HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssabloi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssabloi 31024
Description: Abelian group property of subspace addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssabl.1 𝐻S
Assertion
Ref Expression
hhssabloi ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp

Proof of Theorem hhssabloi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssabl.1 . . . 4 𝐻S
21hhssabloilem 31023 . . 3 ( + ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + )
32simp2i 1137 . 2 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
41shssii 30975 . . . . 5 𝐻 ⊆ ℋ
5 xpss12 5684 . . . . 5 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
64, 4, 5mp2an 689 . . . 4 (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
7 ax-hfvadd 30762 . . . . 5 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
87fdmi 6723 . . . 4 dom + = ( ℋ × ℋ)
96, 8sseqtrri 4014 . . 3 (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +
10 ssdmres 5998 . . 3 ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom + ↔ dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
119, 10mpbi 229 . 2 dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
121sheli 30976 . . . 4 (𝑥𝐻𝑥 ∈ ℋ)
131sheli 30976 . . . 4 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ℋ)
14 ax-hvcom 30763 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
1512, 13, 14syl2an 595 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
16 ovres 7570 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
17 ovres 7570 . . . 4 ((𝑦𝐻𝑥𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 + 𝑥))
1817ancoms 458 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 + 𝑥))
1915, 16, 183eqtr4d 2776 . 2 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥))
203, 11, 19isabloi 30313 1 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3943   × cxp 5667  dom cdm 5669  cres 5671  (class class class)co 7405  GrpOpcgr 30251  AbelOpcablo 30306  chba 30681   + cva 30682   S csh 30690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-nmcv 30362  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-sh 30969
This theorem is referenced by:  hhssablo  31025  hhssnv  31026
  Copyright terms: Public domain W3C validator