MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem3 25488
Description: Lemma for uniioombl 25492. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
uniioombl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.s (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
uniioombl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
uniioombl.m2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐢)
uniioombl.k 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem3 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) < (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑀   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)

Proof of Theorem uniioombllem3
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4224 . . . . 5 (𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐸
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐸)
3 uniioombl.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
4 uniioombl.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
54uniiccdif 25481 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) ∧ (vol*β€˜(βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))) = 0))
65simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺))
7 ovolficcss 25372 . . . . . . 7 (𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
96, 8sstrd 3988 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
103, 9sstrd 3988 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† ℝ)
11 uniioombl.e . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
12 ovolsscl 25389 . . . 4 (((𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐸 ∧ 𝐸 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
132, 10, 11, 12syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
14 difssd 4128 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐸)
15 ovolsscl 25389 . . . 4 (((𝐸 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐸 ∧ 𝐸 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
1614, 10, 11, 15syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
17 inss1 4224 . . . . . 6 (𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐾
1817a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐾)
19 uniioombl.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
20 uniioombl.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
21 uniioombl.3 . . . . . . . 8 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
22 uniioombl.a . . . . . . . 8 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
23 uniioombl.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
24 uniioombl.t . . . . . . . 8 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
25 uniioombl.v . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
26 uniioombl.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
27 uniioombl.m2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐢)
28 uniioombl.k . . . . . . . 8 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
2919, 20, 21, 22, 11, 23, 4, 3, 24, 25, 26, 27, 28uniioombllem3a 25487 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ))
3029simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
31 inss2 4225 . . . . . . . . . . . . 13 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
32 elfznn 13548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
33 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
344, 32, 33syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3531, 34sselid 3976 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
36 1st2nd2 8024 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = ⟨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = ⟨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
3837fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩))
39 df-ov 7417 . . . . . . . . . 10 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
4038, 39eqtr4di 2785 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) = ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
41 ioossre 13403 . . . . . . . . 9 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ℝ
4240, 41eqsstrdi 4032 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
4342ralrimiva 3141 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
44 iunss 5042 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ↔ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
4543, 44sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
4630, 45eqsstrd 4016 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† ℝ)
4729simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
48 ovolsscl 25389 . . . . 5 (((𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
4918, 46, 47, 48syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
5023rpred 13034 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5149, 50readdcld 11259 . . 3 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + 𝐢) ∈ ℝ)
52 difssd 4128 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐾)
53 ovolsscl 25389 . . . . 5 (((𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
5452, 46, 47, 53syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
5554, 50readdcld 11259 . . 3 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) + 𝐢) ∈ ℝ)
56 ssun2 4169 . . . . . . 7 βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βŠ† (𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
57 ioof 13442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
58 rexpssxrxp 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
5931, 58sstri 3987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
60 fss 6733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
614, 59, 60sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
62 fco 6741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ)
6357, 61, 62sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ)
6463ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐺) Fn β„•)
65 fnima 6679 . . . . . . . . . . . . 13 (((,) ∘ 𝐺) Fn β„• β†’ (((,) ∘ 𝐺) β€œ β„•) = ran ((,) ∘ 𝐺))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((,) ∘ 𝐺) β€œ β„•) = ran ((,) ∘ 𝐺))
67 nnuz 12881 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
6826peano2nnd 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
6968, 67eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
70 uzsplit 13591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (β„€β‰₯β€˜1) = ((1...((𝑀 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜1) = ((1...((𝑀 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
7267, 71eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ β„• = ((1...((𝑀 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
7326nncnd 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
74 ax-1cn 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ β„‚
75 pncan 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑀 + 1) βˆ’ 1) = 𝑀)
7673, 74, 75sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑀 + 1) βˆ’ 1) = 𝑀)
7776oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (1...((𝑀 + 1) βˆ’ 1)) = (1...𝑀))
7877uneq1d 4158 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((1...((𝑀 + 1) βˆ’ 1)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = ((1...𝑀) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
7972, 78eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„• = ((1...𝑀) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
8079imaeq2d 6057 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((,) ∘ 𝐺) β€œ β„•) = (((,) ∘ 𝐺) β€œ ((1...𝑀) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
8166, 80eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran ((,) ∘ 𝐺) = (((,) ∘ 𝐺) β€œ ((1...𝑀) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
82 imaundi 6148 . . . . . . . . . . 11 (((,) ∘ 𝐺) β€œ ((1...𝑀) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) = ((((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
8381, 82eqtrdi 2783 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran ((,) ∘ 𝐺) = ((((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
