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Theorem fourierdlem73 45490
Description: A version of the Riemann Lebesgue lemma: as π‘Ÿ increases, the integral in 𝑆 goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem73.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem73.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem73.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
fourierdlem73.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem73.qf (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
fourierdlem73.q0 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
fourierdlem73.qm (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
fourierdlem73.qilt ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
fourierdlem73.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem73.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem73.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
fourierdlem73.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem73.gcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem73.gbd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
fourierdlem73.s 𝑆 = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
fourierdlem73.d 𝐷 = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem73 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < 𝑒)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   𝐷,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑖,𝐹,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐿   𝑒,𝑀,𝑖,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯   𝑦,𝑀,𝑖   𝑄,𝑖,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯   𝑦,𝑄   π‘₯,𝑅   πœ‘,𝑒,𝑖,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,π‘Ÿ)   𝐡(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,π‘Ÿ)   𝐷(𝑒,𝑖,𝑛)   𝑄(𝑒)   𝑅(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,π‘Ÿ)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(𝑦,𝑒,π‘Ÿ)   𝐺(𝑒,𝑖,𝑛,π‘Ÿ)   𝐿(𝑦,𝑒,𝑖,𝑛,π‘Ÿ)

Proof of Theorem fourierdlem73
Dummy variables π‘š 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem73.gcn . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
2 cncff 24800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
4 ax-resscn 11187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ βŠ† β„‚
54a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
6 fourierdlem73.qf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
7 fourierdlem73.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8 fourierdlem73.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
97, 8iccssred 13435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
106, 9fssd 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
12 elfzofz 13672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
1411, 13ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
15 fzofzp1 13753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1711, 16ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
1814, 17iccssred 13435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
19 limccl 25791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) βŠ† β„‚
20 fourierdlem73.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
2119, 20sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
23 limccl 25791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
24 fourierdlem73.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
2523, 24sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
27 fourierdlem73.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
297ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
308ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3114adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
3217adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
33 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
34 eliccre 44813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
367rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
388rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
406adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
4140, 13ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (𝐴[,]𝐡))
42 iccgelb 13404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ (π‘„β€˜π‘–))
4337, 39, 41, 42syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ≀ (π‘„β€˜π‘–))
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐴 ≀ (π‘„β€˜π‘–))
4531rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
4632rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
47 iccgelb 13404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ π‘₯)
4845, 46, 33, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ π‘₯)
4929, 31, 35, 44, 48letrd 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
50 iccleub 13403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
5145, 46, 33, 50syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
5236ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
5338ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5440, 16ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
56 iccleub 13403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝐡)
5752, 53, 55, 56syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝐡)
5835, 32, 30, 51, 57letrd 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
5929, 30, 35, 49, 58eliccd 44812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
6028, 59ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6126, 60ifcld 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
6222, 61ifcld 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
63 fourierdlem73.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
6462, 63fmptd 7118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐷:((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
65 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6665tgioo2 24706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
67 iccntr 24724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
6814, 17, 67syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
695, 18, 64, 66, 65, 68dvresntr 45229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝐷 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
70 ioossicc 13434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
7170sseli 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
73 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
7572, 62syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
7663fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚) β†’ (π·β€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
7772, 75, 76syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
7814adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
7972, 45syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
8072, 46syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
81 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
82 ioogtlb 44803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < π‘₯)
8379, 80, 81, 82syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < π‘₯)
8478, 83gtned 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ β‰  (π‘„β€˜π‘–))
8584neneqd 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–))
8685iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
87 elioore 13378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
89 iooltub 44818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
9079, 80, 81, 89syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
9188, 90ltned 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ β‰  (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
9291neneqd 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
9392iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
9477, 86, 933eqtrrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π·β€˜π‘₯))
9574, 94eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
9695ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(π·β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
97 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷:((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ β†’ 𝐷 Fn ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
9864, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐷 Fn ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
99 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐡))
10027, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐡))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐡))
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
10337, 39, 40, 102fourierdlem8 45426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
104 fnssres 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 Fn (𝐴[,]𝐡) ∧ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Fn ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
105101, 103, 104syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Fn ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
10670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
107 fvreseq 7043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 Fn ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) Fn ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐷 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(π·β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
10898, 105, 106, 107syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐷 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(π·β€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
10996, 108mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐷 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
110106resabs1d 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
111109, 110eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐷 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
112111oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (ℝ D (𝐷 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
11327adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
1149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
115106, 18sstrd 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
11665, 66dvres 25827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚) ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ ∧ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
1175, 113, 114, 115, 116syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
118 fourierdlem73.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
119118eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℝ D 𝐹) = 𝐺
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
121 iooretop 24669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
122 retop 24665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
123 uniretop 24666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
124123isopn3 22957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ) β†’ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
125122, 115, 124sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
126121, 125mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
127120, 126reseq12d 5980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) = (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
128117, 127eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) = (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
12969, 112, 1283eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (ℝ D 𝐷) = (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
130129feq1d 6701 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐷):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ ↔ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚))
1313, 130mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (ℝ D 𝐷):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
132131feqmptd 6961 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (ℝ D 𝐷) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)))
133132, 129eqtr3d 2769 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) = (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
134 ioombl 25481 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ dom vol
135134a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
136 fourierdlem73.qilt . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
13714, 17, 136ltled 11384 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
138 volioo 25485 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (volβ€˜((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (π‘„β€˜π‘–)))
13914, 17, 137, 138syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (volβ€˜((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (π‘„β€˜π‘–)))
14017, 14resubcld 11664 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (π‘„β€˜π‘–)) ∈ ℝ)
141139, 140eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (volβ€˜((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
142 fourierdlem73.gbd . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
143142adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
144 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
145 nfra1 3276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦
146144, 145nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
147 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
148 fdm 6725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ β†’ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
1493, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
150149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
151147, 150eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
152 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
154153fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ (absβ€˜((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
155154ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ (absβ€˜((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
156 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
157 ssdmres 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom 𝐺 ↔ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
158149, 157sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom 𝐺)
159158sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
160151, 159syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
161160adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
162 rsp 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐺 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
163156, 161, 162sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
164163adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
165155, 164eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ (absβ€˜((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
166165ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
167146, 166ralrimi 3249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))(absβ€˜((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
168167ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))(absβ€˜((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
169168reximdva 3163 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))(absβ€˜((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
170143, 169mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))(absβ€˜((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
171135, 141, 1, 170cnbdibl 45273 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ 𝐿1)
172133, 171eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
173172adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
174134a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ dom vol)
175141adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ℝ)
176133, 1eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
177176adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
178 coscn 26369 . . . . . . . . . . . . . 14 cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
179178a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
180 ioosscn 13410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
182 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
183182recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
184 ssid 4000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„‚ βŠ† β„‚
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
186181, 183, 185constcncfg 45183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Ÿ) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
187180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
188184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
189187, 188idcncfg 45184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘₯) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
190189ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘₯) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
191186, 190mulcncf 25361 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
192179, 191cncfmpt1f 24821 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
193192negcncfg 45192 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
194177, 193mulcncf 25361 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
195 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
196195, 145nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
197129fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
198197, 152sylan9eq 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
199198fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
200199adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
201 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
202159adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
203201, 202, 162sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
204200, 203eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
205204ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
206196, 205ralrimi 3249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
207206ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
208207reximdv 3165 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
209143, 208mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
210209adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
211 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))))
212 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) = ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘§))
213 eleq1w 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
214213anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
215 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘§))
216212, 215eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯) ↔ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§)))
217214, 216imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))))
218217, 198chvarvv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
219212, 218sylan9eqr 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘§))
220 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· 𝑧))
221220fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) = (cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)))
222221negeqd 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑧 β†’ -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) = -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)))
223222adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) = -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)))
224219, 223oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) = ((πΊβ€˜π‘§) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧))))
225224adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) = ((πΊβ€˜π‘§) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧))))
226 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
227 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
228227adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
2293ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘§) ∈ β„‚)
230228, 229eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
231230adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
232 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
233 elioore 13378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
234233adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
235232, 234remulcld 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Ÿ Β· 𝑧) ∈ ℝ)
236235recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Ÿ Β· 𝑧) ∈ β„‚)
237236coscld 16099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)) ∈ β„‚)
238237negcld 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)) ∈ β„‚)
239238adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)) ∈ β„‚)
240231, 239mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧))) ∈ β„‚)
241211, 225, 226, 240fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))β€˜π‘§) = ((πΊβ€˜π‘§) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧))))
242241fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))β€˜π‘§)) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)))))
243242ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))β€˜π‘§)) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)))))
244240abscld 15407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)))) ∈ ℝ)
245244ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)))) ∈ ℝ)
246231abscld 15407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
247246ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
248 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
249239abscld 15407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜-(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧))) ∈ ℝ)
250 1red 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 1 ∈ ℝ)
251231absge0d 15415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
252237absnegd 15420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜-(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧))) = (absβ€˜(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧))))
253 abscosbd 44583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Ÿ Β· 𝑧) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧))) ≀ 1)
254235, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧))) ≀ 1)
255252, 254eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜-(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧))) ≀ 1)
256255adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜-(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧))) ≀ 1)
257249, 250, 246, 251, 256lemul2ad 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) Β· (absβ€˜-(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)))) ≀ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) Β· 1))
258231, 239absmuld 15425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)))) = ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) Β· (absβ€˜-(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)))))
259246recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
260259mulridd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) Β· 1) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
261260eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) = ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) Β· 1))
262257, 258, 2613brtr4d 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)))) ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
263262ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)))) ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
264 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
265 nfra1 3276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦
266195, 265nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
267199eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)))
268267adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)))
269 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
270268, 269eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
271270ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
272271adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
273266, 272ralimdaa 3252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
274264, 273mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
275215fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
276275breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 ↔ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
277276cbvralvw 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
278274, 277sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
279278ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
280279r19.21bi 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
281245, 247, 248, 263, 280letrd 11393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝑧)))) ≀ 𝑦)
282243, 281eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
283282ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
284131ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
285284adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
286 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
28787adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
288286, 287remulcld 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
289288recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
290289coscld 16099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
291290negcld 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
292291adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
293285, 292mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
294293ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
295 dmmptg 6240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ β„‚ β†’ dom (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
296294, 295syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ dom (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
297296ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ dom (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
298297raleqdv 3320 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ dom (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))(absβ€˜((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))β€˜π‘§)) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))β€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
299283, 298mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘§ ∈ dom (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))(absβ€˜((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
300299ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 β†’ βˆ€π‘§ ∈ dom (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))(absβ€˜((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))β€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
301300reximdva 3163 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))(absβ€˜((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))β€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
302210, 301mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))(absβ€˜((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
303174, 175, 194, 302cnbdibl 45273 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
304303adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
305284adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
306 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
307180sseli 3974 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
308307ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
309306, 308mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
310309coscld 16099 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
311288ancoms 458 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
312 abscosbd 44583 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ≀ 1)
313311, 312syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ≀ 1)
314313adantll 713 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ≀ 1)
31563a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))))
31614adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
317136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
318 eqcom 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = π‘₯ ↔ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
319318biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = π‘₯)
320319adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = π‘₯)
321317, 320breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < π‘₯)
322316, 321gtned 11371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ β‰  (π‘„β€˜π‘–))
323322neneqd 2940 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–))
324323iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
325 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
326325adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
327324, 326eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
32817leidd 11802 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
32914, 17, 17, 137, 328eliccd 44812 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
330315, 327, 329, 24fvmptd 7006 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = 𝐿)
331330, 25eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ β„‚)
332331adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ β„‚)
333 eqid 2727 . . . . . . . 8 (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
334 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
335334adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
33614rexrd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
33717rexrd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
338 lbicc2 13465 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
339336, 337, 137, 338syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
340315, 335, 339, 20fvmptd 7006 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) = 𝑅)
341340, 21eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
342341adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
343 eqid 2727 . . . . . . . 8 (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜π‘–))) = (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)))
344 eqid 2727 . . . . . . . 8 ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) dπ‘₯
345 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
346 fourierdlem73.m . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
347346nnrpd 13038 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
348347adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
349345, 348rpdivcld 13057 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ+)
350349adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ+)
351 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
35217recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
353352ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
354351, 353mulcld 11256 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ β„‚)
355354coscld 16099 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ β„‚)
35617adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
357182, 356remulcld 11266 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
358 abscosbd 44583 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) ≀ 1)
359357, 358syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) ≀ 1)
360359adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) ≀ 1)
36114recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ β„‚)
362361ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ β„‚)
363351, 362mulcld 11256 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
364363coscld 16099 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))) ∈ β„‚)
36514adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
366182, 365remulcld 11266 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–)) ∈ ℝ)
367 abscosbd 44583 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–)) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–)))) ≀ 1)
368366, 367syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–)))) ≀ 1)
369368adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–)))) ≀ 1)
370 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯))
371370fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘₯ β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘§)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)))
372371cbvitgv 25693 . . . . . . . . . . . . 13 ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘§)) d𝑧 = ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) dπ‘₯
373372oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) + (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)))) + ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘§)) d𝑧) = (((absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) + (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)))) + ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) dπ‘₯)
374373oveq1i 7424 . . . . . . . . . . 11 ((((absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) + (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)))) + ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘§)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) = ((((absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) + (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)))) + ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (𝑒 / 𝑀))
375374oveq1i 7424 . . . . . . . . . 10 (((((absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) + (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)))) + ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘§)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1) = (((((absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) + (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)))) + ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)
376375fveq2i 6894 . . . . . . . . 9 (βŒŠβ€˜(((((absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) + (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)))) + ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘§)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) = (βŒŠβ€˜(((((absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) + (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)))) + ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (𝑒 / 𝑀)) + 1))
377376oveq1i 7424 . . . . . . . 8 ((βŒŠβ€˜(((((absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) + (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)))) + ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘§)) d𝑧) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1) = ((βŒŠβ€˜(((((absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) + (absβ€˜(π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)))) + ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) dπ‘₯) / (𝑒 / 𝑀)) + 1)) + 1)
378173, 304, 305, 310, 314, 332, 333, 342, 343, 344, 350, 355, 360, 364, 369, 377fourierdlem47 45464 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜((((π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) / π‘Ÿ)) βˆ’ ((π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))) / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < (𝑒 / 𝑀))
379 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ πœ‘)
380 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
381 elioore 13378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
382381adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
383 0red 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ 0 ∈ ℝ)
384 nnre 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ)
385384adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
386 nngt0 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ β„• β†’ 0 < π‘š)
387386adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ 0 < π‘š)
388385rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ π‘š ∈ ℝ*)
389 pnfxr 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
391 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞))
392 ioogtlb 44803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ π‘š < π‘Ÿ)
393388, 390, 391, 392syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ π‘š < π‘Ÿ)
394383, 385, 382, 387, 393lttrd 11397 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ 0 < π‘Ÿ)
395382, 394elrpd 13037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
396395adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
39714adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
39817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
39964ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
400399adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
401 rpcn 13008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
402401ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
40335recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
404403adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
405402, 404mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
406405sincld 16098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
407400, 406mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
408397, 398, 407itgioo 25732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
409137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
41064feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘₯)))
411 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = 𝐿)
412325, 411eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
413412adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
414 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
415414adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))
41645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
41746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
41835ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
41914ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
42035adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
42148adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ π‘₯)
422 neqne 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–) β†’ π‘₯ β‰  (π‘„β€˜π‘–))
423422adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ π‘₯ β‰  (π‘„β€˜π‘–))
424419, 420, 421, 423leneltd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < π‘₯)
425424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < π‘₯)
42635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
42717ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
42851adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
429318biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = π‘₯ β†’ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
430429necon3bi 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β‰  π‘₯)
431430adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β‰  π‘₯)
432426, 427, 428, 431leneltd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
433432adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
434416, 417, 418, 425, 433eliood 44806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
435 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
436434, 435syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
437 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
438437eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
439438adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
440415, 436, 4393eqtrrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
441413, 440pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ Β¬ π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–)) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))
442441ifeq2da 4556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
443442mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))))
444315, 410, 4433eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))))
445 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯))))
446 fourierdlem73.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
447195, 445, 14, 17, 446, 24, 20cncfiooicc 45205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(π‘₯ = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, if(π‘₯ = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘₯)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
448444, 447eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π·β€˜π‘₯)) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
449410, 448eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐷 ∈ (((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
450449adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
451 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ D 𝐷) = (ℝ D 𝐷)
452129, 1eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (ℝ D 𝐷) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
453452adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (ℝ D 𝐷) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
454209adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
455 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
456397, 398, 409, 450, 451, 453, 454, 455fourierdlem39 45457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ((((π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) / π‘Ÿ)) βˆ’ ((π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))) / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) / π‘Ÿ)) dπ‘₯))
457408, 456eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ((((π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) / π‘Ÿ)) βˆ’ ((π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))) / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) / π‘Ÿ)) dπ‘₯))
458379, 380, 396, 457syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ((((π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) / π‘Ÿ)) βˆ’ ((π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))) / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) / π‘Ÿ)) dπ‘₯))
459458fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) = (absβ€˜((((π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) / π‘Ÿ)) βˆ’ ((π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))) / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) / π‘Ÿ)) dπ‘₯)))
460459breq1d 5152 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ ((absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (absβ€˜((((π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) / π‘Ÿ)) βˆ’ ((π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))) / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < (𝑒 / 𝑀)))
461460ralbidva 3170 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜((((π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) / π‘Ÿ)) βˆ’ ((π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))) / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < (𝑒 / 𝑀)))
462461rexbidva 3171 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ↔ βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜((((π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) / π‘Ÿ)) βˆ’ ((π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))) / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < (𝑒 / 𝑀)))
463462adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ↔ βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜((((π·β€˜(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) / π‘Ÿ)) βˆ’ ((π·β€˜(π‘„β€˜π‘–)) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))) / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(((ℝ D 𝐷)β€˜π‘₯) Β· -((cosβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < (𝑒 / 𝑀)))
464378, 463mpbird 257 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
465464an32s 651 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
46694oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) = ((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))
467466itgeq2dv 25698 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
468467eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
469468adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
47014adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
47117adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
472399adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
473381recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
474473ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
475403adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
476474, 475mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
477476sincld 16098 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
478472, 477mulcld 11256 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
479470, 471, 478itgioo 25732 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
48060adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
481480, 477mulcld 11256 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
482470, 471, 481itgioo 25732 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
483469, 479, 4823eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
