Theorem hhssabloi 31595

Description: Abelian group property of subspace addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhssabl.1	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssabloi	⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp

Proof of Theorem hhssabloi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssabl.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
2	1	hhssabloilem 31594	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ )
3	2	simp2i 1158	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
4	1	shssii 31546	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
5		xpss12 5678	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
6	4, 4, 5	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
7		ax-hfvadd 31333	. . . . 5 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
8	7	fdmi 6719	. . . 4 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
9	6, 8	sseqtrri 3987	. . 3 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ
10		ssdmres 6014	. . 3 ⊢ ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ ↔ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
11	9, 10	mpbi 233	. 2 ⊢ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
12	1	sheli 31547	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → 𝑥 ∈ ℋ)
13	1	sheli 31547	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
14		ax-hvcom 31334	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
15	12, 13, 14	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
16		ovres 7578	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
17		ovres 7578	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
18	17	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
19	15, 16, 18	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥))
20	3, 11, 19	isabloi 30884	1 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906   × cxp 5661  dom cdm 5663   ↾ cres 5665  (class class class)co 7412  GrpOpcgr 30822  AbelOpcablo 30877   ℋchba 31252   +_ℎ cva 31253   S_ℋ csh 31261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-hilex 31332  ax-hfvadd 31333  ax-hvcom 31334  ax-hvass 31335  ax-hv0cl 31336  ax-hvaddid 31337  ax-hfvmul 31338  ax-hvmulid 31339  ax-hvmulass 31340  ax-hvdistr1 31341  ax-hvdistr2 31342  ax-hvmul0 31343  ax-hfi 31412  ax-his1 31415  ax-his2 31416  ax-his3 31417  ax-his4 31418

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-grpo 30826  df-gid 30827  df-ginv 30828  df-ablo 30878  df-vc 30892  df-nv 30925  df-va 30928  df-ba 30929  df-sm 30930  df-0v 30931  df-nmcv 30933  df-hnorm 31301  df-hba 31302  df-hvsub 31304  df-sh 31540

This theorem is referenced by:  hhssablo  31596  hhssnv  31597