8483unieqd 4916 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) = βˆͺ ((((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
85 uniun 4928 . . . . . . . . 9 βˆͺ ((((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) = (βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
8684, 85eqtrdi 2783 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) = (βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
8728uneq1i 4155 . . . . . . . 8 (𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) = (βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
8886, 87eqtr4di 2785 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) = (𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
8956, 88sseqtrrid 4031 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
9019, 20, 21, 22, 11, 23, 4, 3, 24, 25uniioombllem1 25484 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
91 ssid 4000 . . . . . . . 8 βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)
9224ovollb 25382 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
934, 91, 92sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
94 ovollecl 25386 . . . . . . 7 ((βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < )) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ)
959, 90, 93, 94syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ)
96 ovolsscl 25389 . . . . . 6 ((βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
9789, 9, 95, 96syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
9849, 97readdcld 11259 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))) ∈ ℝ)
99 unss1 4175 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐾 β†’ ((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† (𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
10017, 99ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† (𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
101100, 88sseqtrrid 4031 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
102 ovolsscl 25389 . . . . . 6 ((((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))) ∈ ℝ)
103101, 9, 95, 102syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))) ∈ ℝ)
1043, 88sseqtrd 4018 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† (𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
105104ssrind 4231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† ((𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∩ 𝐴))
106 indir 4271 . . . . . . . 8 ((𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∩ 𝐴) = ((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ (βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∩ 𝐴))
107 inss1 4224 . . . . . . . . 9 (βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∩ 𝐴) βŠ† βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
108 unss2 4177 . . . . . . . . 9 ((βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∩ 𝐴) βŠ† βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ (βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∩ 𝐴)) βŠ† ((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ (βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) ∩ 𝐴)) βŠ† ((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
110106, 109eqsstri 4012 . . . . . . 7 ((𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∩ 𝐴) βŠ† ((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
111105, 110sstrdi 3990 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† ((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
112101, 9sstrd 3988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† ℝ)
113 ovolss 25388 . . . . . 6 (((𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† ((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ ((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ≀ (vol*β€˜((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))))
114111, 112, 113syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ≀ (vol*β€˜((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))))
11518, 46sstrd 3988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† ℝ)
11689, 9sstrd 3988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βŠ† ℝ)
117 ovolun 25402 . . . . . 6 ((((𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ) ∧ (βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))))
118115, 49, 116, 97, 117syl22anc 838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜((𝐾 ∩ 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))))
11913, 103, 98, 114, 118letrd 11387 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))))
120 rge0ssre 13451 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
121 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺)
122121, 24ovolsf 25375 . . . . . . . . . 10 (𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝑇:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
1234, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
124123, 26ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (0[,)+∞))
125120, 124sselid 3976 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ ℝ)
12690, 125resubcld 11658 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ∈ ℝ)
12797rexrd 11280 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ*)
128 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ β„• β†’ 𝑧 ∈ β„•)
129 nnaddcl 12251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ β„•)
130128, 26, 129syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ β„•)
1314ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 + 𝑀) ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
132130, 131syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
133132fmpttd 7119 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))):β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
134 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))) = ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))
135 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))) = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))
136134, 135ovolsf 25375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))):β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
137133, 136syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
138137frnd 6724 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))) βŠ† (0[,)+∞))
139 icossxr 13427 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
140138, 139sstrdi 3990 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))) βŠ† ℝ*)
141 supxrcl 13312 . . . . . . . 8 (ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))) βŠ† ℝ* β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
142140, 141syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
143126rexrd 11280 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ∈ ℝ*)
144 1zzd 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 1 ∈ β„€)
14526nnzd 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
146145adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
147 addcom 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
14873, 74, 147sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
149148fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀)))
150149eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) ↔ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))))
151150biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀)))
152 eluzsub 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 𝑀))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
153144, 146, 151, 152syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
154153, 67eleqtrrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑀) ∈ β„•)
155 eluzelz 12848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
156155adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
157156zcnd 12683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
15873adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
159157, 158npcand 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑀) + 𝑀) = π‘₯)
160159eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑀) + 𝑀))
161 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (π‘₯ βˆ’ 𝑀) β†’ (𝑧 + 𝑀) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑀) + 𝑀))
162161rspceeqv 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ βˆ’ 𝑀) ∈ β„• ∧ π‘₯ = ((π‘₯ βˆ’ 𝑀) + 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„• π‘₯ = (𝑧 + 𝑀))
163154, 160, 162syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„• π‘₯ = (𝑧 + 𝑀))
164 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀)) = (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀))
165164elrnmpt 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ β„• π‘₯ = (𝑧 + 𝑀)))
166165elv 3475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ β„• π‘₯ = (𝑧 + 𝑀))
167163, 166sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀)))
168167ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀))))
169168ssrdv 3984 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) βŠ† ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀)))
170 imass2 6100 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) βŠ† ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀)) β†’ (𝐺 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βŠ† (𝐺 β€œ ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀))))
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐺 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βŠ† (𝐺 β€œ ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀))))
172 rnco2 6251 . . . . . . . . . . . . 13 ran (𝐺 ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀))) = (𝐺 β€œ ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀)))
1734, 130cofmpt 7135 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀))) = (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))
174173rneqd 5934 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ran (𝐺 ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀))) = ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))
175172, 174eqtr3id 2781 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐺 β€œ ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (𝑧 + 𝑀))) = ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))
176171, 175sseqtrd 4018 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βŠ† ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))
177 imass2 6100 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βŠ† ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))) β†’ ((,) β€œ (𝐺 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† ((,) β€œ ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))
178176, 177syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((,) β€œ (𝐺 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† ((,) β€œ ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))
179 imaco 6249 . . . . . . . . . 10 (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = ((,) β€œ (𝐺 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
180 rnco2 6251 . . . . . . . . . 10 ran ((,) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))) = ((,) β€œ ran (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))
181178, 179, 1803sstr4g 4023 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βŠ† ran ((,) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))
182181unissd 4913 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))
183135ovollb 25382 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))):β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))) β†’ (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))), ℝ*, < ))
184133, 182, 183syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ≀ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))), ℝ*, < ))
185123frnd 6724 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ran 𝑇 βŠ† (0[,)+∞))
186185, 139sstrdi 3990 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran 𝑇 βŠ† ℝ*)
18724fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘‡β€˜(𝑀 + 𝑛)) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑛))
18826nnred 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
189188ltp1d 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑀 < (𝑀 + 1))
190 fzdisj 13546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 < (𝑀 + 1) β†’ ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))) = βˆ…)
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))) = βˆ…)
192191adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))) = βˆ…)
193 nnnn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
194 nn0addge1 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑛))
195188, 193, 194syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑛))
19626adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
197196, 67eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
198 nnaddcl 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑀 + 𝑛) ∈ β„•)
19926, 198sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑀 + 𝑛) ∈ β„•)
200199nnzd 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑀 + 𝑛) ∈ β„€)
201 elfz5 13511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (𝑀 + 𝑛) ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ (1...(𝑀 + 𝑛)) ↔ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑛)))
202197, 200, 201syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑀 ∈ (1...(𝑀 + 𝑛)) ↔ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑛)))
203195, 202mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ (1...(𝑀 + 𝑛)))
204 fzsplit 13545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (1...(𝑀 + 𝑛)) β†’ (1...(𝑀 + 𝑛)) = ((1...𝑀) βˆͺ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))))
205203, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...(𝑀 + 𝑛)) = ((1...𝑀) βˆͺ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))))
206 fzfid 13956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...(𝑀 + 𝑛)) ∈ Fin)
2074adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
208 elfznn 13548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑛)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
209 ovolfcl 25369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
210207, 208, 209syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑛))) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
211210simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑛))) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
212210simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑛))) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
213211, 212resubcld 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑛))) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
214213recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑛))) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ β„‚)
215192, 205, 206, 214fsumsplit 15705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑛))((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) + Σ𝑗 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
216121ovolfsval 25373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
217207, 208, 216syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑛))) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
218199, 67eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑀 + 𝑛) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
219217, 218, 214fsumser 15694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 𝑛))((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑛)))
2204ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
22132adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
222220, 221, 216syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
2234, 32, 209syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
224223simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
225223simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
226224, 225resubcld 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
227226adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
228227recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ β„‚)
229222, 197, 228fsumser 15694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))β€˜π‘€))
23024fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘‡β€˜π‘€) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))β€˜π‘€)
231229, 230eqtr4di 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (π‘‡β€˜π‘€))
232196nnzd 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
233232peano2zd 12685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„€)
2344ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
235196peano2nnd 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
236 elfzuz 13515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛)) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
237 eluznn 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 + 1) ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
238235, 236, 237syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
239234, 238, 209syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
240239simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
241239simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
242240, 241resubcld 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
243242recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ β„‚)
244 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (π‘˜ + 𝑀) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) = (2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))))
245 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (π‘˜ + 𝑀) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) = (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))))
246244, 245oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (π‘˜ + 𝑀) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))))
247232, 233, 200, 243, 246fsumshftm 15745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = Ξ£π‘˜ ∈ (((𝑀 + 1) βˆ’ 𝑀)...((𝑀 + 𝑛) βˆ’ 𝑀))((2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))))
248196nncnd 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
249 pncan2 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑀 + 1) βˆ’ 𝑀) = 1)
250248, 74, 249sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 + 1) βˆ’ 𝑀) = 1)
251 nncn 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
252251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
253248, 252pncan2d 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 + 𝑛) βˆ’ 𝑀) = 𝑛)
254250, 253oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((𝑀 + 1) βˆ’ 𝑀)...((𝑀 + 𝑛) βˆ’ 𝑀)) = (1...𝑛))
255254sumeq1d 15665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((𝑀 + 1) βˆ’ 𝑀)...((𝑀 + 𝑛) βˆ’ 𝑀))((2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))))
256133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))):β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
257 elfznn 13548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
258134ovolfsval 25373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))):β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))β€˜π‘˜) = ((2nd β€˜((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))β€˜π‘˜)) βˆ’ (1st β€˜((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))β€˜π‘˜))))
259256, 257, 258syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))β€˜π‘˜) = ((2nd β€˜((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))β€˜π‘˜)) βˆ’ (1st β€˜((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))β€˜π‘˜))))
260257adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
261 fvoveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)) = (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))
262 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))) = (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))
263 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)) ∈ V
264261, 262, 263fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))
265260, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))
266265fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (2nd β€˜((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))))
267265fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (1st β€˜((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))β€˜π‘˜)) = (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))))
268266, 267oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((2nd β€˜((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))β€˜π‘˜)) βˆ’ (1st β€˜((𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))β€˜π‘˜))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))))
269259, 268eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))β€˜π‘˜) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))))
270 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
271270, 67eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2724ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
273 nnaddcl 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ + 𝑀) ∈ β„•)
274257, 196, 273syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (π‘˜ + 𝑀) ∈ β„•)
275 ovolfcl 25369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ (π‘˜ + 𝑀) ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))))
276272, 274, 275syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))))
277276simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) ∈ ℝ)
278276simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) ∈ ℝ)
279277, 278resubcld 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))) ∈ ℝ)
280279recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))) ∈ β„‚)
281269, 271, 280fsumser 15694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((2nd β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀))) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 𝑀)))) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›))
282247, 255, 2813eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›))
283231, 282oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) + Σ𝑗 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑀 + 𝑛))((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = ((π‘‡β€˜π‘€) + (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›)))
284215, 219, 2833eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑛)) = ((π‘‡β€˜π‘€) + (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›)))
285187, 284eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜(𝑀 + 𝑛)) = ((π‘‡β€˜π‘€) + (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›)))
286123ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑇 Fn β„•)
287 fnfvelrn 7084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 Fn β„• ∧ (𝑀 + 𝑛) ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜(𝑀 + 𝑛)) ∈ ran 𝑇)
288286, 199, 287syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜(𝑀 + 𝑛)) ∈ ran 𝑇)
289285, 288eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β€˜π‘€) + (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›)) ∈ ran 𝑇)
290 supxrub 13321 . . . . . . . . . . . 12 ((ran 𝑇 βŠ† ℝ* ∧ ((π‘‡β€˜π‘€) + (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›)) ∈ ran 𝑇) β†’ ((π‘‡β€˜π‘€) + (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
291186, 289, 290syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β€˜π‘€) + (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
292125adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ ℝ)
293137ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›) ∈ (0[,)+∞))
294120, 293sselid 3976 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›) ∈ ℝ)
29590adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
296292, 294, 295leaddsub2d 11832 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘‡β€˜π‘€) + (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ↔ (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›) ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))))
297291, 296mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›) ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))
298297ralrimiva 3141 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›) ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))
299137ffnd 6717 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))) Fn β„•)
300 breq1 5145 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ↔ (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›) ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))))
301300ralrn 7092 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))π‘₯ ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›) ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))))
302299, 301syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))π‘₯ ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))β€˜π‘›) ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))))
303298, 302mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))π‘₯ ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))
304 supxrleub 13323 . . . . . . . . 9 ((ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))) βŠ† ℝ* ∧ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))), ℝ*, < ) ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))π‘₯ ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))))
305140, 143, 304syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))), ℝ*, < ) ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀)))))π‘₯ ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))))
306303, 305mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ (𝑧 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑧 + 𝑀))))), ℝ*, < ) ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))
307127, 142, 143, 184, 306xrletrd 13159 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ≀ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))
308125, 90, 50absdifltd 15398 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐢 ↔ ((sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ 𝐢) < (π‘‡β€˜π‘€) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) < (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) + 𝐢))))
30927, 308mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ 𝐢) < (π‘‡β€˜π‘€) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) < (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) + 𝐢)))
310309simpld 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ 𝐢) < (π‘‡β€˜π‘€))
31190, 50, 125, 310ltsub23d 11835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) < 𝐢)
31297, 126, 50, 307, 311lelttrd 11388 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) < 𝐢)
31397, 50, 49, 312ltadd2dd 11389 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))) < ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + 𝐢))
31413, 98, 51, 119, 313lelttrd 11388 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) < ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + 𝐢))
31554, 97readdcld 11259 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) + (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))) ∈ ℝ)
316 difss 4127 . . . . . . . 8 (𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐾
317 unss1 4175 . . . . . . . 8 ((𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐾 β†’ ((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† (𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
318316, 317ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† (𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
319318, 88sseqtrrid 4031 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
320 ovolsscl 25389 . . . . . 6 ((((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))) ∈ ℝ)
321319, 9, 95, 320syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))) ∈ ℝ)
322104ssdifd 4136 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ– 𝐴) βŠ† ((𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βˆ– 𝐴))
323 difundir 4276 . . . . . . . 8 ((𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βˆ– 𝐴) = ((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ (βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βˆ– 𝐴))
324 difss 4127 . . . . . . . . 9 (βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βˆ– 𝐴) βŠ† βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
325 unss2 4177 . . . . . . . . 9 ((βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βˆ– 𝐴) βŠ† βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ (βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βˆ– 𝐴)) βŠ† ((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
326324, 325ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ (βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βˆ– 𝐴)) βŠ† ((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
327323, 326eqsstri 4012 . . . . . . 7 ((𝐾 βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βˆ– 𝐴) βŠ† ((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))
328322, 327sstrdi 3990 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ– 𝐴) βŠ† ((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))))
329319, 9sstrd 3988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† ℝ)
330 ovolss 25388 . . . . . 6 (((𝐸 βˆ– 𝐴) βŠ† ((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∧ ((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴)) ≀ (vol*β€˜((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))))
331328, 329, 330syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴)) ≀ (vol*β€˜((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))))
33252, 46sstrd 3988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† ℝ)
333 ovolun 25402 . . . . . 6 ((((𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ) ∧ (βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) + (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))))
334332, 54, 116, 97, 333syl22anc 838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜((𝐾 βˆ– 𝐴) βˆͺ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) + (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))))
33516, 321, 315, 331, 334letrd 11387 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴)) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) + (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))))
33697, 50, 54, 312ltadd2dd 11389 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) + (vol*β€˜βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))))) < ((vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) + 𝐢))
33716, 315, 55, 335, 336lelttrd 11388 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴)) < ((vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) + 𝐢))
33813, 16, 51, 55, 314, 337lt2addd 11853 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) < (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + 𝐢) + ((vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) + 𝐢)))
33949recnd 11258 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ∈ β„‚)
34050recnd 11258 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
34154recnd 11258 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ∈ β„‚)
342339, 340, 341, 340add4d 11458 . 2 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + 𝐢) + ((vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) + 𝐢)) = (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)))
343338, 342breqtrd 5168 1 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) < (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βˆͺ cun 3942   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  βŸ¨cop 4630  βˆͺ cuni 4903  βˆͺ ciun 4991  Disj wdisj 5107   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  ran crn 5673   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1st c1st 7983  2nd c2nd 7984  supcsup 9449  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  +∞cpnf 11261  β„*cxr 11263   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  β„€β‰₯cuz 12838  β„+crp 12992  (,)cioo 13342  [,)cico 13344  [,]cicc 13345  ...cfz 13502  seqcseq 13984  abscabs 15199  Ξ£csu 15650  vol*covol 25365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-rest 17389  df-topgen 17410  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-cmp 23265  df-ovol 25367  df-vol 25368
This theorem is referenced by:  uniioombllem5  25490
  Copyright terms: Public domain W3C validator