Theorem mdslmd3i 29805

Description: Modular pair conditions that imply the modular pair property in a sublattice. Lemma 1.5.1 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 23-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdslmd.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdslmd.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdslmd.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mdslmd.4	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdslmd3i	⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) → 𝐷 𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))

Proof of Theorem mdslmd3i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdslmd.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
2		mdslmd.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		chlej2 28984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
4	3	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐷 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴)))
5	1, 2, 4	mp3an12 1443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐷 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴)))
6	5	impcom 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
7	6	ssrind 4136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
8	7	adantll 710	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
9	8	adantll 710	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
11		ssin 4131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))
12		inass 4120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))
13		mdslmd.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
14		mdi 29768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
15	2, 14	mp3anl1 1447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
16	13, 15	mpanl1 696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
17	16	ineq1d 4112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶))
18	12, 17	syl5eqr 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶))
19	18	adantrlr 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶))
20	19	adantrrr 721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶))
21		mdslmd.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
22	2, 13	chincli 28933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
23		mdi 29768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)))
24	22, 23	mp3anl1 1447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)))
25	21, 24	mpanl1 696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)))
26		inass 4120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))
27	26	oveq2i 7032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
28	25, 27	syl6eq 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
29	28	adantrll 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
30	29	adantrrl 720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶))) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ 𝐶) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
31	20, 30	eqtrd 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
32	31	ancoms 459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
33	32	an32s 648	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
34	11, 33	sylan2br 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
35	34	adantllr 715	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
36		inass 4120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
37		in12 4121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐵 ∩ (𝐶 ∩ 𝐶))
38		inidm 4119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐶) = 𝐶
39	38	ineq2i 4110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐶 ∩ 𝐶)) = (𝐵 ∩ 𝐶)
40	37, 39	eqtri 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐵 ∩ 𝐶)
41	40	ineq2i 4110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))
42	36, 41	eqtr2i 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))
43		ssrin 4134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 → ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
44	42, 43	eqsstrid 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
45		ssrin 4134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 → (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
46	44, 45	anim12i 612	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∧ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
47		eqss 3908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∧ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
48	46, 47	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))
49	48	oveq2d 7037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
50	49	ad3antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
51	35, 50	eqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
52	10, 51	sseqtrd 3932	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))
53	52	ex 413	. . 3 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
54	53	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
55	13, 21	chincli 28933	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ
56		mdbr2 29769	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐷 𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))))))
57	1, 55, 56	mp2an 688	. 2 ⊢ (𝐷 𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐷) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐷 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
58	54, 57	sylibr 235	1 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑀ℋ 𝐶) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴)) → 𝐷 𝑀ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105   ∩ cin 3862   ⊆ wss 3863   class class class wbr 4966  (class class class)co 7021   C_ℋ cch 28402   ∨_ℋ chj 28406   𝑀_ℋ cmd 28439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cc 9708  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468  ax-hilex 28472  ax-hfvadd 28473  ax-hvcom 28474  ax-hvass 28475  ax-hv0cl 28476  ax-hvaddid 28477  ax-hfvmul 28478  ax-hvmulid 28479  ax-hvmulass 28480  ax-hvdistr1 28481  ax-hvdistr2 28482  ax-hvmul0 28483  ax-hfi 28552  ax-his1 28555  ax-his2 28556  ax-his3 28557  ax-his4 28558  ax-hcompl 28675

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-omul 7963  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-card 9219  df-acn 9222  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-rest 16530  df-topn 16531  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-topgen 16551  df-pt 16552  df-prds 16555  df-xrs 16609  df-qtop 16614  df-imas 16615  df-xps 16617  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-mulg 17987  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-fbas 20229  df-fg 20230  df-cnfld 20233  df-top 21191  df-topon 21208  df-topsp 21230  df-bases 21243  df-cld 21316  df-ntr 21317  df-cls 21318  df-nei 21395  df-cn 21524  df-cnp 21525  df-lm 21526  df-haus 21612  df-tx 21859  df-hmeo 22052  df-fil 22143  df-fm 22235  df-flim 22236  df-flf 22237  df-xms 22618  df-ms 22619  df-tms 22620  df-cfil 23546  df-cau 23547  df-cmet 23548  df-grpo 27966  df-gid 27967  df-ginv 27968  df-gdiv 27969  df-ablo 28018  df-vc 28032  df-nv 28065  df-va 28068  df-ba 28069  df-sm 28070  df-0v 28071  df-vs 28072  df-nmcv 28073  df-ims 28074  df-dip 28174  df-ssp 28195  df-ph 28286  df-cbn 28336  df-hnorm 28441  df-hba 28442  df-hvsub 28444  df-hlim 28445  df-hcau 28446  df-sh 28680  df-ch 28694  df-oc 28725  df-ch0 28726  df-shs 28781  df-chj 28783  df-md 29753

This theorem is referenced by:  mdslmd4i  29806