Theorem chebbnd1lem1 26723

Description: Lemma for chebbnd1 26726: show a lower bound on π(𝑥) at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 26547. (Note that the expression 𝐾 is actually equal to 2 · 𝑁, but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 26538, which shows that each term in the expansion ((2 · 𝑁)C𝑁) = ∏𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) is at most 2 · 𝑁, so that the sum really only has nonzero elements up to 2 · 𝑁, and since each term is at most 2 · 𝑁, after taking logs we get the inequality π(2 · 𝑁) · log(2 · 𝑁) ≤ log((2 · 𝑁)C𝑁), and bclbnd 26534 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
chebbnd1lem1.1	⊢ 𝐾 = if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁))

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1lem1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))

Proof of Theorem chebbnd1lem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12162	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
2		eluznn 12764	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12399	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		nnexpcl 13901	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
6	1, 4, 5	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnrpd 12876	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (4↑𝑁) ∈ ℝ+)
8	3	nnrpd 12876	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ+)
9	7, 8	rpdivcld 12895	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ+)
10	9	relogcld 25884	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
11		fzctr 13474	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
12	4, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
13		bccl2 14143	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 12876	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ+)
16	15	relogcld 25884	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℝ)
17		2z 12458	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		eluzelz 12698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		zmulcl 12475	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
21	20	zred 12532	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22		ppicl 26386	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
24	23	nn0red 12400	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
25		2nn 12152	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
26		nnmulcl 12103	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
27	25, 3, 26	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 12876	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
29	28	relogcld 25884	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
30	24, 29	remulcld 11111	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
31		bclbnd 26534	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
32		logltb 25861	. . . 4 ⊢ ((((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ+) → (((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁))))
33	9, 15, 32	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁))))
34	31, 33	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
35		chebbnd1lem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁))
36	27, 14	ifcld 4524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
37	35, 36	eqeltrid 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ∈ ℕ)
38	37	nnred 12094	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ∈ ℝ)
39		ppicl 26386	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (π‘𝐾) ∈ ℕ0)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘𝐾) ∈ ℕ0)
41	40	nn0red 12400	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘𝐾) ∈ ℝ)
42	41, 29	remulcld 11111	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
43		fzfid 13799	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (1...𝐾) ∈ Fin)
44		inss1 4180	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐾)
45		ssfi 9043	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐾)) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin)
46	43, 44, 45	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin)
47	37	nnzd 12531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ∈ ℤ)
48	14	nnzd 12531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
49	14	nnred 12094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
50		min2 13030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
51	21, 49, 50	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
52	35, 51	eqbrtrid 5132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
53		eluz2 12694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
54	47, 48, 52, 53	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
55		fzss2 13402	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (1...𝐾) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (1...𝐾) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
57	56	ssrind 4187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
58	57	sselda 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
59		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
60	59	elin1d 4150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
61		elfznn 13391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
63	59	elin2d 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
64	14	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
65	63, 64	pccld 16649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
66	62, 65	nnexpcld 14066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
67	66	nnrpd 12876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ+)
68	67	relogcld 25884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ)
69	58, 68	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ)
70	29	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
71		elinel2 4148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
72		bposlem1 26538	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
73	3, 71, 72	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
74	58, 67	syldan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ+)
75	74	reeflogd 25885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) = (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
76	28	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
77	76	reeflogd 25885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
78	73, 75, 77	3brtr4d 5129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))))
79		efle 15927	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ ∧ (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ) → ((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)) ↔ (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁)))))
80	69, 70, 79	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → ((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)) ↔ (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁)))))
81	78, 80	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)))
82	46, 69, 70, 81	fsumle 15611	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)))
83	68	recnd 11109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℂ)
84	58, 83	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℂ)
85		eldifn 4079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
86	85	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
87		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)))
88	87	eldifad 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
89	88	elin1d 4150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
90	89, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
91	90	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
92	91	nnred 12094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℝ)
93	88, 66	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
94	93	nnred 12094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
95	94	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
96	21	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
97	91	nncnd 12095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
98	97	exp1d 13965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑1) = 𝑘)
99	91	nnge1d 12127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑘)
100		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
101		nnuz 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
102	100, 101	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ (ℤ≥‘1))
103	92, 99, 102	leexp2ad 14077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑1) ≤ (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
104	98, 103	eqbrtrrd 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
105	3	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
106	88	elin2d 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℙ)
107	106	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
108	105, 107, 72	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
109	92, 95, 96, 104, 108	letrd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ (2 · 𝑁))
110		elfzle2 13366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
111	89, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
112	111	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
113	49	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
114		lemin 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ↔ (𝑘 ≤ (2 · 𝑁) ∧ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))))
115	92, 96, 113, 114	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ↔ (𝑘 ≤ (2 · 𝑁) ∧ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))))
116	109, 112, 115	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)))
117	116, 35	breqtrrdi 5139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
118	37	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℕ)
119	118	nnzd 12531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
120		fznn 13430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝐾)))
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝐾)))
122	91, 117, 121	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
123	122, 107	elind 4146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
124	123	expr 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)))
125	86, 124	mtod 197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ¬ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
126	88, 65	syldan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
127		elnn0 12341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ ∨ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
128	126, 127	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ ∨ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
129	128	ord 862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (¬ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
130	125, 129	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
131	130	oveq2d 7358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = (𝑘↑0))
132	90	nncnd 12095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
133	132	exp0d 13964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑0) = 1)
134	131, 133	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = 1)
135	134	fveq2d 6834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = (log‘1))
136		log1 25847	. . . . . . 7 ⊢ (log‘1) = 0
137	135, 136	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = 0)
138		fzfid 13799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ Fin)
139		inss1 4180	. . . . . . 7 ⊢ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁))
140		ssfi 9043	. . . . . . 7 ⊢ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ Fin ∧ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁))) → ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
141	138, 139, 140	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
142	57, 84, 137, 141	fsumss 15537	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))))
143	62	nnrpd 12876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
144	65	nn0zd 12530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
145		relogexp 25857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
146	143, 144, 145	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
147	146	sumeq2dv 15515	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
148		pclogsum 26469	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
149	14, 148	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
150	142, 147, 149	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
151	29	recnd 11109	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
152		fsumconst 15602	. . . . . 6 ⊢ ((((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
153	46, 151, 152	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
154		2eluzge1 12740	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
155		ppival2g 26384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘1)) → (π‘𝐾) = (♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)))
156	47, 154, 155	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘𝐾) = (♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)))
157	156	oveq1d 7357	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
158	153, 157	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))))
159	82, 150, 158	3brtr3d 5128	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))))
160		min1 13029	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
161	21, 49, 160	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
162	35, 161	eqbrtrid 5132	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ≤ (2 · 𝑁))
163		ppiwordi 26417	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (2 · 𝑁)) → (π‘𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)))
164	38, 21, 162, 163	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)))
165		1red 11082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 1 ∈ ℝ)
166		2re 12153	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
167	166	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ∈ ℝ)
168		1lt2 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
169	168	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 1 < 2)
170		2t1e2 12242	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
171	3	nnge1d 12127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 1 ≤ 𝑁)
172		eluzelre 12699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ)
173		2pos 12182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
174	166, 173	pm3.2i 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
176		lemul2 11934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
177	165, 172, 175, 176	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
178	171, 177	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
179	170, 178	eqbrtrrid 5133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ≤ (2 · 𝑁))
180	165, 167, 21, 169, 179	ltletrd 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 1 < (2 · 𝑁))
181	21, 180	rplogcld 25890	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
182	41, 24, 181	lemul1d 12921	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)) ↔ ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁)))))
183	164, 182	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
184	16, 42, 30, 159, 183	letrd 11238	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
185	10, 16, 30, 34, 184	ltletrd 11241	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ifcif 4478   class class class wbr 5097  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  Fincfn 8809  ℂcc 10975  ℝcr 10976  0cc0 10977  1c1 10978   · cmul 10982   < clt 11115   ≤ cle 11116   / cdiv 11738  ℕcn 12079  2c2 12134  4c4 12136  ℕ₀cn0 12339  ℤcz 12425  ℤ_≥cuz 12688  ℝ⁺crp 12836  ...cfz 13345  ↑cexp 13888  Ccbc 14122  ♯chash 14150  Σcsu 15497  expce 15871  ℙcprime 16474   pCnt cpc 16635  logclog 25816  πcppi 26349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-addf 11056  ax-mulf 11057

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-oadd 8376  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-fi 9273  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-xnn0 12412  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-xneg 12954  df-xadd 12955  df-xmul 12956  df-ioo 13189  df-ioc 13190  df-ico 13191  df-icc 13192  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-fl 13618  df-mod 13696  df-seq 13828  df-exp 13889  df-fac 14094  df-bc 14123  df-hash 14151  df-shft 14878  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-limsup 15280  df-clim 15297  df-rlim 15298  df-sum 15498  df-ef 15877  df-sin 15879  df-cos 15880  df-pi 15882  df-dvds 16064  df-gcd 16302  df-prm 16475  df-pc 16636  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-pt 17253  df-prds 17256  df-xrs 17311  df-qtop 17316  df-imas 17317  df-xps 17319  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-mulg 18798  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-haus 22572  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-limc 25136  df-dv 25137  df-log 25818  df-ppi 26355

This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  26725