Theorem mdslmd3i 32360

Description: Modular pair conditions that imply the modular pair property in a sublattice. Lemma 1.5.1 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 23-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdslmd.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdslmd.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdslmd.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mdslmd.4	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdslmd3i	⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) → 𝐷 𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))

Proof of Theorem mdslmd3i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdslmd.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
2		mdslmd.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		chlej2 31539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
4	3	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐷 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴)))
5	1, 2, 4	mp3an12 1450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐷 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴)))
6	5	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
7	6	ssrind 4251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
8	7	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
9	8	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
11		ssin 4246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))
12		inass 4235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))
13		mdslmd.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
14		mdi 32323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
15	2, 14	mp3anl1 1454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
16	13, 15	mpanl1 700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
17	16	ineq1d 4226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶))
18	12, 17	eqtr3id 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶))
19	18	adantrlr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶))
20	19	adantrrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶))
21		mdslmd.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
22	2, 13	chincli 31488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
23		mdi 32323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)))
24	22, 23	mp3anl1 1454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)))
25	21, 24	mpanl1 700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)))
26		inass 4235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))
27	26	oveq2i 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
28	25, 27	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
29	28	adantrll 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
30	29	adantrrl 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶))) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
31	20, 30	eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
32	31	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
33	32	an32s 652	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
34	11, 33	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
35	34	adantllr 719	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
36		inass 4235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
37		in12 4236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐵 ∩ (𝐶 ∩ 𝐶))
38		inidm 4234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐶) = 𝐶
39	38	ineq2i 4224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐶 ∩ 𝐶)) = (𝐵 ∩ 𝐶)
40	37, 39	eqtri 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐵 ∩ 𝐶)
41	40	ineq2i 4224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))
42	36, 41	eqtr2i 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))
43		ssrin 4249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 → ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
44	42, 43	eqsstrid 4043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
45		ssrin 4249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
46	44, 45	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∧ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
47		eqss 4010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∧ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
48	46, 47	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
49	48	oveq2d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
50	49	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
51	35, 50	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
52	10, 51	sseqtrd 4035	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
53	52	ex 412	. . 3 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
54	53	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
55	13, 21	chincli 31488	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ
56		mdbr2 32324	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐷 𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))))
57	1, 55, 56	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐷 𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
58	54, 57	sylibr 234	1 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) → 𝐷 𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430   C_ℋ cch 30957   ∨_ℋ chj 30961   𝑀_ℋ cmd 30994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-chj 31338  df-md 32308

This theorem is referenced by:  mdslmd4i  32361