| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | mdslmd.4 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐷 ∈
Cℋ |
| 2 | | mdslmd.1 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐴 ∈
Cℋ |
| 3 | | chlej2 31530 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐷 ∈
Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ
∧ 𝑥 ∈
Cℋ ) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴)) |
| 4 | 3 | ex 412 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐷 ∈
Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ
∧ 𝑥 ∈
Cℋ ) → (𝐷 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))) |
| 5 | 1, 2, 4 | mp3an12 1453 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈
Cℋ → (𝐷 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))) |
| 6 | 5 | impcom 407 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
→ (𝑥
∨ℋ 𝐷)
⊆ (𝑥
∨ℋ 𝐴)) |
| 7 | 6 | ssrind 4244 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
→ ((𝑥
∨ℋ 𝐷)
∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) |
| 8 | 7 | adantll 714 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
→ ((𝑥
∨ℋ 𝐷)
∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) |
| 9 | 8 | adantll 714 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
→ ((𝑥
∨ℋ 𝐷)
∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) |
| 10 | 9 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢
(((((𝐴
𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) |
| 11 | | ssin 4239 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) |
| 12 | | inass 4228 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) |
| 13 | | mdslmd.2 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝐵 ∈
Cℋ |
| 14 | | mdi 32314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ
∧ 𝑥 ∈
Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) |
| 15 | 2, 14 | mp3anl1 1457 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐵 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
∧ (𝐴
𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) |
| 16 | 13, 15 | mpanl1 700 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) |
| 17 | 16 | ineq1d 4219 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶)) |
| 18 | 12, 17 | eqtr3id 2791 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶)) |
| 19 | 18 | adantrlr 723 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶)) |
| 20 | 19 | adantrrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶)) |
| 21 | | mdslmd.3 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝐶 ∈
Cℋ |
| 22 | 2, 13 | chincli 31479 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈
Cℋ |
| 23 | | mdi 32314 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
∧ 𝐶 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ
𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶))) |
| 24 | 22, 23 | mp3anl1 1457 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐶 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ
𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶))) |
| 25 | 21, 24 | mpanl1 700 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶))) |
| 26 | | inass 4228 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) |
| 27 | 26 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) |
| 28 | 25, 27 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 29 | 28 | adantrll 722 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 30 | 29 | adantrrl 724 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶))) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 31 | 20, 30 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 32 | 31 | ancoms 458 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
→ ((𝑥
∨ℋ 𝐴)
∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 33 | 32 | an32s 652 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 34 | 11, 33 | sylan2br 595 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 35 | 34 | adantllr 719 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝐴
𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 36 | | inass 4228 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) |
| 37 | | in12 4229 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐵 ∩ (𝐶 ∩ 𝐶)) |
| 38 | | inidm 4227 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐶 ∩ 𝐶) = 𝐶 |
| 39 | 38 | ineq2i 4217 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 ∩ (𝐶 ∩ 𝐶)) = (𝐵 ∩ 𝐶) |
| 40 | 37, 39 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐵 ∩ 𝐶) |
| 41 | 40 | ineq2i 4217 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) |
| 42 | 36, 41 | eqtr2i 2766 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) |
| 43 | | ssrin 4242 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 → ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) |
| 44 | 42, 43 | eqsstrid 4022 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) |
| 45 | | ssrin 4242 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) |
| 46 | 44, 45 | anim12i 613 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∧ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 47 | | eqss 3999 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∧ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 48 | 46, 47 | sylibr 234 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) |
| 49 | 48 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 50 | 49 | ad3antlr 731 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝐴
𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 51 | 35, 50 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢
(((((𝐴
𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 52 | 10, 51 | sseqtrd 4020 |
. . . 4
⊢
(((((𝐴
𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))) |
| 53 | 52 | ex 412 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
→ (𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))) |
| 54 | 53 | ralrimiva 3146 |
. 2
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ Cℋ
(𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))) |
| 55 | 13, 21 | chincli 31479 |
. . 3
⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈
Cℋ |
| 56 | | mdbr2 32315 |
. . 3
⊢ ((𝐷 ∈
Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
→ (𝐷
𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ
(𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))))) |
| 57 | 1, 55, 56 | mp2an 692 |
. 2
⊢ (𝐷 𝑀ℋ
(𝐵 ∩ 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ
(𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))) |
| 58 | 54, 57 | sylibr 234 |
1
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) → 𝐷 𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) |