Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupres 42713
 Description: The superior limit of a restriction is less than or equal to the original superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupres.1 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
limsupres (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupres
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . 3 𝑘𝜑
2 resimass 42244 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
43ssrind 4140 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ → (((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
54adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
6 inss2 4134 . . . . . 6 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
76a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
85, 7sstrd 3902 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
98supxrcld 42116 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
107supxrcld 42116 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11 supxrss 12766 . . . 4 (((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*) → sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
125, 7, 11syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
131, 9, 10, 12infrnmptle 42426 . 2 (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14 limsupres.1 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
1514resexd 5870 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ V)
16 eqid 2758 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
1716limsupval 14879 . . . 4 ((𝐹𝐶) ∈ V → (lim sup‘(𝐹𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1815, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
19 eqid 2758 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2019limsupval 14879 . . . 4 (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
2114, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
2218, 21breq12d 5045 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝐹𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
2313, 22mpbird 260 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ran crn 5525   ↾ cres 5526   “ cima 5527  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  supcsup 8937  infcinf 8938  ℝcr 10574  +∞cpnf 10710  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714  [,)cico 12781  lim supclsp 14875 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-limsup 14876 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator