HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssabloi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssabloi 31281
Description: Abelian group property of subspace addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssabl.1 𝐻S
Assertion
Ref Expression
hhssabloi ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp

Proof of Theorem hhssabloi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssabl.1 . . . 4 𝐻S
21hhssabloilem 31280 . . 3 ( + ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + )
32simp2i 1141 . 2 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
41shssii 31232 . . . . 5 𝐻 ⊆ ℋ
5 xpss12 5700 . . . . 5 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
64, 4, 5mp2an 692 . . . 4 (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
7 ax-hfvadd 31019 . . . . 5 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
87fdmi 6747 . . . 4 dom + = ( ℋ × ℋ)
96, 8sseqtrri 4033 . . 3 (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +
10 ssdmres 6031 . . 3 ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom + ↔ dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
119, 10mpbi 230 . 2 dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
121sheli 31233 . . . 4 (𝑥𝐻𝑥 ∈ ℋ)
131sheli 31233 . . . 4 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ℋ)
14 ax-hvcom 31020 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
1512, 13, 14syl2an 596 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
16 ovres 7599 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
17 ovres 7599 . . . 4 ((𝑦𝐻𝑥𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 + 𝑥))
1817ancoms 458 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 + 𝑥))
1915, 16, 183eqtr4d 2787 . 2 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥))
203, 11, 19isabloi 30570 1 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951   × cxp 5683  dom cdm 5685  cres 5687  (class class class)co 7431  GrpOpcgr 30508  AbelOpcablo 30563  chba 30938   + cva 30939   S csh 30947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-nmcv 30619  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-sh 31226
This theorem is referenced by:  hhssablo  31282  hhssnv  31283
  Copyright terms: Public domain W3C validator