Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfresxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfresxr 44469
Description: The inferior limit of a function only depends on the preimage of the extended real part. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfresxr.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfresxr.2 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
liminfresxr.3 𝐴 = (◑𝐹 β€œ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfresxr (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝐴)) = (lim infβ€˜πΉ))

Proof of Theorem liminfresxr
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resimass 43928 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) βŠ† (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))
21a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) βŠ† (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
32ssrind 4234 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4 liminfresxr.2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
54funfnd 6576 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
6 elinel1 4194 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) β†’ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
7 fvelima2 43950 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))(πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦)
85, 6, 7syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))(πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦)
9 elinel1 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
1093ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
11 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦)
12 elinel2 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
1411, 13eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
15143adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1610, 15jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*))
17163adant1l 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*))
18 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ πœ‘)
19 elpreima 7056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn dom 𝐹 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ ℝ*) ↔ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)))
205, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ ℝ*) ↔ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ ℝ*) ↔ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)))
2217, 21mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ ℝ*))
23 liminfresxr.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (◑𝐹 β€œ ℝ*)
2422, 23eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
25243expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
2625fvresd 6908 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
27 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦)
2826, 27eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ 𝑦 = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯))
29 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ πœ‘)
304funresd 6588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴))
329ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
3325, 32elind 4193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
34 dmres 6001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
3533, 34eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
3631, 35jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
37 elinel2 4195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜[,)+∞))
3837ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜[,)+∞))
39 funfvima 7228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜[,)+∞) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞))))
4036, 38, 39sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)))
4128, 40eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)))
4241rexlimdva2 3157 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))(πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞))))
438, 42mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) β†’ 𝑦 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)))
4443ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)))
45 dfss3 3969 . . . . . . . . 9 (((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)))
4644, 45sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)))
47 inss2 4228 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*)
4946, 48ssind 4231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† (((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
503, 49eqssd 3998 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5150infeq1d 9468 . . . . 5 (πœ‘ β†’ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5251mpteq2dv 5249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5352rneqd 5935 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5453supeq1d 9437 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
55 liminfresxr.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
5655resexd 6026 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V)
57 eqid 2732 . . . 4 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5857liminfval 44461 . . 3 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V β†’ (lim infβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝐴)) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
5956, 58syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝐴)) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
60 eqid 2732 . . . 4 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6160liminfval 44461 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6255, 61syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6354, 59, 623eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝐴)) = (lim infβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  supcsup 9431  infcinf 9432  β„cr 11105  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244  [,)cico 13322  lim infclsi 44453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-liminf 44454
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator