MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj 18802
Description: Disjointness from a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
lsmdisj.i (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsmdisj (𝜑 → ((𝑆𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lsmdisj
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 lsmcntz.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 lsmcntz.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝐺)
43lsmub1 18777 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 𝑇))
51, 2, 4syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑆 𝑇))
65ssrind 4165 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑈) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
7 lsmdisj.i . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
86, 7sseqtrd 3958 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑈) ⊆ { 0 })
9 lsmdisj.o . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
109subg0cl 18282 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑆)
111, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝑆)
12 lsmcntz.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
139subg0cl 18282 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑈)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝑈)
1511, 14elind 4124 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝑆𝑈))
1615snssd 4705 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆𝑈))
178, 16eqssd 3935 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑈) = { 0 })
183lsmub2 18778 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑆 𝑇))
191, 2, 18syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑆 𝑇))
2019ssrind 4165 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
2120, 7sseqtrd 3958 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ { 0 })
229subg0cl 18282 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑇)
232, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝑇)
2423, 14elind 4124 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝑇𝑈))
2524snssd 4705 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑇𝑈))
2621, 25eqssd 3935 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
2717, 26jca 515 1 (𝜑 → ((𝑆𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  cin 3883  wss 3884  {csn 4528  cfv 6328  (class class class)co 7139  0gc0g 16708  SubGrpcsubg 18268  LSSumclsm 18754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-subg 18271  df-lsm 18756
This theorem is referenced by:  lsmdisjr  18805  lsmdisj2a  18808  lsmdisj2b  18809
  Copyright terms: Public domain W3C validator