HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslmd3i 29531
Description: Modular pair conditions that imply the modular pair property in a sublattice. Lemma 1.5.1 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 23-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴C
mdslmd.2 𝐵C
mdslmd.3 𝐶C
mdslmd.4 𝐷C
Assertion
Ref Expression
mdslmd3i (((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ ((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴)) → 𝐷 𝑀 (𝐵𝐶))

Proof of Theorem mdslmd3i
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdslmd.4 . . . . . . . . . . 11 𝐷C
2 mdslmd.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
3 chlej2 28710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷C𝐴C𝑥C ) ∧ 𝐷𝐴) → (𝑥 𝐷) ⊆ (𝑥 𝐴))
43ex 397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷C𝐴C𝑥C ) → (𝐷𝐴 → (𝑥 𝐷) ⊆ (𝑥 𝐴)))
51, 2, 4mp3an12 1562 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (𝐷𝐴 → (𝑥 𝐷) ⊆ (𝑥 𝐴)))
65impcom 394 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝐴𝑥C ) → (𝑥 𝐷) ⊆ (𝑥 𝐴))
76ssrind 3988 . . . . . . . 8 ((𝐷𝐴𝑥C ) → ((𝑥 𝐷) ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶)))
87adantll 693 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴) ∧ 𝑥C ) → ((𝑥 𝐷) ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶)))
98adantll 693 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ ((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴)) ∧ 𝑥C ) → ((𝑥 𝐷) ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶)))
109adantr 466 . . . . 5 (((((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ ((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴)) ∧ 𝑥C ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵𝐶)) → ((𝑥 𝐷) ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶)))
11 ssin 3983 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑥𝐶) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐵𝐶))
12 inass 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶))
13 mdslmd.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵C
14 mdi 29494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴C𝐵C𝑥C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵𝑥𝐵)) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
152, 14mp3anl1 1566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵C𝑥C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵𝑥𝐵)) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
1613, 15mpanl1 680 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C ∧ (𝐴 𝑀 𝐵𝑥𝐵)) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
1716ineq1d 3964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐴 𝑀 𝐵𝑥𝐵)) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝑥 (𝐴𝐵)) ∩ 𝐶))
1812, 17syl5eqr 2819 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐴 𝑀 𝐵𝑥𝐵)) → ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶)) = ((𝑥 (𝐴𝐵)) ∩ 𝐶))
1918adantrlr 702 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ 𝑥𝐵)) → ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶)) = ((𝑥 (𝐴𝐵)) ∩ 𝐶))
2019adantrrr 704 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐶))) → ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶)) = ((𝑥 (𝐴𝐵)) ∩ 𝐶))
21 mdslmd.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶C
222, 13chincli 28659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝐵) ∈ C
23 mdi 29494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝐵) ∈ C𝐶C𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) 𝑀 𝐶𝑥𝐶)) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐶)))
2422, 23mp3anl1 1566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐶C𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) 𝑀 𝐶𝑥𝐶)) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐶)))
2521, 24mpanl1 680 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ ((𝐴𝐵) 𝑀 𝐶𝑥𝐶)) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐶)))
26 inass 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))
2726oveq2i 6807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐶)) = (𝑥 (𝐴 ∩ (𝐵𝐶)))
2825, 27syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ ((𝐴𝐵) 𝑀 𝐶𝑥𝐶)) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))))
2928adantrll 701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ 𝑥𝐶)) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))))
3029adantrrl 703 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐶))) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))))
3120, 30eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐶))) → ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶)) = (𝑥 (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))))
3231ancoms 446 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐶)) ∧ 𝑥C ) → ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶)) = (𝑥 (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))))
3332an32s 631 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ 𝑥C ) ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐶)) → ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶)) = (𝑥 (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))))
3411, 33sylan2br 582 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ 𝑥C ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵𝐶)) → ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶)) = (𝑥 (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))))
3534adantllr 698 . . . . . 6 (((((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ ((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴)) ∧ 𝑥C ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵𝐶)) → ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶)) = (𝑥 (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))))
36 inass 3972 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐶) ∩ (𝐵𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (𝐵𝐶)))
37 in12 3973 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 ∩ (𝐵𝐶)) = (𝐵 ∩ (𝐶𝐶))
38 inidm 3971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝐶) = 𝐶
3938ineq2i 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∩ (𝐶𝐶)) = (𝐵𝐶)
4037, 39eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∩ (𝐵𝐶)) = (𝐵𝐶)
4140ineq2i 3962 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (𝐵𝐶))) = (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))
4236, 41eqtr2i 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐵𝐶)) = ((𝐴𝐶) ∩ (𝐵𝐶))
43 ssrin 3986 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷 → ((𝐴𝐶) ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵𝐶)))
4442, 43syl5eqss 3798 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵𝐶)))
45 ssrin 3986 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝐴 → (𝐷 ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵𝐶)))
4644, 45anim12i 600 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴) → ((𝐴 ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵𝐶)) ∧ (𝐷 ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))))
47 eqss 3767 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ (𝐵𝐶)) = (𝐷 ∩ (𝐵𝐶)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵𝐶)) ∧ (𝐷 ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))))
4846, 47sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴) → (𝐴 ∩ (𝐵𝐶)) = (𝐷 ∩ (𝐵𝐶)))
4948oveq2d 6812 . . . . . . 7 (((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴) → (𝑥 (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))) = (𝑥 (𝐷 ∩ (𝐵𝐶))))
5049ad3antlr 710 . . . . . 6 (((((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ ((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴)) ∧ 𝑥C ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵𝐶)) → (𝑥 (𝐴 ∩ (𝐵𝐶))) = (𝑥 (𝐷 ∩ (𝐵𝐶))))
5135, 50eqtrd 2805 . . . . 5 (((((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ ((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴)) ∧ 𝑥C ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵𝐶)) → ((𝑥 𝐴) ∩ (𝐵𝐶)) = (𝑥 (𝐷 ∩ (𝐵𝐶))))
5210, 51sseqtrd 3790 . . . 4 (((((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ ((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴)) ∧ 𝑥C ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵𝐶)) → ((𝑥 𝐷) ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ (𝑥 (𝐷 ∩ (𝐵𝐶))))
5352ex 397 . . 3 ((((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ ((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴)) ∧ 𝑥C ) → (𝑥 ⊆ (𝐵𝐶) → ((𝑥 𝐷) ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ (𝑥 (𝐷 ∩ (𝐵𝐶)))))
5453ralrimiva 3115 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ ((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴)) → ∀𝑥C (𝑥 ⊆ (𝐵𝐶) → ((𝑥 𝐷) ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ (𝑥 (𝐷 ∩ (𝐵𝐶)))))
5513, 21chincli 28659 . . 3 (𝐵𝐶) ∈ C
56 mdbr2 29495 . . 3 ((𝐷C ∧ (𝐵𝐶) ∈ C ) → (𝐷 𝑀 (𝐵𝐶) ↔ ∀𝑥C (𝑥 ⊆ (𝐵𝐶) → ((𝑥 𝐷) ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ (𝑥 (𝐷 ∩ (𝐵𝐶))))))
571, 55, 56mp2an 672 . 2 (𝐷 𝑀 (𝐵𝐶) ↔ ∀𝑥C (𝑥 ⊆ (𝐵𝐶) → ((𝑥 𝐷) ∩ (𝐵𝐶)) ⊆ (𝑥 (𝐷 ∩ (𝐵𝐶)))))
5854, 57sylibr 224 1 (((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) 𝑀 𝐶) ∧ ((𝐴𝐶) ⊆ 𝐷𝐷𝐴)) → 𝐷 𝑀 (𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  cin 3722  wss 3723   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796   C cch 28126   chj 28130   𝑀 cmd 28163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cc 9463  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282  ax-hcompl 28399
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-lm 21254  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cfil 23272  df-cau 23273  df-cmet 23274  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-ssp 27917  df-ph 28008  df-cbn 28059  df-hnorm 28165  df-hba 28166  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-hcau 28170  df-sh 28404  df-ch 28418  df-oc 28449  df-ch0 28450  df-shs 28507  df-chj 28509  df-md 29479
This theorem is referenced by:  mdslmd4i  29532
  Copyright terms: Public domain W3C validator