Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupres 44294
Description: The superior limit of a restriction is less than or equal to the original superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupres.1 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
limsupres (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupres
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . 3 𝑘𝜑
2 resimass 43815 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
43ssrind 4233 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ → (((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
54adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
6 inss2 4227 . . . . . 6 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
76a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
85, 7sstrd 3990 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
98supxrcld 43667 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
107supxrcld 43667 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11 supxrss 13298 . . . 4 (((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*) → sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
125, 7, 11syl2anc 585 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
131, 9, 10, 12infrnmptle 44006 . 2 (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14 limsupres.1 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
1514resexd 6023 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ V)
16 eqid 2733 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
1716limsupval 15405 . . . 4 ((𝐹𝐶) ∈ V → (lim sup‘(𝐹𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1815, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
19 eqid 2733 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2019limsupval 15405 . . . 4 (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
2114, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
2218, 21breq12d 5157 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝐹𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
2313, 22mpbird 257 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cin 3945  wss 3946   class class class wbr 5144  cmpt 5227  ran crn 5673  cres 5674  cima 5675  cfv 6535  (class class class)co 7396  supcsup 9422  infcinf 9423  cr 11096  +∞cpnf 11232  *cxr 11234   < clt 11235  cle 11236  [,)cico 13313  lim supclsp 15401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9424  df-inf 9425  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-limsup 15402
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator