HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssabloi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssabloi 28955
Description: Abelian group property of subspace addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssabl.1 𝐻S
Assertion
Ref Expression
hhssabloi ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp

Proof of Theorem hhssabloi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssabl.1 . . . 4 𝐻S
21hhssabloilem 28954 . . 3 ( + ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + )
32simp2i 1134 . 2 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
41shssii 28906 . . . . 5 𝐻 ⊆ ℋ
5 xpss12 5568 . . . . 5 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
64, 4, 5mp2an 688 . . . 4 (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
7 ax-hfvadd 28693 . . . . 5 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
87fdmi 6520 . . . 4 dom + = ( ℋ × ℋ)
96, 8sseqtrri 4007 . . 3 (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +
10 ssdmres 5874 . . 3 ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom + ↔ dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
119, 10mpbi 231 . 2 dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
121sheli 28907 . . . 4 (𝑥𝐻𝑥 ∈ ℋ)
131sheli 28907 . . . 4 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ℋ)
14 ax-hvcom 28694 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
1512, 13, 14syl2an 595 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
16 ovres 7307 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
17 ovres 7307 . . . 4 ((𝑦𝐻𝑥𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 + 𝑥))
1817ancoms 459 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 + 𝑥))
1915, 16, 183eqtr4d 2870 . 2 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥))
203, 11, 19isabloi 28244 1 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3939   × cxp 5551  dom cdm 5553  cres 5555  (class class class)co 7151  GrpOpcgr 28182  AbelOpcablo 28237  chba 28612   + cva 28613   S csh 28621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-hilex 28692  ax-hfvadd 28693  ax-hvcom 28694  ax-hvass 28695  ax-hv0cl 28696  ax-hvaddid 28697  ax-hfvmul 28698  ax-hvmulid 28699  ax-hvmulass 28700  ax-hvdistr1 28701  ax-hvdistr2 28702  ax-hvmul0 28703  ax-hfi 28772  ax-his1 28775  ax-his2 28776  ax-his3 28777  ax-his4 28778
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-grpo 28186  df-gid 28187  df-ginv 28188  df-ablo 28238  df-vc 28252  df-nv 28285  df-va 28288  df-ba 28289  df-sm 28290  df-0v 28291  df-nmcv 28293  df-hnorm 28661  df-hba 28662  df-hvsub 28664  df-sh 28900
This theorem is referenced by:  hhssablo  28956  hhssnv  28957
  Copyright terms: Public domain W3C validator