MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1lem1 26979
Description: Lemma for chebbnd1 26982: show a lower bound on ฯ€(๐‘ฅ) at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 26803. (Note that the expression ๐พ is actually equal to 2 ยท ๐‘, but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 26794, which shows that each term in the expansion ((2 ยท ๐‘)C๐‘) = โˆ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) is at most 2 ยท ๐‘, so that the sum really only has nonzero elements up to 2 ยท ๐‘, and since each term is at most 2 ยท ๐‘, after taking logs we get the inequality ฯ€(2 ยท ๐‘) ยท log(2 ยท ๐‘) โ‰ค log((2 ยท ๐‘)C๐‘), and bclbnd 26790 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem1.1 ๐พ = if((2 ยท ๐‘) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘), (2 ยท ๐‘), ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (logโ€˜((4โ†‘๐‘) / ๐‘)) < ((ฯ€โ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))))

Proof of Theorem chebbnd1lem1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 12297 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„•
2 eluznn 12904 . . . . . . . 8 ((4 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
31, 2mpan 688 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
43nnnn0d 12534 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
5 nnexpcl 14042 . . . . . 6 ((4 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (4โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
61, 4, 5sylancr 587 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (4โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
76nnrpd 13016 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (4โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+)
83nnrpd 13016 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
97, 8rpdivcld 13035 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((4โ†‘๐‘) / ๐‘) โˆˆ โ„+)
109relogcld 26138 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (logโ€˜((4โ†‘๐‘) / ๐‘)) โˆˆ โ„)
11 fzctr 13615 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
124, 11syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
13 bccl2 14285 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„•)
1412, 13syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„•)
1514nnrpd 13016 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„+)
1615relogcld 26138 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (logโ€˜((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„)
17 2z 12596 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
18 eluzelz 12834 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
19 zmulcl 12613 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2017, 18, 19sylancr 587 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2120zred 12668 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
22 ppicl 26642 . . . . 5 ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯ€โ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„•0)
2321, 22syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (ฯ€โ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„•0)
2423nn0red 12535 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (ฯ€โ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
25 2nn 12287 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
26 nnmulcl 12238 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
2725, 3, 26sylancr 587 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
2827nnrpd 13016 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
2928relogcld 26138 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
3024, 29remulcld 11246 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((ฯ€โ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ โ„)
31 bclbnd 26790 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((4โ†‘๐‘) / ๐‘) < ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
32 logltb 26115 . . . 4 ((((4โ†‘๐‘) / ๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„+) โ†’ (((4โ†‘๐‘) / ๐‘) < ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โ†” (logโ€˜((4โ†‘๐‘) / ๐‘)) < (logโ€˜((2 ยท ๐‘)C๐‘))))
339, 15, 32syl2anc 584 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (((4โ†‘๐‘) / ๐‘) < ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โ†” (logโ€˜((4โ†‘๐‘) / ๐‘)) < (logโ€˜((2 ยท ๐‘)C๐‘))))
3431, 33mpbid 231 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (logโ€˜((4โ†‘๐‘) / ๐‘)) < (logโ€˜((2 ยท ๐‘)C๐‘)))
35 chebbnd1lem1.1 . . . . . . . 8 ๐พ = if((2 ยท ๐‘) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘), (2 ยท ๐‘), ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
3627, 14ifcld 4574 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ if((2 ยท ๐‘) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘), (2 ยท ๐‘), ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)
3735, 36eqeltrid 2837 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
3837nnred 12229 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
39 ppicl 26642 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (ฯ€โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (ฯ€โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0)
4140nn0red 12535 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (ฯ€โ€˜๐พ) โˆˆ โ„)
4241, 29remulcld 11246 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((ฯ€โ€˜๐พ) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ โ„)
43 fzfid 13940 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (1...๐พ) โˆˆ Fin)
44 inss1 4228 . . . . . 6 ((1...๐พ) โˆฉ โ„™) โŠ† (1...๐พ)
45 ssfi 9175 . . . . . 6 (((1...๐พ) โˆˆ Fin โˆง ((1...๐พ) โˆฉ โ„™) โŠ† (1...๐พ)) โ†’ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™) โˆˆ Fin)
4643, 44, 45sylancl 586 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™) โˆˆ Fin)
4737nnzd 12587 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
4814nnzd 12587 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„ค)
4914nnred 12229 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„)
50 min2 13171 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ if((2 ยท ๐‘) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘), (2 ยท ๐‘), ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
5121, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ if((2 ยท ๐‘) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘), (2 ยท ๐‘), ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
5235, 51eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐พ โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
53 eluz2 12830 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†” (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))
5447, 48, 52, 53syl3anbrc 1343 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ))
55 fzss2 13543 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (1...๐พ) โŠ† (1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (1...๐พ) โŠ† (1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)))
5756ssrind 4235 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™) โŠ† ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™))
5857sselda 3982 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™))
59 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™))
6059elin1d 4198 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)))
61 elfznn 13532 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
6359elin2d 4199 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„™)
6414adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„•)
6563, 64pccld 16785 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•0)
6662, 65nnexpcld 14210 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โˆˆ โ„•)
6766nnrpd 13016 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โˆˆ โ„+)
6867relogcld 26138 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) โˆˆ โ„)
6958, 68syldan 591 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) โˆˆ โ„)
7029adantr 481 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
71 elinel2 4196 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„™)
72 bposlem1 26794 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
733, 71, 72syl2an 596 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
7458, 67syldan 591 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โˆˆ โ„+)
7574reeflogd 26139 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))))) = (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))))
7628adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
7776reeflogd 26139 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(2 ยท ๐‘))) = (2 ยท ๐‘))
7873, 75, 773brtr4d 5180 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))))) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜(2 ยท ๐‘))))
79 efle 16063 . . . . . . 7 (((logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) โ‰ค (logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ†” (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))))) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
8069, 70, 79syl2anc 584 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) โ‰ค (logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ†” (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))))) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
8178, 80mpbird 256 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) โ‰ค (logโ€˜(2 ยท ๐‘)))
8246, 69, 70, 81fsumle 15747 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(2 ยท ๐‘)))
8368recnd 11244 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) โˆˆ โ„‚)
8458, 83syldan 591 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) โˆˆ โ„‚)
85 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))
8685adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))
87 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)))
8887eldifad 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™))
8988elin1d 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)))
9089, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
9190adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
9291nnred 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
9388, 66syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โˆˆ โ„•)
9493nnred 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โˆˆ โ„)
9594adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โˆˆ โ„)
9621adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
9791nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
9897exp1d 14108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘˜โ†‘1) = ๐‘˜)
9991nnge1d 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘˜)
100 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)
101 nnuz 12867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
102100, 101eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
10392, 99, 102leexp2ad 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘˜โ†‘1) โ‰ค (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))))
10498, 103eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))))
1053adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
10688elin2d 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„™)
107106adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„™)
108105, 107, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
10992, 95, 96, 104, 108letrd 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (2 ยท ๐‘))
110 elfzle2 13507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
11189, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
112111adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
11349adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„)
114 lemin 13173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค if((2 ยท ๐‘) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘), (2 ยท ๐‘), ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โ†” (๐‘˜ โ‰ค (2 ยท ๐‘) โˆง ๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))))
11592, 96, 113, 114syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค if((2 ยท ๐‘) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘), (2 ยท ๐‘), ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โ†” (๐‘˜ โ‰ค (2 ยท ๐‘) โˆง ๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))))
116109, 112, 115mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค if((2 ยท ๐‘) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘), (2 ยท ๐‘), ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))
117116, 35breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ๐พ)
11837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
119118nnzd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
120 fznn 13571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...๐พ) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐พ)))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...๐พ) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐พ)))
12291, 117, 121mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (1...๐พ))
123122, 107elind 4194 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))
124123expr 457 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ ((๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)))
12586, 124mtod 197 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ ยฌ (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•)
12688, 65syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•0)
127 elnn0 12476 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = 0))
128126, 127sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ ((๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = 0))
129128ord 862 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ (ยฌ (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = 0))
130125, 129mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = 0)
131130oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) = (๐‘˜โ†‘0))
13290nncnd 12230 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
133132exp0d 14107 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ (๐‘˜โ†‘0) = 1)
134131, 133eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ (๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) = 1)
135134fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ (logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) = (logโ€˜1))
136 log1 26101 . . . . . . 7 (logโ€˜1) = 0
137135, 136eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆ– ((1...๐พ) โˆฉ โ„™))) โ†’ (logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) = 0)
138 fzfid 13940 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ Fin)
139 inss1 4228 . . . . . . 7 ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โŠ† (1...((2 ยท ๐‘)C๐‘))
140 ssfi 9175 . . . . . . 7 (((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ Fin โˆง ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โŠ† (1...((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โ†’ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆˆ Fin)
141138, 139, 140sylancl 586 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™) โˆˆ Fin)
14257, 84, 137, 141fsumss 15673 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))))
14362nnrpd 13016 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
14465nn0zd 12586 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„ค)
145 relogexp 26111 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) = ((๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
146143, 144, 145syl2anc 584 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) = ((๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
147146sumeq2dv 15651 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)((๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
148 pclogsum 26725 . . . . . 6 (((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)((๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) ยท (logโ€˜๐‘˜)) = (logโ€˜((2 ยท ๐‘)C๐‘)))
14914, 148syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1...((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆฉ โ„™)((๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) ยท (logโ€˜๐‘˜)) = (logโ€˜((2 ยท ๐‘)C๐‘)))
150142, 147, 1493eqtrd 2776 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(๐‘˜โ†‘(๐‘˜ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)))) = (logโ€˜((2 ยท ๐‘)C๐‘)))
15129recnd 11244 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
152 fsumconst 15738 . . . . . 6 ((((1...๐พ) โˆฉ โ„™) โˆˆ Fin โˆง (logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(2 ยท ๐‘)) = ((โ™ฏโ€˜((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))))
15346, 151, 152syl2anc 584 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(2 ยท ๐‘)) = ((โ™ฏโ€˜((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))))
154 2eluzge1 12880 . . . . . . 7 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
155 ppival2g 26640 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (ฯ€โ€˜๐พ) = (โ™ฏโ€˜((1...๐พ) โˆฉ โ„™)))
15647, 154, 155sylancl 586 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (ฯ€โ€˜๐พ) = (โ™ฏโ€˜((1...๐พ) โˆฉ โ„™)))
157156oveq1d 7426 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((ฯ€โ€˜๐พ) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))) = ((โ™ฏโ€˜((1...๐พ) โˆฉ โ„™)) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))))
158153, 157eqtr4d 2775 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐พ) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(2 ยท ๐‘)) = ((ฯ€โ€˜๐พ) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))))
15982, 150, 1583brtr3d 5179 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (logโ€˜((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โ‰ค ((ฯ€โ€˜๐พ) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))))
160 min1 13170 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ if((2 ยท ๐‘) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘), (2 ยท ๐‘), ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
16121, 49, 160syl2anc 584 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ if((2 ยท ๐‘) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘), (2 ยท ๐‘), ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
16235, 161eqbrtrid 5183 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐พ โ‰ค (2 ยท ๐‘))
163 ppiwordi 26673 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค (2 ยท ๐‘)) โ†’ (ฯ€โ€˜๐พ) โ‰ค (ฯ€โ€˜(2 ยท ๐‘)))
16438, 21, 162, 163syl3anc 1371 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (ฯ€โ€˜๐พ) โ‰ค (ฯ€โ€˜(2 ยท ๐‘)))
165 1red 11217 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
166 2re 12288 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
167166a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
168 1lt2 12385 . . . . . . . 8 1 < 2
169168a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ 1 < 2)
170 2t1e2 12377 . . . . . . . 8 (2 ยท 1) = 2
1713nnge1d 12262 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
172 eluzelre 12835 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
173 2pos 12317 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
174166, 173pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
175174a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
176 lemul2 12069 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
177165, 172, 175, 176syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
178171, 177mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
179170, 178eqbrtrrid 5184 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ 2 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
180165, 167, 21, 169, 179ltletrd 11376 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ 1 < (2 ยท ๐‘))
18121, 180rplogcld 26144 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„+)
18241, 24, 181lemul1d 13061 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((ฯ€โ€˜๐พ) โ‰ค (ฯ€โ€˜(2 ยท ๐‘)) โ†” ((ฯ€โ€˜๐พ) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))) โ‰ค ((ฯ€โ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
183164, 182mpbid 231 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((ฯ€โ€˜๐พ) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))) โ‰ค ((ฯ€โ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))))
18416, 42, 30, 159, 183letrd 11373 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (logโ€˜((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โ‰ค ((ฯ€โ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))))
18510, 16, 30, 34, 184ltletrd 11376 1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (logโ€˜((4โ†‘๐‘) / ๐‘)) < ((ฯ€โ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (logโ€˜(2 ยท ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โˆ– cdif 3945   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  4c4 12271  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  โ„+crp 12976  ...cfz 13486  โ†‘cexp 14029  Ccbc 14264  โ™ฏchash 14292  ฮฃcsu 15634  expce 16007  โ„™cprime 16610   pCnt cpc 16771  logclog 26070  ฯ€cppi 26605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-ppi 26611
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  26981
  Copyright terms: Public domain W3C validator