Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisj2fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundisj2fi 32799
Description: A disjoint union is disjoint, finite version. Cf. iundisj2 25584. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisj2fi.0 𝑛𝐵
iundisj2fi.1 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iundisj2fi Disj 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑁   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisj2fi
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1544 . . . 4
2 eqeq12 2754 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → (𝑎 = 𝑏𝑥 = 𝑦))
3 csbeq1 3902 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
4 csbeq1 3902 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
53, 4ineqan12d 4222 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
65eqeq1d 2739 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → ((𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅ ↔ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
72, 6orbi12d 919 . . . . 5 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → ((𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
8 eqeq12 2754 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 = 𝑏𝑦 = 𝑥))
9 equcom 2017 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
108, 9bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 = 𝑏𝑥 = 𝑦))
11 csbeq1 3902 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑦𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
12 csbeq1 3902 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑥𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
1311, 12ineqan12d 4222 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
14 incom 4209 . . . . . . . 8 (𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
1513, 14eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
1615eqeq1d 2739 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → ((𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅ ↔ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
1710, 16orbi12d 919 . . . . 5 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → ((𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
18 fzossnn 13751 . . . . . . 7 (1..^𝑁) ⊆ ℕ
19 nnssre 12270 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ
2018, 19sstri 3993 . . . . . 6 (1..^𝑁) ⊆ ℝ
2120a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (1..^𝑁) ⊆ ℝ)
22 biidd 262 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
23 nesym 2997 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
2420sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
2520sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦𝑥𝑦)
27 leltne 11350 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦𝑦𝑥))
2824, 25, 26, 27syl3an 1161 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦𝑦𝑥))
29 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
30 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝑥 / 𝑛𝐴
31 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(1..^𝑥)
32 iundisj2fi.0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛𝐵
3331, 32nfiun 5023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵
3430, 33nfdif 4129 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
35 csbeq1a 3913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑛𝐴)
36 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑥 → (1..^𝑛) = (1..^𝑥))
3736iuneq1d 5019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
3835, 37difeq12d 4127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵))
3929, 34, 38csbief 3933 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
40 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
41 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝑦 / 𝑛𝐴
42 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(1..^𝑦)
4342, 32nfiun 5023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵
4441, 43nfdif 4129 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
45 csbeq1a 3913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑛𝐴)
46 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑦 → (1..^𝑛) = (1..^𝑦))
4746iuneq1d 5019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑦 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
4845, 47difeq12d 4127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑦 → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵))
4940, 44, 48csbief 3933 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
5039, 49ineq12i 4218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ((𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵))
51 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (1..^𝑁))
5218, 51sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ)
53 nnuz 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ = (ℤ‘1)
5452, 53eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
55 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (1..^𝑁))
5618, 55sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
5756nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
58 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
59 elfzo2 13702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (1..^𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑦))
6054, 57, 58, 59syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (1..^𝑦))
61 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛𝑘
62 iundisj2fi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
6361, 32, 62csbhypf 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑘𝑥 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
6463equcoms 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑥𝑥 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
6564eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑛𝐴)
6665ssiun2s 5048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1..^𝑦) → 𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6760, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6867ssdifssd 4147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ⊆ 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6968ssrind 4244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)))
7050, 69eqsstrid 4022 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)))
71 disjdif 4472 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) = ∅
72 sseq0 4403 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) ∧ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) = ∅) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
7370, 71, 72sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
74733expia 1122 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
75743adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7628, 75sylbird 260 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑦𝑥 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7723, 76biimtrrid 243 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7877orrd 864 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7978adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
807, 17, 21, 22, 79wlogle 11796 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
811, 80mpan 690 . . 3 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
8281rgen2 3199 . 2 𝑥 ∈ (1..^𝑁)∀𝑦 ∈ (1..^𝑁)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
83 disjors 5126 . 2 (Disj 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ (1..^𝑁)∀𝑦 ∈ (1..^𝑁)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
8482, 83mpbir 231 1 Disj 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wnfc 2890  wne 2940  wral 3061  csb 3899  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333   ciun 4991  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  cz 12613  cuz 12878  ..^cfzo 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695
This theorem is referenced by:  iundisj2cnt  32801
  Copyright terms: Public domain W3C validator