Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisj2fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundisj2fi 32804
Description: A disjoint union is disjoint, finite version. Cf. iundisj2 25597. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisj2fi.0 𝑛𝐵
iundisj2fi.1 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iundisj2fi Disj 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑁   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisj2fi
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1540 . . . 4
2 eqeq12 2751 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → (𝑎 = 𝑏𝑥 = 𝑦))
3 csbeq1 3910 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
4 csbeq1 3910 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
53, 4ineqan12d 4229 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
65eqeq1d 2736 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → ((𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅ ↔ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
72, 6orbi12d 918 . . . . 5 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → ((𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
8 eqeq12 2751 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 = 𝑏𝑦 = 𝑥))
9 equcom 2014 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
108, 9bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 = 𝑏𝑥 = 𝑦))
11 csbeq1 3910 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑦𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
12 csbeq1 3910 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑥𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
1311, 12ineqan12d 4229 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
14 incom 4216 . . . . . . . 8 (𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
1513, 14eqtrdi 2790 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
1615eqeq1d 2736 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → ((𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅ ↔ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
1710, 16orbi12d 918 . . . . 5 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → ((𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
18 fzossnn 13747 . . . . . . 7 (1..^𝑁) ⊆ ℕ
19 nnssre 12267 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ
2018, 19sstri 4004 . . . . . 6 (1..^𝑁) ⊆ ℝ
2120a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (1..^𝑁) ⊆ ℝ)
22 biidd 262 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
23 nesym 2994 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
2420sseli 3990 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
2520sseli 3990 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦𝑥𝑦)
27 leltne 11347 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦𝑦𝑥))
2824, 25, 26, 27syl3an 1159 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦𝑦𝑥))
29 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
30 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝑥 / 𝑛𝐴
31 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(1..^𝑥)
32 iundisj2fi.0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛𝐵
3331, 32nfiun 5027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵
3430, 33nfdif 4138 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
35 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑛𝐴)
36 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑥 → (1..^𝑛) = (1..^𝑥))
3736iuneq1d 5023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
3835, 37difeq12d 4136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵))
3929, 34, 38csbief 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
40 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
41 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝑦 / 𝑛𝐴
42 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(1..^𝑦)
4342, 32nfiun 5027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵
4441, 43nfdif 4138 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
45 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑛𝐴)
46 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑦 → (1..^𝑛) = (1..^𝑦))
4746iuneq1d 5023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑦 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
4845, 47difeq12d 4136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑦 → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵))
4940, 44, 48csbief 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
5039, 49ineq12i 4225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ((𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵))
51 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (1..^𝑁))
5218, 51sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ)
53 nnuz 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ = (ℤ‘1)
5452, 53eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
55 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (1..^𝑁))
5618, 55sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
5756nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
58 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
59 elfzo2 13698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (1..^𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑦))
6054, 57, 58, 59syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (1..^𝑦))
61 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛𝑘
62 iundisj2fi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
6361, 32, 62csbhypf 3936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑘𝑥 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
6463equcoms 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑥𝑥 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
6564eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑛𝐴)
6665ssiun2s 5052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1..^𝑦) → 𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6760, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6867ssdifssd 4156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ⊆ 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6968ssrind 4251 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)))
7050, 69eqsstrid 4043 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)))
71 disjdif 4477 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) = ∅
72 sseq0 4408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) ∧ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) = ∅) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
7370, 71, 72sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
74733expia 1120 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
75743adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7628, 75sylbird 260 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑦𝑥 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7723, 76biimtrrid 243 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7877orrd 863 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7978adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
807, 17, 21, 22, 79wlogle 11793 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
811, 80mpan 690 . . 3 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
8281rgen2 3196 . 2 𝑥 ∈ (1..^𝑁)∀𝑦 ∈ (1..^𝑁)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
83 disjors 5130 . 2 (Disj 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ (1..^𝑁)∀𝑦 ∈ (1..^𝑁)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
8482, 83mpbir 231 1 Disj 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105  wnfc 2887  wne 2937  wral 3058  csb 3907  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  c0 4338   ciun 4995  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  1c1 11153   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  cz 12610  cuz 12875  ..^cfzo 13690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691
This theorem is referenced by:  iundisj2cnt  32806
  Copyright terms: Public domain W3C validator