MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neitr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neitr 22906
Description: The neighborhood of a trace is the trace of the neighborhood. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
neitr.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
neitr ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜π΅) = (((neiβ€˜π½)β€˜π΅) β†Ύt 𝐴))

Proof of Theorem neitr
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)
2 nfv 1915 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)
3 nfre1 3280 . . . . . . 7 β„²π‘‘βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)
42, 3nfan 1900 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐))
51, 4nfan 1900 . . . . 5 Ⅎ𝑑((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)))
6 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) β†’ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
76anim2i 615 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐))) β†’ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)))
8 simp-5r 782 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
9 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ Top)
10 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
11 neitr.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = βˆͺ 𝐽
1211restuni 22888 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
139, 10, 12syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
1413ad5antr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
158, 14sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐴)
1610ad5antr 730 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
1715, 16sstrd 3993 . . . . . . . . 9 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑐 βŠ† 𝑋)
189ad5antr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
19 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
2011eltopss 22631 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑋)
2118, 19, 20syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑋)
2221ssdifssd 4143 . . . . . . . . 9 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ (𝑒 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝑋)
2317, 22unssd 4187 . . . . . . . 8 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) βŠ† 𝑋)
24 simpr1l 1228 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ ((𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴))) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑑)
25243anassrs 1358 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑑)
26 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴))
2725, 26sseqtrd 4023 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐡 βŠ† (𝑒 ∩ 𝐴))
28 inss1 4229 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑒
2927, 28sstrdi 3995 . . . . . . . . 9 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑒)
30 inundif 4479 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∩ 𝐴) βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) = 𝑒
31 simpr1r 1229 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ ((𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴))) β†’ 𝑑 βŠ† 𝑐)
32313anassrs 1358 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑑 βŠ† 𝑐)
3326, 32eqsstrrd 4022 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ (𝑒 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐)
34 unss1 4180 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐 β†’ ((𝑒 ∩ 𝐴) βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ ((𝑒 ∩ 𝐴) βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)))
3630, 35eqsstrrid 4032 . . . . . . . . 9 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑒 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)))
37 sseq2 4009 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑒 β†’ (𝐡 βŠ† 𝑏 ↔ 𝐡 βŠ† 𝑒))
38 sseq1 4008 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑒 β†’ (𝑏 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) ↔ 𝑒 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴))))
3937, 38anbi12d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑒 β†’ ((𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴))) ↔ (𝐡 βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)))))
4039rspcev 3613 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐡 βŠ† 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴))))
4119, 29, 36, 40syl12anc 833 . . . . . . . 8 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴))))
42 indir 4276 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) ∩ 𝐴) = ((𝑐 ∩ 𝐴) βˆͺ ((𝑒 βˆ– 𝐴) ∩ 𝐴))
43 disjdifr 4473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 βˆ– 𝐴) ∩ 𝐴) = βˆ…
4443uneq2i 4161 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∩ 𝐴) βˆͺ ((𝑒 βˆ– 𝐴) ∩ 𝐴)) = ((𝑐 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆ…)
45 un0 4391 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆ…) = (𝑐 ∩ 𝐴)
4642, 44, 453eqtri 2762 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) ∩ 𝐴) = (𝑐 ∩ 𝐴)
47 df-ss 3966 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 βŠ† 𝐴 ↔ (𝑐 ∩ 𝐴) = 𝑐)
4847biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑐 βŠ† 𝐴 β†’ (𝑐 ∩ 𝐴) = 𝑐)
4946, 48eqtr2id 2783 . . . . . . . . 9 (𝑐 βŠ† 𝐴 β†’ 𝑐 = ((𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) ∩ 𝐴))
5015, 49syl 17 . . . . . . . 8 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑐 = ((𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) ∩ 𝐴))
51 vex 3476 . . . . . . . . . 10 𝑐 ∈ V
52 vex 3476 . . . . . . . . . . 11 𝑒 ∈ V
5352difexi 5329 . . . . . . . . . 10 (𝑒 βˆ– 𝐴) ∈ V
5451, 53unex 7737 . . . . . . . . 9 (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) ∈ V
55 sseq1 4008 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑋 ↔ (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) βŠ† 𝑋))
56 sseq2 4009 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑏 βŠ† π‘Ž ↔ 𝑏 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴))))
5756anbi2d 627 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) β†’ ((𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž) ↔ (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)))))
5857rexbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)))))
5955, 58anbi12d 629 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ↔ ((𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴))))))
60 ineq1 4206 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐴) = ((𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) ∩ 𝐴))
6160eqeq2d 2741 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴) ↔ 𝑐 = ((𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) ∩ 𝐴)))
6259, 61anbi12d 629 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) β†’ (((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ↔ (((𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)))) ∧ 𝑐 = ((𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) ∩ 𝐴))))
6354, 62spcev 3597 . . . . . . . 8 ((((𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)))) ∧ 𝑐 = ((𝑐 βˆͺ (𝑒 βˆ– 𝐴)) ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)))
6423, 41, 50, 63syl21anc 834 . . . . . . 7 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)))
659ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
669uniexd 7736 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ V)
6711, 66eqeltrid 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ V)
6867, 10ssexd 5325 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ V)
6968ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) β†’ 𝐴 ∈ V)
70 simplr 765 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
71 elrest 17379 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴)))
7271biimpa 475 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴))
7365, 69, 70, 72syl21anc 834 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 𝑑 = (𝑒 ∩ 𝐴))
7464, 73r19.29a 3160 . . . . . 6 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) β†’ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)))
757, 74sylanl1 676 . . . . 5 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐))) ∧ 𝑑 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) β†’ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)))
76 simprr 769 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐))
775, 75, 76r19.29af 3263 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐))) β†’ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)))
78 inss2 4230 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
79 sseq1 4008 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴) β†’ (𝑐 βŠ† 𝐴 ↔ (π‘Ž ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴))
8078, 79mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐴)
8180adantl 480 . . . . . . . 8 (((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐴)
8281exlimiv 1931 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐴)
8382adantl 480 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐴)
8413adantr 479 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
8583, 84sseqtrd 4023 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))) β†’ 𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
869ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
8768ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) β†’ 𝐴 ∈ V)
88 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐽)
89 elrestr 17380 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
9086, 87, 88, 89syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
91 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑏)
92 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
9392ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
9491, 93ssind 4233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) β†’ 𝐡 βŠ† (𝑏 ∩ 𝐴))
95 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) β†’ 𝑏 βŠ† π‘Ž)
9695ssrind 4236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† (π‘Ž ∩ 𝐴))
97 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) β†’ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))
9896, 97sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐)
9990, 94, 98jca32 514 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) β†’ ((𝑏 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (𝑏 ∩ 𝐴) ∧ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐)))
10099ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž) β†’ ((𝑏 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (𝑏 ∩ 𝐴) ∧ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐))))
101100reximdva 3166 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 ((𝑏 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (𝑏 ∩ 𝐴) ∧ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐))))
102101impr 453 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ∧ (π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 ((𝑏 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (𝑏 ∩ 𝐴) ∧ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐)))
103102an32s 648 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž))) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 ((𝑏 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (𝑏 ∩ 𝐴) ∧ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐)))
104103expl 456 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 ((𝑏 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (𝑏 ∩ 𝐴) ∧ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐))))
105104exlimdv 1934 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 ((𝑏 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (𝑏 ∩ 𝐴) ∧ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐))))
106105imp 405 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 ((𝑏 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (𝑏 ∩ 𝐴) ∧ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐)))
107 sseq2 4009 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑏 ∩ 𝐴) β†’ (𝐡 βŠ† 𝑑 ↔ 𝐡 βŠ† (𝑏 ∩ 𝐴)))
108 sseq1 4008 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑏 ∩ 𝐴) β†’ (𝑑 βŠ† 𝑐 ↔ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐))
109107, 108anbi12d 629 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝑏 ∩ 𝐴) β†’ ((𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐) ↔ (𝐡 βŠ† (𝑏 ∩ 𝐴) ∧ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐)))
110109rspcev 3613 . . . . . . 7 (((𝑏 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (𝑏 ∩ 𝐴) ∧ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐))
111110rexlimivw 3149 . . . . . 6 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 ((𝑏 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (𝑏 ∩ 𝐴) ∧ (𝑏 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑐)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐))
112106, 111syl 17 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐))
11385, 112jca 510 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))) β†’ (𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)))
11477, 113impbida 797 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐)) ↔ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))))
115 resttop 22886 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
1169, 68, 115syl2anc 582 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
11792, 13sseqtrd 4023 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
118 eqid 2730 . . . . 5 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)
119118isnei 22829 . . . 4 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐡 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)) β†’ (𝑐 ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜π΅) ↔ (𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐))))
120116, 117, 119syl2anc 582 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑐 ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜π΅) ↔ (𝑐 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴)(𝐡 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑐))))
121 fvex 6905 . . . . . 6 ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ∈ V
122 restval 17378 . . . . . 6 ((((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜π΅) β†Ύt 𝐴) = ran (π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ↦ (π‘Ž ∩ 𝐴)))
123121, 68, 122sylancr 585 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜π΅) β†Ύt 𝐴) = ran (π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ↦ (π‘Ž ∩ 𝐴)))
124123eleq2d 2817 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑐 ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜π΅) β†Ύt 𝐴) ↔ 𝑐 ∈ ran (π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ↦ (π‘Ž ∩ 𝐴))))
12592, 10sstrd 3993 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
126 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ↦ (π‘Ž ∩ 𝐴)) = (π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ↦ (π‘Ž ∩ 𝐴))
127126elrnmpt 5956 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ V β†’ (𝑐 ∈ ran (π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ↦ (π‘Ž ∩ 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅)𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)))
128127elv 3478 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ran (π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ↦ (π‘Ž ∩ 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅)𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))
129 df-rex 3069 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅)𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘Ž(π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)))
130128, 129bitri 274 . . . . . 6 (𝑐 ∈ ran (π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ↦ (π‘Ž ∩ 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘Ž(π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)))
13111isnei 22829 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž))))
132131anbi1d 628 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ ((π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ↔ ((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))))
133132exbidv 1922 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘Ž(π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))))
134130, 133bitrid 282 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑐 ∈ ran (π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ↦ (π‘Ž ∩ 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))))
1359, 125, 134syl2anc 582 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑐 ∈ ran (π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π΅) ↦ (π‘Ž ∩ 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))))
136124, 135bitrd 278 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑐 ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜π΅) β†Ύt 𝐴) ↔ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝐡 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)) ∧ 𝑐 = (π‘Ž ∩ 𝐴))))
137114, 120, 1363bitr4d 310 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑐 ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜π΅) ↔ 𝑐 ∈ (((neiβ€˜π½)β€˜π΅) β†Ύt 𝐴)))
138137eqrdv 2728 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))β€˜π΅) = (((neiβ€˜π½)β€˜π΅) β†Ύt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   β†Ύt crest 17372  Topctop 22617  neicnei 22823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-en 8944  df-fin 8947  df-fi 9410  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-top 22618  df-topon 22635  df-bases 22671  df-nei 22824
This theorem is referenced by:  flfcntr  23769  cnextfres1  23794
  Copyright terms: Public domain W3C validator