Theorem chtwordi 27195

Description: The Chebyshev function is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtwordi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐴) ≤ (θ‘𝐵))

Proof of Theorem chtwordi

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		ppifi 27145	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ))
5	4	elin2d 4157	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
6		prmuz2 16711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
8		eluz2b2 12917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
9	7, 8	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
10	9	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
11	10	nnred 12220	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
12	9	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 1 < 𝑝)
13	11, 12	rplogcld 26669	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
14	13	rpred 13032	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
15	13	rpge0d 13036	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) → 0 ≤ (log‘𝑝))
16		0red 11179	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
17		0le0 12314	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ 0)
19		simp3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
20		iccss 13413	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,]𝐵))
21	16, 1, 18, 19, 20	syl22anc 849	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,]𝐵))
22	21	ssrind 4195	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ))
23	3, 14, 15, 22	fsumless 15805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ≤ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
24		chtval 27149	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
25	24	3ad2ant1 1145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
26		chtval 27149	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (θ‘𝐵) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
27	1, 26	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐵) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
28	23, 25, 27	3brtr4d 5131	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐴) ≤ (θ‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   < clt 11211   ≤ cle 11212  ℕcn 12205  2c2 12267  ℤ_≥cuz 12834  [,]cicc 13347  Σcsu 15694  ℙcprime 16686  logclog 26594  θccht 27130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-inf2 9591  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9303  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9453  df-card 9892  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11840  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12477  df-z 12564  df-dec 12684  df-uz 12835  df-q 12945  df-rp 12989  df-xneg 13109  df-xadd 13110  df-xmul 13111  df-ioo 13348  df-ioc 13349  df-ico 13350  df-icc 13351  df-fz 13508  df-fzo 13655  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14010  df-exp 14070  df-fac 14282  df-bc 14311  df-hash 14339  df-shft 15075  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-limsup 15479  df-clim 15496  df-rlim 15497  df-sum 15695  df-ef 16078  df-sin 16080  df-cos 16081  df-pi 16083  df-dvds 16268  df-prm 16687  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17248  df-plusg 17280  df-mulr 17281  df-starv 17282  df-sca 17283  df-vsca 17284  df-ip 17285  df-tset 17286  df-ple 17287  df-ds 17289  df-unif 17290  df-hom 17291  df-cco 17292  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17513  df-qtop 17518  df-imas 17519  df-xps 17521  df-mre 17595  df-mrc 17596  df-acs 17598  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750  df-submnd 18799  df-mulg 19091  df-cntz 19338  df-cmn 19803  df-psmet 21394  df-xmet 21395  df-met 21396  df-bl 21397  df-mopn 21398  df-fbas 21399  df-fg 21400  df-cnfld 21403  df-top 22932  df-topon 22949  df-topsp 22971  df-bases 22984  df-cld 23057  df-ntr 23058  df-cls 23059  df-nei 23136  df-lp 23174  df-perf 23175  df-cn 23265  df-cnp 23266  df-haus 23353  df-tx 23600  df-hmeo 23793  df-fil 23884  df-fm 23976  df-flim 23977  df-flf 23978  df-xms 24358  df-ms 24359  df-tms 24360  df-cncf 24918  df-limc 25906  df-dv 25907  df-log 26596  df-cht 27136

This theorem is referenced by:  chtrpcl  27214  bposlem6  27328