Theorem hhssabloi 31290

Description: Abelian group property of subspace addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhssabl.1	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssabloi	⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp

Proof of Theorem hhssabloi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssabl.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
2	1	hhssabloilem 31289	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ )
3	2	simp2i 1139	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
4	1	shssii 31241	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
5		xpss12 5703	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
6	4, 4, 5	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
7		ax-hfvadd 31028	. . . . 5 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
8	7	fdmi 6747	. . . 4 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
9	6, 8	sseqtrri 4032	. . 3 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ
10		ssdmres 6032	. . 3 ⊢ ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ ↔ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
11	9, 10	mpbi 230	. 2 ⊢ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
12	1	sheli 31242	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → 𝑥 ∈ ℋ)
13	1	sheli 31242	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
14		ax-hvcom 31029	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
15	12, 13, 14	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
16		ovres 7598	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
17		ovres 7598	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
18	17	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
19	15, 16, 18	3eqtr4d 2784	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥))
20	3, 11, 19	isabloi 30579	1 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962   × cxp 5686  dom cdm 5688   ↾ cres 5690  (class class class)co 7430  GrpOpcgr 30517  AbelOpcablo 30572   ℋchba 30947   +_ℎ cva 30948   S_ℋ csh 30956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-nmcv 30628  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-sh 31235

This theorem is referenced by:  hhssablo  31291  hhssnv  31292