484483fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) = (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯))
485484breq1d 5152 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)) β†’ ((absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)))
486485ralbidva 3170 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)))
487486adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)))
488487rexbidv 3173 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((π·β€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ↔ βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)))
489465, 488mpbid 231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
490489ralrimiva 3141 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
491490ralrimiva 3141 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
492 nfv 1910 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
493 nfra1 3276 . . . . . . 7 β„²π‘–βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)
494492, 493nfan 1895 . . . . . 6 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
495 nfv 1910 . . . . . . 7 β„²π‘Ÿ(πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
496 nfcv 2898 . . . . . . . 8 β„²π‘Ÿ(0..^𝑀)
497 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿβ„•
498 nfra1 3276 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿβˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)
499497, 498nfrexw 3305 . . . . . . . 8 β„²π‘Ÿβˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)
500496, 499nfralw 3303 . . . . . . 7 β„²π‘Ÿβˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)
501495, 500nfan 1895 . . . . . 6 β„²π‘Ÿ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
502 nfmpt1 5250 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({π‘š ∈ β„• ∣ βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
503 fzofi 13963 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ∈ Fin
504503a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) β†’ (0..^𝑀) ∈ Fin)
505 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
506 eqid 2727 . . . . . 6 {π‘š ∈ β„• ∣ βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)} = {π‘š ∈ β„• ∣ βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)}
507 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({π‘š ∈ β„• ∣ βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({π‘š ∈ β„• ∣ βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < ))
508 eqid 2727 . . . . . 6 sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({π‘š ∈ β„• ∣ βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < ) = sup(ran (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ inf({π‘š ∈ β„• ∣ βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)}, ℝ, < )), ℝ, < )
509494, 501, 502, 504, 505, 506, 507, 508fourierdlem31 45449 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
510 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
511 nfv 1910 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
512 nfre1 3277 . . . . . . . 8 β„²π‘›βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)
513511, 512nfan 1895 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
514 nfv 1910 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘Ÿ 𝑛 ∈ β„•
515 nfra1 3276 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘Ÿβˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)
516495, 514, 515nf3an 1897 . . . . . . . . . 10 β„²π‘Ÿ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
517 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ πœ‘)
518 elioore 13378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
519518adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
520 0red 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ 0 ∈ ℝ)
521 nnre 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
522521adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
523 nngt0 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑛)
524523adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ 0 < 𝑛)
525522rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ*)
526389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
527 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞))
528 ioogtlb 44803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ 𝑛 < π‘Ÿ)
529525, 526, 527, 528syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ 𝑛 < π‘Ÿ)
530520, 522, 519, 524, 529lttrd 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ 0 < π‘Ÿ)
531519, 530elrpd 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
532531adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
5337adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5348adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
53527ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
536535adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
537401ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
5389sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
539538recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
540539adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
541537, 540mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
542541sincld 16098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
543536, 542mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
544533, 534, 543itgioo 25732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
545 fourierdlem73.q0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
546545eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘„β€˜0))
547 fourierdlem73.qm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
548547eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘„β€˜π‘€))
549546, 548oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
550549adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴[,]𝐡) = ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
551550itgeq1d 45268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
552 0zd 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ β„€)
553 nnuz 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
554 0p1e1 12356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 + 1) = 1
555554fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜1)
556553, 555eqtr4i 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„• = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
557346, 556eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)))
558557adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)))
55910adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
560136adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
561 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
562549eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)) = (𝐴[,]𝐡))
563562adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)) = (𝐴[,]𝐡))
564561, 563eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
565564adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
566565, 543syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
56714adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
56817adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
569106, 103sstrd 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
570113, 569feqresmpt 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
571570, 446eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
572571adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
573 sincn 26368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
574573a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
575180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
576401adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
577184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
578575, 576, 577constcncfg 45183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Ÿ) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
579189adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘₯) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
580578, 579mulcncf 25361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
581580adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
582574, 581cncfmpt1f 24821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
583572, 582mulcncf 25361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
584 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
585 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))
586 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))))
58727ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
58836ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
58938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5906ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
591 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
592588, 589, 590, 591, 72fourierdlem1 45419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
593587, 592ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
594593adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
595576ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
596307adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
597595, 596mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
598597sincld 16098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
599570oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
60024, 599eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
601600adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
602 rpre 13006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
603602adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
60487adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
605603, 604remulcld 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
606605adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
607606ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ (π‘Ÿ Β· π‘₯) β‰  (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
608 recn 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
609608sincld 16098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
610609adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (sinβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
611 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Ÿ) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Ÿ)
612 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘₯) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘₯)
613 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘Ÿ Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘Ÿ Β· π‘₯))
614180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
615576adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
616568recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
617611, 614, 615, 616constlimc 44935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Ÿ ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Ÿ) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
618614, 612, 616idlimc 44937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘₯) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
619611, 612, 613, 595, 596, 617, 618mullimc 44927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘Ÿ Β· π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
620 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘¦))
621 sinf 16092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 sin:β„‚βŸΆβ„‚
622621a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⊀ β†’ sin:β„‚βŸΆβ„‚)
623622feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⊀ β†’ sin = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘¦)))
624623, 573eqeltrrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘¦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
6254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊀ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
626 resincl 16108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
627626adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (sinβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
628620, 624, 625, 625, 627cncfmptssg 45182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜π‘¦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
629628mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜π‘¦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
630629a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜π‘¦)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
631602ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
632631, 568remulcld 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
633 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (sinβ€˜π‘¦) = (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
634630, 632, 633cnmptlimc 25806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜π‘¦)) limβ„‚ (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
635 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (π‘Ÿ Β· π‘₯) β†’ (sinβ€˜π‘¦) = (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))
636 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Ÿ Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
637636ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ (π‘Ÿ Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
638607, 610, 619, 634, 635, 637limcco 25809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
639584, 585, 586, 594, 598, 601, 638mullimc 44927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐿 Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))) ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
640570oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
64120, 640eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
642641adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
643606ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ (π‘Ÿ Β· π‘₯) β‰  (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–)))) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
644567recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ β„‚)
645611, 614, 615, 644constlimc 44935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Ÿ ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Ÿ) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
646614, 612, 644idlimc 44937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘₯) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
647611, 612, 613, 595, 596, 645, 646mullimc 44927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘Ÿ Β· π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
648631, 567remulcld 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–)) ∈ ℝ)
649 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (sinβ€˜π‘¦) = (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))))
650630, 648, 649cnmptlimc 25806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜π‘¦)) limβ„‚ (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))))
651 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Ÿ Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–)) β†’ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))))
652651ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∧ (π‘Ÿ Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–)))) β†’ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) = (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))))
653643, 610, 647, 650, 635, 652limcco 25809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
654584, 585, 586, 594, 598, 642, 653mullimc 44927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑅 Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· (π‘„β€˜π‘–)))) ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
655567, 568, 583, 639, 654iblcncfioo 45289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
656 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+))
65759adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
658656, 657, 543syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
659567, 568, 655, 658ibliooicc 45282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
660552, 558, 559, 560, 566, 659itgspltprt 45290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ∫((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
661544, 551, 6603eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
662517, 532, 661syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
663503a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ (0..^𝑀) ∈ Fin)
66460adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
665518recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
666665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
667666ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
668403adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
669667, 668mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Ÿ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
670669sincld 16098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
671664, 670mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
672671adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
673 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ πœ‘)
674532adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
675 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
676673, 674, 675, 659syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
677672, 676itgcl 25700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ β„‚)
678663, 677fsumcl 15703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ β„‚)
679662, 678eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ β„‚)
680679adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ β„‚)
6816803adantl3 1166 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ β„‚)
682681abscld 15407 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) ∈ ℝ)
683677abscld 15407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) ∈ ℝ)
684663, 683fsumrecl 15704 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) ∈ ℝ)
685684adantllr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) ∈ ℝ)
6866853adantl3 1166 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) ∈ ℝ)
687 rpre 13006 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
688687ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
6896883ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
690662fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) = (absβ€˜Ξ£π‘– ∈ (0..^𝑀)∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯))
691663, 677fsumabs 15771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘– ∈ (0..^𝑀)∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) ≀ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯))
692690, 691eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) ≀ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯))
693692adantllr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) ≀ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯))
6946933adantl3 1166 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) ≀ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯))
695503a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ (0..^𝑀) ∈ Fin)
696 0zd 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
697346nnzd 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
698346nngt0d 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
699 fzolb 13662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑀))
700696, 697, 698, 699syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑀))
701 ne0i 4330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ (0..^𝑀) β†’ (0..^𝑀) β‰  βˆ…)
702700, 701syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (0..^𝑀) β‰  βˆ…)
703702ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ (0..^𝑀) β‰  βˆ…)
7047033ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ (0..^𝑀) β‰  βˆ…)
705 simp1l 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) β†’ πœ‘)
706705ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ πœ‘)
707 simpll2 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
708706, 707jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•))
709 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞))
710 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
711 eleq1w 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))
712711anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))))
713 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
714 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
715714fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑗 + 1)))
716713, 715oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1))))
717716itgeq1d 45268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
718717eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 β†’ (∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ β„‚ ↔ ∫((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ β„‚))
719712, 718imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ β„‚) ↔ ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ β„‚)))
720719, 677chvarvv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ β„‚)
721708, 709, 710, 720syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ∫((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ ∈ β„‚)
722721abscld 15407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) ∈ ℝ)
723349rpred 13040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
7247233ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) β†’ (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
725724ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑒 / 𝑀) ∈ ℝ)
726 simpll3 1212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
727 rspa 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
728727adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
729717fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 β†’ (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) = (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯))
730729breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ↔ (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)))
731730cbvralvw 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ↔ βˆ€π‘— ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
732728, 731sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
733 rspa 3240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘— ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
734732, 733sylancom 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
735726, 709, 710, 734syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀))
736695, 704, 722, 725, 735fsumlt 15770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀))
737 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–))
738 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
739738fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
740737, 739oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1))) = ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
741740itgeq1d 45268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 β†’ ∫((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
742741fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 β†’ (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) = (absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯))
743742cbvsumv 15666 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯)
744743a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘—)[,](π‘„β€˜(𝑗 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯))
745349rpcnd 13042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 / 𝑀) ∈ β„‚)
746 fsumconst 15760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑒 / 𝑀) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((β™―β€˜(0..^𝑀)) Β· (𝑒 / 𝑀)))
747503, 745, 746sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = ((β™―β€˜(0..^𝑀)) Β· (𝑒 / 𝑀)))
748346nnnn0d 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
749 hashfzo0 14413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0..^𝑀)) = 𝑀)
750748, 749syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0..^𝑀)) = 𝑀)
751750oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(0..^𝑀)) Β· (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 Β· (𝑒 / 𝑀)))
752751adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ ((β™―β€˜(0..^𝑀)) Β· (𝑒 / 𝑀)) = (𝑀 Β· (𝑒 / 𝑀)))
753345rpcnd 13042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
754348rpcnd 13042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
755348rpne0d 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 β‰  0)
756753, 754, 755divcan2d 12014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 Β· (𝑒 / 𝑀)) = 𝑒)
757747, 752, 7563eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
758757adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
7597583ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝑒 / 𝑀) = 𝑒)
760736, 744, 7593brtr3d 5173 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < 𝑒)
761682, 686, 689, 694, 760lelttrd 11394 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < 𝑒)
762761ex 412 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) β†’ (π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < 𝑒))
763516, 762ralrimi 3249 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < 𝑒)
7647633exp 1117 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < 𝑒)))
765764adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < 𝑒)))
766513, 765reximdai 3253 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < 𝑒))
767510, 766mpd 15 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < 𝑒)
768509, 767syldan 590 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < 𝑒)
769768ex 412 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < 𝑒))
770769ralimdva 3162 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜βˆ«((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < (𝑒 / 𝑀) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < 𝑒))
771491, 770mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑛(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝐴(,)𝐡)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(π‘Ÿ Β· π‘₯))) dπ‘₯) < 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βŠ€wtru 1535   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  supcsup 9455  infcinf 9456  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  +∞cpnf 11267  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  β„+crp 12998  (,)cioo 13348  [,]cicc 13351  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  βŒŠcfl 13779  β™―chash 14313  abscabs 15205  Ξ£csu 15656  sincsin 16031  cosccos 16032  TopOpenctopn 17394  topGenctg 17410  β„‚fldccnfld 21266  Topctop 22782  intcnt 22908  β€“cnβ†’ccncf 24783  volcvol 25379  πΏ1cibl 25533  βˆ«citg 25534   limβ„‚ climc 25778   D cdv 25779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-ibl 25538  df-itg 25539  df-0p 25586  df-limc 25782  df-dv 25783
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  45520  fourierdlem104  45521
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