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Theorem chpub 27140
Description: An upper bound on the second Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpub ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (Οˆβ€˜π΄) ≀ ((ΞΈβ€˜π΄) + ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄))))

Proof of Theorem chpub
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpcl 27043 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π΄) ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (Οˆβ€˜π΄) ∈ ℝ)
3 chtcl 27028 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (ΞΈβ€˜π΄) ∈ ℝ)
52, 4resubcld 11664 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((Οˆβ€˜π΄) βˆ’ (ΞΈβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
6 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7 0red 11239 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
8 1red 11237 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 1 ∈ ℝ)
9 0lt1 11758 . . . . . . . . . 10 0 < 1
109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 < 1)
11 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 1 ≀ 𝐴)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 11396 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 < 𝐴)
136, 12elrpd 13037 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
1413rpge0d 13044 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 ≀ 𝐴)
156, 14resqrtcld 15388 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ)
16 ppifi 27025 . . . . 5 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ∈ Fin)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ∈ Fin)
1813adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
1918relogcld 26544 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2017, 19fsumrecl 15704 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2113relogcld 26544 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2215, 21remulcld 11266 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
23 ppifi 27025 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∈ Fin)
2423adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∈ Fin)
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™))
2625elin2d 4195 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
27 prmnn 16636 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
2928nnrpd 13038 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
3029relogcld 26544 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
3121adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
3228nnred 12249 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
33 prmuz2 16658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3426, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
35 eluz2gt1 12926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝑝)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 1 < 𝑝)
3732, 36rplogcld 26550 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
3831, 37rerpdivcld 13071 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
39 reflcl 13785 . . . . . . . . 9 (((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
4130, 40remulcld 11266 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ∈ ℝ)
4241recnd 11264 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ∈ β„‚)
4330recnd 11264 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
4424, 42, 43fsumsub 15758 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) = (Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘)))
45 0le0 12335 . . . . . . . . 9 0 ≀ 0
4645a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 ≀ 0)
478, 6, 6, 14, 11lemul2ad 12176 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 Β· 1) ≀ (𝐴 Β· 𝐴))
486recnd 11264 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4948sqsqrtd 15410 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) = 𝐴)
5048mulridd 11253 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 Β· 1) = 𝐴)
5149, 50eqtr4d 2770 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) = (𝐴 Β· 1))
5248sqvald 14131 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴↑2) = (𝐴 Β· 𝐴))
5347, 51, 523brtr4d 5174 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) ≀ (𝐴↑2))
546, 14sqrtge0d 15391 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜π΄))
5515, 6, 54, 14le2sqd 14243 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((βˆšβ€˜π΄) ≀ 𝐴 ↔ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) ≀ (𝐴↑2)))
5653, 55mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ≀ 𝐴)
57 iccss 13416 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ 0 ∧ (βˆšβ€˜π΄) ≀ 𝐴)) β†’ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) βŠ† (0[,]𝐴))
587, 6, 46, 56, 57syl22anc 838 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) βŠ† (0[,]𝐴))
5958ssrind 4231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) βŠ† ((0[,]𝐴) ∩ β„™))
6059sselda 3978 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™))
6141, 30resubcld 11664 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
6261recnd 11264 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
6360, 62syldan 590 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
64 eldifi 4122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™))
6564, 43sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
6665mullidd 11254 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (1 Β· (logβ€˜π‘)) = (logβ€˜π‘))
6725elin1d 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴))
68 0re 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
696adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
70 elicc2 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴)))
7168, 69, 70sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴)))
7267, 71mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴))
7372simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ≀ 𝐴)
7464, 73sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝑝 ≀ 𝐴)
7564, 29sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
7613adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
7775, 76logled 26548 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝑝 ≀ 𝐴 ↔ (logβ€˜π‘) ≀ (logβ€˜π΄)))
7874, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜π‘) ≀ (logβ€˜π΄))
7966, 78eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (1 Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π΄))
80 1red 11237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 1 ∈ ℝ)
8121adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
8264, 37sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
8380, 81, 82lemuldivd 13089 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((1 Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π΄) ↔ 1 ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))
8479, 83mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 1 ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))
856adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8685recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8786sqsqrtd 15410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) = 𝐴)
88 eldifn 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))
8988adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))
9064, 26sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
91 elin 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ↔ (𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ β„™))
9291rbaib 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ↔ 𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄))))
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ↔ 𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄))))
94 0red 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 0 ∈ ℝ)
9515adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ)
9664, 28sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
9796nnred 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
9875rpge0d 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 0 ≀ 𝑝)
99 elicc2 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄))))
100 df-3an 1087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄)) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄)))
10199, 100bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄))))
102101baibd 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((0 ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) ↔ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄)))
10394, 95, 97, 98, 102syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](βˆšβ€˜π΄)) ↔ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄)))
10493, 103bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ↔ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄)))
10589, 104mtbid 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄))
10695, 97ltnled 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((βˆšβ€˜π΄) < 𝑝 ↔ Β¬ 𝑝 ≀ (βˆšβ€˜π΄)))
107105, 106mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (βˆšβ€˜π΄) < 𝑝)
10854adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜π΄))
10995, 97, 108, 98lt2sqd 14242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((βˆšβ€˜π΄) < 𝑝 ↔ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) < (𝑝↑2)))
110107, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) < (𝑝↑2))
11187, 110eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 𝐴 < (𝑝↑2))
11296nnsqcld 14230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝑝↑2) ∈ β„•)
113112nnrpd 13038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝑝↑2) ∈ ℝ+)
114 logltb 26521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑝↑2) ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 < (𝑝↑2) ↔ (logβ€˜π΄) < (logβ€˜(𝑝↑2))))
11576, 113, 114syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (𝐴 < (𝑝↑2) ↔ (logβ€˜π΄) < (logβ€˜(𝑝↑2))))
116111, 115mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜π΄) < (logβ€˜(𝑝↑2)))
117 2z 12616 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„€
118 relogexp 26517 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (logβ€˜(𝑝↑2)) = (2 Β· (logβ€˜π‘)))
11975, 117, 118sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜(𝑝↑2)) = (2 Β· (logβ€˜π‘)))
120116, 119breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (logβ€˜π΄) < (2 Β· (logβ€˜π‘)))
121 2re 12308 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ 2 ∈ ℝ)
12381, 122, 82ltdivmul2d 13092 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) < 2 ↔ (logβ€˜π΄) < (2 Β· (logβ€˜π‘))))
124120, 123mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) < 2)
125 df-2 12297 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
126124, 125breqtrdi 5183 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) < (1 + 1))
12764, 38sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
128 1z 12614 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„€
129 flbi 13805 . . . . . . . . . . . 12 ((((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) = 1 ↔ (1 ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∧ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) < (1 + 1))))
130127, 128, 129sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) = 1 ↔ (1 ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∧ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) < (1 + 1))))
13184, 126, 130mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) = 1)
132131oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) = ((logβ€˜π‘) Β· 1))
13365mulridd 11253 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· 1) = (logβ€˜π‘))
134132, 133eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) = (logβ€˜π‘))
135134oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) = ((logβ€˜π‘) βˆ’ (logβ€˜π‘)))
13665subidd 11581 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ ((logβ€˜π‘) βˆ’ (logβ€˜π‘)) = 0)
137135, 136eqtrd 2767 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (((0[,]𝐴) ∩ β„™) βˆ– ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) = 0)
13859, 63, 137, 24fsumss 15695 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)))
139 chpval2 27138 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
140139adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (Οˆβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
141 chtval 27029 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
142141adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
143140, 142oveq12d 7432 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((Οˆβ€˜π΄) βˆ’ (ΞΈβ€˜π΄)) = (Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘)))
14444, 138, 1433eqtr4rd 2778 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((Οˆβ€˜π΄) βˆ’ (ΞΈβ€˜π΄)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)))
14560, 61syldan 590 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
14660, 41syldan 590 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ∈ ℝ)
14760, 37syldan 590 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
148147rpge0d 13044 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π‘))
149 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™))
150149elin2d 4195 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
151150, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
152151nnrpd 13038 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
153152relogcld 26544 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
154146, 153subge02d 11828 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (0 ≀ (logβ€˜π‘) ↔ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))))
155148, 154mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
15660, 38syldan 590 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
157 flle 13788 . . . . . . . 8 (((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))
158156, 157syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))
15960, 40syldan 590 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
160159, 19, 147lemuldiv2d 13090 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ≀ (logβ€˜π΄) ↔ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))
161158, 160mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ≀ (logβ€˜π΄))
162145, 146, 19, 155, 161letrd 11393 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) β†’ (((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π΄))
16317, 145, 19, 162fsumle 15769 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π΄))
164144, 163eqbrtrd 5164 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((Οˆβ€˜π΄) βˆ’ (ΞΈβ€˜π΄)) ≀ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π΄))
16521recnd 11264 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
166 fsumconst 15760 . . . . 5 ((((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ∈ Fin ∧ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π΄) = ((β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) Β· (logβ€˜π΄)))
16717, 165, 166syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π΄) = ((β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) Β· (logβ€˜π΄)))
168 hashcl 14339 . . . . . . 7 (((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ∈ β„•0)
16917, 168syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ∈ β„•0)
170169nn0red 12555 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ∈ ℝ)
171 logge0 26526 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π΄))
172 reflcl 13785 . . . . . . 7 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
17315, 172syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
174 fzfid 13962 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∈ Fin)
175 ppisval 27023 . . . . . . . . . . 11 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∩ β„™))
17615, 175syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∩ β„™))
177 inss1 4224 . . . . . . . . . . 11 ((2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∩ β„™) βŠ† (2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
178 2eluzge1 12900 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
179 fzss1 13564 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
180178, 179mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
181177, 180sstrid 3989 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((2...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∩ β„™) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
182176, 181eqsstrd 4016 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
183 ssdomg 9012 . . . . . . . . 9 ((1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∈ Fin β†’ (((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) β‰Ό (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
184174, 182, 183sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) β‰Ό (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
185 hashdom 14362 . . . . . . . . 9 ((((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) ∈ Fin ∧ (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄))) ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ≀ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))) ↔ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) β‰Ό (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
18617, 174, 185syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ≀ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))) ↔ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™) β‰Ό (1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
187184, 186mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ≀ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
188 flge0nn0 13809 . . . . . . . . 9 (((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π΄)) β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„•0)
18915, 54, 188syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„•0)
190 hashfz1 14329 . . . . . . . 8 ((βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))) = (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
191189, 190syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))) = (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
192187, 191breqtrd 5168 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
193 flle 13788 . . . . . . 7 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ≀ (βˆšβ€˜π΄))
19415, 193syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ≀ (βˆšβ€˜π΄))
195170, 173, 15, 192, 194letrd 11393 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) ≀ (βˆšβ€˜π΄))
196170, 15, 21, 171, 195lemul1ad 12175 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((β™―β€˜((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)) Β· (logβ€˜π΄)) ≀ ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)))
197167, 196eqbrtrd 5164 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βˆšβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π΄) ≀ ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)))
1985, 20, 22, 164, 197letrd 11393 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ ((Οˆβ€˜π΄) βˆ’ (ΞΈβ€˜π΄)) ≀ ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)))
1992, 4, 22lesubadd2d 11835 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (((Οˆβ€˜π΄) βˆ’ (ΞΈβ€˜π΄)) ≀ ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)) ↔ (Οˆβ€˜π΄) ≀ ((ΞΈβ€˜π΄) + ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)))))
200198, 199mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 𝐴) β†’ (Οˆβ€˜π΄) ≀ ((ΞΈβ€˜π΄) + ((βˆšβ€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   β‰Ό cdom 8953  Fincfn 8955  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  2c2 12289  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  β„+crp 12998  [,]cicc 13351  ...cfz 13508  βŒŠcfl 13779  β†‘cexp 14050  β™―chash 14313  βˆšcsqrt 15204  Ξ£csu 15656  β„™cprime 16633  logclog 26475  ΞΈccht 27010  Οˆcchp 27012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-pc 16797  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-cht 27016  df-vma 27017  df-chp 27018
This theorem is referenced by:  chpchtlim  27399
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