Theorem mdbr2 30377

Description: Binary relation expressing the modular pair property. This version has a weaker constraint than mdbr 30375. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mdbr2	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdbr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdbr 30375	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
2		chub1 29588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
3	2	ancoms 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
4		iba 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴) ↔ (𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5		ssin 4145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
6	4, 5	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
7	3, 6	syl5ibcom 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
8		chub2 29589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
9	8	ssrind 4150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
10	7, 9	jctird 530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
11	10	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
12		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ∈ Cℋ )
13		chincl 29580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
14	13	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
15		chjcl 29438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
16	15	ancoms 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
17		chincl 29580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
18	16, 17	sylan 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
19	18	an32s 652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
20		chlub 29590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
21	12, 14, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
22	11, 21	sylibd 242	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
23		eqss 3916	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
24	23	rbaib 542	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
25	22, 24	syl6 35	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
26	25	pm5.74d 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
27	26	ralbidva 3117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
28	1, 27	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213   C_ℋ cch 29010   ∨_ℋ chj 29014   𝑀_ℋ cmd 29047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166  ax-hcompl 29283

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-lm 22126  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cfil 24152  df-cau 24153  df-cmet 24154  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ginv 28576  df-gdiv 28577  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-vs 28680  df-nmcv 28681  df-ims 28682  df-dip 28782  df-ssp 28803  df-ph 28894  df-cbn 28944  df-hnorm 29049  df-hba 29050  df-hvsub 29052  df-hlim 29053  df-hcau 29054  df-sh 29288  df-ch 29302  df-oc 29333  df-ch0 29334  df-shs 29389  df-chj 29391  df-md 30361

This theorem is referenced by:  mdbr4  30379  mdsl0  30391  ssmd1  30392  ssmd2  30393  mdslmd1i  30410  mdslmd3i  30413  mdexchi  30416