Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupresxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupresxr 43997
Description: The superior limit of a function only depends on the restriction of that function to the preimage of the set of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupresxr.1 (𝜑𝐹𝑉)
limsupresxr.2 (𝜑 → Fun 𝐹)
limsupresxr.3 𝐴 = (𝐹 “ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupresxr (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresxr
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resimass 43456 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
32ssrind 4195 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4 limsupresxr.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐹)
54funfnd 6532 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
6 elinel1 4155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7 fvelima2 43478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦)
85, 6, 7syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦)
9 elinel1 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
1093ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑦)
12 elinel2 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1411, 13eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
15143adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1610, 15jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*))
17163adant1l 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*))
18 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
19 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
205, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
2217, 21mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*))
23 limsupresxr.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (𝐹 “ ℝ*)
2422, 23eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥𝐴)
25243expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥𝐴)
2625fvresd 6862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
27 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑦)
2826, 27eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
29 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
304funresd 6544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Fun (𝐹𝐴))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → Fun (𝐹𝐴))
329ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3325, 32elind 4154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
34 dmres 5959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
3533, 34eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴))
3631, 35jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴)))
37 elinel2 4156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
3837ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
39 funfvima 7180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
4036, 38, 39sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4128, 40eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4241rexlimdva2 3154 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
438, 42mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4443ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
45 dfss3 3932 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4644, 45sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
47 inss2 4189 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
4946, 48ssind 4192 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
503, 49eqssd 3961 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5150supeq1d 9382 . . . . 5 (𝜑 → sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5251mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5352rneqd 5893 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5453infeq1d 9413 . 2 (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
55 limsupresxr.1 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
5655resexd 5984 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ V)
57 eqid 2736 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5857limsupval 15356 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ V → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
5956, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
60 eqid 2736 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6160limsupval 15356 . . 3 (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6255, 61syl 17 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6354, 59, 623eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  cmpt 5188  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  infcinf 9377  cr 11050  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  [,)cico 13266  lim supclsp 15352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-limsup 15353
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator