Theorem chebbnd1lem1 27387

Description: Lemma for chebbnd1 27390: show a lower bound on π(𝑥) at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 27211. (Note that the expression 𝐾 is actually equal to 2 · 𝑁, but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 27202, which shows that each term in the expansion ((2 · 𝑁)C𝑁) = ∏𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) is at most 2 · 𝑁, so that the sum really only has nonzero elements up to 2 · 𝑁, and since each term is at most 2 · 𝑁, after taking logs we get the inequality π(2 · 𝑁) · log(2 · 𝑁) ≤ log((2 · 𝑁)C𝑁), and bclbnd 27198 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
chebbnd1lem1.1	⊢ 𝐾 = if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁))

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1lem1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))

Proof of Theorem chebbnd1lem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12276	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
2		eluznn 12884	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12510	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		nnexpcl 14046	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
6	1, 4, 5	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnrpd 13000	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (4↑𝑁) ∈ ℝ+)
8	3	nnrpd 13000	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ+)
9	7, 8	rpdivcld 13019	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ+)
10	9	relogcld 26539	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
11		fzctr 13608	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
12	4, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
13		bccl2 14295	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 13000	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ+)
16	15	relogcld 26539	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℝ)
17		2z 12572	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		eluzelz 12810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		zmulcl 12589	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
21	20	zred 12645	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22		ppicl 27048	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
24	23	nn0red 12511	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
25		2nn 12266	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
26		nnmulcl 12217	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
27	25, 3, 26	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 13000	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
29	28	relogcld 26539	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
30	24, 29	remulcld 11211	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
31		bclbnd 27198	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
32		logltb 26516	. . . 4 ⊢ ((((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ+) → (((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁))))
33	9, 15, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁))))
34	31, 33	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
35		chebbnd1lem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁))
36	27, 14	ifcld 4538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
37	35, 36	eqeltrid 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ∈ ℕ)
38	37	nnred 12208	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ∈ ℝ)
39		ppicl 27048	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (π‘𝐾) ∈ ℕ0)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘𝐾) ∈ ℕ0)
41	40	nn0red 12511	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘𝐾) ∈ ℝ)
42	41, 29	remulcld 11211	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
43		fzfid 13945	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (1...𝐾) ∈ Fin)
44		inss1 4203	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐾)
45		ssfi 9143	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐾)) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin)
46	43, 44, 45	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin)
47	37	nnzd 12563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ∈ ℤ)
48	14	nnzd 12563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
49	14	nnred 12208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
50		min2 13157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
51	21, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
52	35, 51	eqbrtrid 5145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
53		eluz2 12806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
54	47, 48, 52, 53	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
55		fzss2 13532	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (1...𝐾) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (1...𝐾) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
57	56	ssrind 4210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
58	57	sselda 3949	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
59		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
60	59	elin1d 4170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
61		elfznn 13521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
63	59	elin2d 4171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
64	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
65	63, 64	pccld 16828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
66	62, 65	nnexpcld 14217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
67	66	nnrpd 13000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ+)
68	67	relogcld 26539	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ)
69	58, 68	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ)
70	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
71		elinel2 4168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
72		bposlem1 27202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
73	3, 71, 72	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
74	58, 67	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ+)
75	74	reeflogd 26540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) = (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
76	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
77	76	reeflogd 26540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
78	73, 75, 77	3brtr4d 5142	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))))
79		efle 16093	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ ∧ (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ) → ((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)) ↔ (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁)))))
80	69, 70, 79	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → ((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)) ↔ (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁)))))
81	78, 80	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)))
82	46, 69, 70, 81	fsumle 15772	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)))
83	68	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℂ)
84	58, 83	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℂ)
85		eldifn 4098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
87		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)))
88	87	eldifad 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
89	88	elin1d 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
90	89, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
91	90	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
92	91	nnred 12208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℝ)
93	88, 66	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
94	93	nnred 12208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
95	94	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
