HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssabloi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssabloi 28674
Description: Abelian group property of subspace addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssabl.1 𝐻S
Assertion
Ref Expression
hhssabloi ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp

Proof of Theorem hhssabloi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssabl.1 . . . 4 𝐻S
21hhssabloilem 28673 . . 3 ( + ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + )
32simp2i 1176 . 2 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
41shssii 28625 . . . . 5 𝐻 ⊆ ℋ
5 xpss12 5357 . . . . 5 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
64, 4, 5mp2an 685 . . . 4 (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
7 ax-hfvadd 28412 . . . . 5 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
87fdmi 6288 . . . 4 dom + = ( ℋ × ℋ)
96, 8sseqtr4i 3863 . . 3 (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +
10 ssdmres 5656 . . 3 ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom + ↔ dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
119, 10mpbi 222 . 2 dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
121sheli 28626 . . . 4 (𝑥𝐻𝑥 ∈ ℋ)
131sheli 28626 . . . 4 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ℋ)
14 ax-hvcom 28413 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
1512, 13, 14syl2an 591 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
16 ovres 7060 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
17 ovres 7060 . . . 4 ((𝑦𝐻𝑥𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 + 𝑥))
1817ancoms 452 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 + 𝑥))
1915, 16, 183eqtr4d 2871 . 2 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥))
203, 11, 19isabloi 27961 1 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wss 3798   × cxp 5340  dom cdm 5342  cres 5344  (class class class)co 6905  GrpOpcgr 27899  AbelOpcablo 27954  chba 28331   + cva 28332   S csh 28340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-hilex 28411  ax-hfvadd 28412  ax-hvcom 28413  ax-hvass 28414  ax-hv0cl 28415  ax-hvaddid 28416  ax-hfvmul 28417  ax-hvmulid 28418  ax-hvmulass 28419  ax-hvdistr1 28420  ax-hvdistr2 28421  ax-hvmul0 28422  ax-hfi 28491  ax-his1 28494  ax-his2 28495  ax-his3 28496  ax-his4 28497
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-grpo 27903  df-gid 27904  df-ginv 27905  df-ablo 27955  df-vc 27969  df-nv 28002  df-va 28005  df-ba 28006  df-sm 28007  df-0v 28008  df-nmcv 28010  df-hnorm 28380  df-hba 28381  df-hvsub 28383  df-sh 28619
This theorem is referenced by:  hhssablo  28675  hhssnv  28676
  Copyright terms: Public domain W3C validator