	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
749	748	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
750	749	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((♯‘(0..^𝑀)) · (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)))
751	343	rpcnd 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℂ)
752	346	rpcnd 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ)
753	346	rpne0d 13042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
754	751, 752, 753	divcan2d 11969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀 · (𝑒 / 𝑀)) = 𝑒)
755	745, 750, 754	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
756	755	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
757	756	3ad2antl1 1199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
758	734, 742, 757	3brtr3d 5131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
759	680, 684, 687, 692, 758	lelttrd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
760	759	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞) → (abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
761	514, 760	ralrimi 3260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
762	761	3exp 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
763	762	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)))
764	511, 763	reximdai 3264	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
765	508, 764	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
766	507, 765	syldan 600	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)
767	766	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
768	767	ralimdva 3174	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘∫((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < (𝑒 / 𝑀) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒))
769	489, 768	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑛(,)+∞)(abs‘∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑟 · 𝑥))) d𝑥) < 𝑒)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560  ⊤wtru 1561   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3414   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4480   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5647  ran crn 5648   ↾ cres 5649   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  supcsup 9386  infcinf 9387  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  +∞cpnf 11213  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217   − cmin 11414  -cneg 11415   / cdiv 11844  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ℝ⁺crp 12993  (,)cioo 13349  [,]cicc 13352  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659  ⌊cfl 13800  ♯chash 14343  abscabs 15261  Σcsu 15713  sincsin 16093  cosccos 16094  TopOpenctopn 17450  topGenctg 17466  ℂ_fldccnfld 21424  Topctop 22953  intcnt 23077  –cn→ccncf 24938  volcvol 25525  𝐿¹cibl 25679  ∫citg 25680   lim_ℂ climc 25924   D cdv 25925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cc 10392  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-symdif 4205  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-acn 9900  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-lp 23196  df-perf 23197  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-haus 23375  df-cmp 23447  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cncf 24940  df-ovol 25526  df-vol 25527  df-mbf 25681  df-itg1 25682  df-itg2 25683  df-ibl 25684  df-itg 25685  df-0p 25732  df-limc 25928  df-dv 25929

This theorem is referenced by:  fourierdlem103  46783  fourierdlem104  46784