Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisj2fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundisj2fi 29940
Description: A disjoint union is disjoint, finite version. Cf. iundisj2 23607. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisj2fi.0 𝑛𝐵
iundisj2fi.1 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iundisj2fi Disj 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑁   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisj2fi
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1657 . . . 4
2 eqeq12 2778 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → (𝑎 = 𝑏𝑥 = 𝑦))
3 csbeq1 3694 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
4 csbeq1 3694 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
53, 4ineqan12d 3978 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
65eqeq1d 2767 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → ((𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅ ↔ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
72, 6orbi12d 942 . . . . 5 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → ((𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
8 eqeq12 2778 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 = 𝑏𝑦 = 𝑥))
9 equcom 2115 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
108, 9syl6bb 278 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 = 𝑏𝑥 = 𝑦))
11 csbeq1 3694 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑦𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
12 csbeq1 3694 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑥𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
1311, 12ineqan12d 3978 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
14 incom 3967 . . . . . . . 8 (𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
1513, 14syl6eq 2815 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
1615eqeq1d 2767 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → ((𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅ ↔ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
1710, 16orbi12d 942 . . . . 5 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → ((𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
18 fzossnn 12725 . . . . . . 7 (1..^𝑁) ⊆ ℕ
19 nnssre 11278 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ
2018, 19sstri 3770 . . . . . 6 (1..^𝑁) ⊆ ℝ
2120a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (1..^𝑁) ⊆ ℝ)
22 biidd 253 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
23 nesym 2993 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
2420sseli 3757 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
2520sseli 3757 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦𝑥𝑦)
27 leltne 10381 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦𝑦𝑥))
2824, 25, 26, 27syl3an 1199 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦𝑦𝑥))
29 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
30 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝑥 / 𝑛𝐴
31 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(1..^𝑥)
32 iundisj2fi.0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛𝐵
3331, 32nfiun 4704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵
3430, 33nfdif 3893 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
35 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑛𝐴)
36 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑥 → (1..^𝑛) = (1..^𝑥))
3736iuneq1d 4701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
3835, 37difeq12d 3891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵))
3929, 34, 38csbief 3716 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
40 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
41 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝑦 / 𝑛𝐴
42 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(1..^𝑦)
4342, 32nfiun 4704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵
4441, 43nfdif 3893 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
45 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑛𝐴)
46 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑦 → (1..^𝑛) = (1..^𝑦))
4746iuneq1d 4701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑦 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
4845, 47difeq12d 3891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑦 → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵))
4940, 44, 48csbief 3716 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
5039, 49ineq12i 3974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ((𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵))
51 simp1 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (1..^𝑁))
5218, 51sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ)
53 nnuz 11923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ = (ℤ‘1)
5452, 53syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
55 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (1..^𝑁))
5618, 55sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
5756nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
58 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
59 elfzo2 12681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (1..^𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑦))
6054, 57, 58, 59syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (1..^𝑦))
61 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛𝑘
62 iundisj2fi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
6361, 32, 62csbhypf 3710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑘𝑥 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
6463equcoms 2117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑥𝑥 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
6564eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑛𝐴)
6665ssiun2s 4720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1..^𝑦) → 𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6760, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6867ssdifssd 3910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ⊆ 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6968ssrind 3999 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)))
7050, 69syl5eqss 3809 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)))
71 disjdif 4200 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) = ∅
72 sseq0 4137 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) ∧ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) = ∅) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
7370, 71, 72sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
74733expia 1150 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
75743adant3 1162 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7628, 75sylbird 251 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑦𝑥 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7723, 76syl5bir 234 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7877orrd 889 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7978adantl 473 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
807, 17, 21, 22, 79wlogle 10815 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
811, 80mpan 681 . . 3 ((𝑥 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
8281rgen2a 3124 . 2 𝑥 ∈ (1..^𝑁)∀𝑦 ∈ (1..^𝑁)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
83 disjors 4792 . 2 (Disj 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ (1..^𝑁)∀𝑦 ∈ (1..^𝑁)(𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
8482, 83mpbir 222 1 Disj 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  wnfc 2894  wne 2937  wral 3055  csb 3691  cdif 3729  cin 3731  wss 3732  c0 4079   ciun 4676  Disj wdisj 4777   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  1c1 10190   < clt 10328  cle 10329  cn 11274  cz 11624  cuz 11886  ..^cfzo 12673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674
This theorem is referenced by:  iundisj2cnt  29942
  Copyright terms: Public domain W3C validator