Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocyccntz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tocyccntz 32573
Description: All elements of a (finite) set of cycles commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocyccntz.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
tocyccntz.z 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘†)
tocyccntz.m 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
tocyccntz.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocyccntz.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 ran π‘₯)
tocyccntz.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝑀)
Assertion
Ref Expression
tocyccntz (πœ‘ β†’ (𝑀 β€œ 𝐴) βŠ† (π‘β€˜(𝑀 β€œ 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑀   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem tocyccntz
Dummy variables 𝑐 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocyccntz.s . 2 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
2 eqid 2730 . 2 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
3 tocyccntz.z . 2 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘†)
4 tocyccntz.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
5 tocyccntz.m . . . 4 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
65, 1, 2tocycf 32546 . . 3 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀:{𝑐 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
7 fimass 6737 . . 3 (𝑀:{𝑐 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†) β†’ (𝑀 β€œ 𝐴) βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
84, 6, 73syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 β€œ 𝐴) βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
9 difss 4130 . . . . . . 7 (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})) βŠ† 𝐴
10 tocyccntz.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 ran π‘₯)
11 disjss1 5118 . . . . . . 7 ((𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})) βŠ† 𝐴 β†’ (Disj π‘₯ ∈ 𝐴 ran π‘₯ β†’ Disj π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))ran π‘₯))
129, 10, 11mpsyl 68 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))ran π‘₯)
134adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
14 tocyccntz.a . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝑀)
1514adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝑀)
16 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
1716eldifad 3959 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1815, 17sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑀)
19 fdm 6725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀:{𝑐 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†) β†’ dom 𝑀 = {𝑐 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷})
2013, 6, 193syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ dom 𝑀 = {𝑐 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷})
2118, 20eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘₯ ∈ {𝑐 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷})
22 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = π‘₯ β†’ 𝑐 = π‘₯)
23 dmeq 5902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = π‘₯ β†’ dom 𝑐 = dom π‘₯)
24 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = π‘₯ β†’ 𝐷 = 𝐷)
2522, 23, 24f1eq123d 6824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = π‘₯ β†’ (𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷 ↔ π‘₯:dom π‘₯–1-1→𝐷))
2625elrab 3682 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {𝑐 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷} ↔ (π‘₯ ∈ Word 𝐷 ∧ π‘₯:dom π‘₯–1-1→𝐷))
2721, 26sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (π‘₯ ∈ Word 𝐷 ∧ π‘₯:dom π‘₯–1-1→𝐷))
2827simpld 493 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐷)
2927simprd 494 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ π‘₯:dom π‘₯–1-1→𝐷)
3016eldifbd 3960 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))
31 hashgt1 32287 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ V β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}) ↔ 1 < (β™―β€˜π‘₯)))
3231elv 3478 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}) ↔ 1 < (β™―β€˜π‘₯))
3330, 32sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ 1 < (β™―β€˜π‘₯))
345, 13, 28, 29, 33cycpmrn 32572 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ ran π‘₯ = dom ((π‘€β€˜π‘₯) βˆ– I ))
3516fvresd 6910 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘₯))
3635difeq1d 4120 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) βˆ– I ) = ((π‘€β€˜π‘₯) βˆ– I ))
3736dmeqd 5904 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ dom (((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) βˆ– I ) = dom ((π‘€β€˜π‘₯) βˆ– I ))
3834, 37eqtr4d 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ ran π‘₯ = dom (((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) βˆ– I ))
3938disjeq2dv 5117 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Disj π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))ran π‘₯ ↔ Disj π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))dom (((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) βˆ– I )))
4012, 39mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))dom (((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) βˆ– I ))
414, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀:{𝑐 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
4241ffdmd 6747 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀:dom π‘€βŸΆ(Baseβ€˜π‘†))
4314ssdifssd 4141 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})) βŠ† dom 𝑀)
4442, 43fssresd 6757 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))):(𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))⟢(Baseβ€˜π‘†))
4541, 14fssdmd 6735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† {𝑐 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷})
4645ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ 𝐴 βŠ† {𝑐 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷})
47 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
4847eldifad 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
4946, 48sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ 𝑠 ∈ {𝑐 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷})
50 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑠 β†’ 𝑐 = 𝑠)
51 dmeq 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑠 β†’ dom 𝑐 = dom 𝑠)
52 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑠 β†’ 𝐷 = 𝐷)
5350, 51, 52f1eq123d 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑠 β†’ (𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷 ↔ 𝑠:dom 𝑠–1-1→𝐷))
5453elrab 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ {𝑐 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷} ↔ (𝑠 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑠:dom 𝑠–1-1→𝐷))
5549, 54sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑠:dom 𝑠–1-1→𝐷))
5655simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ 𝑠 ∈ Word 𝐷)
57 wrdf 14473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ Word 𝐷 β†’ 𝑠:(0..^(β™―β€˜π‘ ))⟢𝐷)
58 frel 6721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠:(0..^(β™―β€˜π‘ ))⟢𝐷 β†’ Rel 𝑠)
5956, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ Rel 𝑠)
60 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯))
6147fvresd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = (π‘€β€˜π‘ ))
6216ad5ant13 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
6362fvresd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘₯))
6460, 61, 633eqtr3rd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘ ))
6564difeq1d 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) βˆ– I ) = ((π‘€β€˜π‘ ) βˆ– I ))
6665dmeqd 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ dom ((π‘€β€˜π‘₯) βˆ– I ) = dom ((π‘€β€˜π‘ ) βˆ– I ))
674ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
6817ad5ant13 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
6946, 68sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ {𝑐 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑐:dom 𝑐–1-1→𝐷})
7069, 26sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ Word 𝐷 ∧ π‘₯:dom π‘₯–1-1→𝐷))
7170simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐷)
7270simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ π‘₯:dom π‘₯–1-1→𝐷)
7333ad5ant13 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ 1 < (β™―β€˜π‘₯))
745, 67, 71, 72, 73cycpmrn 32572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ ran π‘₯ = dom ((π‘€β€˜π‘₯) βˆ– I ))
7555simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ 𝑠:dom 𝑠–1-1→𝐷)
7614ssdifd 4139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})) βŠ† (dom 𝑀 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
7776sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ 𝑠 ∈ (dom 𝑀 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
7877ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ 𝑠 ∈ (dom 𝑀 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
7978eldifbd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))
80 hashgt1 32287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ 𝑠 ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1}) ↔ 1 < (β™―β€˜π‘ )))
8180biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ∈ (β—‘β™― β€œ {0, 1})) β†’ 1 < (β™―β€˜π‘ ))
8248, 79, 81syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ 1 < (β™―β€˜π‘ ))
835, 67, 56, 75, 82cycpmrn 32572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ ran 𝑠 = dom ((π‘€β€˜π‘ ) βˆ– I ))
8466, 74, 833eqtr4rd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ ran 𝑠 = ran π‘₯)
8584ineq2d 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ (ran π‘₯ ∩ ran 𝑠) = (ran π‘₯ ∩ ran π‘₯))
86 inidm 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran π‘₯ ∩ ran π‘₯) = ran π‘₯
8785, 86eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ (ran π‘₯ ∩ ran 𝑠) = ran π‘₯)
88 rneq 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ran π‘₯ = ran 𝑦)
8988cbvdisjv 5123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Disj π‘₯ ∈ 𝐴 ran π‘₯ ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ran 𝑦)
9010, 89sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ran 𝑦)
9190ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ran 𝑦)
92 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ Β¬ 𝑠 = π‘₯)
9392neqned 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ 𝑠 β‰  π‘₯)
9493necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ π‘₯ β‰  𝑠)
95 rneq 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = π‘₯ β†’ ran 𝑦 = ran π‘₯)
96 rneq 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑠 β†’ ran 𝑦 = ran 𝑠)
9795, 96disji2 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ran 𝑦 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑠) β†’ (ran π‘₯ ∩ ran 𝑠) = βˆ…)
9891, 68, 48, 94, 97syl121anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ (ran π‘₯ ∩ ran 𝑠) = βˆ…)
9987, 98eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ ran π‘₯ = βˆ…)
10084, 99eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ ran 𝑠 = βˆ…)
101 relrn0 5967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Rel 𝑠 β†’ (𝑠 = βˆ… ↔ ran 𝑠 = βˆ…))
102101biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Rel 𝑠 ∧ ran 𝑠 = βˆ…) β†’ 𝑠 = βˆ…)
10359, 100, 102syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ 𝑠 = βˆ…)
104 wrdf 14473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ Word 𝐷 β†’ π‘₯:(0..^(β™―β€˜π‘₯))⟢𝐷)
105 frel 6721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯:(0..^(β™―β€˜π‘₯))⟢𝐷 β†’ Rel π‘₯)
10671, 104, 1053syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ Rel π‘₯)
107 relrn0 5967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Rel π‘₯ β†’ (π‘₯ = βˆ… ↔ ran π‘₯ = βˆ…))
108107biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Rel π‘₯ ∧ ran π‘₯ = βˆ…) β†’ π‘₯ = βˆ…)
109106, 99, 108syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ π‘₯ = βˆ…)
110103, 109eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑠 = π‘₯) β†’ 𝑠 = π‘₯)
111110pm2.18da 796 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) β†’ 𝑠 = π‘₯)
112111ex 411 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) β†’ 𝑠 = π‘₯))
113112anasss 465 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) β†’ (((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) β†’ 𝑠 = π‘₯))
114113ralrimivva 3198 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))(((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) β†’ 𝑠 = π‘₯))
115 dff13 7256 . . . . . . . . 9 ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))):(𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))–1-1β†’(Baseβ€˜π‘†) ↔ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))):(𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))⟢(Baseβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘  ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))(((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘ ) = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) β†’ 𝑠 = π‘₯)))
11644, 114, 115sylanbrc 581 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))):(𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))–1-1β†’(Baseβ€˜π‘†))
117 f1f1orn 6843 . . . . . . . 8 ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))):(𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))–1-1β†’(Baseβ€˜π‘†) β†’ (𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))):(𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))–1-1-ontoβ†’ran (𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))))
118116, 117syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))):(𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))–1-1-ontoβ†’ran (𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))))
119 df-ima 5688 . . . . . . . . 9 (𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) = ran (𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
120119a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) = ran (𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))))
121120f1oeq3d 6829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))):(𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))–1-1-ontoβ†’(𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ↔ (𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))):(𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))–1-1-ontoβ†’ran (𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))))
122118, 121mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))):(𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))–1-1-ontoβ†’(𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))))
123 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) β†’ 𝑐 = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯))
124123difeq1d 4120 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) β†’ (𝑐 βˆ– I ) = (((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) βˆ– I ))
125124dmeqd 5904 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = ((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯)) β†’ dom (𝑐 βˆ– I ) = dom (((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) βˆ– I ))
126122, 125disjrdx 32089 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Disj π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))dom (((𝑀 β†Ύ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))β€˜π‘₯) βˆ– I ) ↔ Disj 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))dom (𝑐 βˆ– I )))
12740, 126mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ Disj 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))dom (𝑐 βˆ– I ))
128 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = 𝑐) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = 𝑐)
1294ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = 𝑐) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
13014ssrind 4234 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})) βŠ† (dom 𝑀 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
131130ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = 𝑐) β†’ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})) βŠ† (dom 𝑀 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
132 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = 𝑐) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
133131, 132sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = 𝑐) β†’ π‘₯ ∈ (dom 𝑀 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))
1345tocyc01 32547 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑀 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = ( I β†Ύ 𝐷))
135129, 133, 134syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = 𝑐) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = ( I β†Ύ 𝐷))
136128, 135eqtr3d 2772 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = 𝑐) β†’ 𝑐 = ( I β†Ύ 𝐷))
137136difeq1d 4120 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = 𝑐) β†’ (𝑐 βˆ– I ) = (( I β†Ύ 𝐷) βˆ– I ))
138137dmeqd 5904 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = 𝑐) β†’ dom (𝑐 βˆ– I ) = dom (( I β†Ύ 𝐷) βˆ– I ))
139 resdifcom 5999 . . . . . . . . . 10 (( I β†Ύ 𝐷) βˆ– I ) = (( I βˆ– I ) β†Ύ 𝐷)
140 difid 4369 . . . . . . . . . . 11 ( I βˆ– I ) = βˆ…
141140reseq1i 5976 . . . . . . . . . 10 (( I βˆ– I ) β†Ύ 𝐷) = (βˆ… β†Ύ 𝐷)
142 0res 32101 . . . . . . . . . 10 (βˆ… β†Ύ 𝐷) = βˆ…
143139, 141, 1423eqtri 2762 . . . . . . . . 9 (( I β†Ύ 𝐷) βˆ– I ) = βˆ…
144143dmeqi 5903 . . . . . . . 8 dom (( I β†Ύ 𝐷) βˆ– I ) = dom βˆ…
145 dm0 5919 . . . . . . . 8 dom βˆ… = βˆ…
146144, 145eqtri 2758 . . . . . . 7 dom (( I β†Ύ 𝐷) βˆ– I ) = βˆ…
147138, 146eqtrdi 2786 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = 𝑐) β†’ dom (𝑐 βˆ– I ) = βˆ…)
14841ffund 6720 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun 𝑀)
149 fvelima 6956 . . . . . . 7 ((Fun 𝑀 ∧ 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))(π‘€β€˜π‘₯) = 𝑐)
150148, 149sylan 578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))(π‘€β€˜π‘₯) = 𝑐)
151147, 150r19.29a 3160 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) β†’ dom (𝑐 βˆ– I ) = βˆ…)
152151disjxun0 32072 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Disj 𝑐 ∈ ((𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) βˆͺ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))))dom (𝑐 βˆ– I ) ↔ Disj 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))dom (𝑐 βˆ– I )))
153127, 152mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ Disj 𝑐 ∈ ((𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) βˆͺ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))))dom (𝑐 βˆ– I ))
154 uncom 4152 . . . . . 6 ((𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) βˆͺ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) = ((𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) βˆͺ (𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))))
155 imaundi 6148 . . . . . 6 (𝑀 β€œ ((𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})) βˆͺ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) = ((𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) βˆͺ (𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))))
156 inundif 4477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})) βˆͺ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) = 𝐴
157156imaeq2i 6056 . . . . . 6 (𝑀 β€œ ((𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})) βˆͺ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) = (𝑀 β€œ 𝐴)
158154, 155, 1573eqtr2i 2764 . . . . 5 ((𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) βˆͺ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) = (𝑀 β€œ 𝐴)
159158a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) βˆͺ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1})))) = (𝑀 β€œ 𝐴))
160159disjeq1d 5120 . . 3 (πœ‘ β†’ (Disj 𝑐 ∈ ((𝑀 β€œ (𝐴 βˆ– (β—‘β™― β€œ {0, 1}))) βˆͺ (𝑀 β€œ (𝐴 ∩ (β—‘β™― β€œ {0, 1}))))dom (𝑐 βˆ– I ) ↔ Disj 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ 𝐴)dom (𝑐 βˆ– I )))
161153, 160mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ Disj 𝑐 ∈ (𝑀 β€œ 𝐴)dom (𝑐 βˆ– I ))
1621, 2, 3, 8, 161symgcntz 32516 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 β€œ 𝐴) βŠ† (π‘β€˜(𝑀 β€œ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {cpr 4629  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147   I cid 5572  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Rel wrel 5680  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Word cword 14468  Basecbs 17148  Cntzccntz 19220  SymGrpcsymg 19275  toCycctocyc 32535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-csh 14743  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-tset 17220  df-efmnd 18786  df-cntz 19222  df-symg 19276  df-tocyc 32536
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator