Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfresxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfresxr 44483
Description: The inferior limit of a function only depends on the preimage of the extended real part. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfresxr.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfresxr.2 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
liminfresxr.3 𝐴 = (◑𝐹 β€œ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfresxr (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝐴)) = (lim infβ€˜πΉ))

Proof of Theorem liminfresxr
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resimass 43943 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) βŠ† (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))
21a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) βŠ† (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
32ssrind 4236 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4 liminfresxr.2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
54funfnd 6580 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
6 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) β†’ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
7 fvelima2 43964 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))(πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦)
85, 6, 7syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))(πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦)
9 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
1093ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
11 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦)
12 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
1312adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
1411, 13eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
15143adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1610, 15jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*))
17163adant1l 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*))
18 simp1l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ πœ‘)
19 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn dom 𝐹 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ ℝ*) ↔ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)))
205, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ ℝ*) ↔ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ ℝ*) ↔ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)))
2217, 21mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ ℝ*))
23 liminfresxr.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (◑𝐹 β€œ ℝ*)
2422, 23eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
25243expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
2625fvresd 6912 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
27 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦)
2826, 27eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ 𝑦 = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯))
29 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ πœ‘)
304funresd 6592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴))
329ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
3325, 32elind 4195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
34 dmres 6004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
3533, 34eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
3631, 35jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ (Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
37 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜[,)+∞))
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜[,)+∞))
39 funfvima 7232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜[,)+∞) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞))))
4036, 38, 39sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)))
4128, 40eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)))
4241rexlimdva2 3158 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘˜[,)+∞))(πΉβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞))))
438, 42mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)) β†’ 𝑦 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)))
4443ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)))
45 dfss3 3971 . . . . . . . . 9 (((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)))
4644, 45sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)))
47 inss2 4230 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*)
4946, 48ssind 4233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† (((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
503, 49eqssd 4000 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5150infeq1d 9472 . . . . 5 (πœ‘ β†’ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5251mpteq2dv 5251 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5352rneqd 5938 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5453supeq1d 9441 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
55 liminfresxr.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
5655resexd 6029 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V)
57 eqid 2733 . . . 4 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5857liminfval 44475 . . 3 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V β†’ (lim infβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝐴)) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
5956, 58syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝐴)) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
60 eqid 2733 . . . 4 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6160liminfval 44475 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6255, 61syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6354, 59, 623eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝐴)) = (lim infβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  infcinf 9436  β„cr 11109  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248  [,)cico 13326  lim infclsi 44467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-liminf 44468
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator