Theorem limsupres 46162

Description: The superior limit of a restriction is less than or equal to the original superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupres.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
limsupres	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupres

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		resimass 45698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
4	3	ssrind 4175	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5	4	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
6		inss2 4169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
8	5, 7	sstrd 3927	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
9	8	supxrcld 45568	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	7	supxrcld 45568	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11		supxrss 13279	. . . 4 ⊢ (((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*) → sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
12	5, 7, 11	syl2anc 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
13	1, 9, 10, 12	infrnmptle 45880	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14		limsupres.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
15	14	resexd 5987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ V)
16		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
17	16	limsupval 15431	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ V → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
19		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
20	19	limsupval 15431	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
21	14, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
22	18, 21	breq12d 5088	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
23	13, 22	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ran crn 5622   ↾ cres 5623   “ cima 5624  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  supcsup 9347  infcinf 9348  ℝcr 11032  +∞cpnf 11171  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ≤ cle 11175  [,)cico 13295  lim supclsp 15427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-limsup 15428

This theorem is referenced by: (None)