Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioolem1 44944
Description: Given a function with bounded derivative, on an open interval, here is an absolute bound to the difference of the image of two points in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioolem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem1.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
dvbdfbdioolem1.dmdv (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
dvbdfbdioolem1.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem1.dvbd (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝐾)
dvbdfbdioolem1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
dvbdfbdioolem1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢(,)𝐡))
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioolem1 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) ≀ (𝐾 Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) ≀ (𝐾 Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem dvbdfbdioolem1
StepHypRef Expression
1 ioossre 13390 . . . 4 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
2 dvbdfbdioolem1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
31, 2sselid 3981 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
4 ioossre 13390 . . . 4 (𝐢(,)𝐡) βŠ† ℝ
5 dvbdfbdioolem1.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢(,)𝐡))
64, 5sselid 3981 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
73rexrd 11269 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
8 dvbdfbdioolem1.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
98rexrd 11269 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
10 ioogtlb 44508 . . . 4 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ (𝐢(,)𝐡)) β†’ 𝐢 < 𝐷)
117, 9, 5, 10syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 < 𝐷)
12 dvbdfbdioolem1.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1312rexrd 11269 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
14 ioogtlb 44508 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝐢)
1513, 9, 2, 14syl3anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐢)
16 iooltub 44523 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ (𝐢(,)𝐡)) β†’ 𝐷 < 𝐡)
177, 9, 5, 16syl3anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 < 𝐡)
18 iccssioo 13398 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐢 ∧ 𝐷 < 𝐡)) β†’ (𝐢[,]𝐷) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
1913, 9, 15, 17, 18syl22anc 836 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢[,]𝐷) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
20 dvbdfbdioolem1.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
21 ax-resscn 11170 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
2221a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
2320, 22fssd 6736 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
241a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
25 dvbdfbdioolem1.dmdv . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
26 dvcn 25671 . . . . . . 7 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
2722, 23, 24, 25, 26syl31anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
28 cncfcdm 24639 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
2922, 27, 28syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
3020, 29mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
31 rescncf 24638 . . . 4 ((𝐢[,]𝐷) βŠ† (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)) ∈ ((𝐢[,]𝐷)–cn→ℝ)))
3219, 30, 31sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)) ∈ ((𝐢[,]𝐷)–cn→ℝ))
3319, 24sstrd 3993 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢[,]𝐷) βŠ† ℝ)
34 eqid 2731 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3534tgioo2 24540 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
3634, 35dvres 25661 . . . . . . 7 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚) ∧ ((𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ ∧ (𝐢[,]𝐷) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢[,]𝐷))))
3722, 23, 24, 33, 36syl22anc 836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢[,]𝐷))))
38 iccntr 24558 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢[,]𝐷)) = (𝐢(,)𝐷))
393, 6, 38syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢[,]𝐷)) = (𝐢(,)𝐷))
4039reseq2d 5982 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)))
4137, 40eqtrd 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)))
4241dmeqd 5906 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)))
4312, 3, 15ltled 11367 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐢)
446, 8, 17ltled 11367 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ 𝐡)
45 ioossioo 13423 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≀ 𝐢 ∧ 𝐷 ≀ 𝐡)) β†’ (𝐢(,)𝐷) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4613, 9, 43, 44, 45syl22anc 836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)𝐷) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4746, 25sseqtrrd 4024 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)𝐷) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
48 ssdmres 6005 . . . . 5 ((𝐢(,)𝐷) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) = (𝐢(,)𝐷))
4947, 48sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) = (𝐢(,)𝐷))
5042, 49eqtrd 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))) = (𝐢(,)𝐷))
513, 6, 11, 32, 50mvth 25742 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯) = ((((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
5241fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐢(,)𝐷))β€˜π‘₯))
53 fvres 6911 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐢(,)𝐷))β€˜π‘₯) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5452, 53sylan9eq 2791 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
5554eqcomd 2737 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯))
56553adant3 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯) = ((((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯))
57 simp3 1137 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯) = ((((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯) = ((((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
586rexrd 11269 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ*)
593, 6, 11ltled 11367 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ 𝐷)
60 ubicc2 13447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ≀ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ (𝐢[,]𝐷))
617, 58, 59, 60syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢[,]𝐷))
62 fvres 6911 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (𝐢[,]𝐷) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) = (πΉβ€˜π·))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) = (πΉβ€˜π·))
64 lbicc2 13446 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ≀ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ (𝐢[,]𝐷))
657, 58, 59, 64syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐢[,]𝐷))
66 fvres 6911 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (𝐢[,]𝐷) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ) = (πΉβ€˜πΆ))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ) = (πΉβ€˜πΆ))
6863, 67oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ)) = ((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)))
6968oveq1d 7427 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢)) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