96	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
97	91	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
98	97	exp1d 14113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑1) = 𝑘)
99	91	nnge1d 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑘)
100		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
101		nnuz 12843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
102	100, 101	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ (ℤ≥‘1))
103	92, 99, 102	leexp2ad 14226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑1) ≤ (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
104	98, 103	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
105	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
106	88	elin2d 4171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℙ)
107	106	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
108	105, 107, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
109	92, 95, 96, 104, 108	letrd 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ (2 · 𝑁))
110		elfzle2 13496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
111	89, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
112	111	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
113	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
114		lemin 13159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ↔ (𝑘 ≤ (2 · 𝑁) ∧ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))))
115	92, 96, 113, 114	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ↔ (𝑘 ≤ (2 · 𝑁) ∧ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))))
116	109, 112, 115	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)))
117	116, 35	breqtrrdi 5152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
118	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℕ)
119	118	nnzd 12563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
120		fznn 13560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝐾)))
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝐾)))
122	91, 117, 121	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
123	122, 107	elind 4166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
124	123	expr 456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)))
125	86, 124	mtod 198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ¬ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
126	88, 65	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
127		elnn0 12451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ ∨ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
128	126, 127	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ ∨ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
129	128	ord 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (¬ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
130	125, 129	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
131	130	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = (𝑘↑0))
132	90	nncnd 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
133	132	exp0d 14112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑0) = 1)
134	131, 133	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = 1)
135	134	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = (log‘1))
136		log1 26501	. . . . . . 7 ⊢ (log‘1) = 0
137	135, 136	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = 0)
138		fzfid 13945	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ Fin)
139		inss1 4203	. . . . . . 7 ⊢ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁))
140		ssfi 9143	. . . . . . 7 ⊢ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ Fin ∧ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁))) → ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
141	138, 139, 140	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
142	57, 84, 137, 141	fsumss 15698	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))))
143	62	nnrpd 13000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
144	65	nn0zd 12562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
145		relogexp 26512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
146	143, 144, 145	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
147	146	sumeq2dv 15675	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
148		pclogsum 27133	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
149	14, 148	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
150	142, 147, 149	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
151	29	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
152		fsumconst 15763	. . . . . 6 ⊢ ((((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
153	46, 151, 152	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
154		2eluzge1 12848	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
155		ppival2g 27046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘1)) → (π‘𝐾) = (♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)))
156	47, 154, 155	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘𝐾) = (♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)))
157	156	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
158	153, 157	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))))
159	82, 150, 158	3brtr3d 5141	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))))
160		min1 13156	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
161	21, 49, 160	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
162	35, 161	eqbrtrid 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ≤ (2 · 𝑁))
163		ppiwordi 27079	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (2 · 𝑁)) → (π‘𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)))
164	38, 21, 162, 163	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)))
165		1red 11182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 1 ∈ ℝ)
166		2re 12267	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
167	166	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ∈ ℝ)
168		1lt2 12359	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
169	168	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 1 < 2)
170		2t1e2 12351	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
171	3	nnge1d 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 1 ≤ 𝑁)
172		eluzelre 12811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ)
173		2pos 12296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
174	166, 173	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
176		lemul2 12042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
177	165, 172, 175, 176	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
178	171, 177	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
179	170, 178	eqbrtrrid 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ≤ (2 · 𝑁))
180	165, 167, 21, 169, 179	ltletrd 11341	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 1 < (2 · 𝑁))
181	21, 180	rplogcld 26545	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
182	41, 24, 181	lemul1d 13045	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)) ↔ ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁)))))
183	164, 182	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
184	16, 42, 30, 159, 183	letrd 11338	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
185	10, 16, 30, 34, 184	ltletrd 11341	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  4c4 12250  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  ...cfz 13475  ↑cexp 14033  Ccbc 14274  ♯chash 14302  Σcsu 15659  expce 16034  ℙcprime 16648   pCnt cpc 16814  logclog 26470  πcppi 27011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-pc 16815  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-ppi 27017

This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  27389