Theorem limsupres 45720

Description: The superior limit of a restriction is less than or equal to the original superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupres.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
limsupres	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupres

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		resimass 45246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
4	3	ssrind 4244	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
6		inss2 4238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
8	5, 7	sstrd 3994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
9	8	supxrcld 45112	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	7	supxrcld 45112	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11		supxrss 13374	. . . 4 ⊢ (((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*) → sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
12	5, 7, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
13	1, 9, 10, 12	infrnmptle 45434	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14		limsupres.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
15	14	resexd 6046	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ V)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
17	16	limsupval 15510	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ V → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
20	19	limsupval 15510	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
21	14, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
22	18, 21	breq12d 5156	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
23	13, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686   ↾ cres 5687   “ cima 5688  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  infcinf 9481  ℝcr 11154  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  [,)cico 13389  lim supclsp 15506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-limsup 15507

This theorem is referenced by: (None)