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Theorem chpub 26584
Description: An upper bound on the second Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpub ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (Οˆβ€˜π΄) ≀ ((ΞΈβ€˜π΄) + ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄))))

Proof of Theorem chpub
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpcl 26489 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π΄) ∈ ℝ)
21adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (Οˆβ€˜π΄) ∈ ℝ)
3 chtcl 26474 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) ∈ ℝ)
43adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (ΞΈβ€˜π΄) ∈ ℝ)
52, 4resubcld 11588 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((Οˆβ€˜π΄) βˆ’ (ΞΈβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
6 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7 0red 11163 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
8 1red 11161 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 1 ∈ ℝ)
9 0lt1 11682 . . . . . . . . . 10 0 < 1
109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 < 1)
11 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 1 ≀ 𝐴)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 11320 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 < 𝐴)
136, 12elrpd 12959 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
1413rpge0d 12966 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 ≀ 𝐴)
156, 14resqrtcld 15308 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ)
16 ppifi 26471 . . . . 5 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ∈ Fin)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ∈ Fin)
1813adantr 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
1918relogcld 25994 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2017, 19fsumrecl 15624 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2113relogcld 25994 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2215, 21remulcld 11190 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
23 ppifi 26471 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∈ Fin)
2423adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∈ Fin)
25 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™))
2625elin2d 4160 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
27 prmnn 16555 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
2928nnrpd 12960 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
3029relogcld 25994 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
3121adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
3228nnred 12173 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
33 prmuz2 16577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3426, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
35 eluz2gt1 12850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝑝)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 1 < 𝑝)
3732, 36rplogcld 26000 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
3831, 37rerpdivcld 12993 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
39 reflcl 13707 . . . . . . . . 9 (((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
4130, 40remulcld 11190 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ∈ ℝ)
4241recnd 11188 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ∈ β„‚)
4330recnd 11188 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
4424, 42, 43fsumsub 15678 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) = (Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘)))
45 0le0 12259 . . . . . . . . 9 0 ≀ 0
4645a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 ≀ 0)
478, 6, 6, 14, 11lemul2ad 12100 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 Β· 1) ≀ (𝐴 Β· 𝐴))
486recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4948sqsqrtd 15330 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) = 𝐴)
5048mulid1d 11177 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 Β· 1) = 𝐴)
5149, 50eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) = (𝐴 Β· 1))
5248sqvald 14054 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴↑2) = (𝐴 Β· 𝐴))
5347, 51, 523brtr4d 5138 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) ≀ (𝐴↑2))
546, 14sqrtge0d 15311 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜π΄))
5515, 6, 54, 14le2sqd 14166 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((βˆšβ€˜π΄) ≀ 𝐴 ↔ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) ≀ (𝐴↑2)))
5653, 55mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ≀ 𝐴)
57 iccss 13338 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ 0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ≀ 𝐴)) β†’ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) βŠ† (0[,]𝐴))
587, 6, 46, 56, 57syl22anc 838 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) βŠ† (0[,]𝐴))
5958ssrind 4196 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) βŠ† ((0[,]𝐴) ∩ β„™))
6059sselda 3945 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™))
6141, 30resubcld 11588 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
6261recnd 11188 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
6360, 62syldan 592 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
64 eldifi 4087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™))
6564, 43sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
6665mulid2d 11178 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (1 Β· (logβ€˜π‘)) = (logβ€˜π‘))
6725elin1d 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴))
68 0re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
696adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
70 elicc2 13335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴)))
7168, 69, 70sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴)))
7267, 71mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴))
7372simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ≀ 𝐴)
7464, 73sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝑝 ≀ 𝐴)
7564, 29sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
7613adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
7775, 76logled 25998 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝑝 ≀ 𝐴 ↔ (logβ€˜π‘) ≀ (logβ€˜π΄)))
7874, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜π‘) ≀ (logβ€˜π΄))
7966, 78eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (1 Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π΄))
80 1red 11161 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 1 ∈ ℝ)
8121adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
8264, 37sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
8380, 81, 82lemuldivd 13011 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((1 Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π΄) ↔ 1 ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))
8479, 83mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 1 ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))
856adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8685recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8786sqsqrtd 15330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) = 𝐴)
88 eldifn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))
8988adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))
9064, 26sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
91 elin 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ↔ (𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ β„™))
9291rbaib 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ↔ 𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄))))
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ↔ 𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄))))
94 0red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 0 ∈ ℝ)
9515adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ)
9664, 28sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
9796nnred 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
9875rpge0d 12966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 0 ≀ 𝑝)
99 elicc2 13335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄))))
100 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄)) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄)))
10199, 100bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄))))
102101baibd 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((0 ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) ↔ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄)))
10394, 95, 97, 98, 102syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) ↔ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄)))
10493, 103bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ↔ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄)))
10589, 104mtbid 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄))
10695, 97ltnled 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((βˆšβ€˜π΄) < 𝑝 ↔ Β¬ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄)))
107105, 106mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (βˆšβ€˜π΄) < 𝑝)
10854adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜π΄))
10995, 97, 108, 98lt2sqd 14165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((βˆšβ€˜π΄) < 𝑝 ↔ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) < (𝑝↑2)))
110107, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) < (𝑝↑2))
11187, 110eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝐴 < (𝑝↑2))
11296nnsqcld 14153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝑝↑2) ∈ β„•)
113112nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝑝↑2) ∈ ℝ+)
114 logltb 25971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑝↑2) ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 < (𝑝↑2) ↔ (logβ€˜π΄) < (logβ€˜(𝑝↑2))))
11576, 113, 114syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝐴 < (𝑝↑2) ↔ (logβ€˜π΄) < (logβ€˜(𝑝↑2))))
116111, 115mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜π΄) < (logβ€˜(𝑝↑2)))
117 2z 12540 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„€
118 relogexp 25967 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (logβ€˜(𝑝↑2)) = (2 Β· (logβ€˜π‘)))
11975, 117, 118sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜(𝑝↑2)) = (2 Β· (logβ€˜π‘)))
120116, 119breqtrd 5132 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜π΄) < (2 Β· (logβ€˜π‘)))
121 2re 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 2 ∈ ℝ)
12381, 122, 82ltdivmul2d 13014 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) < 2 ↔ (logβ€˜π΄) < (2 Β· (logβ€˜π‘))))
124120, 123mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) < 2)
125 df-2 12221 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
126124, 125breqtrdi 5147 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) < (1 + 1))
12764, 38sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
128 1z 12538 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„€
129 flbi 13727 . . . . . . . . . . . 12 ((((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) = 1 ↔ (1 ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∧ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) < (1 + 1))))
130127, 128, 129sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) = 1 ↔ (1 ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∧ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) < (1 + 1))))
13184, 126, 130mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) = 1)
132131oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) = ((logβ€˜π‘) Β· 1))
13365mulid1d 11177 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· 1) = (logβ€˜π‘))
134132, 133eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) = (logβ€˜π‘))
135134oveq1d 7373 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) = ((logβ€˜π‘) βˆ’ (logβ€˜π‘)))
13665subidd 11505 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π‘) βˆ’ (logβ€˜π‘)) = 0)
137135, 136eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) = 0)
13859, 63, 137, 24fsumss 15615 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)))
139 chpval2 26582 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
140139adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (Οˆβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
141 chtval 26475 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
142141adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
143140, 142oveq12d 7376 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((Οˆβ€˜π΄) βˆ’ (ΞΈβ€˜π΄)) = (Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘)))
14444, 138, 1433eqtr4rd 2784 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((Οˆβ€˜π΄) βˆ’ (ΞΈβ€˜π΄)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)))
14560, 61syldan 592 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
14660, 41syldan 592 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ∈ ℝ)
14760, 37syldan 592 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
148147rpge0d 12966 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π‘))
149 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))
150149elin2d 4160 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
151150, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
152151nnrpd 12960 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
153152relogcld 25994 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
154146, 153subge02d 11752 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (0 ≀ (logβ€˜π‘) ↔ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))))
155148, 154mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
15660, 38syldan 592 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
157 flle 13710 . . . . . . . 8 (((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))
158156, 157syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))
15960, 40syldan 592 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
160159, 19, 147lemuldiv2d 13012 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ≀ (logβ€˜π΄) ↔ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))
161158, 160mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ≀ (logβ€˜π΄))
162145, 146, 19, 155, 161letrd 11317 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π΄))
16317, 145, 19, 162fsumle 15689 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π΄))
164144, 163eqbrtrd 5128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((Οˆβ€˜π΄) βˆ’ (ΞΈβ€˜π΄)) ≀ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π΄))
16521recnd 11188 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
166 fsumconst 15680 . . . . 5 ((((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ∈ Fin ∧ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π΄) = ((β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) Β· (logβ€˜π΄)))
16717, 165, 166syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π΄) = ((β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) Β· (logβ€˜π΄)))
168 hashcl 14262 . . . . . . 7 (((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ∈ β„•0)
16917, 168syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ∈ β„•0)
170169nn0red 12479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ∈ ℝ)
171 logge0 25976 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π΄))
172 reflcl 13707 . . . . . . 7 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
17315, 172syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
174 fzfid 13884 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∈ Fin)
175 ppisval 26469 . . . . . . . . . . 11 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∩ β„™))
17615, 175syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∩ β„™))
177 inss1 4189 . . . . . . . . . . 11 ((2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∩ β„™) βŠ† (2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
178 2eluzge1 12824 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
179 fzss1 13486 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
180178, 179mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
181177, 180sstrid 3956 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∩ β„™) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
182176, 181eqsstrd 3983 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
183 ssdomg 8943 . . . . . . . . 9 ((1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∈ Fin β†’ (((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) β‰Ό (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
184174, 182, 183sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) β‰Ό (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
185 hashdom 14285 . . . . . . . . 9 ((((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ∈ Fin ∧ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ≀ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))) ↔ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) β‰Ό (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
18617, 174, 185syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ≀ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))) ↔ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) β‰Ό (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
187184, 186mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ≀ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
188 flge0nn0 13731 . . . . . . . . 9 (((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π΄)) β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„•0)
18915, 54, 188syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„•0)
190 hashfz1 14252 . . . . . . . 8 ((βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))) = (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
191189, 190syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))) = (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
192187, 191breqtrd 5132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
193 flle 13710 . . . . . . 7 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ≀ (βˆšβ€˜π΄))
19415, 193syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ≀ (βˆšβ€˜π΄))
195170, 173, 15, 192, 194letrd 11317 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ≀ (βˆšβ€˜π΄))
196170, 15, 21, 171, 195lemul1ad 12099 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) Β· (logβ€˜π΄)) ≀ ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)))
197167, 196eqbrtrd 5128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π΄) ≀ ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)))
1985, 20, 22, 164, 197letrd 11317 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((Οˆβ€˜π΄) βˆ’ (ΞΈβ€˜π΄)) ≀ ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)))
1992, 4, 22lesubadd2d 11759 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (((Οˆβ€˜π΄) βˆ’ (ΞΈβ€˜π΄)) ≀ ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)) ↔ (Οˆβ€˜π΄) ≀ ((ΞΈβ€˜π΄) + ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)))))
200198, 199mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (Οˆβ€˜π΄) ≀ ((ΞΈβ€˜π΄) + ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   β‰Ό cdom 8884  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  [,]cicc 13273  ...cfz 13430  βŒŠcfl 13701  β†‘cexp 13973  β™―chash 14236  βˆšcsqrt 15124  Ξ£csu 15576  β„™cprime 16552  logclog 25926  ΞΈccht 26456  Οˆcchp 26458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-pc 16714  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cht 26462  df-vma 26463  df-chp 26464
This theorem is referenced by:  chpchtlim  26843
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