70693ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯) = ((((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢)) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
7156, 57, 703eqtrd 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯) = ((((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
72 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
7372eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢)) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
7419, 61sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐡))
7520, 74ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π·) ∈ ℝ)
7620, 2ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
7775, 76resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ ℝ)
7877recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
79783ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ ((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
80 dvfre 25701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
8120, 24, 80syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
8225feq2d 6704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
8381, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
8546sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
8684, 85ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8786recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
88873adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
896, 3resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
9089recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
91903ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
923, 6posdifd 11806 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐢 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
9311, 92mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐷 βˆ’ 𝐢))
9493gt0ne0d 11783 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
95943ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
9679, 88, 91, 95divmul3d 12029 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ ((((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢)) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) = (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢))))
9773, 96mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ ((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) = (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
9897fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = (absβ€˜(((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢))))
9990adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
10087, 99absmuld 15406 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢))) = ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢))))
1011003adant3 1131 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢))) = ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢))))
10298, 101eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢))))
1033, 6, 59abssubge0d 15383 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)) = (𝐷 βˆ’ 𝐢))
104103oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢))) = ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
1051043ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢))) = ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
106102, 105eqtrd 2771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
10787abscld 15388 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
108 dvbdfbdioolem1.k . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
109108adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
11089adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
111 0red 11222 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
112111, 89, 93ltled 11367 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐢))
113112adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ 0 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐢))
114 dvbdfbdioolem1.dvbd . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝐾)
115114adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝐾)
116 rspa 3244 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝐾)
117115, 85, 116syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝐾)
118107, 109, 110, 113, 117lemul1ad 12158 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)) ≀ (𝐾 Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
1191183adant3 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)) ≀ (𝐾 Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
120106, 119eqbrtrd 5171 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) ≀ (𝐾 Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
12171, 120syld3an3 1408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯) = ((((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) ≀ (𝐾 Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
12299abscld 15388 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ)
1238, 12resubcld 11647 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
124123adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
12587absge0d 15396 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
12699absge0d 15396 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)))
1276, 12, 8, 3, 44, 43le2subd 11839 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
128103, 127eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
129128adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
130107, 109, 122, 124, 125, 126, 117, 129lemul12ad 12161 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)) β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢))) ≀ (𝐾 Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
1311303adant3 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢))) ≀ (𝐾 Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
132102, 131eqbrtrd 5171 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) ≀ (𝐾 Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
13371, 132syld3an3 1408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯) = ((((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) ≀ (𝐾 Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
134121, 133jca 511 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯) = ((((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) ≀ (𝐾 Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) ≀ (𝐾 Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
135134rexlimdv3a 3158 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))β€˜π‘₯) = ((((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜π·) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))β€˜πΆ)) / (𝐷 βˆ’ 𝐢)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) ≀ (𝐾 Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) ≀ (𝐾 Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
13651, 135mpd 15 1 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) ≀ (𝐾 Β· (𝐷 βˆ’ 𝐢)) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π·) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) ≀ (𝐾 Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113   Β· cmul 11118  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  abscabs 15186  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  β„‚fldccnfld 21145  intcnt 22742  β€“cnβ†’ccncf 24617   D cdv 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  dvbdfbdioolem2  44945  ioodvbdlimc1lem1  44947  ioodvbdlimc1lem2  44948  ioodvbdlimc2lem  44950
  Copyright terms: Public domain W3C validator