Theorem lsmdisj 19746

Description: Disjointness from a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisj.i	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lsmdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmcntz.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
4	3	lsmub1 19722	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
5	1, 2, 4	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
6	5	ssrind 4196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑈) ⊆ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
7		lsmdisj.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
8	6, 7	sseqtrd 3973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑈) ⊆ { 0 })
9		lsmdisj.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
10	9	subg0cl 19195	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)
11	1, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
12		lsmcntz.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	9	subg0cl 19195	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑈)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
15	11, 14	elind 4153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑆 ∩ 𝑈))
16	15	snssd 4752	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ 𝑈))
17	8, 16	eqssd 3954	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
18	3	lsmub2 19723	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
19	1, 2, 18	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
20	19	ssrind 4196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
21	20, 7	sseqtrd 3973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ { 0 })
22	9	subg0cl 19195	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑇)
23	2, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑇)
24	23, 14	elind 4153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))
25	24	snssd 4752	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑇 ∩ 𝑈))
26	21, 25	eqssd 3954	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
27	17, 26	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0_gc0g 17487  SubGrpcsubg 19181  LSSumclsm 19699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-subg 19184  df-lsm 19701

This theorem is referenced by:  lsmdisjr  19749  lsmdisj2a  19752  lsmdisj2b  19753