Theorem liminfresxr 46122

Description: The inferior limit of a function only depends on the preimage of the extended real part. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfresxr.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfresxr.2	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
liminfresxr.3	⊢ 𝐴 = (◡𝐹 “ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfresxr	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = (lim inf‘𝐹))

Proof of Theorem liminfresxr

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resimass 45595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
3	2	ssrind 4198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4		liminfresxr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
5	4	funfnd 6531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
6		elinel1 4155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7		fvelima2 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑥) = 𝑦)
8	5, 6, 7	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑥) = 𝑦)
9		elinel1 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
10	9	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
12		elinel2 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14	11, 13	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
15	14	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
16	10, 15	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*))
17	16	3adant1l 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*))
18		simp1l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
19		elpreima 7012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)))
20	5, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)))
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)))
22	17, 21	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*))
23		liminfresxr.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐴 = (◡𝐹 “ ℝ*)
24	22, 23	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
26	25	fvresd 6862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
28	26, 27	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥))
29		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
30	4	funresd 6543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
32	9	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
33	25, 32	elind 4154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
34		dmres 5979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
35	33, 34	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
36	31, 35	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴)))
37		elinel2 4156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
38	37	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
39		funfvima 7186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
40	36, 38, 39	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
41	28, 40	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
42	41	rexlimdva2 3141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
43	8, 42	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
44	43	ralrimiva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
45		dfss3 3924	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
46	44, 45	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
47		inss2 4192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
49	46, 48	ssind 4195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ (((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
50	3, 49	eqssd 3953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
51	50	infeq1d 9393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
52	51	mpteq2dv 5194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
53	52	rneqd 5895	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
54	53	supeq1d 9361	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
55		liminfresxr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
56	55	resexd 5995	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V)
57		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
58	57	liminfval 46114	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
59	56, 58	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
60		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
61	60	liminfval 46114	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
62	55, 61	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
63	54, 59, 62	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = (lim inf‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632  ran crn 5633   ↾ cres 5634   “ cima 5635  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  supcsup 9355  infcinf 9356  ℝcr 11037  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178  [,)cico 13275  lim infclsi 46106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-liminf 46107

This theorem is referenced by: (None)