Theorem limsupresxr 42982

Description: The superior limit of a function only depends on the restriction of that function to the preimage of the set of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupresxr.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
limsupresxr.2	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
limsupresxr.3	⊢ 𝐴 = (◡𝐹 “ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupresxr	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresxr

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resimass 42456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
3	2	ssrind 4150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4		limsupresxr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
5	4	funfnd 6411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
6		elinel1 4109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7		fvelima2 42478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑥) = 𝑦)
8	5, 6, 7	syl2an 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑥) = 𝑦)
9		elinel1 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
10	9	3ad2ant2 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
12		elinel2 4110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
13	12	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14	11, 13	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
15	14	3adant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
16	10, 15	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*))
17	16	3adant1l 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*))
18		simp1l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
19		elpreima 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)))
20	5, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)))
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)))
22	17, 21	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*))
23		limsupresxr.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐴 = (◡𝐹 “ ℝ*)
24	22, 23	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	3expa 1120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
26	25	fvresd 6737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
27		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
28	26, 27	eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥))
29		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
30	4	funresd 6423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
32	9	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
33	25, 32	elind 4108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
34		dmres 5873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
35	33, 34	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
36	31, 35	jca 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴)))
37		elinel2 4110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
38	37	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
39		funfvima 7046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
40	36, 38, 39	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
41	28, 40	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
42	41	rexlimdva2 3206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
43	8, 42	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
44	43	ralrimiva 3105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
45		dfss3 3888	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
46	44, 45	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
47		inss2 4144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
49	46, 48	ssind 4147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ (((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
50	3, 49	eqssd 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
51	50	supeq1d 9062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
52	51	mpteq2dv 5151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
53	52	rneqd 5807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
54	53	infeq1d 9093	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
55		limsupresxr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
56	55	resexd 5898	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V)
57		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
58	57	limsupval 15035	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
59	56, 58	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
60		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
61	60	limsupval 15035	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
62	55, 61	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
63	54, 59, 62	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  Vcvv 3408   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866   ↦ cmpt 5135  ^◡ccnv 5550  dom cdm 5551  ran crn 5552   ↾ cres 5553   “ cima 5554  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  supcsup 9056  infcinf 9057  ℝcr 10728  +∞cpnf 10864  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867  [,)cico 12937  lim supclsp 15031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-limsup 15032

This theorem is referenced by: (None)