Theorem lsmdisj 19795

Description: Disjointness from a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisj.i	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lsmdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmcntz.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
4	3	lsmub1 19771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
5	1, 2, 4	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
6	5	ssrind 4196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑈) ⊆ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
7		lsmdisj.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
8	6, 7	sseqtrd 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑈) ⊆ { 0 })
9		lsmdisj.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
10	9	subg0cl 19244	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)
11	1, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
12		lsmcntz.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	9	subg0cl 19244	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑈)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
15	11, 14	elind 4153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑆 ∩ 𝑈))
16	15	snssd 4754	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ 𝑈))
17	8, 16	eqssd 3955	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
18	3	lsmub2 19772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
19	1, 2, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
20	19	ssrind 4196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
21	20, 7	sseqtrd 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ { 0 })
22	9	subg0cl 19244	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑇)
23	2, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑇)
24	23, 14	elind 4153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))
25	24	snssd 4754	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑇 ∩ 𝑈))
26	21, 25	eqssd 3955	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
27	17, 26	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0_gc0g 17514  SubGrpcsubg 19230  LSSumclsm 19748

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-subg 19233  df-lsm 19750

This theorem is used by:  lsmdisjr  19798  lsmdisj2a  19801  lsmdisj2b  19802