Theorem limsupres 46151

Description: The superior limit of a restriction is less than or equal to the original superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupres.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
limsupres	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupres

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		resimass 45687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
4	3	ssrind 4185	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
6		inss2 4179	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
8	5, 7	sstrd 3933	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
9	8	supxrcld 45555	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	7	supxrcld 45555	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11		supxrss 13275	. . . 4 ⊢ (((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*) → sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
12	5, 7, 11	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
13	1, 9, 10, 12	infrnmptle 45869	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14		limsupres.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
15	14	resexd 5987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ V)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
17	16	limsupval 15427	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ V → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
20	19	limsupval 15427	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
21	14, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
22	18, 21	breq12d 5099	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
23	13, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5625   ↾ cres 5626   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  supcsup 9346  infcinf 9347  ℝcr 11028  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  [,)cico 13291  lim supclsp 15423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-limsup 15424

This theorem is referenced by: (None)