MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1lem1 27495
Description: Lemma for chebbnd1 27498: show a lower bound on π(𝑥) at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 27319. (Note that the expression 𝐾 is actually equal to 2 · 𝑁, but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 27310, which shows that each term in the expansion ((2 · 𝑁)C𝑁) = ∏𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) is at most 2 · 𝑁, so that the sum really only has nonzero elements up to 2 · 𝑁, and since each term is at most 2 · 𝑁, after taking logs we get the inequality π(2 · 𝑁) · log(2 · 𝑁) ≤ log((2 · 𝑁)C𝑁), and bclbnd 27306 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem1.1 𝐾 = if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁))
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem1 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))

Proof of Theorem chebbnd1lem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 12341 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
2 eluznn 12948 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑁 ∈ ℕ)
31, 2mpan 688 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 12578 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5 nnexpcl 14088 . . . . . 6 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
61, 4, 5sylancr 585 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
76nnrpd 13062 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (4↑𝑁) ∈ ℝ+)
83nnrpd 13062 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℝ+)
97, 8rpdivcld 13081 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ+)
109relogcld 26647 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
11 fzctr 13661 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
124, 11syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
13 bccl2 14335 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
1514nnrpd 13062 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ+)
1615relogcld 26647 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℝ)
17 2z 12640 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
18 eluzelz 12878 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 zmulcl 12657 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
2017, 18, 19sylancr 585 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
2120zred 12712 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22 ppicl 27156 . . . . 5 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
2423nn0red 12579 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
25 2nn 12331 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
26 nnmulcl 12282 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
2725, 3, 26sylancr 585 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
2827nnrpd 13062 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2928relogcld 26647 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
3024, 29remulcld 11285 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
31 bclbnd 27306 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
32 logltb 26624 . . . 4 ((((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ+) → (((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁))))
339, 15, 32syl2anc 582 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁))))
3431, 33mpbid 231 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
35 chebbnd1lem1.1 . . . . . . . 8 𝐾 = if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁))
3627, 14ifcld 4569 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
3735, 36eqeltrid 2830 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ∈ ℕ)
3837nnred 12273 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ∈ ℝ)
39 ppicl 27156 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ → (π𝐾) ∈ ℕ0)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π𝐾) ∈ ℕ0)
4140nn0red 12579 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π𝐾) ∈ ℝ)
4241, 29remulcld 11285 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
43 fzfid 13987 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (1...𝐾) ∈ Fin)
44 inss1 4227 . . . . . 6 ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐾)
45 ssfi 9204 . . . . . 6 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐾)) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4737nnzd 12631 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ∈ ℤ)
4814nnzd 12631 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
4914nnred 12273 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
50 min2 13217 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
5121, 49, 50syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
5235, 51eqbrtrid 5180 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
53 eluz2 12874 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
5447, 48, 52, 53syl3anbrc 1340 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ𝐾))
55 fzss2 13589 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ𝐾) → (1...𝐾) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (1...𝐾) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
5756ssrind 4234 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
5857sselda 3978 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
59 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
6059elin1d 4196 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
61 elfznn 13578 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6359elin2d 4197 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
6414adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
6563, 64pccld 16847 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
6662, 65nnexpcld 14257 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
6766nnrpd 13062 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ+)
6867relogcld 26647 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ)
6958, 68syldan 589 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ)
7029adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
71 elinel2 4194 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
72 bposlem1 27310 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
733, 71, 72syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
7458, 67syldan 589 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ+)
7574reeflogd 26648 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) = (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
7628adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
7776reeflogd 26648 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
7873, 75, 773brtr4d 5177 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))))
79 efle 16115 . . . . . . 7 (((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ ∧ (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ) → ((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)) ↔ (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁)))))
8069, 70, 79syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → ((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)) ↔ (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁)))))
8178, 80mpbird 256 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)))
8246, 69, 70, 81fsumle 15798 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)))
8368recnd 11283 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℂ)
8458, 83syldan 589 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℂ)
85 eldifn 4124 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
8685adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
87 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)))
8887eldifad 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
8988elin1d 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
9089, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
9190adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
9291nnred 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℝ)
9388, 66syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
9493nnred 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
9594adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
9621adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
9791nncnd 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9897exp1d 14154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑1) = 𝑘)
9991nnge1d 12306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑘)
100 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
101 nnuz 12911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ = (ℤ‘1)
