Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nfv 1915 |
. . . . . 6
β’
β²π(π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) |
2 | | nfv 1915 |
. . . . . . 7
β’
β²π π β βͺ (π½
βΎt π΄) |
3 | | nfre1 3280 |
. . . . . . 7
β’
β²πβπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π) |
4 | 2, 3 | nfan 1900 |
. . . . . 6
β’
β²π(π β βͺ (π½
βΎt π΄)
β§ βπ β
(π½ βΎt
π΄)(π΅ β π β§ π β π)) |
5 | 1, 4 | nfan 1900 |
. . . . 5
β’
β²π((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ (π β βͺ (π½ βΎt π΄) β§ βπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π))) |
6 | | simpl 481 |
. . . . . . 7
β’ ((π β βͺ (π½
βΎt π΄)
β§ βπ β
(π½ βΎt
π΄)(π΅ β π β§ π β π)) β π β βͺ (π½ βΎt π΄)) |
7 | 6 | anim2i 615 |
. . . . . 6
β’ (((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ (π β βͺ (π½ βΎt π΄) β§ βπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π))) β ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄))) |
8 | | simp-5r 782 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π β βͺ (π½ βΎt π΄)) |
9 | | simp1 1134 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β π½ β Top) |
10 | | simp2 1135 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β π΄ β π) |
11 | | neitr.1 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ π = βͺ
π½ |
12 | 11 | restuni 22888 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π) β π΄ = βͺ (π½ βΎt π΄)) |
13 | 9, 10, 12 | syl2anc 582 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β π΄ = βͺ (π½ βΎt π΄)) |
14 | 13 | ad5antr 730 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π΄ = βͺ (π½ βΎt π΄)) |
15 | 8, 14 | sseqtrrd 4024 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π β π΄) |
16 | 10 | ad5antr 730 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π΄ β π) |
17 | 15, 16 | sstrd 3993 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π β π) |
18 | 9 | ad5antr 730 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π½ β Top) |
19 | | simplr 765 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π β π½) |
20 | 11 | eltopss 22631 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π½ β Top β§ π β π½) β π β π) |
21 | 18, 19, 20 | syl2anc 582 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π β π) |
22 | 21 | ssdifssd 4143 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β (π β π΄) β π) |
23 | 17, 22 | unssd 4187 |
. . . . . . . 8
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β (π βͺ (π β π΄)) β π) |
24 | | simpr1l 1228 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ ((π΅ β π β§ π β π) β§ π β π½ β§ π = (π β© π΄))) β π΅ β π) |
25 | 24 | 3anassrs 1358 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π΅ β π) |
26 | | simpr 483 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π = (π β© π΄)) |
27 | 25, 26 | sseqtrd 4023 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π΅ β (π β© π΄)) |
28 | | inss1 4229 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β© π΄) β π |
29 | 27, 28 | sstrdi 3995 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π΅ β π) |
30 | | inundif 4479 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β© π΄) βͺ (π β π΄)) = π |
31 | | simpr1r 1229 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ ((π΅ β π β§ π β π) β§ π β π½ β§ π = (π β© π΄))) β π β π) |
32 | 31 | 3anassrs 1358 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π β π) |
33 | 26, 32 | eqsstrrd 4022 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β (π β© π΄) β π) |
34 | | unss1 4180 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β© π΄) β π β ((π β© π΄) βͺ (π β π΄)) β (π βͺ (π β π΄))) |
35 | 33, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β ((π β© π΄) βͺ (π β π΄)) β (π βͺ (π β π΄))) |
36 | 30, 35 | eqsstrrid 4032 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π β (π βͺ (π β π΄))) |
37 | | sseq2 4009 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β (π΅ β π β π΅ β π)) |
38 | | sseq1 4008 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β (π β (π βͺ (π β π΄)) β π β (π βͺ (π β π΄)))) |
39 | 37, 38 | anbi12d 629 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β ((π΅ β π β§ π β (π βͺ (π β π΄))) β (π΅ β π β§ π β (π βͺ (π β π΄))))) |
40 | 39 | rspcev 3613 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β π½ β§ (π΅ β π β§ π β (π βͺ (π β π΄)))) β βπ β π½ (π΅ β π β§ π β (π βͺ (π β π΄)))) |
41 | 19, 29, 36, 40 | syl12anc 833 |
. . . . . . . 8
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β βπ β π½ (π΅ β π β§ π β (π βͺ (π β π΄)))) |
42 | | indir 4276 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π βͺ (π β π΄)) β© π΄) = ((π β© π΄) βͺ ((π β π΄) β© π΄)) |
43 | | disjdifr 4473 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β π΄) β© π΄) = β
|
44 | 43 | uneq2i 4161 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β© π΄) βͺ ((π β π΄) β© π΄)) = ((π β© π΄) βͺ β
) |
45 | | un0 4391 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β© π΄) βͺ β
) = (π β© π΄) |
46 | 42, 44, 45 | 3eqtri 2762 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π βͺ (π β π΄)) β© π΄) = (π β© π΄) |
47 | | df-ss 3966 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΄ β (π β© π΄) = π) |
48 | 47 | biimpi 215 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β (π β© π΄) = π) |
49 | 46, 48 | eqtr2id 2783 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β π = ((π βͺ (π β π΄)) β© π΄)) |
50 | 15, 49 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β π = ((π βͺ (π β π΄)) β© π΄)) |
51 | | vex 3476 |
. . . . . . . . . 10
β’ π β V |
52 | | vex 3476 |
. . . . . . . . . . 11
β’ π β V |
53 | 52 | difexi 5329 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄) β V |
54 | 51, 53 | unex 7737 |
. . . . . . . . 9
β’ (π βͺ (π β π΄)) β V |
55 | | sseq1 4008 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = (π βͺ (π β π΄)) β (π β π β (π βͺ (π β π΄)) β π)) |
56 | | sseq2 4009 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = (π βͺ (π β π΄)) β (π β π β π β (π βͺ (π β π΄)))) |
57 | 56 | anbi2d 627 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = (π βͺ (π β π΄)) β ((π΅ β π β§ π β π) β (π΅ β π β§ π β (π βͺ (π β π΄))))) |
58 | 57 | rexbidv 3176 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = (π βͺ (π β π΄)) β (βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π) β βπ β π½ (π΅ β π β§ π β (π βͺ (π β π΄))))) |
59 | 55, 58 | anbi12d 629 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (π βͺ (π β π΄)) β ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β ((π βͺ (π β π΄)) β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β (π βͺ (π β π΄)))))) |
60 | | ineq1 4206 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = (π βͺ (π β π΄)) β (π β© π΄) = ((π βͺ (π β π΄)) β© π΄)) |
61 | 60 | eqeq2d 2741 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (π βͺ (π β π΄)) β (π = (π β© π΄) β π = ((π βͺ (π β π΄)) β© π΄))) |
62 | 59, 61 | anbi12d 629 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (π βͺ (π β π΄)) β (((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄)) β (((π βͺ (π β π΄)) β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β (π βͺ (π β π΄)))) β§ π = ((π βͺ (π β π΄)) β© π΄)))) |
63 | 54, 62 | spcev 3597 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π βͺ (π β π΄)) β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β (π βͺ (π β π΄)))) β§ π = ((π βͺ (π β π΄)) β© π΄)) β βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄))) |
64 | 23, 41, 50, 63 | syl21anc 834 |
. . . . . . 7
β’
(((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π β π½) β§ π = (π β© π΄)) β βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄))) |
