HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsl2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsl2i 30098
Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 28-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsl.1 𝐴C
mdsl.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
mdsl2i (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdsl2i
StepHypRef Expression
1 mdsl.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵C
2 mdsl.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
31, 2chub2i 29246 . . . . . . . . . 10 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
4 sstr 3974 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
53, 4mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
65pm4.71ri 563 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵))
76anbi2i 624 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵)))
8 anass 471 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵)))
97, 8bitr4i 280 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵))
109imbi1i 352 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))
11 chub1 29283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C𝐴C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴))
122, 11mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴))
13 iba 530 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐵 → (𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ↔ (𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝐵)))
14 ssin 4206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
1513, 14syl6bb 289 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵 → (𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
1612, 15syl5ibcom 247 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (𝑥𝐵𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
17 chub2 29284 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝑥C ) → 𝐴 ⊆ (𝑥 𝐴))
182, 17mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C𝐴 ⊆ (𝑥 𝐴))
1918ssrind 4211 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
2016, 19jctird 529 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))))
21 chjcl 29133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C𝐴C ) → (𝑥 𝐴) ∈ C )
222, 21mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥 𝐴) ∈ C )
23 chincl 29275 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 𝐴) ∈ C𝐵C ) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
241, 23mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝐴) ∈ C → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
262, 1chincli 29236 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵) ∈ C
27 chlub 29285 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C ∧ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
2826, 27mp3an2 1445 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C ∧ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
2925, 28mpdan 685 . . . . . . . . 9 (𝑥C → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
3020, 29sylibd 241 . . . . . . . 8 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
31 eqss 3981 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
3231rbaib 541 . . . . . . . 8 ((𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
3330, 32syl6 35 . . . . . . 7 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3433adantld 493 . . . . . 6 (𝑥C → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3534pm5.74d 275 . . . . 5 (𝑥C → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3610, 35syl5rbbr 288 . . . 4 (𝑥C → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
37 impexp 453 . . . 4 (((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3836, 37syl6bb 289 . . 3 (𝑥C → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))))
3938ralbiia 3164 . 2 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
402, 1mdsl1i 30097 . 2 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀 𝐵)
4139, 40bitr2i 278 1 (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  cin 3934  wss 3935   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155   C cch 28705   chj 28709   𝑀 cmd 28742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cc 9856  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616  ax-hilex 28775  ax-hfvadd 28776  ax-hvcom 28777  ax-hvass 28778  ax-hv0cl 28779  ax-hvaddid 28780  ax-hfvmul 28781  ax-hvmulid 28782  ax-hvmulass 28783  ax-hvdistr1 28784  ax-hvdistr2 28785  ax-hvmul0 28786  ax-hfi 28855  ax-his1 28858  ax-his2 28859  ax-his3 28860  ax-his4 28861  ax-hcompl 28978
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-omul 8106  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-acn 9370  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-lm 21836  df-haus 21922  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cfil 23857  df-cau 23858  df-cmet 23859  df-grpo 28269  df-gid 28270  df-ginv 28271  df-gdiv 28272  df-ablo 28321  df-vc 28335  df-nv 28368  df-va 28371  df-ba 28372  df-sm 28373  df-0v 28374  df-vs 28375  df-nmcv 28376  df-ims 28377  df-dip 28477  df-ssp 28498  df-ph 28589  df-cbn 28639  df-hnorm 28744  df-hba 28745  df-hvsub 28747  df-hlim 28748  df-hcau 28749  df-sh 28983  df-ch 28997  df-oc 29028  df-ch0 29029  df-shs 29084  df-chj 29086  df-md 30056
This theorem is referenced by:  mdsl2bi  30099  mdslmd1i  30105
  Copyright terms: Public domain W3C validator