HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsl2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsl2i 32350
Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 28-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsl.1 𝐴C
mdsl.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
mdsl2i (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdsl2i
StepHypRef Expression
1 mdsl.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴C
2 chub1 31535 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C𝐴C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴))
31, 2mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴))
4 iba 527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐵 → (𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ↔ (𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝐵)))
5 ssin 4246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
64, 5bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵 → (𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
73, 6syl5ibcom 245 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (𝑥𝐵𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
8 chub2 31536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝑥C ) → 𝐴 ⊆ (𝑥 𝐴))
91, 8mpan 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C𝐴 ⊆ (𝑥 𝐴))
109ssrind 4251 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
117, 10jctird 526 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))))
12 chjcl 31385 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C𝐴C ) → (𝑥 𝐴) ∈ C )
131, 12mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥 𝐴) ∈ C )
14 mdsl.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐵C
15 chincl 31527 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 𝐴) ∈ C𝐵C ) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
1614, 15mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝐴) ∈ C → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
1713, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
181, 14chincli 31488 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵) ∈ C
19 chlub 31537 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C ∧ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
2018, 19mp3an2 1448 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C ∧ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
2117, 20mpdan 687 . . . . . . . . 9 (𝑥C → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
2211, 21sylibd 239 . . . . . . . 8 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
23 eqss 4010 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
2423rbaib 538 . . . . . . . 8 ((𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
2522, 24syl6 35 . . . . . . 7 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
2625adantld 490 . . . . . 6 (𝑥C → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
2726pm5.74d 273 . . . . 5 (𝑥C → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
2814, 1chub2i 31498 . . . . . . . . . 10 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
29 sstr 4003 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
3028, 29mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
3130pm4.71ri 560 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵))
3231anbi2i 623 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵)))
33 anass 468 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵)))
3432, 33bitr4i 278 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵))
3534imbi1i 349 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))
3627, 35bitr3di 286 . . . 4 (𝑥C → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
37 impexp 450 . . . 4 (((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3836, 37bitrdi 287 . . 3 (𝑥C → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))))
3938ralbiia 3088 . 2 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
401, 14mdsl1i 32349 . 2 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀 𝐵)
4139, 40bitr2i 276 1 (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  cin 3961  wss 3962   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430   C cch 30957   chj 30961   𝑀 cmd 30994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-chj 31338  df-md 32308
This theorem is referenced by:  mdsl2bi  32351  mdslmd1i  32357
  Copyright terms: Public domain W3C validator