65 | 9 | ad3antrrr 726 |
. . . . . . . 8
β’
(((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β π½ β Top) |
66 | 9 | uniexd 7736 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β βͺ π½ β V) |
67 | 11, 66 | eqeltrid 2835 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β π β V) |
68 | 67, 10 | ssexd 5325 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β π΄ β V) |
69 | 68 | ad3antrrr 726 |
. . . . . . . 8
β’
(((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β π΄ β V) |
70 | | simplr 765 |
. . . . . . . 8
β’
(((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β π β (π½ βΎt π΄)) |
71 | | elrest 17379 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β V) β (π β (π½ βΎt π΄) β βπ β π½ π = (π β© π΄))) |
72 | 71 | biimpa 475 |
. . . . . . . 8
β’ (((π½ β Top β§ π΄ β V) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β βπ β π½ π = (π β© π΄)) |
73 | 65, 69, 70, 72 | syl21anc 834 |
. . . . . . 7
β’
(((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β βπ β π½ π = (π β© π΄)) |
74 | 64, 73 | r19.29a 3160 |
. . . . . 6
β’
(((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π β βͺ (π½ βΎt π΄)) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄))) |
75 | 7, 74 | sylanl1 676 |
. . . . 5
β’
(((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ (π β βͺ (π½ βΎt π΄) β§ βπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π))) β§ π β (π½ βΎt π΄)) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄))) |
76 | | simprr 769 |
. . . . 5
β’ (((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ (π β βͺ (π½ βΎt π΄) β§ βπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π))) β βπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π)) |
77 | 5, 75, 76 | r19.29af 3263 |
. . . 4
β’ (((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ (π β βͺ (π½ βΎt π΄) β§ βπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π))) β βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄))) |
78 | | inss2 4230 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β© π΄) β π΄ |
79 | | sseq1 4008 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (π β© π΄) β (π β π΄ β (π β© π΄) β π΄)) |
80 | 78, 79 | mpbiri 257 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (π β© π΄) β π β π΄) |
81 | 80 | adantl 480 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄)) β π β π΄) |
82 | 81 | exlimiv 1931 |
. . . . . . 7
β’
(βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄)) β π β π΄) |
83 | 82 | adantl 480 |
. . . . . 6
β’ (((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄))) β π β π΄) |
84 | 13 | adantr 479 |
. . . . . 6
β’ (((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄))) β π΄ = βͺ (π½ βΎt π΄)) |
85 | 83, 84 | sseqtrd 4023 |
. . . . 5
β’ (((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄))) β π β βͺ (π½ βΎt π΄)) |
86 | 9 | ad4antr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β§ π β π½) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β π½ β Top) |
87 | 68 | ad4antr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β§ π β π½) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β π΄ β V) |
88 | | simplr 765 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β§ π β π½) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β π β π½) |
89 | | elrestr 17380 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β V β§ π β π½) β (π β© π΄) β (π½ βΎt π΄)) |
90 | 86, 87, 88, 89 | syl3anc 1369 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β§ π β π½) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β (π β© π΄) β (π½ βΎt π΄)) |
91 | | simprl 767 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β§ π β π½) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β π΅ β π) |
92 | | simp3 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β π΅ β π΄) |
93 | 92 | ad4antr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β§ π β π½) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β π΅ β π΄) |
94 | 91, 93 | ssind 4233 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β§ π β π½) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β π΅ β (π β© π΄)) |
95 | | simprr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β§ π β π½) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β π β π) |
96 | 95 | ssrind 4236 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β§ π β π½) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β (π β© π΄) β (π β© π΄)) |
97 | | simp-4r 780 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β§ π β π½) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β π = (π β© π΄)) |
98 | 96, 97 | sseqtrrd 4024 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β§ π β π½) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β (π β© π΄) β π) |
99 | 90, 94, 98 | jca32 514 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
((((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β§ π β π½) β§ (π΅ β π β§ π β π)) β ((π β© π΄) β (π½ βΎt π΄) β§ (π΅ β (π β© π΄) β§ (π β© π΄) β π))) |
100 | 99 | ex 411 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π½ β Top
β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β§ π β π½) β ((π΅ β π β§ π β π) β ((π β© π΄) β (π½ βΎt π΄) β§ (π΅ β (π β© π΄) β§ (π β© π΄) β π)))) |
101 | 100 | reximdva 3166 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ π β π) β (βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π) β βπ β π½ ((π β© π΄) β (π½ βΎt π΄) β§ (π΅ β (π β© π΄) β§ (π β© π΄) β π)))) |
102 | 101 | impr 453 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ π = (π β© π΄)) β§ (π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π))) β βπ β π½ ((π β© π΄) β (π½ βΎt π΄) β§ (π΅ β (π β© π΄) β§ (π β© π΄) β π))) |
103 | 102 | an32s 648 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ (π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π))) β§ π = (π β© π΄)) β βπ β π½ ((π β© π΄) β (π½ βΎt π΄) β§ (π΅ β (π β© π΄) β§ (π β© π΄) β π))) |
104 | 103 | expl 456 |
. . . . . . . 8
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β (((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄)) β βπ β π½ ((π β© π΄) β (π½ βΎt π΄) β§ (π΅ β (π β© π΄) β§ (π β© π΄) β π)))) |
105 | 104 | exlimdv 1934 |
. . . . . . 7
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β (βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄)) β βπ β π½ ((π β© π΄) β (π½ βΎt π΄) β§ (π΅ β (π β© π΄) β§ (π β© π΄) β π)))) |
106 | 105 | imp 405 |
. . . . . 6
β’ (((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄))) β βπ β π½ ((π β© π΄) β (π½ βΎt π΄) β§ (π΅ β (π β© π΄) β§ (π β© π΄) β π))) |
107 | | sseq2 4009 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (π β© π΄) β (π΅ β π β π΅ β (π β© π΄))) |
108 | | sseq1 4008 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (π β© π΄) β (π β π β (π β© π΄) β π)) |
109 | 107, 108 | anbi12d 629 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (π β© π΄) β ((π΅ β π β§ π β π) β (π΅ β (π β© π΄) β§ (π β© π΄) β π))) |
110 | 109 | rspcev 3613 |
. . . . . . 7
β’ (((π β© π΄) β (π½ βΎt π΄) β§ (π΅ β (π β© π΄) β§ (π β© π΄) β π)) β βπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π)) |
111 | 110 | rexlimivw 3149 |
. . . . . 6
β’
(βπ β
π½ ((π β© π΄) β (π½ βΎt π΄) β§ (π΅ β (π β© π΄) β§ (π β© π΄) β π)) β βπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π)) |
112 | 106, 111 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄))) β βπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π)) |
113 | 85, 112 | jca 510 |
. . . 4
β’ (((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β§ βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄))) β (π β βͺ (π½ βΎt π΄) β§ βπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π))) |
114 | 77, 113 | impbida 797 |
. . 3
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β ((π β βͺ (π½ βΎt π΄) β§ βπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π)) β βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄)))) |
115 | | resttop 22886 |
. . . . 5
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β V) β (π½ βΎt π΄) β Top) |
116 | 9, 68, 115 | syl2anc 582 |
. . . 4
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β (π½ βΎt π΄) β Top) |
117 | 92, 13 | sseqtrd 4023 |
. . . 4
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β π΅ β βͺ (π½ βΎt π΄)) |
118 | | eqid 2730 |
. . . . 5
β’ βͺ (π½
βΎt π΄) =
βͺ (π½ βΎt π΄) |
119 | 118 | isnei 22829 |
. . . 4
β’ (((π½ βΎt π΄) β Top β§ π΅ β βͺ (π½
βΎt π΄))
β (π β
((neiβ(π½
βΎt π΄))βπ΅) β (π β βͺ (π½ βΎt π΄) β§ βπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π)))) |
120 | 116, 117,
119 | syl2anc 582 |
. . 3
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β (π β ((neiβ(π½ βΎt π΄))βπ΅) β (π β βͺ (π½ βΎt π΄) β§ βπ β (π½ βΎt π΄)(π΅ β π β§ π β π)))) |
121 | | fvex 6905 |
. . . . . 6
β’
((neiβπ½)βπ΅) β V |
122 | | restval 17378 |
. . . . . 6
β’
((((neiβπ½)βπ΅) β V β§ π΄ β V) β (((neiβπ½)βπ΅) βΎt π΄) = ran (π β ((neiβπ½)βπ΅) β¦ (π β© π΄))) |
123 | 121, 68, 122 | sylancr 585 |
. . . . 5
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β (((neiβπ½)βπ΅) βΎt π΄) = ran (π β ((neiβπ½)βπ΅) β¦ (π β© π΄))) |
124 | 123 | eleq2d 2817 |
. . . 4
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β (π β (((neiβπ½)βπ΅) βΎt π΄) β π β ran (π β ((neiβπ½)βπ΅) β¦ (π β© π΄)))) |
125 | 92, 10 | sstrd 3993 |
. . . . 5
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β π΅ β π) |
126 | | eqid 2730 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((neiβπ½)βπ΅) β¦ (π β© π΄)) = (π β ((neiβπ½)βπ΅) β¦ (π β© π΄)) |
127 | 126 | elrnmpt 5956 |
. . . . . . . 8
β’ (π β V β (π β ran (π β ((neiβπ½)βπ΅) β¦ (π β© π΄)) β βπ β ((neiβπ½)βπ΅)π = (π β© π΄))) |
128 | 127 | elv 3478 |
. . . . . . 7
β’ (π β ran (π β ((neiβπ½)βπ΅) β¦ (π β© π΄)) β βπ β ((neiβπ½)βπ΅)π = (π β© π΄)) |
129 | | df-rex 3069 |
. . . . . . 7
β’
(βπ β
((neiβπ½)βπ΅)π = (π β© π΄) β βπ(π β ((neiβπ½)βπ΅) β§ π = (π β© π΄))) |
130 | 128, 129 | bitri 274 |
. . . . . 6
β’ (π β ran (π β ((neiβπ½)βπ΅) β¦ (π β© π΄)) β βπ(π β ((neiβπ½)βπ΅) β§ π = (π β© π΄))) |
131 | 11 | isnei 22829 |
. . . . . . . 8
β’ ((π½ β Top β§ π΅ β π) β (π β ((neiβπ½)βπ΅) β (π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)))) |
132 | 131 | anbi1d 628 |
. . . . . . 7
β’ ((π½ β Top β§ π΅ β π) β ((π β ((neiβπ½)βπ΅) β§ π = (π β© π΄)) β ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄)))) |
133 | 132 | exbidv 1922 |
. . . . . 6
β’ ((π½ β Top β§ π΅ β π) β (βπ(π β ((neiβπ½)βπ΅) β§ π = (π β© π΄)) β βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄)))) |
134 | 130, 133 | bitrid 282 |
. . . . 5
β’ ((π½ β Top β§ π΅ β π) β (π β ran (π β ((neiβπ½)βπ΅) β¦ (π β© π΄)) β βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄)))) |
135 | 9, 125, 134 | syl2anc 582 |
. . . 4
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β (π β ran (π β ((neiβπ½)βπ΅) β¦ (π β© π΄)) β βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄)))) |
136 | 124, 135 | bitrd 278 |
. . 3
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β (π β (((neiβπ½)βπ΅) βΎt π΄) β βπ((π β π β§ βπ β π½ (π΅ β π β§ π β π)) β§ π = (π β© π΄)))) |
137 | 114, 120,
136 | 3bitr4d 310 |
. 2
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β (π β ((neiβ(π½ βΎt π΄))βπ΅) β π β (((neiβπ½)βπ΅) βΎt π΄))) |
138 | 137 | eqrdv 2728 |
1
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π β§ π΅ β π΄) β ((neiβ(π½ βΎt π΄))βπ΅) = (((neiβπ½)βπ΅) βΎt π΄)) |