MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtwordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtwordi 27217
Description: The Chebyshev function is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtwordi ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (θ‘𝐴) ≤ (θ‘𝐵))

Proof of Theorem chtwordi
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1150 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 ppifi 27167 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ))
54elin2d 4157 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
6 prmuz2 16730 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
8 eluz2b2 12922 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
97, 8sylib 220 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
109simpld 498 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
1110nnred 12225 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
129simprd 499 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 1 < 𝑝)
1311, 12rplogcld 26691 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
1413rpred 13037 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
1513rpge0d 13041 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 0 ≤ (log‘𝑝))
16 0red 11184 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 0 ∈ ℝ)
17 0le0 12319 . . . . . 6 0 ≤ 0
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 0 ≤ 0)
19 simp3 1151 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
20 iccss 13418 . . . . 5 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝐴𝐵)) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,]𝐵))
2116, 1, 18, 19, 20syl22anc 849 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,]𝐵))
2221ssrind 4195 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ))
233, 14, 15, 22fsumless 15824 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ≤ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
24 chtval 27171 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
25243ad2ant1 1146 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
26 chtval 27171 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (θ‘𝐵) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
271, 26syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (θ‘𝐵) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
2823, 25, 273brtr4d 5132 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (θ‘𝐴) ≤ (θ‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1098   = wceq 1560  wcel 2142  cin 3903  wss 3904   class class class wbr 5100  cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  cr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   < clt 11216  cle 11217  cn 12210  2c2 12272  cuz 12839  [,]cicc 13352  Σcsu 15713  cprime 16705  logclog 26616  θccht 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-dvds 16287  df-prm 16706  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-lp 23193  df-perf 23194  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-haus 23372  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379  df-cncf 24937  df-limc 25925  df-dv 25926  df-log 26618  df-cht 27158
This theorem is referenced by:  chtrpcl  27236  bposlem6  27350
  Copyright terms: Public domain W3C validator