Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcresringcat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rngcresringcat 46882
Description: The restriction of the category of non-unital rings to the set of unital ring homomorphisms is the category of unital rings. (Contributed by AV, 16-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcrngc.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rhmsubcrngc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rhmsubcrngc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rhmsubcrngc.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
rngcresringcat (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = (RingCatβ€˜π‘ˆ))
Proof of Theorem rngcresringcat
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmsubcrngc.c . . . 4 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
2 rhmsubcrngc.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
3 eqidd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) = (π‘ˆ ∩ Rng))
4 eqidd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))) = ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))))
5 eqidd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ (compβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)) = (compβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
61, 2, 3, 4, 5dfrngc2 46824 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 = {⟨(Baseβ€˜ndx), (π‘ˆ ∩ Rng)⟩, ⟨(Hom β€˜ndx), ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))⟩, ⟨(compβ€˜ndx), (compβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))⟩})
7 inex1g 5319 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) ∈ V)
82, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) ∈ V)
9 rnghmfn 46674 . . . . 5 RngHomo Fn (Rng Γ— Rng)
10 fnfun 6647 . . . . 5 ( RngHomo Fn (Rng Γ— Rng) β†’ Fun RngHomo )
119, 10mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun RngHomo )
12 sqxpexg 7739 . . . . 5 ((π‘ˆ ∩ Rng) ∈ V β†’ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)) ∈ V)
138, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)) ∈ V)
14 resfunexg 7214 . . . 4 ((Fun RngHomo ∧ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)) ∈ V) β†’ ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))) ∈ V)
1511, 13, 14syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))) ∈ V)
16 fvexd 6904 . . 3 (πœ‘ β†’ (compβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)) ∈ V)
17 rhmsubcrngc.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
18 rhmfn 46706 . . . . . 6 RingHom Fn (Ring Γ— Ring)
19 fnfun 6647 . . . . . 6 ( RingHom Fn (Ring Γ— Ring) β†’ Fun RingHom )
2018, 19mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun RingHom )
21 rhmsubcrngc.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Ring ∩ π‘ˆ))
22 incom 4201 . . . . . . . 8 (Ring ∩ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∩ Ring)
2321, 22eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring))
24 inex1g 5319 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) ∈ V)
252, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) ∈ V)
2623, 25eqeltrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
27 sqxpexg 7739 . . . . . 6 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V)
2826, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V)
29 resfunexg 7214 . . . . 5 ((Fun RingHom ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V) β†’ ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V)
3020, 28, 29syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V)
3117, 30eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
32 ringrng 46642 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ Ring β†’ π‘Ÿ ∈ Rng)
3332a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ Ring β†’ π‘Ÿ ∈ Rng))
3433ssrdv 3988 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ring βŠ† Rng)
3534ssrind 4235 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ring ∩ π‘ˆ) βŠ† (Rng ∩ π‘ˆ))
36 incom 4201 . . . . 5 (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ)
3736a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ))
3835, 21, 373sstr4d 4029 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (π‘ˆ ∩ Rng))
396, 8, 15, 16, 31, 38estrres 18088 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝐡) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩, ⟨(compβ€˜ndx), (compβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))⟩})
40 eqid 2733 . . 3 (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
41 fvexd 6904 . . . 4 (πœ‘ β†’ (RngCatβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
421, 41eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
4323, 17rhmresfn 46861 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
4440, 42, 26, 43rescval2 17772 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = ((𝐢 β†Ύs 𝐡) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
45 eqid 2733 . . 3 (RingCatβ€˜π‘ˆ) = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
4645, 2, 23, 17, 5dfringc2 46870 . 2 (πœ‘ β†’ (RingCatβ€˜π‘ˆ) = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩, ⟨(compβ€˜ndx), (compβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))⟩})
4739, 44, 463eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = (RingCatβ€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3947  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   sSet csts 17093  ndxcnx 17123  Basecbs 17141   β†Ύs cress 17170  Hom chom 17205  compcco 17206   β†Ύcat cresc 17752  ExtStrCatcestrc 18070  Ringcrg 20050   RingHom crh 20241  Rngcrng 46635   RngHomo crngh 46669  RngCatcrngc 46809  RingCatcringc 46855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-resc 17755  df-estrc 18071  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-ghm 19085  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-rnghom 20244  df-rng 46636  df-rnghomo 46671  df-rngc 46811  df-ringc 46857
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator