Theorem liminfresxr 45765

Description: The inferior limit of a function only depends on the preimage of the extended real part. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfresxr.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfresxr.2	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
liminfresxr.3	⊢ 𝐴 = (◡𝐹 “ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfresxr	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = (lim inf‘𝐹))

Proof of Theorem liminfresxr

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resimass 45234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
3	2	ssrind 4207	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4		liminfresxr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
5	4	funfnd 6547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
6		elinel1 4164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7		fvelima2 6913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑥) = 𝑦)
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑥) = 𝑦)
9		elinel1 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
10	9	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
12		elinel2 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14	11, 13	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
15	14	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
16	10, 15	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*))
17	16	3adant1l 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*))
18		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
19		elpreima 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)))
20	5, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)))
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)))
22	17, 21	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*))
23		liminfresxr.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐴 = (◡𝐹 “ ℝ*)
24	22, 23	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
26	25	fvresd 6878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
28	26, 27	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥))
29		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
30	4	funresd 6559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
32	9	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
33	25, 32	elind 4163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
34		dmres 5983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
35	33, 34	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
36	31, 35	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴)))
37		elinel2 4165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
38	37	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
39		funfvima 7204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
40	36, 38, 39	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
41	28, 40	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
42	41	rexlimdva2 3136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
43	8, 42	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
44	43	ralrimiva 3125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
45		dfss3 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
46	44, 45	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
47		inss2 4201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
49	46, 48	ssind 4204	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ (((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
50	3, 49	eqssd 3964	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
51	50	infeq1d 9429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
52	51	mpteq2dv 5201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
53	52	rneqd 5902	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
54	53	supeq1d 9397	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
55		liminfresxr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
56	55	resexd 5999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V)
57		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
58	57	liminfval 45757	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
59	56, 58	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
60		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
61	60	liminfval 45757	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
62	55, 61	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
63	54, 59, 62	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = (lim inf‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   ↾ cres 5640   “ cima 5641  Fun wfun 6505   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  supcsup 9391  infcinf 9392  ℝcr 11067  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208  [,)cico 13308  lim infclsi 45749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-liminf 45750

This theorem is referenced by: (None)