Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupresxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupresxr 44782
Description: The superior limit of a function only depends on the restriction of that function to the preimage of the set of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupresxr.1 (𝜑𝐹𝑉)
limsupresxr.2 (𝜑 → Fun 𝐹)
limsupresxr.3 𝐴 = (𝐹 “ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupresxr (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresxr
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resimass 44243 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
32ssrind 4236 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4 limsupresxr.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐹)
54funfnd 6580 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
6 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7 fvelima2 44264 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦)
85, 6, 7syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦)
9 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
1093ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑦)
12 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1411, 13eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
15143adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1610, 15jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*))
17163adant1l 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*))
18 simp1l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
19 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
205, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
2217, 21mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*))
23 limsupresxr.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (𝐹 “ ℝ*)
2422, 23eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥𝐴)
25243expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥𝐴)
2625fvresd 6912 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
27 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑦)
2826, 27eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
29 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
304funresd 6592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Fun (𝐹𝐴))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → Fun (𝐹𝐴))
329ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3325, 32elind 4195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
34 dmres 6004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
3533, 34eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴))
3631, 35jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴)))
37 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
3837ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
39 funfvima 7235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
4036, 38, 39sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4128, 40eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4241rexlimdva2 3156 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
438, 42mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4443ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
45 dfss3 3971 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4644, 45sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
47 inss2 4230 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
4946, 48ssind 4233 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
503, 49eqssd 4000 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5150supeq1d 9444 . . . . 5 (𝜑 → sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5251mpteq2dv 5251 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5352rneqd 5938 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5453infeq1d 9475 . 2 (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
55 limsupresxr.1 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
5655resexd 6029 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ V)
57 eqid 2731 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5857limsupval 15423 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ V → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
5956, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
60 eqid 2731 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6160limsupval 15423 . . 3 (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6255, 61syl 17 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6354, 59, 623eqtr4d 2781 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  cin 3948  wss 3949  cmpt 5232  ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678  cres 5679  cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  cfv 6544  (class class class)co 7412  supcsup 9438  infcinf 9439  cr 11112  +∞cpnf 11250  *cxr 11252   < clt 11253  [,)cico 13331  lim supclsp 15419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-limsup 15420
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator