Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1lem1 25627
 Description: Lemma for chebbnd1 25630: show a lower bound on π(𝑥) at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 25481. (Note that the expression 𝐾 is actually equal to 2 · 𝑁, but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 25472, which shows that each term in the expansion ((2 · 𝑁)C𝑁) = ∏𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) is at most 2 · 𝑁, so that the sum really only has nonzero elements up to 2 · 𝑁, and since each term is at most 2 · 𝑁, after taking logs we get the inequality π(2 · 𝑁) · log(2 · 𝑁) ≤ log((2 · 𝑁)C𝑁), and bclbnd 25468 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem1.1 𝐾 = if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁))
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem1 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))

Proof of Theorem chebbnd1lem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 11464 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
2 eluznn 12070 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑁 ∈ ℕ)
31, 2mpan 680 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11707 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5 nnexpcl 13196 . . . . . 6 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
61, 4, 5sylancr 581 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
76nnrpd 12184 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (4↑𝑁) ∈ ℝ+)
83nnrpd 12184 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℝ+)
97, 8rpdivcld 12203 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ+)
109relogcld 24817 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
11 fzctr 12775 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
124, 11syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
13 bccl2 13434 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
1514nnrpd 12184 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ+)
1615relogcld 24817 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℝ)
17 2z 11766 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
18 eluzelz 12007 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 zmulcl 11783 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
2017, 18, 19sylancr 581 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
2120zred 11839 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22 ppicl 25320 . . . . 5 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
2423nn0red 11708 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
25 2nn 11453 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
26 nnmulcl 11404 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
2725, 3, 26sylancr 581 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
2827nnrpd 12184 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2928relogcld 24817 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
3024, 29remulcld 10409 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
31 bclbnd 25468 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
32 logltb 24794 . . . 4 ((((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ+) → (((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁))))
339, 15, 32syl2anc 579 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁))))
3431, 33mpbid 224 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
35 chebbnd1lem1.1 . . . . . . . 8 𝐾 = if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁))
3627, 14ifcld 4352 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
3735, 36syl5eqel 2863 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ∈ ℕ)
3837nnred 11396 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ∈ ℝ)
39 ppicl 25320 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ → (π𝐾) ∈ ℕ0)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π𝐾) ∈ ℕ0)
4140nn0red 11708 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π𝐾) ∈ ℝ)
4241, 29remulcld 10409 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
43 fzfid 13096 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (1...𝐾) ∈ Fin)
44 inss1 4053 . . . . . 6 ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐾)
45 ssfi 8470 . . . . . 6 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐾)) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 580 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4737nnzd 11838 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ∈ ℤ)
4814nnzd 11838 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
4914nnred 11396 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
50 min2 12338 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
5121, 49, 50syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
5235, 51syl5eqbr 4923 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
53 eluz2 12003 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
5447, 48, 52, 53syl3anbrc 1400 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ𝐾))
55 fzss2 12703 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ𝐾) → (1...𝐾) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (1...𝐾) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
5756ssrind 4060 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
5857sselda 3821 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
59 inss1 4053 . . . . . . . . . . 11 ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁))
60 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
6159, 60sseldi 3819 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
62 elfznn 12692 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
64 inss2 4054 . . . . . . . . . . 11 ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
6564, 60sseldi 3819 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
6614adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
6765, 66pccld 15970 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
6863, 67nnexpcld 13357 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
6968nnrpd 12184 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ+)
7069relogcld 24817 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ)
7158, 70syldan 585 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ)
7229adantr 474 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
73 elin 4019 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ℙ))
7473simprbi 492 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
75 bposlem1 25472 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
763, 74, 75syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
7758, 69syldan 585 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ+)
7877reeflogd 24818 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) = (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
7928adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
8079reeflogd 24818 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
8176, 78, 803brtr4d 4920 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))))
82 efle 15259 . . . . . . 7 (((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ ∧ (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ) → ((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)) ↔ (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁)))))
8371, 72, 82syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → ((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)) ↔ (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁)))))
8481, 83mpbird 249 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)))
8546, 71, 72, 84fsumle 14944 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)))
8670recnd 10407 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℂ)
8758, 86syldan 585 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℂ)
88 eldifn 3956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
8988adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
90 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)))
9190eldifad 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
9259, 91sseldi 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
9392, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
9493adantrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
9594nnred 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℝ)
9691, 68syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
9796nnred 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
9897adantrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
9921adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10094nncnd 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
101100exp1d 13327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑1) = 𝑘)
10294nnge1d 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑘)
103 simprr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
104 nnuz 12034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ = (ℤ‘1)
105103, 104syl6eleq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ (ℤ‘1))
10695, 102, 105leexp2ad 13368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑1) ≤ (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
107101, 106eqbrtrrd 4912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
1083adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
10964, 91sseldi 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℙ)
110109adantrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
111108, 110, 75syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
11295, 98, 99, 107, 111letrd 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ (2 · 𝑁))
113 elfzle2 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
11492, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
115114adantrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
11649adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
117 lemin 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ↔ (𝑘 ≤ (2 · 𝑁) ∧ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))))
11895, 99, 116, 117syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ↔ (𝑘 ≤ (2 · 𝑁) ∧ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))))
119112, 115, 118mpbir2and 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)))
120119, 35syl6breqr 4930 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘𝐾)
12137adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℕ)
122121nnzd 11838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
123 fznn 12731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝐾)))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝐾)))
12594, 120, 124mpbir2and 703 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
126125, 110elind 4021 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
127126expr 450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)))
12889, 127mtod 190 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ¬ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
12991, 67syldan 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
130 elnn0 11649 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ ∨ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
131129, 130sylib 210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ ∨ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
132131ord 853 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (¬ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
133128, 132mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
134133oveq2d 6940 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = (𝑘↑0))
13593nncnd 11397 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
136135exp0d 13326 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑0) = 1)
137134, 136eqtrd 2814 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = 1)
138137fveq2d 6452 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = (log‘1))
139 log1 24780 . . . . . . 7 (log‘1) = 0
140138, 139syl6eq 2830 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = 0)
141 fzfid 13096 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ Fin)
142 ssfi 8470 . . . . . . 7 (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ Fin ∧ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁))) → ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
143141, 59, 142sylancl 580 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
14457, 87, 140, 143fsumss 14872 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))))
14563nnrpd 12184 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
14667nn0zd 11837 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
147 relogexp 24790 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
148145, 146, 147syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
149148sumeq2dv 14850 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
150 pclogsum 25403 . . . . . 6 (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
15114, 150syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
152144, 149, 1513eqtrd 2818 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
15329recnd 10407 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
154 fsumconst 14935 . . . . . 6 ((((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
15546, 153, 154syl2anc 579 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
156 2eluzge1 12045 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘1)
157 ppival2g 25318 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ‘1)) → (π𝐾) = (♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)))
15847, 156, 157sylancl 580 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π𝐾) = (♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)))
159158oveq1d 6939 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
160155, 159eqtr4d 2817 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))))
16185, 152, 1603brtr3d 4919 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))))
162 min1 12337 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
16321, 49, 162syl2anc 579 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
16435, 163syl5eqbr 4923 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ≤ (2 · 𝑁))
165 ppiwordi 25351 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (2 · 𝑁)) → (π𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)))
16638, 21, 164, 165syl3anc 1439 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)))
167 1red 10379 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 1 ∈ ℝ)
168 2re 11454 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
169168a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 2 ∈ ℝ)
170 1lt2 11558 . . . . . . . 8 1 < 2
171170a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 1 < 2)
172 2t1e2 11550 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
1733nnge1d 11428 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 1 ≤ 𝑁)
174 eluzelre 12008 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℝ)
175 2pos 11490 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
176168, 175pm3.2i 464 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
177176a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
178 lemul2 11233 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
179167, 174, 177, 178syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
180173, 179mpbid 224 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
181172, 180syl5eqbrr 4924 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 2 ≤ (2 · 𝑁))
182167, 169, 21, 171, 181ltletrd 10538 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 1 < (2 · 𝑁))
18321, 182rplogcld 24823 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
18441, 24, 183lemul1d 12229 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)) ↔ ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁)))))
185166, 184mpbid 224 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
18616, 42, 30, 161, 185letrd 10535 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
18710, 16, 30, 34, 186ltletrd 10538 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3789   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ifcif 4307   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  ℂcc 10272  ℝcr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   · cmul 10279   < clt 10413   ≤ cle 10414   / cdiv 11035  ℕcn 11379  2c2 11435  4c4 11437  ℕ0cn0 11647  ℤcz 11733  ℤ≥cuz 11997  ℝ+crp 12142  ...cfz 12648  ↑cexp 13183  Ccbc 13413  ♯chash 13441  Σcsu 14833  expce 15203  ℙcprime 15800   pCnt cpc 15956  logclog 24749  πcppi 25283 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-ioo 12496  df-ioc 12497  df-ico 12498  df-icc 12499  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-fl 12917  df-mod 12993  df-seq 13125  df-exp 13184  df-fac 13385  df-bc 13414  df-hash 13442  df-shft 14220  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-limsup 14619  df-clim 14636  df-rlim 14637  df-sum 14834  df-ef 15209  df-sin 15211  df-cos 15212  df-pi 15214  df-dvds 15397  df-gcd 15633  df-prm 15801  df-pc 15957  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-hom 16373  df-cco 16374  df-rest 16480  df-topn 16481  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-topgen 16501  df-pt 16502  df-prds 16505  df-xrs 16559  df-qtop 16564  df-imas 16565  df-xps 16567  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-mulg 17939  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-fbas 20150  df-fg 20151  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cld 21242  df-ntr 21243  df-cls 21244  df-nei 21321  df-lp 21359  df-perf 21360  df-cn 21450  df-cnp 21451  df-haus 21538  df-tx 21785  df-hmeo 21978  df-fil 22069  df-fm 22161  df-flim 22162  df-flf 22163  df-xms 22544  df-ms 22545  df-tms 22546  df-cncf 23100  df-limc 24078  df-dv 24079  df-log 24751  df-ppi 25289 This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  25629
 Copyright terms: Public domain W3C validator