Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupresxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupresxr 43632
Description: The superior limit of a function only depends on the restriction of that function to the preimage of the set of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupresxr.1 (𝜑𝐹𝑉)
limsupresxr.2 (𝜑 → Fun 𝐹)
limsupresxr.3 𝐴 = (𝐹 “ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupresxr (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresxr
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resimass 43101 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
32ssrind 4181 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4 limsupresxr.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐹)
54funfnd 6509 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
6 elinel1 4141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7 fvelima2 43123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦)
85, 6, 7syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦)
9 elinel1 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
1093ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑦)
12 elinel2 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1411, 13eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
15143adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1610, 15jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*))
17163adant1l 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*))
18 simp1l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
19 elpreima 6985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
205, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
2217, 21mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*))
23 limsupresxr.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (𝐹 “ ℝ*)
2422, 23eleqtrrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥𝐴)
25243expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥𝐴)
2625fvresd 6839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
27 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑦)
2826, 27eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
29 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
304funresd 6521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Fun (𝐹𝐴))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → Fun (𝐹𝐴))
329ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3325, 32elind 4140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
34 dmres 5939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
3533, 34eleqtrrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴))
3631, 35jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴)))
37 elinel2 4142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
3837ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
39 funfvima 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
4036, 38, 39sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4128, 40eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4241rexlimdva2 3150 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
438, 42mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4443ralrimiva 3139 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
45 dfss3 3919 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4644, 45sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
47 inss2 4175 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
4946, 48ssind 4178 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
503, 49eqssd 3948 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5150supeq1d 9295 . . . . 5 (𝜑 → sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5251mpteq2dv 5191 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5352rneqd 5873 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5453infeq1d 9326 . 2 (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
55 limsupresxr.1 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
5655resexd 5964 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ V)
57 eqid 2736 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5857limsupval 15274 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ V → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
5956, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
60 eqid 2736 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6160limsupval 15274 . . 3 (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6255, 61syl 17 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6354, 59, 623eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3441  cin 3896  wss 3897  cmpt 5172  ccnv 5613  dom cdm 5614  ran crn 5615  cres 5616  cima 5617  Fun wfun 6467   Fn wfn 6468  cfv 6473  (class class class)co 7329  supcsup 9289  infcinf 9290  cr 10963  +∞cpnf 11099  *cxr 11101   < clt 11102  [,)cico 13174  lim supclsp 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-sup 9291  df-inf 9292  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-limsup 15271
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator