MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restntr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem restntr 22678
Description: An interior in a subspace topology. Willard in General Topology says that there is no analogue of restcls 22677 for interiors. In some sense, that is true. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
restcls.2 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
restntr ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
Proof of Theorem restntr
Dummy variables π‘₯ π‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . . . . 7 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
21fveq2i 6892 . . . . . 6 (intβ€˜πΎ) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))
32fveq1i 6890 . . . . 5 ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜π‘†)
4 restcls.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = βˆͺ 𝐽
54topopn 22400 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
6 ssexg 5323 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) β†’ π‘Œ ∈ V)
76ancoms 460 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ V)
85, 7sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ V)
9 resttop 22656 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Top)
108, 9syldan 592 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Top)
11103adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Top)
124restuni 22658 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
1312sseq2d 4014 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 βŠ† π‘Œ ↔ 𝑆 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
1413biimp3a 1470 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
15 eqid 2733 . . . . . . 7 βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
1615ntropn 22545 . . . . . 6 (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜π‘†) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
1711, 14, 16syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜π‘†) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
183, 17eqeltrid 2838 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
19 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
20 uniexg 7727 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ V)
214, 20eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ V)
22 ssexg 5323 . . . . . . . 8 ((π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ π‘Œ ∈ V)
2321, 22sylan2 594 . . . . . . 7 ((π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ Top) β†’ π‘Œ ∈ V)
2423ancoms 460 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ V)
25243adant3 1133 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ V)
26 elrest 17370 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ V) β†’ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ)))
2719, 25, 26syl2anc 585 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ)))
2818, 27mpbid 231 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))
294eltopss 22401 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ π‘œ βŠ† 𝑋)
3029sseld 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ π‘₯ ∈ 𝑋))
3130adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ π‘₯ ∈ 𝑋))
32313ad2antl1 1186 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ π‘₯ ∈ 𝑋))
33 eldif 3958 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘Œ))
3433simplbi2 502 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘Œ β†’ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))
3534orrd 862 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∨ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))
3632, 35syl6 35 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∨ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ))))
37 elin 3964 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (π‘œ ∩ π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ))
38 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ↔ π‘₯ ∈ (π‘œ ∩ π‘Œ)))
39 elun1 4176 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))
4038, 39syl6bir 254 . . . . . . . . . . . 12 (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘œ ∩ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))))
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘œ ∩ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))))
4237, 41biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))))
4342expdimp 454 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘œ) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ β†’ π‘₯ ∈ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))))
44 elun2 4177 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘œ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))))
4643, 45jaod 858 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘œ) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∨ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))))
4746ex 414 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∨ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))))
4836, 47mpdd 43 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ π‘₯ ∈ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))))
4948ssrdv 3988 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ π‘œ βŠ† (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))
5011adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Top)
511, 50eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ Top)
5214adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
531unieqi 4921 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
5453eqcomi 2742 . . . . . . . 8 βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = βˆͺ 𝐾
5554ntrss2 22553 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆)
5651, 52, 55syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆)
57 unss1 4179 . . . . . 6 (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆 β†’ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))
5856, 57syl 17 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))
5949, 58sstrd 3992 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))
60 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
61 sstr 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 βŠ† π‘Œ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
6261ancoms 460 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
63623adant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
65 difss 4131 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 βˆ– π‘Œ) βŠ† 𝑋
66 unss 4184 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘Œ) βŠ† 𝑋) ↔ (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) βŠ† 𝑋)
6764, 65, 66sylanblc 590 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))) β†’ (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) βŠ† 𝑋)
68 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))) β†’ π‘œ ∈ 𝐽)
69 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))) β†’ π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))
704ssntr 22554 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) βŠ† 𝑋) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))) β†’ π‘œ βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))))
7160, 67, 68, 69, 70syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))) β†’ π‘œ βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))))
7271ssrind 4235 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))) β†’ (π‘œ ∩ π‘Œ) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
73 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ) β†’ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) ↔ (π‘œ ∩ π‘Œ) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ)))
7472, 73syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))) β†’ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ)))
7574expr 458 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) β†’ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))))
7675com23 86 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ) β†’ (π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))))
7776impr 456 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ (π‘œ βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ)))
7859, 77mpd 15 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (π‘œ ∩ π‘Œ))) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
7928, 78rexlimddv 3162 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
801, 11eqeltrid 2838 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
8183adant3 1133 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ V)
8263, 65, 66sylanblc 590 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) βŠ† 𝑋)
834ntropn 22545 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∈ 𝐽)
8419, 82, 83syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∈ 𝐽)
85 elrestr 17371 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ V ∧ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∈ 𝐽) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
8619, 81, 84, 85syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
8786, 1eleqtrrdi 2845 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) ∈ 𝐾)
884ntrss2 22553 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))
8919, 82, 88syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) βŠ† (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))
9089ssrind 4235 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) ∩ π‘Œ))
91 elin 3964 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) ∩ π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ))
92 elun 4148 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∨ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)))
93 orcom 869 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∨ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∨ π‘₯ ∈ 𝑆))
94 df-or 847 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∨ π‘₯ ∈ 𝑆) ↔ (Β¬ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
9593, 94bitri 275 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∨ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) ↔ (Β¬ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
9692, 95bitri 275 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) ↔ (Β¬ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
9796anbi1i 625 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ↔ ((Β¬ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ))
9891, 97bitri 275 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) ∩ π‘Œ) ↔ ((Β¬ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ))
99 elndif 4128 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ π‘Œ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ))
100 pm2.27 42 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ ((Β¬ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
10199, 100syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ π‘Œ β†’ ((Β¬ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
102101impcom 409 . . . . . . 7 (((Β¬ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
103102a1i 11 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (((Β¬ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
10498, 103biimtrid 241 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) ∩ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
105104ssrdv 3988 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ)) ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑆)
10690, 105sstrd 3992 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑆)
10754ssntr 22554 . . 3 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ∧ ((((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) ∈ 𝐾 ∧ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑆)) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) βŠ† ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†))
10880, 14, 87, 106, 107syl22anc 838 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) βŠ† ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†))
10979, 108eqssd 3999 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) = (((intβ€˜π½)β€˜(𝑆 βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   β†Ύt crest 17363  Topctop 22387  intcnt 22513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-en 8937  df-fin 8940  df-fi 9403  df-rest 17365  df-topgen 17386  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441  df-ntr 22516
This theorem is referenced by:  llycmpkgen2  23046  dvreslem  25418  dvres2lem  25419  dvaddbr  25447  dvmulbr  25448  dvcnvrelem2  25527  gg-dvmulbr  35164  limciccioolb  44324  limcicciooub  44340  ioccncflimc  44588  icocncflimc  44592  cncfiooicclem1  44596  fourierdlem62  44871
  Copyright terms: Public domain W3C validator