102100, 101eleqtrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ (ℤ‘1))
10392, 99, 102leexp2ad 14266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑1) ≤ (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
10498, 103eqbrtrrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
1053adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
10688elin2d 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℙ)
107106adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
108105, 107, 72syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
10992, 95, 96, 104, 108letrd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ (2 · 𝑁))
110 elfzle2 13553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
11189, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
112111adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
11349adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
114 lemin 13219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ↔ (𝑘 ≤ (2 · 𝑁) ∧ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))))
11592, 96, 113, 114syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ↔ (𝑘 ≤ (2 · 𝑁) ∧ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))))
116109, 112, 115mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)))
117116, 35breqtrrdi 5187 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘𝐾)
11837adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℕ)
119118nnzd 12631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
120 fznn 13617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝐾)))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝐾)))
12291, 117, 121mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
123122, 107elind 4192 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
124123expr 455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)))
12586, 124mtod 197 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ¬ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
12688, 65syldan 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
127 elnn0 12520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ ∨ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
128126, 127sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ ∨ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
129128ord 862 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (¬ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
130125, 129mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
131130oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = (𝑘↑0))
13290nncnd 12274 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
133132exp0d 14153 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑0) = 1)
134131, 133eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = 1)
135134fveq2d 6897 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = (log‘1))
136 log1 26609 . . . . . . 7 (log‘1) = 0
137135, 136eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = 0)
138 fzfid 13987 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ Fin)
139 inss1 4227 . . . . . . 7 ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁))
140 ssfi 9204 . . . . . . 7 (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ Fin ∧ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁))) → ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
141138, 139, 140sylancl 584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
14257, 84, 137, 141fsumss 15724 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))))
14362nnrpd 13062 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
14465nn0zd 12630 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
145 relogexp 26620 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
146143, 144, 145syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
147146sumeq2dv 15702 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
148 pclogsum 27241 . . . . . 6 (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
14914, 148syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
150142, 147, 1493eqtrd 2770 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
15129recnd 11283 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
152 fsumconst 15789 . . . . . 6 ((((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
15346, 151, 152syl2anc 582 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
154 2eluzge1 12924 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘1)
155 ppival2g 27154 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ‘1)) → (π𝐾) = (♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)))
15647, 154, 155sylancl 584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π𝐾) = (♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)))
157156oveq1d 7431 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
158153, 157eqtr4d 2769 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))))
15982, 150, 1583brtr3d 5176 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))))
160 min1 13216 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
16121, 49, 160syl2anc 582 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
16235, 161eqbrtrid 5180 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ≤ (2 · 𝑁))
163 ppiwordi 27187 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (2 · 𝑁)) → (π𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)))
16438, 21, 162, 163syl3anc 1368 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)))
165 1red 11256 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 1 ∈ ℝ)
166 2re 12332 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
167166a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 2 ∈ ℝ)
168 1lt2 12429 . . . . . . . 8 1 < 2
169168a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 1 < 2)
170 2t1e2 12421 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
1713nnge1d 12306 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 1 ≤ 𝑁)
172 eluzelre 12879 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℝ)
173 2pos 12361 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
174166, 173pm3.2i 469 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
175174a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
176 lemul2 12112 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
177165, 172, 175, 176syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
178171, 177mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
179170, 178eqbrtrrid 5181 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 2 ≤ (2 · 𝑁))
180165, 167, 21, 169, 179ltletrd 11415 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 1 < (2 · 𝑁))
18121, 180rplogcld 26653 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
18241, 24, 181lemul1d 13107 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)) ↔ ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁)))))
183164, 182mpbid 231 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
18416, 42, 30, 159, 183letrd 11412 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
18510, 16, 30, 34, 184ltletrd 11415 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3943  cin 3945  wss 3946  ifcif 4523   class class class wbr 5145  cfv 6546  (class class class)co 7416  Fincfn 8966  cc 11147  cr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   · cmul 11154   < clt 11289  cle 11290   / cdiv 11912  cn 12258  2c2 12313  4c4 12315  0cn0 12518  cz 12604  cuz 12868  +crp 13022  ...cfz 13532  cexp 14075  Ccbc 14314  chash 14342  Σcsu 15685  expce 16058  cprime 16667   pCnt cpc 16833  logclog 26578  πcppi 27119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-mod 13884  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-shft 15067  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-ef 16064  df-sin 16066  df-cos 16067  df-pi 16069  df-dvds 16252  df-gcd 16490  df-prm 16668  df-pc 16834  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19058  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-fbas 21336  df-fg 21337  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cld 23011  df-ntr 23012  df-cls 23013  df-nei 23090  df-lp 23128  df-perf 23129  df-cn 23219  df-cnp 23220  df-haus 23307  df-tx 23554  df-hmeo 23747  df-fil 23838  df-fm 23930  df-flim 23931  df-flf 23932  df-xms 24314  df-ms 24315  df-tms 24316  df-cncf 24886  df-limc 25883  df-dv 25884  df-log 26580  df-ppi 27125
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  27497
  Copyright terms: Public domain W3C validator