Theorem mdslmd3i 32170

Description: Modular pair conditions that imply the modular pair property in a sublattice. Lemma 1.5.1 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 23-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdslmd.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdslmd.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdslmd.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mdslmd.4	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdslmd3i	⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) → 𝐷 𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))

Proof of Theorem mdslmd3i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdslmd.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
2		mdslmd.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		chlej2 31349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
4	3	ex 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐷 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴)))
5	1, 2, 4	mp3an12 1447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐷 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴)))
6	5	impcom 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
7	6	ssrind 4238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
8	7	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
9	8	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
10	9	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
11		ssin 4233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))
12		inass 4222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))
13		mdslmd.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
14		mdi 32133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
15	2, 14	mp3anl1 1451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
16	13, 15	mpanl1 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
17	16	ineq1d 4213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶))
18	12, 17	eqtr3id 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶))
19	18	adantrlr 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶))
20	19	adantrrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶))
21		mdslmd.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
22	2, 13	chincli 31298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
23		mdi 32133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)))
24	22, 23	mp3anl1 1451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)))
25	21, 24	mpanl1 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)))
26		inass 4222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))
27	26	oveq2i 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
28	25, 27	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
29	28	adantrll 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
30	29	adantrrl 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶))) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
31	20, 30	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
32	31	ancoms 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
33	32	an32s 650	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
34	11, 33	sylan2br 593	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
35	34	adantllr 717	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
36		inass 4222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
37		in12 4223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐵 ∩ (𝐶 ∩ 𝐶))
38		inidm 4221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐶) = 𝐶
39	38	ineq2i 4211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐶 ∩ 𝐶)) = (𝐵 ∩ 𝐶)
40	37, 39	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐵 ∩ 𝐶)
41	40	ineq2i 4211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))
42	36, 41	eqtr2i 2757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))
43		ssrin 4236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 → ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
44	42, 43	eqsstrid 4030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
45		ssrin 4236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
46	44, 45	anim12i 611	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∧ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
47		eqss 3997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∧ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
48	46, 47	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
49	48	oveq2d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
50	49	ad3antlr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
51	35, 50	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
52	10, 51	sseqtrd 4022	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
53	52	ex 411	. . 3 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
54	53	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
55	13, 21	chincli 31298	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ
56		mdbr2 32134	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐷 𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))))
57	1, 55, 56	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝐷 𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
58	54, 57	sylibr 233	1 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) → 𝐷 𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426   C_ℋ cch 30767   ∨_ℋ chj 30771   𝑀_ℋ cmd 30804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cc 10468  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228  ax-hilex 30837  ax-hfvadd 30838  ax-hvcom 30839  ax-hvass 30840  ax-hv0cl 30841  ax-hvaddid 30842  ax-hfvmul 30843  ax-hvmulid 30844  ax-hvmulass 30845  ax-hvdistr1 30846  ax-hvdistr2 30847  ax-hvmul0 30848  ax-hfi 30917  ax-his1 30920  ax-his2 30921  ax-his3 30922  ax-his4 30923  ax-hcompl 31040

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-lm 23161  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cfil 25211  df-cau 25212  df-cmet 25213  df-grpo 30331  df-gid 30332  df-ginv 30333  df-gdiv 30334  df-ablo 30383  df-vc 30397  df-nv 30430  df-va 30433  df-ba 30434  df-sm 30435  df-0v 30436  df-vs 30437  df-nmcv 30438  df-ims 30439  df-dip 30539  df-ssp 30560  df-ph 30651  df-cbn 30701  df-hnorm 30806  df-hba 30807  df-hvsub 30809  df-hlim 30810  df-hcau 30811  df-sh 31045  df-ch 31059  df-oc 31090  df-ch0 31091  df-shs 31146  df-chj 31148  df-md 32118

This theorem is referenced by:  mdslmd4i  32171