Theorem hhssabloi 31519

Description: Abelian group property of subspace addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhssabl.1	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssabloi	⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp

Proof of Theorem hhssabloi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssabl.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
2	1	hhssabloilem 31518	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ )
3	2	simp2i 1156	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
4	1	shssii 31470	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
5		xpss12 5666	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
6	4, 4, 5	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
7		ax-hfvadd 31257	. . . . 5 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
8	7	fdmi 6707	. . . 4 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
9	6, 8	sseqtrri 3988	. . 3 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ
10		ssdmres 6002	. . 3 ⊢ ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ ↔ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
11	9, 10	mpbi 233	. 2 ⊢ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
12	1	sheli 31471	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → 𝑥 ∈ ℋ)
13	1	sheli 31471	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
14		ax-hvcom 31258	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
15	12, 13, 14	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
16		ovres 7566	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
17		ovres 7566	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
18	17	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
19	15, 16, 18	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥))
20	3, 11, 19	isabloi 30808	1 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   × cxp 5649  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  (class class class)co 7400  GrpOpcgr 30746  AbelOpcablo 30801   ℋchba 31176   +_ℎ cva 31177   S_ℋ csh 31185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-hilex 31256  ax-hfvadd 31257  ax-hvcom 31258  ax-hvass 31259  ax-hv0cl 31260  ax-hvaddid 31261  ax-hfvmul 31262  ax-hvmulid 31263  ax-hvmulass 31264  ax-hvdistr1 31265  ax-hvdistr2 31266  ax-hvmul0 31267  ax-hfi 31336  ax-his1 31339  ax-his2 31340  ax-his3 31341  ax-his4 31342

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-grpo 30750  df-gid 30751  df-ginv 30752  df-ablo 30802  df-vc 30816  df-nv 30849  df-va 30852  df-ba 30853  df-sm 30854  df-0v 30855  df-nmcv 30857  df-hnorm 31225  df-hba 31226  df-hvsub 31228  df-sh 31464

This theorem is referenced by:  hhssablo  31520  hhssnv  31521