Theorem chebbnd1lem1 27436

Description: Lemma for chebbnd1 27439: show a lower bound on π(𝑥) at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 27260. (Note that the expression 𝐾 is actually equal to 2 · 𝑁, but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 27251, which shows that each term in the expansion ((2 · 𝑁)C𝑁) = ∏𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) is at most 2 · 𝑁, so that the sum really only has nonzero elements up to 2 · 𝑁, and since each term is at most 2 · 𝑁, after taking logs we get the inequality π(2 · 𝑁) · log(2 · 𝑁) ≤ log((2 · 𝑁)C𝑁), and bclbnd 27247 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
chebbnd1lem1.1	⊢ 𝐾 = if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁))

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1lem1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))

Proof of Theorem chebbnd1lem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12228	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
2		eluznn 12831	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12462	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		nnexpcl 13997	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
6	1, 4, 5	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnrpd 12947	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (4↑𝑁) ∈ ℝ+)
8	3	nnrpd 12947	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ+)
9	7, 8	rpdivcld 12966	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ+)
10	9	relogcld 26588	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
11		fzctr 13556	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
12	4, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
13		bccl2 14246	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 12947	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ+)
16	15	relogcld 26588	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℝ)
17		2z 12523	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		eluzelz 12761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		zmulcl 12540	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
21	20	zred 12596	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22		ppicl 27097	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
24	23	nn0red 12463	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
25		2nn 12218	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
26		nnmulcl 12169	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
27	25, 3, 26	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 12947	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
29	28	relogcld 26588	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
30	24, 29	remulcld 11162	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
31		bclbnd 27247	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
32		logltb 26565	. . . 4 ⊢ ((((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ+) → (((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁))))
33	9, 15, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁))))
34	31, 33	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
35		chebbnd1lem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁))
36	27, 14	ifcld 4526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
37	35, 36	eqeltrid 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ∈ ℕ)
38	37	nnred 12160	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ∈ ℝ)
39		ppicl 27097	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (π‘𝐾) ∈ ℕ0)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘𝐾) ∈ ℕ0)
41	40	nn0red 12463	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘𝐾) ∈ ℝ)
42	41, 29	remulcld 11162	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
43		fzfid 13896	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (1...𝐾) ∈ Fin)
44		inss1 4189	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐾)
45		ssfi 9097	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐾)) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin)
46	43, 44, 45	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin)
47	37	nnzd 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ∈ ℤ)
48	14	nnzd 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
49	14	nnred 12160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
50		min2 13105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
51	21, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
52	35, 51	eqbrtrid 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
53		eluz2 12757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
54	47, 48, 52, 53	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
55		fzss2 13480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (1...𝐾) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (1...𝐾) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
57	56	ssrind 4196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
58	57	sselda 3933	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
59		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
60	59	elin1d 4156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
61		elfznn 13469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
63	59	elin2d 4157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
64	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
65	63, 64	pccld 16778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
66	62, 65	nnexpcld 14168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
67	66	nnrpd 12947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ+)
68	67	relogcld 26588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ)
69	58, 68	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ)
70	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
71		elinel2 4154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
72		bposlem1 27251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
73	3, 71, 72	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
74	58, 67	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ+)
75	74	reeflogd 26589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) = (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
76	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
77	76	reeflogd 26589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
78	73, 75, 77	3brtr4d 5130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))))
79		efle 16043	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ ∧ (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ) → ((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)) ↔ (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁)))))
80	69, 70, 79	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → ((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)) ↔ (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁)))))
81	78, 80	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)))
82	46, 69, 70, 81	fsumle 15722	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)))
83	68	recnd 11160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℂ)
84	58, 83	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℂ)
85		eldifn 4084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
87		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)))
88	87	eldifad 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
89	88	elin1d 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
90	89, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
91	90	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
92	91	nnred 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℝ)
93	88, 66	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
94	93	nnred 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
95	94	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
96	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
97	91	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
98	97	exp1d 14064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑1) = 𝑘)
99	91	nnge1d 12193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑘)
100		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
101		nnuz 12790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
102	100, 101	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ (ℤ≥‘1))
103	92, 99, 102	leexp2ad 14177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑1) ≤ (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
104	98, 103	eqbrtrrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
105	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
106	88	elin2d 4157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℙ)
107	106	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
108	105, 107, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
109	92, 95, 96, 104, 108	letrd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ (2 · 𝑁))
110		elfzle2 13444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
111	89, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
112	111	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
113	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
114		lemin 13107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ↔ (𝑘 ≤ (2 · 𝑁) ∧ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))))
115	92, 96, 113, 114	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ↔ (𝑘 ≤ (2 · 𝑁) ∧ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))))
116	109, 112, 115	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)))
117	116, 35	breqtrrdi 5140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
118	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℕ)
119	118	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
120		fznn 13508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝐾)))
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝐾)))
122	91, 117, 121	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
123	122, 107	elind 4152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
124	123	expr 456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)))
125	86, 124	mtod 198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ¬ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
126	88, 65	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
127		elnn0 12403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ ∨ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
128	126, 127	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ ∨ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
129	128	ord 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (¬ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
130	125, 129	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
131	130	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = (𝑘↑0))
132	90	nncnd 12161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
133	132	exp0d 14063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑0) = 1)
134	131, 133	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = 1)
135	134	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = (log‘1))
136		log1 26550	. . . . . . 7 ⊢ (log‘1) = 0
137	135, 136	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = 0)
138		fzfid 13896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ Fin)
139		inss1 4189	. . . . . . 7 ⊢ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁))
140		ssfi 9097	. . . . . . 7 ⊢ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ Fin ∧ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁))) → ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
141	138, 139, 140	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
142	57, 84, 137, 141	fsumss 15648	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))))
143	62	nnrpd 12947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
144	65	nn0zd 12513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
145		relogexp 26561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
146	143, 144, 145	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
147	146	sumeq2dv 15625	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
148		pclogsum 27182	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
149	14, 148	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
150	142, 147, 149	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
151	29	recnd 11160	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
152		fsumconst 15713	. . . . . 6 ⊢ ((((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
153	46, 151, 152	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
154		2eluzge1 12795	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
155		ppival2g 27095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘1)) → (π‘𝐾) = (♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)))
156	47, 154, 155	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘𝐾) = (♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)))
157	156	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((♯‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
158	153, 157	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))))
159	82, 150, 158	3brtr3d 5129	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))))
160		min1 13104	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
161	21, 49, 160	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
162	35, 161	eqbrtrid 5133	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝐾 ≤ (2 · 𝑁))
163		ppiwordi 27128	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (2 · 𝑁)) → (π‘𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)))
164	38, 21, 162, 163	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (π‘𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)))
165		1red 11133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 1 ∈ ℝ)
166		2re 12219	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
167	166	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ∈ ℝ)
168		1lt2 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
169	168	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 1 < 2)
170		2t1e2 12303	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
171	3	nnge1d 12193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 1 ≤ 𝑁)
172		eluzelre 12762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℝ)
173		2pos 12248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
174	166, 173	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
176		lemul2 11994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
177	165, 172, 175, 176	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
178	171, 177	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
179	170, 178	eqbrtrrid 5134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ≤ (2 · 𝑁))
180	165, 167, 21, 169, 179	ltletrd 11293	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 1 < (2 · 𝑁))
181	21, 180	rplogcld 26594	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
182	41, 24, 181	lemul1d 12992	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)) ↔ ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁)))))
183	164, 182	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((π‘𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
184	16, 42, 30, 159, 183	letrd 11290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
185	10, 16, 30, 34, 184	ltletrd 11293	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ifcif 4479   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  4c4 12202  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905  ...cfz 13423  ↑cexp 13984  Ccbc 14225  ♯chash 14253  Σcsu 15609  expce 15984  ℙcprime 16598   pCnt cpc 16764  logclog 26519  πcppi 27060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-pc 16765  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521  df-ppi 27066

This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  27438